Appendice 7. Geometria piana

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1 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica A7 Appenice 7 In geneale la soluzione i un poblema i Lapace in foma chiusa non è cosa molto semplice La ifficoltà pincipale è nel fatto che non esiste una teoia che fonisca l'integale geneale ell'equazione alle eivate paziali che alla base el poblema, così come accae pe le equazioni i ff e enziali oinaie che abbiamo fin qui aff ontato Se fosse noto l' integale geneale si potebbeo impo e le conizioni al contono e eteminae la paticola e soluzione el poblema in esame Come veemo ovemo limitaci a consiea e classi i soluzioni, che non appesentano la totalità elle soluzioni, ma che, pe motivi specifici el poblema paticolae allo stuio, si itiene ebbano contanee la soluzione ichiesta Cominciamo con il consieae il caso in cui le paticolai simmetie el poblema - e quini elle conizioni al contono - ci consentono i tasfomae l'equazione alle eivate paziali in una alle eivate totali Geometia piana z Se le conizioni al contono stabiliscono che il potenziale è costante su ue piani paalleli posti a istanza, pe simmetia potemo eue che la funzione potenziale, nel ominio compeso ta i ue piani, eve necessaimente ipenee soltanto a una cooinata, x pe esempio, i un sistema i coo inate catesiane x,y,z In tali conizioni l'equazione a isolvee è: y x V x = 0 (A7) L'integale geneale i tale equazione, che è alle eivate totali - si noti il simbolo aottato pe le eivate - in quanto la funzione ipene a una sola vaiabile, è, evientemente: Fig A7 V(x) = Ax + B, (A7)

2 A7 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica ove A e B sono le costanti a eteminae in base alle conizioni al contono Nel caso si sia assunto il piano a x=0 a potenziale nullo, come in figua, B = 0 e A = V/, con V potenziale el secono piano a istanza e quini anche iffeenza i potenziale applicata ta i ue piani Questa soluzione ci consente i calcolae anche la capacità i un conensatoe piano le cui amatue abbiano una sezione S e siano poste a una istanza Nella ipotesi in cui S sia molto maggioe i, infatti, saà possibile utilizzae ancoa la A7 pe calcolae il campo elettico all'inteno el conensatoe, E = -A = - V/ La caica elettica pesente su ogni amatua saà, Q = S = ES = VS/, e la capacità C = S/ Con un poceimento el tutto analogo si possono affontae i casi ella simmetia cilinica e piana pe i quali nel seguito ipotiamo i isultati Geometia cilinica In tal caso l'equazione a isolvee è: V = 0 (A73) Da cui si ottiene, e quini: V = A, Fig A7 V () = A ln + B (A74) Se si assume nullo il potenziale in e pai a V in, si eteminano agevolmente le costanti A e B: A = V/(ln - ln ) = V/ln( / ); B = - V ln /(ln - ln ) Anche in questo caso è possibile calcolae la capacità i un conensatoe cilinico i lunghezza L Il campo elettico, infatti, ta i ue cilini è pai - in moulo - a E= A/, e quini la caica sull'amatua i aggio e: Q = S = L = E( ) L = LV/ln( / ) Pe unità i lunghezza la capacità i un conensatoe cilinico è unque: C = ln (A75) Geometia sfeica In questo caso l'equazione e: V = 0, (A76)

3 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica A73 V = A, a cui: V = - A + B, e quini: (A77) Detta V la iffeenza i potenziale ta le ue amatue, e assumeno nullo il potenziale i quella intena, si ha: Fig A73 A = V -, B = V - (A78) E pe il conensatoe sfeico si ha: C = Q V = 4 V = E 4 V = 4 -, (A79) Conensatoe a più ielettici Fino a oa abbiamo supposto il ielettico omogeneo e isotopo In alti temini abbiamo assunto che nella egione i inteesse assume lo stesso valoe in ogni punto Infatti solo in questo caso l equazione isultante è quella i Laplace Se supponiamo che (P) è funzione el punto, alle ue elazioni: si ottiene: e quini: xe = 0 e D = E = 0, (A70) E = E + E = - V + E = 0, (A7) V = E (A7) che non è l equazione i Laplace Il caso in cui il ielettico non sia omogeneo può essee isolto appossimativamente suivi - eno il ielettico in egioni in cui può itenesi paticamente costante Pe semplicità consieiamo il caso i ue sole egioni in simmetia sfeica come escitto alla figa74 In ognuna elle ue egioni, ta e e ta e 3, l equazione i Laplace è soisfatta e quini pe le consieazioni el paagafo peceente le soluzioni in tali egioni sono: V ' = A + B ta e V " = A + B ta e 3 (A73)

4 A74 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica V = V 3 3 V = 0 Fig A74 Con quatto costanti a eteminae: A,B,A e B E infatti allele conizioni al conton: V ' = 0, V " 3 = V, bisogna aggiunge e le conizioni i accoo a cavallo ella supeficie i iscontinuità a : V ' = V ", V ' n = = V " n = che impongono appunto la continuità ella componente tangenziale el campo elettico e i quella nomale el vettoe D D a queste quatto conizioni si possono icavae le quatto costanti incognite In moo analogo si agiona pe le simmetie piane e ciliniche Supponiamo oa che, nella stessa geometia escitta alla figua A7, lo spazio ta le ue amatue conuttici sia iempito a un mateiale i esistività (conucibilità ) invece che a un ielettico i costante ielettica Pe effetto ella iffeenza i potenziale V ta le amatue, che conveà oa chiama elettoi, il mezzo inteposto saà see i un campo i ensità i coente J stazionaio che saà govenato alle equazioni A69 che pe comoità ipotiamo i seguito: xe = 0 J = 0 J = E (A74)

5 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica A75 Intouceno il potenziale scalae V () anche in questo caso, come è noto, peveniamo a una equazione i Laplace: La soluzione i tale equazione nella geometia i figua A7 è stata già eteminata nelle pagine peceenti: e quini il campo elettico in moulo saà ato a: V = 0 (A75) V(x) = Ax + B, E = A = V Dalla teza elle A75 possiamo calcolae la ensità i coente e quini la coente I che inteessa una aea S egli elettoi: I = J S = ES = S V Ne consegue che la esistenza R elativa a una pozione i aea S egli elettoi è: R = V I = S = S Con un analogo agionamento si tovano la esistenza pe un tatto i lunghezza L i ue cilini concentici: R = L ln, (A76) e i ue sfee concentiche: R = 4 - = 4 - (A77) Si noti che in tutti i casi tattati isulta: R C = (A78) È facile imostae che questa elazione è el tutto geneale e vale pe qualsiasi geometia; basta consieae (vei figua A75) un elemento i volume infinitesimo el geneico tubo i flusso acchiuso ta ue supefici equipotenziali pe il quale si ha: R = V I = S E E S E S e C = Q V = S E, (A79)

6 A76 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica tubo i flusso equipotenziali Fig A75 a cui la A78, integano lungo il tubo i flusso e sommano pe tutti i tubi i flusso Infine si ossevi che la A77 non pee i significato se il aggio ella sfea estena tene all infinito; ne consegue che la esistenza i una sfea isolata immesa in un mateiale i esistività ispetto ai punti all infinito è ata alla fomula: R = 4 (A70) Questa fomula può caatteizzae il compotamento i una sfea conuttice posta a una ceta pofonità nel teeno, così come escitto in figua A76 e essee utilizzata pe il calcolo ella esistenza i tea i un ispesoe sfeico ispesoe sfeico Fig A76

7 A77 Luciano De Menna Coso i Elettotecnica Nel paagafo peceente abbiamo esaminato te casi tipici in cui la paticolae simmetia el poblema - e cioè elle conizioni al contono - ci ha consentito i iue l equazione i Laplace a una equazione iffeenziale oinaia In queste conizioni l integazione ell equazione è stata paticolamente agevole A un isultato analogo si può giungee, in casi più complessi, utilizzano la tecnica ella sepaazione elle vaiabili Consieiamo l equazione i Laplace nel piano in cooinate catesiane: V x + V y = 0, (A7) e cechiamo pe essa una soluzione el tipo X(x)Y(y), ove le funzioni X e Y sono appunto funzioni ella sola x e y ispettivamente Inseeno questa ipotesi nella soluzione si ottiene: che può anche essee scitta nella foma: Y X x + X Y y = 0, (A7) X X x = - Y Y y, (A73) Dato che X è solo funzione i x e Y solo funzione i y i ue membi ell equazione (A74) ebbono iusi a una costante che chiameemo k Avemo unque un sistema i equazioni iffeenziali oinaiepe le ue funzioni incognite: X x - k X = 0, Y y + k Y = 0, (A74) La secona equazione è l equazione ell oscillatoe amonico e ha come soluzione geneale: Y = Acosky + Bsenky (A75) Mente la pima equazione ha soluzione: X = A coshkx + B senhkx (A76) ove cosh e senh sono ispettivamente il coseno e il seno ipebolico Quini una possibile famiglia i funzioni amoniche è quella escitta alla elazione: V(x,y) = (A coshkx + B senhkx)(acosky + Bsenky) (A77) Giocano sui valoi elle costanti e i k è possible eteminae quali tipologie i conizioni al contono possono essee soisfatte a questa famiglia i soluzioni