Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

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1 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali Obiettivo Studiare la parità di funzioni Obiettivo 5 Studiare funzioni limitate note Obiettivo 6 Studiare funzioni monotone 5 Obiettivo 7 Disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note 5 Obiettivo 8 Definire le funzioni composte Obiettivo 9 Definire l inversa di una funzione Attività di sportello, - Attività di sportello, - Verifica conclusiva, 5 Disequazioni algebriche Teoria in sintesi 6 Obiettivo Risolvere disequazioni di secondo grado 7 Obiettivo Risolvere disequazioni fratte 8 Obiettivo Studiare il segno di una funzione razionale fratta 0 Obiettivo Risolvere sistemi di disequazioni Obiettivo 5 Risolvere equazioni irrazionali con n dispari e n pari Obiettivo 6a Risolvere disequazioni irrazionali con n dispari 5 Obiettivo 6b Risolvere disequazioni irrazionali con n pari del tipo f() < g() 5 Obiettivo 6c Risolvere disequazioni irrazionali con n pari del tipo f() > g() 5 Obiettivo 7 Risolvere equazioni con valori assoluti 7 Obiettivo 8 Risolvere disequazioni con valori assoluti 8 Obiettivo 9 Determinare dominio e segno di funzioni irrazionali e con valori assoluti 8 Attività di sportello, 9 - Attività di sportello, 9 - Verifica conclusiva, 0 Esponenziali e logaritmi Teoria in sintesi Obiettivo Risolvere equazioni esponenziali Obiettivo Risolvere disequazioni esponenziali Obiettivo Calcolo dei logaritmi (trasformazione di forme logaritmiche in forme esponenziali) Obiettivo Proprietà dei logaritmi 5 Obiettivo 5 Risolvere equazioni logaritmiche 6 Obiettivo 6 Risolvere disequazioni logaritmiche 8

2 Indice Obiettivo 7 Applicare traslazioni e simmetrie alla curva esponenziale e logaritmica 9 Obiettivo 8 Tracciare grafici deducibili dalla curva esponenziale e logaritmica 50 Attività di sportello, 5 - Attività di sportello, 5 - Verifica conclusiva, 5 Punti e rette nel piano cartesiano Teoria in sintesi 5 Obiettivo Calcolare la distanza tra due punti e il punto medio di un segmento 5 Teoria in sintesi 55 Obiettivo Scrivere l equazione della retta passante per due punti distinti 56 Obiettivo Rappresentare graficamente una retta e determinare le coordinate del punto di intersezione tra due rette 57 Obiettivo Studiare il parallelismo o la perpendicolarità tra due rette 58 Obiettivo 5 Determinare l equazione di un fascio improprio di rette 60 Obiettivo 6 Determinare l equazione di un fascio proprio di rette 6 Obiettivo 7 Riconoscere un fascio proprio e un fascio improprio di rette 6 Obiettivo 8 Saper risolvere semplici problemi di riepilogo 6 Obiettivo 9 Saper disegnare grafici deducibili 6 Attività di sportello, 66 - Attività di sportello, 66 - Verifica conclusiva, 67 La circonferenza Teoria in sintesi 68 Obiettivo Determinare l equazione della circonferenza come luogo geometrico 69 Obiettivo Riconoscere centro e raggio dall equazione della circonferenza 69 Obiettivo Determinare l equazione della circonferenza a partire da condizioni assegnate 7, 75 Teoria in sintesi 7 Obiettivo Determinare le eventuali intersezioni tra retta e circonferenza (risoluzione sistema di secondo grado) 7 Obiettivo 5 Determinare le equazioni di rette tangenti alla circonferenza 7 Obiettivo 6 Determinare le intersezioni tra retta e circonferenza (risoluzione sistema parametrico di secondo grado) 76 Obiettivo 7 Determinare le posizioni reciproche tra due circonferenze. Fasci 77 Obiettivo 8 Disegnare grafici deducibili 78 Obiettivo 9 Determinare domini e disegnare grafici di funzioni deducibili dalla circonferenza 79 Attività di sportello, 80 - Attività di sportello, 80 - Verifica conclusiva, 8 La parabola Teoria in sintesi 8 Obiettivo Determinare l equazione della parabola come luogo geometrico 8 Obiettivo Determinare vertice, fuoco e direttrice dall equazione della parabola e disegnarla 8 Obiettivo Determinare l equazione della parabola a partire da condizioni assegnate 87, 90

3 Indice Obiettivo Determinare la posizione reciproca tra retta e parabola (risoluzione sistema di secondo grado) 88 Obiettivo 5 Determinare le equazioni di rette tangenti alla parabola 89 Obiettivo 6a Disegnare il grafico di curve deducibili dalla parabola (senza valori assoluti) 90 Obiettivo 6b Disegnare il grafico di curve deducibili dalla parabola (con valori assoluti) 9 Obiettivo 7 Studiare le caratteristiche di un fascio di parabole 9 Obiettivo 8 Discutere graficamente alcuni sistemi di secondo grado 95 Obiettivo 9 Determinare domini, studiare relazioni e disegnare grafici di funzioni deducibili dalla parabola 97 Obiettivo 0 Risolvere semplici problemi di riepilogo 98 Attività di sportello, 0 - Attività di sportello, 0 - Verifica conclusiva, 0 - Verifica conclusiva, 0 L ellisse Teoria in sintesi 0 Obiettivo Determinare vertici, fuochi ed eccentricità di un ellisse e disegnarne il grafico 0 Obiettivo Determinare l equazione dell ellisse 05 Obiettivo Determinare le rette tangenti a un ellisse 07 Obiettivo Disegnare curve deducibili da un ellisse 08 Obiettivo 5 Risolvere semplici problemi di riepilogo Attività di sportello, - Verifica conclusiva, 5 L iperbole Teoria in sintesi 6 Obiettivo Determinare vertici, fuochi ed eccentricità di un iperbole e disegnarne il grafico 7 Obiettivo Determinare l equazione dell iperbole 8 Obiettivo Studiare le posizioni reciproche tra retta e iperbole e determinare le rette tangenti a un iperbole 9 Obiettivo Disegnare curve deducibili da un iperbole Obiettivo 5 Risolvere semplici problemi di riepilogo Teoria in sintesi 5 Obiettivo 6 Determinare l equazione e disegnare il grafico di iperboli equilatere riferite agli asintoti 6 Obiettivo 7 Determinare l equazione e disegnare il grafico di iperboli equilatere traslate (funzioni omografiche) 7 Obiettivo 8 Risolvere problemi di riepilogo sulla funzione omografica 8 Attività di sportello, 0 - Attività di sportello, 0 - Verifica conclusiva, - Verifica conclusiva, Soluzioni Funzioni, - Disequazioni algebriche, 5 - Esponenziali e logaritmi, 7 - Punti e rette nel piano cartesiano, 9 - La circonferenza, - La parabola, 6 - L ellisse, 56 - L iperbole, 57 5

4 Definizioni Teoria in sintesi Dati due insiemi A e B si dice funzione f di A in B una legge che associ a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. f:a B L insieme A è detto dominio f. f(a) è l immagine di a A secondo f. { } L insieme f = f( a) a A è detto codominio. Funzione reale di variabile reale f :A B Il grafico G è il sottoinsieme del prodotto cartesiano costituito dalle coppie (a; b), con a A e a = f(a) B. f () B (; f ()) Proprietà delle funzioni O A Funzioni iniettive f:a B se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B. Funzioni suriettive f:a B se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Funzioni biiettive f:a B se è iniettiva e suriettiva, ossia se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. Funzioni pari f:a B se per ogni f si ha f e risulta f() = f( ). Funzioni dispari f:a B se per ogni f si ha f e risulta f() = f( ). Funzioni limitate superiormente se esiste un numero k tale che f si ha f() k; inferiormente se esiste un numero k tale che f si ha f() k. Funzioni monotone crescente [decrescente] se per ogni coppia di punti, f con < si ha f( ) < f( ) f( ) f( ) ; [ > ] non decrescente [non crescente] se per ogni coppia di punti, f con < si ha: f( ) f( ) f( ) f( ) [ ] Funzioni invertibili Data la funzione biiettiva f: f( ) = f si definisce inversa f : f ( ) = f f f 0

5 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note sercizio risolto Data la funzione f: + tracciare il grafico e determinare il codominio. La funzione è espressa da un polinomio di grado, sempre definito nei numeri reali. Il grafico della funzione è la semiparabola in figura. Per definire il codominio si devono determinare i valori assunti dalla funzione al variare di f. La funzione è definita in +, il valore più piccolo che può assumere è 0, in corrispondenza del quale la funzione assume valore ; inoltre, essendo il coefficiente della negativo, la parabola rivolge la concavità verso il basso e quindi il codominio della funzione è f = ] ; ]. O sercizi guidati. Tracciare il grafico e determinare il codominio della funzione f, aiutandosi con il grafico. f: + + La funzione è un polinomio di..... Il dominio della funzione è +. Tracciare il grafico della funzione f() = + a lato. Per determinare il codominio si devono determinare i... assunti dalla funzione al variare di Il codominio della funzione è f..... Determinare il codominio della funzione f, aiutandosi con il grafico. f: ; ] ] + La funzione è un Il dominio della funzione è dato ed è f... Tracciare il grafico della funzione f() a lato. Per determinare il codominio si devono determinare i valori assunti dalla funzione.... di f. Poiché la funzione è definita in un., si deve considerare se gli estremi sono inclusi o esclusi. Il primo estremo è...., il secondo è.... D altra parte, osservando il grafico si deduce che i valori assunti variano da. a.. Il codominio della funzione è f O 5 O RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

6 Tracciare il grafico e determinare il codominio della funzione { } f: ; ; ; 5 f: + f: + [ ] + f: ; [ [ 7. f: ; Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio sercizio risolto Data la funzione f ( ) = + determinare il dominio , La funzione è data dal rapporto di due polinomi. Il campo di esistenza è pertanto determinato dai valori che rendono non nullo il denominatore. Si impone la condizione Si risolve l equazione = 0, ottenendo =, =. Il dominio è allora f = { ; }= ; ; ; +. sercizi guidati 8. Determinare il dominio della funzione f( ) =. La funzione è di tipo algebrico Il campo di esistenza è pertanto determinato dai valori che rendono il denominatore. Si impone la condizione 0. Si risolve l equazione = 0, ottenendo =, =.) Il dominio è allora f =, oppure scritto come unione di intervalli f = 9. Determinare il dominio della funzione f( ) = +. Il campo di esistenza è determinato dai valori che rendono il denominatore. Il denominatore è però variabile per la presenza della funzione Si impongono due condizioni: 0 per 0; 0 per 0. Si risolve la prima equazione, ottenendo =, accettabile per Si risolve la seconda equazione, ottenendo Il dominio è allora f =, oppure scritto come unione di intervalli f =

7 Determinare il dominio della funzione. 0. f( ) = + 5. f( ) =. f( ) =. f( ) = 7. f( ) = f( ) = ( ) Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali sercizio risolto Data la funzione f( ) =, determinare il dominio. + 6 La funzione è irrazionale fratta. Il campo di esistenza è determinato dallo studio di due condizioni: l esistenza della funzione radice quadrata, ossia la non negatività del radicando; dai valori che rendono non nullo il denominatore. Si impongono due condizioni che si devono verificare contemporaneamente: Si impone quindi: N: 0, ottenendo ; D: + 6 > 0, ottenendo > 6; dalle quali si ottiene < 6. Il dominio è f = { < 6 }= ; 6 ; Date le seguenti funzioni determinare il dominio. 6. f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = f( ) =. f( ) = + +

8 . Associare la funzione con il proprio dominio. { } = ) f( ) = a) f = ] ; ] [ ; + [ ; ) f( ) = b) f = < 5 ; 5; ; { } = ] [ [ + [ [ [ ) f( ) = + + c) f = { } = ; + ; ) f( ) = d) f = { } = [ ; ] ; 5 5) f( ) = 5 e) f = 5 ; 5 5; + { } = [ [ ] + [ Obiettivo Studiare la parità di funzioni sercizio risolto Data la funzione f() =, determinare se ha la proprietà di essere pari o dispari. La funzione è un polinomio di secondo grado, sempre definito nei numeri reali. Il dominio è pertanto simmetrico rispetto a = 0. Per determinarne il carattere si deve verificare la definizione di parità f() = f( ) o disparità f() = f( ). Si ha: f() =, f( ) = ( ) = = f(); quindi la funzione è pari. Date le seguenti funzioni, determinare se hanno la proprietà di essere pari o dispari.. f() = + 6. f( ) = +. f() = 5. f( ) = + 7. f( ) = + Obiettivo 5 Studiare funzioni limitate note sercizio risolto Data la funzione f() = +, determinare se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo. La funzione è un polinomio di secondo grado, sempre definito nei numeri reali. Il grafico della funzione è una parabola di vertice V(0; ). La funzione è pertanto limitata inferiormente min f = = f(0), e illimitata superiormente, sup f =+.

9 8. f() = f() = f( ) = 0. f() =. f( ) = ] ] ] [ ; + ; + [ ] ] [ + ; 0 0; + Obiettivo 6 Studiare funzioni monotone sercizio risolto Data la funzione f() =, determinare il dominio e studiare se ha la proprietà di essere crescente o decrescente, indicando eventualmente gli intervalli di crescenza e decrescenza. Per determinarne il carattere si deve verificare la definizione di crescenza < f( ) < f( ) o decrescenza < f( ) > f( ). Si ha <, sempre verificato per < quindi la funzione è monotona crescente in.. f() = + 6. f() = f() = + 7. f( ) = + 5. f() = + 8. f( ) = + 9. Associare la funzione con il proprio intervallo di crescenza. ) f() = + a) I = { 0} = ; 0 ] ] { } = [ + [ ) f() = b) I = ; ) f( ) = + c) I = ) f() = + d) I = 5) f() = e) I = { 0} = 0; + [ [ Obiettivo 7 Disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note sercizi risolti Dopo aver determinato il dominio della funzione f() e averne tracciato il grafico, scrivere l espressione analitica delle funzioni indicate a fianco, indicarne il dominio e disegnarne il grafico.. f() = f() 5

10 Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve cambiare il segno a tutta la funzione f() =. Si avrà quindi f() = ( ) =+. Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Il grafico della funzione f() = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una simmetria rispetto all asse. f () O f (). f() = f( ) Per scrivere l espressione analitica della funzione f( ) si deve cambiare il segno alla variabile. Si avrà quindi f( ) = ( ) =. In questo caso si ha f( ) = f(); la funzione f() risulta quindi pari. Il dominio della funzione f( ) = è f( ) =. Il grafico della funzione f( ) = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una simmetria rispetto all asse (in questo caso il grafico non varia in quanto la funzione f() è pari). O f ( ). f() = + f( ) Il dominio della funzione f() = + è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Il grafico della funzione f() = + è riportato a fianco. Per scrivere l espressione analitica delle funzione f() si deve esplicitare il modulo: + se + = se < f () O Il dominio della funzione + se f( ) = + = se < è f() =. Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f(), ribaltando solo la parte di grafico che si trova sotto l asse. O f () 6

11 . f() = f( + ) + Il dominio della funzione f() è f() =. Per scrivere l espressione analitica della funzione f( + ) + si deve sommare in ogni termine in cui compare la variabile nella funzione f() e di seguito sommare a tutta la funzione; si avrà quindi: f( + ) + = ( + ) + Il dominio della funzione f( + ) + = ( + ) + è f(+)+ =. Il grafico della funzione f( + ) + si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una traslazione orizzontale verso sinistra di e una traslazione verticale verso l alto di, ossia tramite una traslazione di vettore v = ( ; ). f ( + ) + v = ( ; ) O f () 5. f() = f() Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve moltiplicare per la funzione f(); si avrà quindi f() =. Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. f () f () Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una dilatazione verticale di, ovvero moltiplicando le ordinate dei punti di f() per (il f( ) grafico della funzione si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una contrazione verticale di, ovvero dividendo le ordinate dei punti di f() per ). È da notare che f() e f() hanno le stesse intersezioni con l asse ; questa proprietà vale per ogni dilatazione o contrazione verticale. O sercizi guidati Dopo aver determinato il dominio della funzione f() e averne tracciato il grafico, scrivere l espressione analitica della funzione indicata a fianco, indicarne il dominio e disegnarne il grafico. 0. f( ) = f() f ()= Il dominio della funzione f( ) = è f =, in quanto è presente una radice di indice Il grafico della funzione f( ) = è riportato a lato. O 7

12 Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve cambiare il segno a tutta la funzione f( ) =. Si avrà quindi f() =. Il dominio della funzione f( ) = è = [ 0; +. f [ Il grafico della funzione f( ) = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una... rispetto all asse. O f ()=. f() = f() Il dominio della funzione f() = è f =, in quanto è un polinomio di grado. Il grafico della funzione f() = è riportato a fianco. Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve esplicitare il modulo: =... se se... <... se Il dominio della funzione f( ) = = è f =.... se < Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f() ribaltando solo la parte di grafico che si trova sotto l asse. O f ( )=. f( ) = f( ) + Il dominio della funzione f( ) = è f() = {0}, in quanto il denominatore deve essere diverso da 0. Tracciare il grafico della funzione fianco disegnato. f( ) = nel piano a Per scrivere l espressione analitica della funzione f( ) + si deve sottrarre in ogni termine in cui compare la variabile nella funzione f() e di seguito sommare a tutta la funzione; si avrà quindi f( ) + =. O Il dominio della funzione f( ) + è f( )+ =, in quanto è presente un denominatore. f( )+ Il grafico della funzione f( ) + si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una traslazione orizzontale verso di e una traslazione verticale verso di. = O = 8

13 . Associare a ogni funzione deducibile la sua trasformazione geometrica. ) f( ) a) simmetria rispetto all asse ) f() b) simmetria rispetto all asse ) f() c) simmetria rispetto all origine degli assi ) f() + d) ribaltamento solo della parte di grafico che si trova sotto l asse 5) f( + ) + e) traslazione verticale verso l alto di 6) f( ) f) traslazione orizzontale verso destra di 7) f() g) traslazione orizzontale verso sinistra di e traslazione verticale verso l alto di 8) f( ) h) dilatazione verticale di. Data la funzione f() = e il suo grafico, a fianco, associare ogni grafico alle rispettive funzioni deducibili. O ) f() + a) e) ) f( ) ) f() ) f( ) 5) f() 6) f() 7) f( + ) + 8) f( ) O b) f) O c) g) O d) h) O O O O O 9

14 5. Utilizzando l espressione analitica della funzione f() scrivere l espressione analitica delle funzioni indicate a fianco. ) f() = f() + ) f() = f( ) ) f()= f( ) ) f() = + f() 5) f() = f( + ) 6) f() = 8 f() 7) f() = f( + ) + 8) f() = f() 9) f()= f( + ) + 0) f()= f( ) 6. Descrivere a parole le seguenti trasformazioni geometriche. ) f() + 6) 8 f() ) f( ) 7) f( + ) + ) f( ) 8) f() ) f() 9) f( + ) + 5) f( + ) 0) f( ) 7. Utilizzando il grafico della funzione f(), disegnare il grafico delle funzioni indicate a fianco. ) f() = f() + = + ) f() = f( ) = ( ) ) f()= ) f() = + 5) f() = f( ) = + se f( ) = + = se < ( + ) se f( + ) = ( + ) = ( + ) se < 6) f() = 8 f( ) 8( ) se = 8 = 8 ( ) se < 7) f() = f( + ) + = ( + ) + 8) f() = f() = 9) f()= f( + ) + = + + 0) f()= f( ) = = 0

15 Obiettivo 8 Definire le funzioni composte Funzioni composte Date le due funzioni f: f f e g: g g tali che: f g allora si definisce la funzione composta g f: f g g( f()) g f allora si definisce la funzione composta f g: g f f(g()) sercizio risolto Date le funzioni f e g, dire se è possibile definire le funzioni composte f g, g f, f f e g g; in caso affermativo definirle. f: g: ) f g È possibile definire la funzione composta f g perchè g f. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi f, ottenendo f(g()): g() f(g()), ovvero. Il dominio di tale funzione deve coincidere con +, altrimenti risultano valori non reali di g ( ) =. Dato che può assumere valori solo non negativi, l immagine di f(g()) avrà come minimo il valore 0 = e sarà quindi f(g()) [ ; + [. Si avrà quindi f g: ) g f f( g( )) =. Non è possibile definire la funzione composta g f a meno di restringere il f e quindi f. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi g, ottenendo g( f()): f() g( f()), ovvero. Il dominio di tale funzione deve risultare dalla soluzione della disequazione 0, che risolta dà come soluzione altrimenti risultano valori non reali di g( f( )) =,. Dato che può assumere valori solo non negativi, l immagine di g( f()) avrà come minimo il valore 0 e sarà quindi g( f()) [0; + [. Si avrà quindi g f: ; + ) f f g( f( )). È possibile definire la funzione composta f f perchè f f =. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi di nuovo f, ottenendo f( f()): f() f( f()), ovvero ( ) = 9 = 9 6. Si avrà quindi f f: f( f( )) = 9 6. ) g g Non è possibile definire la funzione composta g g a meno di restringere il g e quindi g al solo insieme +. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi di nuovo g, ottenendo g(g()): g() g(g()), ovvero. Si avrà quindi g g: + g( g( )) =.

16 sercizi guidati Date le funzioni f e g, dire se è possibile definire le funzioni composte f g e g f. In caso affermativo definirle e verificare se f g = g f f: g: +. f g È possibile definire la funzione composta perché. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi f, ottenendo f(g()): f(g()), ovvero + ( + ) =. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi f g:... f( g( )) =.... g f È possibile definire la funzione composta g f perché. Tale funzione farà agire su prima.., ottenendo f() e quindi, ottenendo g( f()): f(), ovvero ( ) + = + 8. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi g f:... g( f( )) =.... È quindi verificato che in questo caso. f: g: +. f g È possibile definire la funzione composta f g perché. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo e quindi f, ottenendo : g() f(g()), ovvero ( + ). Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi f g: f( g( )) =.... g f È possibile definire la funzione composta g f perché. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi, ottenendo g( f()): f() g( f()), ovvero. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi g f:... g( f( )) =.... Dalle espressioni algebriche delle due funzioni f g e g f si ha che f g g f. 50. Associare a ogni coppia di funzioni f e g la funzione composta f g. ) f: g: a) f g: f( g( )) = ( + ) ) f: + g: b) f g: f( g( )) = + + ) f: g: + c) f g: f( g( )) = ( ) + ) + f: + + g: + d) f g: f( g( )) = ( )

17 5. Completare la seguente tabella. f g f g fg g f gf f: g: + f: f: + + f: f: + 5 g: + g: g: + g: Obiettivo 9 Definire l inversa di una funzione sercizio risolto f: +, definire se esiste la fun- Dopo aver tracciato il grafico della funzione zione inversa f () e f (). Il grafico di f() è in figura a lato; essendo f() crescente, la funzione è invertibile. Per calcolare f () si dovrà esplicitare nell equazione = + : = = ( ) si avrà quindi f : ( ), il cui grafico sarà identico al grafico di f(). Per calcolare f () si dovrà esplicitare nell equazione = + : = = ( ) e sostituire la con la e viceversa; si avrà quindi f : ( ), il cui grafico sarà simmetrico rispetto alla bisettrice = del grafico di f(). 5 O 5 f () = f() Dopo aver tracciato il grafico della funzione f(), definire se esiste la funzione inversa f () f: 5. [ [ + f: + ; + 5. f: 55. f: ( + ) 0 0

18 attività di sportello tempo previsto: ora Obiettivi Obiettivo : ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo : ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali Obiettivo : studiare la parità di funzioni Obiettivo 5: studiare funzioni limitate note. Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f() Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = [ f()] Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f() Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f(). 5. Dimostrare che la funzione f( ) = è dispari. È sempre vero che la somma di due funzioni dispari è dispari? Argomentare la risposta. 6. Data la funzione f() =, determinare se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo. Punti attività di sportello tempo previsto: ora Obiettivi Obiettivo 5: studiare funzioni limitate note Obiettivo 6: studiare funzioni monotone Obiettivo 7: disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note Obiettivo 8: definire le funzioni composte [ ] ;. Data la funzione f( ) = + 5 0, determinare: ] 0; + [ se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo; se ha la proprietà di essere crescente o decrescente, indicando eventualmente gli intervalli di crescenza e decrescenza.. Noto il grafico della funzione f( ) =, scrivere l espressione analitica, indicare il dominio e disegnare il grafico delle funzioni f( ), f( ) +, (f( ) + ).. Date le funzioni f e g, completare le seguenti tabelle definendo le funzioni composte indicate e il relativo dominio f() = g() = + Funzione Espressione analitica Dominio f g g f f f g g f g f g Punti

19 Verifica conclusiva tempo previsto: ore Argomenti Quesiti Punti Definizione di funzione Dominio e codominio Grafico È data la funzione: [ [ + = f: ; a. determinare il dominio; b. tracciare il grafico; c. determinare il codominio. Funzione composta e grafico Considerata la funzione: g: definire f g e g f ; disegnarne i grafici. Proprietà di una funzione È data la funzione h ( ) = a. determinare il dominio; b. studiare la parità. Grafici deducibili A partire dalla funzione g dell esercizio, definire e disegnare la funzione g ( ) +. Funzione inversa 5 Data la funzione f dell esercizio : a. stabilire un sottoinsieme del dominio nel quale f sia biiettiva e determinare la funzione inversa = f (); b. studiare la funzione = f (); c. tracciare nello stesso riferimento i grafici delle due funzioni f () e f (). 5

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