Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26"

Transcript

1 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali Obiettivo Studiare la parità di funzioni Obiettivo 5 Studiare funzioni limitate note Obiettivo 6 Studiare funzioni monotone 5 Obiettivo 7 Disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note 5 Obiettivo 8 Definire le funzioni composte Obiettivo 9 Definire l inversa di una funzione Attività di sportello, - Attività di sportello, - Verifica conclusiva, 5 Disequazioni algebriche Teoria in sintesi 6 Obiettivo Risolvere disequazioni di secondo grado 7 Obiettivo Risolvere disequazioni fratte 8 Obiettivo Studiare il segno di una funzione razionale fratta 0 Obiettivo Risolvere sistemi di disequazioni Obiettivo 5 Risolvere equazioni irrazionali con n dispari e n pari Obiettivo 6a Risolvere disequazioni irrazionali con n dispari 5 Obiettivo 6b Risolvere disequazioni irrazionali con n pari del tipo f() < g() 5 Obiettivo 6c Risolvere disequazioni irrazionali con n pari del tipo f() > g() 5 Obiettivo 7 Risolvere equazioni con valori assoluti 7 Obiettivo 8 Risolvere disequazioni con valori assoluti 8 Obiettivo 9 Determinare dominio e segno di funzioni irrazionali e con valori assoluti 8 Attività di sportello, 9 - Attività di sportello, 9 - Verifica conclusiva, 0 Esponenziali e logaritmi Teoria in sintesi Obiettivo Risolvere equazioni esponenziali Obiettivo Risolvere disequazioni esponenziali Obiettivo Calcolo dei logaritmi (trasformazione di forme logaritmiche in forme esponenziali) Obiettivo Proprietà dei logaritmi 5 Obiettivo 5 Risolvere equazioni logaritmiche 6 Obiettivo 6 Risolvere disequazioni logaritmiche 8

2 Indice Obiettivo 7 Applicare traslazioni e simmetrie alla curva esponenziale e logaritmica 9 Obiettivo 8 Tracciare grafici deducibili dalla curva esponenziale e logaritmica 50 Attività di sportello, 5 - Attività di sportello, 5 - Verifica conclusiva, 5 Punti e rette nel piano cartesiano Teoria in sintesi 5 Obiettivo Calcolare la distanza tra due punti e il punto medio di un segmento 5 Teoria in sintesi 55 Obiettivo Scrivere l equazione della retta passante per due punti distinti 56 Obiettivo Rappresentare graficamente una retta e determinare le coordinate del punto di intersezione tra due rette 57 Obiettivo Studiare il parallelismo o la perpendicolarità tra due rette 58 Obiettivo 5 Determinare l equazione di un fascio improprio di rette 60 Obiettivo 6 Determinare l equazione di un fascio proprio di rette 6 Obiettivo 7 Riconoscere un fascio proprio e un fascio improprio di rette 6 Obiettivo 8 Saper risolvere semplici problemi di riepilogo 6 Obiettivo 9 Saper disegnare grafici deducibili 6 Attività di sportello, 66 - Attività di sportello, 66 - Verifica conclusiva, 67 La circonferenza Teoria in sintesi 68 Obiettivo Determinare l equazione della circonferenza come luogo geometrico 69 Obiettivo Riconoscere centro e raggio dall equazione della circonferenza 69 Obiettivo Determinare l equazione della circonferenza a partire da condizioni assegnate 7, 75 Teoria in sintesi 7 Obiettivo Determinare le eventuali intersezioni tra retta e circonferenza (risoluzione sistema di secondo grado) 7 Obiettivo 5 Determinare le equazioni di rette tangenti alla circonferenza 7 Obiettivo 6 Determinare le intersezioni tra retta e circonferenza (risoluzione sistema parametrico di secondo grado) 76 Obiettivo 7 Determinare le posizioni reciproche tra due circonferenze. Fasci 77 Obiettivo 8 Disegnare grafici deducibili 78 Obiettivo 9 Determinare domini e disegnare grafici di funzioni deducibili dalla circonferenza 79 Attività di sportello, 80 - Attività di sportello, 80 - Verifica conclusiva, 8 La parabola Teoria in sintesi 8 Obiettivo Determinare l equazione della parabola come luogo geometrico 8 Obiettivo Determinare vertice, fuoco e direttrice dall equazione della parabola e disegnarla 8 Obiettivo Determinare l equazione della parabola a partire da condizioni assegnate 87, 90

3 Indice Obiettivo Determinare la posizione reciproca tra retta e parabola (risoluzione sistema di secondo grado) 88 Obiettivo 5 Determinare le equazioni di rette tangenti alla parabola 89 Obiettivo 6a Disegnare il grafico di curve deducibili dalla parabola (senza valori assoluti) 90 Obiettivo 6b Disegnare il grafico di curve deducibili dalla parabola (con valori assoluti) 9 Obiettivo 7 Studiare le caratteristiche di un fascio di parabole 9 Obiettivo 8 Discutere graficamente alcuni sistemi di secondo grado 95 Obiettivo 9 Determinare domini, studiare relazioni e disegnare grafici di funzioni deducibili dalla parabola 97 Obiettivo 0 Risolvere semplici problemi di riepilogo 98 Attività di sportello, 0 - Attività di sportello, 0 - Verifica conclusiva, 0 - Verifica conclusiva, 0 L ellisse Teoria in sintesi 0 Obiettivo Determinare vertici, fuochi ed eccentricità di un ellisse e disegnarne il grafico 0 Obiettivo Determinare l equazione dell ellisse 05 Obiettivo Determinare le rette tangenti a un ellisse 07 Obiettivo Disegnare curve deducibili da un ellisse 08 Obiettivo 5 Risolvere semplici problemi di riepilogo Attività di sportello, - Verifica conclusiva, 5 L iperbole Teoria in sintesi 6 Obiettivo Determinare vertici, fuochi ed eccentricità di un iperbole e disegnarne il grafico 7 Obiettivo Determinare l equazione dell iperbole 8 Obiettivo Studiare le posizioni reciproche tra retta e iperbole e determinare le rette tangenti a un iperbole 9 Obiettivo Disegnare curve deducibili da un iperbole Obiettivo 5 Risolvere semplici problemi di riepilogo Teoria in sintesi 5 Obiettivo 6 Determinare l equazione e disegnare il grafico di iperboli equilatere riferite agli asintoti 6 Obiettivo 7 Determinare l equazione e disegnare il grafico di iperboli equilatere traslate (funzioni omografiche) 7 Obiettivo 8 Risolvere problemi di riepilogo sulla funzione omografica 8 Attività di sportello, 0 - Attività di sportello, 0 - Verifica conclusiva, - Verifica conclusiva, Soluzioni Funzioni, - Disequazioni algebriche, 5 - Esponenziali e logaritmi, 7 - Punti e rette nel piano cartesiano, 9 - La circonferenza, - La parabola, 6 - L ellisse, 56 - L iperbole, 57 5

4 Definizioni Teoria in sintesi Dati due insiemi A e B si dice funzione f di A in B una legge che associ a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. f:a B L insieme A è detto dominio f. f(a) è l immagine di a A secondo f. { } L insieme f = f( a) a A è detto codominio. Funzione reale di variabile reale f :A B Il grafico G è il sottoinsieme del prodotto cartesiano costituito dalle coppie (a; b), con a A e a = f(a) B. f () B (; f ()) Proprietà delle funzioni O A Funzioni iniettive f:a B se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B. Funzioni suriettive f:a B se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Funzioni biiettive f:a B se è iniettiva e suriettiva, ossia se ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. Funzioni pari f:a B se per ogni f si ha f e risulta f() = f( ). Funzioni dispari f:a B se per ogni f si ha f e risulta f() = f( ). Funzioni limitate superiormente se esiste un numero k tale che f si ha f() k; inferiormente se esiste un numero k tale che f si ha f() k. Funzioni monotone crescente [decrescente] se per ogni coppia di punti, f con < si ha f( ) < f( ) f( ) f( ) ; [ > ] non decrescente [non crescente] se per ogni coppia di punti, f con < si ha: f( ) f( ) f( ) f( ) [ ] Funzioni invertibili Data la funzione biiettiva f: f( ) = f si definisce inversa f : f ( ) = f f f 0

5 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note sercizio risolto Data la funzione f: + tracciare il grafico e determinare il codominio. La funzione è espressa da un polinomio di grado, sempre definito nei numeri reali. Il grafico della funzione è la semiparabola in figura. Per definire il codominio si devono determinare i valori assunti dalla funzione al variare di f. La funzione è definita in +, il valore più piccolo che può assumere è 0, in corrispondenza del quale la funzione assume valore ; inoltre, essendo il coefficiente della negativo, la parabola rivolge la concavità verso il basso e quindi il codominio della funzione è f = ] ; ]. O sercizi guidati. Tracciare il grafico e determinare il codominio della funzione f, aiutandosi con il grafico. f: + + La funzione è un polinomio di..... Il dominio della funzione è +. Tracciare il grafico della funzione f() = + a lato. Per determinare il codominio si devono determinare i... assunti dalla funzione al variare di Il codominio della funzione è f..... Determinare il codominio della funzione f, aiutandosi con il grafico. f: ; ] ] + La funzione è un Il dominio della funzione è dato ed è f... Tracciare il grafico della funzione f() a lato. Per determinare il codominio si devono determinare i valori assunti dalla funzione.... di f. Poiché la funzione è definita in un., si deve considerare se gli estremi sono inclusi o esclusi. Il primo estremo è...., il secondo è.... D altra parte, osservando il grafico si deduce che i valori assunti variano da. a.. Il codominio della funzione è f O 5 O RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

6 Tracciare il grafico e determinare il codominio della funzione { } f: ; ; ; 5 f: + f: + [ ] + f: ; [ [ 7. f: ; Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio sercizio risolto Data la funzione f ( ) = + determinare il dominio , La funzione è data dal rapporto di due polinomi. Il campo di esistenza è pertanto determinato dai valori che rendono non nullo il denominatore. Si impone la condizione Si risolve l equazione = 0, ottenendo =, =. Il dominio è allora f = { ; }= ; ; ; +. sercizi guidati 8. Determinare il dominio della funzione f( ) =. La funzione è di tipo algebrico Il campo di esistenza è pertanto determinato dai valori che rendono il denominatore. Si impone la condizione 0. Si risolve l equazione = 0, ottenendo =, =.) Il dominio è allora f =, oppure scritto come unione di intervalli f = 9. Determinare il dominio della funzione f( ) = +. Il campo di esistenza è determinato dai valori che rendono il denominatore. Il denominatore è però variabile per la presenza della funzione Si impongono due condizioni: 0 per 0; 0 per 0. Si risolve la prima equazione, ottenendo =, accettabile per Si risolve la seconda equazione, ottenendo Il dominio è allora f =, oppure scritto come unione di intervalli f =

7 Determinare il dominio della funzione. 0. f( ) = + 5. f( ) =. f( ) =. f( ) = 7. f( ) = f( ) = ( ) Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali sercizio risolto Data la funzione f( ) =, determinare il dominio. + 6 La funzione è irrazionale fratta. Il campo di esistenza è determinato dallo studio di due condizioni: l esistenza della funzione radice quadrata, ossia la non negatività del radicando; dai valori che rendono non nullo il denominatore. Si impongono due condizioni che si devono verificare contemporaneamente: Si impone quindi: N: 0, ottenendo ; D: + 6 > 0, ottenendo > 6; dalle quali si ottiene < 6. Il dominio è f = { < 6 }= ; 6 ; Date le seguenti funzioni determinare il dominio. 6. f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = f( ) =. f( ) = + +

8 . Associare la funzione con il proprio dominio. { } = ) f( ) = a) f = ] ; ] [ ; + [ ; ) f( ) = b) f = < 5 ; 5; ; { } = ] [ [ + [ [ [ ) f( ) = + + c) f = { } = ; + ; ) f( ) = d) f = { } = [ ; ] ; 5 5) f( ) = 5 e) f = 5 ; 5 5; + { } = [ [ ] + [ Obiettivo Studiare la parità di funzioni sercizio risolto Data la funzione f() =, determinare se ha la proprietà di essere pari o dispari. La funzione è un polinomio di secondo grado, sempre definito nei numeri reali. Il dominio è pertanto simmetrico rispetto a = 0. Per determinarne il carattere si deve verificare la definizione di parità f() = f( ) o disparità f() = f( ). Si ha: f() =, f( ) = ( ) = = f(); quindi la funzione è pari. Date le seguenti funzioni, determinare se hanno la proprietà di essere pari o dispari.. f() = + 6. f( ) = +. f() = 5. f( ) = + 7. f( ) = + Obiettivo 5 Studiare funzioni limitate note sercizio risolto Data la funzione f() = +, determinare se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo. La funzione è un polinomio di secondo grado, sempre definito nei numeri reali. Il grafico della funzione è una parabola di vertice V(0; ). La funzione è pertanto limitata inferiormente min f = = f(0), e illimitata superiormente, sup f =+.

9 8. f() = f() = f( ) = 0. f() =. f( ) = ] ] ] [ ; + ; + [ ] ] [ + ; 0 0; + Obiettivo 6 Studiare funzioni monotone sercizio risolto Data la funzione f() =, determinare il dominio e studiare se ha la proprietà di essere crescente o decrescente, indicando eventualmente gli intervalli di crescenza e decrescenza. Per determinarne il carattere si deve verificare la definizione di crescenza < f( ) < f( ) o decrescenza < f( ) > f( ). Si ha <, sempre verificato per < quindi la funzione è monotona crescente in.. f() = + 6. f() = f() = + 7. f( ) = + 5. f() = + 8. f( ) = + 9. Associare la funzione con il proprio intervallo di crescenza. ) f() = + a) I = { 0} = ; 0 ] ] { } = [ + [ ) f() = b) I = ; ) f( ) = + c) I = ) f() = + d) I = 5) f() = e) I = { 0} = 0; + [ [ Obiettivo 7 Disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note sercizi risolti Dopo aver determinato il dominio della funzione f() e averne tracciato il grafico, scrivere l espressione analitica delle funzioni indicate a fianco, indicarne il dominio e disegnarne il grafico.. f() = f() 5

10 Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve cambiare il segno a tutta la funzione f() =. Si avrà quindi f() = ( ) =+. Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Il grafico della funzione f() = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una simmetria rispetto all asse. f () O f (). f() = f( ) Per scrivere l espressione analitica della funzione f( ) si deve cambiare il segno alla variabile. Si avrà quindi f( ) = ( ) =. In questo caso si ha f( ) = f(); la funzione f() risulta quindi pari. Il dominio della funzione f( ) = è f( ) =. Il grafico della funzione f( ) = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una simmetria rispetto all asse (in questo caso il grafico non varia in quanto la funzione f() è pari). O f ( ). f() = + f( ) Il dominio della funzione f() = + è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. Il grafico della funzione f() = + è riportato a fianco. Per scrivere l espressione analitica delle funzione f() si deve esplicitare il modulo: + se + = se < f () O Il dominio della funzione + se f( ) = + = se < è f() =. Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f(), ribaltando solo la parte di grafico che si trova sotto l asse. O f () 6

11 . f() = f( + ) + Il dominio della funzione f() è f() =. Per scrivere l espressione analitica della funzione f( + ) + si deve sommare in ogni termine in cui compare la variabile nella funzione f() e di seguito sommare a tutta la funzione; si avrà quindi: f( + ) + = ( + ) + Il dominio della funzione f( + ) + = ( + ) + è f(+)+ =. Il grafico della funzione f( + ) + si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una traslazione orizzontale verso sinistra di e una traslazione verticale verso l alto di, ossia tramite una traslazione di vettore v = ( ; ). f ( + ) + v = ( ; ) O f () 5. f() = f() Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve moltiplicare per la funzione f(); si avrà quindi f() =. Il dominio della funzione f() = è f() =, in quanto non sono presenti denominatori e radici di indice pari. f () f () Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una dilatazione verticale di, ovvero moltiplicando le ordinate dei punti di f() per (il f( ) grafico della funzione si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una contrazione verticale di, ovvero dividendo le ordinate dei punti di f() per ). È da notare che f() e f() hanno le stesse intersezioni con l asse ; questa proprietà vale per ogni dilatazione o contrazione verticale. O sercizi guidati Dopo aver determinato il dominio della funzione f() e averne tracciato il grafico, scrivere l espressione analitica della funzione indicata a fianco, indicarne il dominio e disegnarne il grafico. 0. f( ) = f() f ()= Il dominio della funzione f( ) = è f =, in quanto è presente una radice di indice Il grafico della funzione f( ) = è riportato a lato. O 7

12 Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve cambiare il segno a tutta la funzione f( ) =. Si avrà quindi f() =. Il dominio della funzione f( ) = è = [ 0; +. f [ Il grafico della funzione f( ) = si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una... rispetto all asse. O f ()=. f() = f() Il dominio della funzione f() = è f =, in quanto è un polinomio di grado. Il grafico della funzione f() = è riportato a fianco. Per scrivere l espressione analitica della funzione f() si deve esplicitare il modulo: =... se se... <... se Il dominio della funzione f( ) = = è f =.... se < Il grafico della funzione f() si ottiene dal grafico della funzione f() ribaltando solo la parte di grafico che si trova sotto l asse. O f ( )=. f( ) = f( ) + Il dominio della funzione f( ) = è f() = {0}, in quanto il denominatore deve essere diverso da 0. Tracciare il grafico della funzione fianco disegnato. f( ) = nel piano a Per scrivere l espressione analitica della funzione f( ) + si deve sottrarre in ogni termine in cui compare la variabile nella funzione f() e di seguito sommare a tutta la funzione; si avrà quindi f( ) + =. O Il dominio della funzione f( ) + è f( )+ =, in quanto è presente un denominatore. f( )+ Il grafico della funzione f( ) + si ottiene dal grafico della funzione f() tramite una traslazione orizzontale verso di e una traslazione verticale verso di. = O = 8

13 . Associare a ogni funzione deducibile la sua trasformazione geometrica. ) f( ) a) simmetria rispetto all asse ) f() b) simmetria rispetto all asse ) f() c) simmetria rispetto all origine degli assi ) f() + d) ribaltamento solo della parte di grafico che si trova sotto l asse 5) f( + ) + e) traslazione verticale verso l alto di 6) f( ) f) traslazione orizzontale verso destra di 7) f() g) traslazione orizzontale verso sinistra di e traslazione verticale verso l alto di 8) f( ) h) dilatazione verticale di. Data la funzione f() = e il suo grafico, a fianco, associare ogni grafico alle rispettive funzioni deducibili. O ) f() + a) e) ) f( ) ) f() ) f( ) 5) f() 6) f() 7) f( + ) + 8) f( ) O b) f) O c) g) O d) h) O O O O O 9

14 5. Utilizzando l espressione analitica della funzione f() scrivere l espressione analitica delle funzioni indicate a fianco. ) f() = f() + ) f() = f( ) ) f()= f( ) ) f() = + f() 5) f() = f( + ) 6) f() = 8 f() 7) f() = f( + ) + 8) f() = f() 9) f()= f( + ) + 0) f()= f( ) 6. Descrivere a parole le seguenti trasformazioni geometriche. ) f() + 6) 8 f() ) f( ) 7) f( + ) + ) f( ) 8) f() ) f() 9) f( + ) + 5) f( + ) 0) f( ) 7. Utilizzando il grafico della funzione f(), disegnare il grafico delle funzioni indicate a fianco. ) f() = f() + = + ) f() = f( ) = ( ) ) f()= ) f() = + 5) f() = f( ) = + se f( ) = + = se < ( + ) se f( + ) = ( + ) = ( + ) se < 6) f() = 8 f( ) 8( ) se = 8 = 8 ( ) se < 7) f() = f( + ) + = ( + ) + 8) f() = f() = 9) f()= f( + ) + = + + 0) f()= f( ) = = 0

15 Obiettivo 8 Definire le funzioni composte Funzioni composte Date le due funzioni f: f f e g: g g tali che: f g allora si definisce la funzione composta g f: f g g( f()) g f allora si definisce la funzione composta f g: g f f(g()) sercizio risolto Date le funzioni f e g, dire se è possibile definire le funzioni composte f g, g f, f f e g g; in caso affermativo definirle. f: g: ) f g È possibile definire la funzione composta f g perchè g f. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi f, ottenendo f(g()): g() f(g()), ovvero. Il dominio di tale funzione deve coincidere con +, altrimenti risultano valori non reali di g ( ) =. Dato che può assumere valori solo non negativi, l immagine di f(g()) avrà come minimo il valore 0 = e sarà quindi f(g()) [ ; + [. Si avrà quindi f g: ) g f f( g( )) =. Non è possibile definire la funzione composta g f a meno di restringere il f e quindi f. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi g, ottenendo g( f()): f() g( f()), ovvero. Il dominio di tale funzione deve risultare dalla soluzione della disequazione 0, che risolta dà come soluzione altrimenti risultano valori non reali di g( f( )) =,. Dato che può assumere valori solo non negativi, l immagine di g( f()) avrà come minimo il valore 0 e sarà quindi g( f()) [0; + [. Si avrà quindi g f: ; + ) f f g( f( )). È possibile definire la funzione composta f f perchè f f =. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi di nuovo f, ottenendo f( f()): f() f( f()), ovvero ( ) = 9 = 9 6. Si avrà quindi f f: f( f( )) = 9 6. ) g g Non è possibile definire la funzione composta g g a meno di restringere il g e quindi g al solo insieme +. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi di nuovo g, ottenendo g(g()): g() g(g()), ovvero. Si avrà quindi g g: + g( g( )) =.

16 sercizi guidati Date le funzioni f e g, dire se è possibile definire le funzioni composte f g e g f. In caso affermativo definirle e verificare se f g = g f f: g: +. f g È possibile definire la funzione composta perché. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo g() e quindi f, ottenendo f(g()): f(g()), ovvero + ( + ) =. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi f g:... f( g( )) =.... g f È possibile definire la funzione composta g f perché. Tale funzione farà agire su prima.., ottenendo f() e quindi, ottenendo g( f()): f(), ovvero ( ) + = + 8. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi g f:... g( f( )) =.... È quindi verificato che in questo caso. f: g: +. f g È possibile definire la funzione composta f g perché. Tale funzione farà agire su prima g, ottenendo e quindi f, ottenendo : g() f(g()), ovvero ( + ). Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi f g: f( g( )) =.... g f È possibile definire la funzione composta g f perché. Tale funzione farà agire su prima f, ottenendo f() e quindi, ottenendo g( f()): f() g( f()), ovvero. Il dominio di tale funzione coincide con. Si avrà quindi g f:... g( f( )) =.... Dalle espressioni algebriche delle due funzioni f g e g f si ha che f g g f. 50. Associare a ogni coppia di funzioni f e g la funzione composta f g. ) f: g: a) f g: f( g( )) = ( + ) ) f: + g: b) f g: f( g( )) = + + ) f: g: + c) f g: f( g( )) = ( ) + ) + f: + + g: + d) f g: f( g( )) = ( )

17 5. Completare la seguente tabella. f g f g fg g f gf f: g: + f: f: + + f: f: + 5 g: + g: g: + g: Obiettivo 9 Definire l inversa di una funzione sercizio risolto f: +, definire se esiste la fun- Dopo aver tracciato il grafico della funzione zione inversa f () e f (). Il grafico di f() è in figura a lato; essendo f() crescente, la funzione è invertibile. Per calcolare f () si dovrà esplicitare nell equazione = + : = = ( ) si avrà quindi f : ( ), il cui grafico sarà identico al grafico di f(). Per calcolare f () si dovrà esplicitare nell equazione = + : = = ( ) e sostituire la con la e viceversa; si avrà quindi f : ( ), il cui grafico sarà simmetrico rispetto alla bisettrice = del grafico di f(). 5 O 5 f () = f() Dopo aver tracciato il grafico della funzione f(), definire se esiste la funzione inversa f () f: 5. [ [ + f: + ; + 5. f: 55. f: ( + ) 0 0

18 attività di sportello tempo previsto: ora Obiettivi Obiettivo : ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo : ricerca del dominio di funzioni algebriche irrazionali Obiettivo : studiare la parità di funzioni Obiettivo 5: studiare funzioni limitate note. Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f() Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = [ f()] Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f() Determinare il dominio della funzione f( ) = e della funzione g() = f(). 5. Dimostrare che la funzione f( ) = è dispari. È sempre vero che la somma di due funzioni dispari è dispari? Argomentare la risposta. 6. Data la funzione f() =, determinare se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo. Punti attività di sportello tempo previsto: ora Obiettivi Obiettivo 5: studiare funzioni limitate note Obiettivo 6: studiare funzioni monotone Obiettivo 7: disegnare funzioni deducibili tramite il grafico di funzioni note Obiettivo 8: definire le funzioni composte [ ] ;. Data la funzione f( ) = + 5 0, determinare: ] 0; + [ se ha la proprietà di essere limitata superiormente o inferiormente o illimitata, indicando l estremo superiore e inferiore ed eventualmente il massimo e il minimo; se ha la proprietà di essere crescente o decrescente, indicando eventualmente gli intervalli di crescenza e decrescenza.. Noto il grafico della funzione f( ) =, scrivere l espressione analitica, indicare il dominio e disegnare il grafico delle funzioni f( ), f( ) +, (f( ) + ).. Date le funzioni f e g, completare le seguenti tabelle definendo le funzioni composte indicate e il relativo dominio f() = g() = + Funzione Espressione analitica Dominio f g g f f f g g f g f g Punti

19 Verifica conclusiva tempo previsto: ore Argomenti Quesiti Punti Definizione di funzione Dominio e codominio Grafico È data la funzione: [ [ + = f: ; a. determinare il dominio; b. tracciare il grafico; c. determinare il codominio. Funzione composta e grafico Considerata la funzione: g: definire f g e g f ; disegnarne i grafici. Proprietà di una funzione È data la funzione h ( ) = a. determinare il dominio; b. studiare la parità. Grafici deducibili A partire dalla funzione g dell esercizio, definire e disegnare la funzione g ( ) +. Funzione inversa 5 Data la funzione f dell esercizio : a. stabilire un sottoinsieme del dominio nel quale f sia biiettiva e determinare la funzione inversa = f (); b. studiare la funzione = f (); c. tracciare nello stesso riferimento i grafici delle due funzioni f () e f (). 5

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti.

Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture. Tassi equivalenti. Rendite temporanee e perpetue. Rimborso di prestiti. Pagina 1 di 9 DISCIPLINA: MATEMATICA APPLICATA INDIRIZZO: SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI CLASSE: 4 SI DOCENTE : ENRICA GUIDETTI Elenco moduli Argomenti Strumenti / Testi Letture 1 Ripasso Retta e coniche;

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 PROGRAMMA SVOLTO DOCENTE: Laura Marchetto CLASSE terza SEZIONE H A.S. 14/ 15 RIPASSO ARGOMENTI PROPEDEUTICI L insieme dei numeri razionali. Equazioni di primo e di secondo grado Sistemi di disequazioni di primo grado Equazione

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE "G. GALILEI" - MACERATA a.s. 2014-2015. Contratto formativo

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. GALILEI - MACERATA a.s. 2014-2015. Contratto formativo LICEO SCIENTIFICO STATALE "G. GALILEI" - MACERATA a.s. 2014-2015 Prof.: ANGELO ANGELETTI Disciplina: MATEMATICA Classe: 3M Contratto formativo 1. Analisi della classe Una prova d ingresso svolta all inizio

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Studio di una funzione. Schema esemplificativo

Studio di una funzione. Schema esemplificativo Studio di una funzione Schema esemplificativo Generalità Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovvero Il dominio. Il segno. Gli intervalli in cui cresce o decresce. Minimi e massimi

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO

STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO STANDARD MINIMI DI RIFERIMENTO MATEMATICA LICEO TECNICO CLASSE 1^ CONOSCENZE Insiemi numerici N, Z, Q, R; rappresentazioni, operazioni, ordinamento Espressioni algebriche; principali operazioni Equazioni

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali Funzioni reali di variabile reale Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il condominio c è anch esso un sottoinsieme di r. F:r r Definizione classica.

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE L. EINAUDI ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015 ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE "L. EINAUDI" ALBA ANNO SCOLASTICO 2014/2015 CLASSE 4^ B SETTORE TECNOLOGICO: Costruzioni, Ambiente e Territorio Disciplina: Matematica Testi in uso: Nuova Matematica a Colori-3

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x)

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x) Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f() 1 Ecco i passi utili allo studio di una funzione reale: Determinare il dominio della funzione Ricercare l eventuale intersezione

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA Anno Scolastico 2014/15 LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA : MATEMATICA PRIMO BIENNIO L asse matematico ha l obiettivo di far acquisire allo studente saperi e competenze

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

Istituto Tecnico Commerciale Statale e per Geometri E. Fermi Pontedera (Pi)

Istituto Tecnico Commerciale Statale e per Geometri E. Fermi Pontedera (Pi) Istituto Tecnico Commerciale Statale e per Geometri E. Fermi Pontedera (Pi) Via Firenze, 51 - Tel. 0587/213400 - Fax 0587/52742 http://www.itcgfermi.it E-mail: mail@itcgfermi.it PIANO DI LAVORO Prof. Fogli

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Macerata

Liceo Scientifico G. Galilei Macerata Classe 3 Sez D Materia : Matematica Docente: Angelini Antonella Liceo Scientifico G. Galilei Macerata Anno Scolastico 2009-2010 Contratto Formativo Individuale 1.ANALISI DELLA CLASSE: Conoscenze Competenze

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI

MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI MATEMATICA TRIENNIO CORSO TURISTICO, AMMINISTRAZIONE FINANZA MARKETING, SISTEMI INFORMATIVI AZIENDALI Obiettivi del triennio: ; elaborando opportune soluzioni; 3) utilizzare le reti e gli strumenti informatici

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE IRIS VERSARI - Cesano Maderno (MB) PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE Indirizzo: LICEO SCIENTIFICO MATERIA: MATEMATICA ANNO SCOLASTICO: 2014-2015 PROF: MASSIMO BANFI

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Istituto d Istruzione Superiore A Tilgher Ercolano (Na) Prof Amendola Alfonso Premessa Esponenziali e logaritmi Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento,

Dettagli

Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016

Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016 I.P.S.I.A E. DE AMICIS - ROMA PROGRAMMAZIONE DIDATTICA DI MATEMATICA Classe 5C Indirizzo odontotecnico a.s. 2015/2016 Prof. Rossano Rossi La programmazione è stata sviluppata seguendo le linee guida ministeriali

Dettagli

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8

Stampa Preventivo. A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Stampa Preventivo A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 8 Insegnante MARINO CRISTINA Classe 5AT Materia matematica preventivo consuntivo 99 0 titolo modulo 51 RIPASSO 52 FUNZIONI REALI DI VARIABILE 53 CALCOLO INFINITESIMALE

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI

4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI 119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni

Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N. 6 ARGOMENTO: Grafici di funzioni sottoposte a trasformazioni elementari.

Dettagli

TEMATICA 1 - FUNZIONI ED EQUAZIONI

TEMATICA 1 - FUNZIONI ED EQUAZIONI Docente Materia Classe Cristina Frescura Matematica 4B Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2012-2013 Data 28 novembre 2012 Obiettivi Cognitivi Nota bene: gli obiettivi minimi sono sottolineati U.D.

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Esame di Stato 2015 - Tema di Matematica

Esame di Stato 2015 - Tema di Matematica Esame di Stato 5 - Tema di Matematica PROBLEMA Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Funzione logaritmo con. funzione inversa della funzione di

Funzione logaritmo con. funzione inversa della funzione di FUNZIONE LOGARITMO a è la base della funzione logaritmo ed è una costante positiva fissata e diversa da 1 x è l argomento della funzione logaritmo e varia nel dominio Funzione logaritmo con funzione inversa

Dettagli