AREA 1: FUNZIONI E LIMITI

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1 AREA : FUNZIONI E LIMITI INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI Per ricordare H Un insieme E si dice: itato sueriormente se esiste un numero k, non necessariamente aartenente a E, che eá maggiore o uguale di tutti i suoi elementi; il iuá iccolo fra questi numeri k eá l'estremo sueriore dell'insieme (si indica con su E) che, se aartiene a E, eá anche il massimo di E itato inferiormente se esiste un numero h, non necessariamente aartenente a E, che eá minore o uguale di tutti i suoi elementi; il iuá grande fra questi numeri h eá l'estremo inferiore dell'insieme (si indica con inf E) che, se aartiene a E, eá anche il minimo di E. Quando un insieme eá itato sia sueriormente che inferiormente, si dice semlicemente che eá itato. Quando un insieme non eá itato sueriormente si dice che su E ˆ ; quando non eá itato inferiormente si dice che inf E ˆ. Per esemio: A ˆ R j < 7 eá un insieme itato ed eá inf A ˆ, su A ˆ 7 ; eá anche il mini- mo ercheâ aartiene ad A, mentre non esiste il massimo ercheá 7 non aartiene ad A. n B ˆ R j > o eá un insieme itato a sinistra e ilitato a destra; allora inf B ˆ, su B ˆ ; questo insieme non ha il minimo ercheâ non gli aartiene e ovviamente non ha il massimo essendo ilitato sueriormente. H L'insieme dei numeri reali che sono comresi fra altri due numeri a e b si chiama intervallo; sea e b sono entrambi finiti l'intervallo si dice itato, se uno dei due non eá finito l'intervallo si dice ilitato; in articolare, la scrittura: a, b indica un intervallo itato aerto che raresenta l'insieme degli R tali che a < < b a, bš indica un intervallo itato chiuso che raresenta l'insieme degli R tali che a b a, indica un intervallo ilitato a destra, aerto a sinistra, che raresenta l'insieme degli R tali che > a, bš indica un intervallo ilitato a sinistra, chiuso a destra, che raresenta l'insieme degli R tali che b In ratica la arentesi tonda indica che l'estremo dell'intervallo non aartiene all'insieme, quella quadra indica che gli aartiene; sul simbolo di infinito si usa solo la arentesi tonda.

2 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Per esemio: 5, 0Š eá un intervallo itato, aerto a sinistra e chiuso a destra e raresenta l'insieme degli R tali che 5 < 0, eá un intervallo itato e chiuso a sinistra, ilitato a destra e raresenta l'insieme degli R tali che. H Si dice intorno di un unto 0 ogni intervallo aerto che contiene 0 al suo interno; intorno di eá un qualunque intervallo del tio a,, intorno di eá un qualunque intervallo del tio, b, intorno di infinito eá l'unione di un intorno di con un intorno di. Un unto 0 si dice di accumulazione er un insieme E se ogni intorno di 0 contiene infiniti unti di E. Per esemio: un qualunque numero reale a eá unto di accumulazione in R ercheâ qualunque intorno di a contiene infiniti numeri reali un numero intero n non eá unto di accumulazione in Z ercheá gli intorni di n non contengono infiniti numeri interi (er esemio l'insieme degli interi comresi fra 5 e 0 eá un intorno di 0 ma contiene solo un numero finito di interi). H Una funzione eá una corrisondenza univoca fra due insiemi A e B, eá cioeá una legge che ad ogni elemento di A associa uno e uno solo elemento y di B; in questa corrisondenza raresenta la variabile indiendente, y la variabile diendente. Quando A e B sono insiemi numerici, questa legge si esrime di solito con un'equazione della forma y ˆ f, dove f eá un'esressione nella variabile, che esrime il legame fra gli elementi dei due insiemi. Per esemio, l'equazione y ˆ esrime il fatto che gli elementi y si ottengono da quelli elevandoli al quadrato e sottraendo al risultato. L'elemento y B che corrisonde ad un articolare A si dice immagine di ; viceversa, ogni elemento A che resta associato nella corrisondenza a un elemento y B si dice controimmagine di y. L'insieme delle controimmagini costituisce il dominio della funzione, l'insieme delle immagini ne eá il codominio. Quando eá nota la sua equazione y ˆ f, il dominio della funzione f si determina chiedendosi quali sono i valori che uoá assumere la variabile indiendente. Per risondere a questa domanda occorre tenere resente che: un olinomio ha semre significato in R, quindi le funzioni olinomiali hanno come dominio R una frazione esiste se il denominatore non eá nullo una radice di indice ari esiste se il radicando eá ositivo o nullo una radice di indice disari esiste semre in R un logaritmo di base assegnata esiste se il suo argomento eá ositivo di un logaritmo a base variabile occorre imorre che la base sia ositiva e diversa da le funzioni esonenziali a base fissa (e ositiva) esistono se esiste l'esonente delle funzioni esonenziali a base varabile occorre chiedere che la base sia ositiva e che esista l'esonente le funzioni goniometriche sin e cos hanno significato er qualsiasi R, la funzione tan ha significato se 6ˆ k; occorre oi ricordare che la funzione seno e la funzione coseno sono eriodiche di eriodo, mentre la funzione tangente eá eriodica di eriodo le funzioni arcsin e arccos devono avere un argomento comreso fra e (estremi inclusi), la funzione arctan esiste er ogni R.

3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 H Se una funzione f eá definita in un unto 0 e si verifica che: f 0 f er ogni del dominio, allora si dice che 0 eá un unto di massimo assoluto e che f 0 eá il massimo assoluto della funzione f 0 f er ogni del dominio, allora si dice che 0 eá un unto di minimo assoluto eche f 0 eá il minimo assoluto della funzione. Una funzione f eá: monotoána crescente in un intervallo I se, I da < segue che f < f Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeá se f f, allora la funzione eá monotoána non decrescente, cioeá in ratica cresce o tutt'al iuá si mantiene costante, ma non decresce mai monotoána decrescente in un intervallo I se, I da < segue che f > f Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeá se f f, allora la funzione eá monotoána non crescente, cioeá in ratica decresce o tutt'al iuá si mantiene costante, ma non cresce mai. ari se f ˆ f e allora il suo grafico resenta una simmetria risetto all'asse y disari se f ˆ f e allora il suo grafico resenta una simmetria risetto all'origine eriodica di eriodo k se f k ˆ f e allora il suo grafico si riete ad ogni eriodo. ESERCIZI Descrivi le caratteristiche degli insiemi soluzione delle seguenti disequazioni. ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO j j > Risolvendo la disequazione si ottiene l'insieme < _ > ; si tratta dell'unione dei due intervalli, e,. Del rimo intervallo si uoá dire che eá aerto, eá ilitato a sinistra e itato a destra, l'estremo inferiore eá, l'estremo sueriore eá, non ossiede neâ massimo neâ minimo; del secondo intervallo si uoá dire che eá aerto, itato a sinistra e ilitato a destra, l'estremo inferiore eá, l'estremo sueriore eá, non ossiede neâ massimo neâ minimo. j j j 5j > 4 4 ln < 0 5 sin cos > 0 in 0, Š Dei seguenti insiemi numerici individua gli eventuali unti di accumulazione. 6 A ˆ f Z j 0 < < 5g 7 B ˆ f Q j < < 5g

4 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA C ˆ f R j ˆ n, n Ng 9 D ˆ R j ˆ n, n N 0 E ˆ R j ˆ k, k Q Traccia il grafico delle seguenti funzioni f di cui sono assegnate le equazioni e stabilisci: - qual eá il dominio - qual eá il codominio e se la funzione eá itata - quali sono l'estremo sueriore e l'estremo inferiore - se la funzione ossiede il massimo e il minimo assoluti. (I risultati si trovano al termine dell'unitaá) y ˆ j j (Suggerimento: analizzando il segno dell'argomento del modulo, la funzione ha la seguente esressione: y ˆ _ 0 ed il grafico eá formato dagli archi di < < 0 due arabole) y ˆ j j y ˆ jj 4 y ˆ j4 j 5 y ˆ jj j j 6 y ˆ 9 (Suggerimento: osto y 0, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione ottieni una semicirconferenza) 7 y ˆ 4 y ˆ 4 9 y ˆ 0 y ˆ y ˆ 5 y ˆ y ˆ 4 y ˆ 5 y ˆ 4 6 y ˆ jj 7 y ˆ j j y ˆ jj

5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 Costruisci il grafico di una funzione f che soddisfi alle caratteristiche indicate. 9 Abbia come dominio l'insieme D ˆ, 4, sia crescente in, e tale che inf f ˆ. 0 Abbia come dominio l'insieme D ˆ,0, sia su f ˆ, sia itata inferiormente con minimo assoluto in ˆ. Abbia come dominio l'insieme R f, g, sia itata, abbia massimo assoluto 4 er ˆ, non abbia minimo assoluto e sia inf f ˆ. Abbia come dominio l'insieme,, sia su f ˆ, abbia un unto di minimo assoluto uguale a zero in ˆ. Abbia come dominio l'insieme D ˆ, [ 5,, sia decrescente nell'intervallo, e crescente in 5,. 4 Abbia come dominio l'insieme D ˆ, [,, sia ari, abbia massimo assoluto uguale a, sia inf f ˆ. Determina il dominio delle seguenti funzioni e raresentalo nel iano cartesiano. 5 f ˆ, [, [, 0ŠŠ 4 6 f ˆ, Š 7 f ˆ ln, f ˆarccos arcsin, 0ŠŠ 9 f ˆ arctan ln q 40 f ˆ log log Š 0, Š, Š 4 f ˆlog log, Š 4 f ˆarctan ln, Š 4 f ˆarccos 0, ŠŠ Costruisci il grafico delle seguenti funzioni doo averne determinato il dominio. 44 f ˆ j j (Suggerimento: l'esressione della funzione uoá essere riscritta nella seguente forma: f ˆ. Il dominio eá l'insieme <, ; il grafico eá comosto da un arco di arabola e dalla retta y ˆ ) 45 f ˆ j 5j 46 f ˆ j j < 0 0

6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 47 < >< f ˆ >: > (Suggerimento: nell'intervallo, Š la curva eá la funzione omografica di asintoti y ˆ e ˆ 0) 4 f ˆ cos < 0 tan 0 49 f ˆ sin < Determina il dominio della funzione f ˆ ln e stabilisci in quali intervalli eá ositiva. D ˆ f R j < _ > g; ositiva er < Š 5 Determina il dominio della funzione f ˆ q 4 9 ln 9 7 e stabilisci se il suo grafico eá costituito da: a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti c. nessun unto. due unti:, 0, 6, 0 Š q 5 Determina il dominio della funzione f ˆ ln e stabilisci se il suo grafico eá costituito da: 9 a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti c. nessun unto. nessun untoš 5 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ r sin e stabilisci se il suo grafico eá cos costituito da: a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti h n c. nessun unto. D ˆ R j ˆ k o i ; infiniti unti isolati s 54 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ 4 ; da quanti unti eá costituito il grafico della funzione? D ˆ ; nessun untoš 55 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ ln cos e indica qual eá la sua caratteristica. D ˆ f R j ˆ k, k > 0gŠ 56 Sia D il dominio della funzione di equazione y ˆ ln 4 ln e D il dominio della funzione di equazione y ˆ ln 4 ; si uoá dire che: a. D ˆ D b. D D c. D D Motiva esaurientemente la risosta. D : 4,, D :, [ 4, ; b: Š 57 Confronta i domini delle funzioni f ˆ ln e g ˆ ln jj e stabilisci che relazione intercorre fra essi. D f : 0, ; D g :, 0 [ 0,

7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 r 5 Date le funzioni f ˆ sin ln cos e g ˆ sin cos ln nell'intervallo 0, Š, che relazione esiste fra i loro domini? D ˆ 6, tan tan h [, h ; D ˆ 6, 59 Trova i domini delle funzioni f ˆ ln arctan Š, f ˆln arctan, f ˆln arctan e descrivi la relazione che sussiste fra gli insiemi ottenuti. h h D ˆ i, ; D ˆ D ˆ, 4 60 Date le funzioni f ˆ e g ˆ 4, determina er quali valori di si ha che f g ˆ f g. _ < < _ Š 6 Considerate le funzioni f ˆ 6 e g ˆ, calcola er quali valori di eá verificata la relazione f g ˆ f g. ˆ Doo aver determinato il dominio delle funzioni f ˆ log e g ˆ log 9, calco- la er quali valori di eá verificata la relazione f g ˆ f g. ˆ Š 6 Date le funzioni f ˆ e g ˆ ln, doo averne determinato dominio e segno, stabilisci qual eá il dominio della funzione h ˆ f g. 0, [, Š 64 Considerata la funzione f ˆ a, stabilisci er quali valori del arametro reale a la a funzione eá monotoá na decrescente. a < 0Š 65 Stabilisci er quali valori del arametro reale a la funzione y ˆ log a a eá monotoá na decrescente. a < a < 0Š 66 Stabilisci er quali valori del arametro reale k le funzioni f ˆ k e g ˆlog k k sono entrambe monotoá ne decrescenti. < k < 67 Determina in quali intervalli sono identiche le funzioni f ˆ 4 e g ˆ 4., Š 6 Date le funzioni f ˆ sin e g ˆ 0, definisci l'esressione della funzione < 0 h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ sin 0 0 < 0 69 Date le funzioni f ˆ ln e g ˆ >, definisci l'esressione della funzione < ln > h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ 0 < 70 Date le funzioni f ˆ e g ˆ <, definisci l'esressione della funzione h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ < " # 4

8 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 7 Date le funzioni f ˆ ln e g ˆ 0, definisci l'esressione della funzione > 0 ln < 0 h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ ln > 0 7 Date le funzioni f ˆ della funzione gf e 0 >< cos 0 < > e g ˆ ln determina il dominio >:. ln, [, 7 Sia f una funzione definita in D : 0, tale che sia: a. f ˆ 0 b. f ab ˆ f a f b con a, b D. Dimostra che:. f a ˆ f a f b b. f a n ˆnf a er n intero non nullo. f a m n ˆ n m f a er n, m interi e m 6ˆ 0. Dai un esemio di funzione f che soddisfa le condizioni a. e b. 74 Una funzione f : R! R si dice convessa se er ogni coia di unti, R e er ogni 0, Š vale la seguente uguaglianza f Š f f. Dai un'interretazione geometrica di tale disuguaglianza e dimostra che la funzione esonenziale f ˆ e eá convessa. Risultati di alcuni esercizi

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10 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

11 AREA : FUNZIONI E LIMITI FUNZIONI E LIMITI Per ricordare H Una funzione ha er ite un numero ` finito er! c (con c finito o infinito) se la disequazione f ` <"eá verificata in un intorno di c. Una funzione ha er ite er! c (con c finito o infinito) se la disequazione f > M eá verificata in un intorno di c. Se!c f ˆ ` e!c g ˆ ` 0 e ` e ` 0 sono due valori finiti, allora:!c!c!c f g Š ˆ ` ` 0!c k f ˆ k` con k R!c f g ˆ ` ` 0 se ` 0 6ˆ 0 f g Š ˆ ` ` 0 f Š nˆ ` n H Nel calcolo di un ite si uoá giungere a quelle che si chiamano forme di indeterminazione che sono: Per risolvere queste forme occorre tenere resenti queste regole: il ite er!di un olinomio eá uguale al ite del termine di grado massimo: a 0 n a n :::: a n a n ˆ a 0 n!! Per esemio:! 6 4 ˆ! 6 ˆ! 74 ˆ 7 4 ˆ! il ite er!del raorto fra due olinomi eá uguale al ite del raorto fra i termini di grado massimo: a 0 k ::::a k a 0 k ˆ! b 0 h ::::b h! b 0 h

12 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA e si ha che: se k > h il ite vale se k ˆ h il ite vale a 0 b 0 se k < h il ite vale 0 Per esemio:! 6 ˆ! 6 ˆ! 6 ˆ 0!! 4 6 ˆ! 4 ˆ! 4 ˆ 4 4 ˆ! ˆ q q se A B si resenta nella forma, si moltilica e si divide er! A B e si calcola il ite della funzione che si ottiene. Per esemio: 5! ˆ! 5 5 ˆ! 4 ˆ 5 A se!c B si resenta nella forma 0, semlificando la frazione si riesce di solito ad einare la 0 causa dell'indeterminazione. Per esemio:! 4 5 ˆ! ˆ! ˆ 4 7 H Valgono i seguenti iti notevoli:!0 sin ˆ dai quali si ricavano anche i seguenti:!0!0 tan ˆ cos ˆ ˆ e!!0 cos ˆ e!0 ˆ 0!0 log a ˆ log a e ˆ ln a in articolare!0 ln ˆ!0!0 a ˆ ln a in articolare!0 k ˆ k e ˆ

13 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 H Una funzione f ossiede: un asintoto orizzontale di equazione y ˆ ` se: un asintoto verticale di equazione ˆ c se: un asintoto obliquo di equazione y ˆ m q se:!!c!! f ˆ ` f ˆ f ˆ m (con m finito e non nullo) f mš ˆ q (con q finito) Se una funzione ossiede asintoto orizzontale, non uoá avere asintoto obliquo e viceversa, altrimenti avrebbe due comortamenti diversi er!. H Si dice che: la funzione y ˆ f eá un infinitesimo er! c se la funzione y ˆ f eá un infinito er! c se!c!c f ˆ 0 f ˆ. H Di due funzioni f e g entrambe infinitesime er! c diciamo che: f eá di ordine sueriore a g se f eá dello stesso ordine di g se f eá di ordine inferiore a g se!c!c!c f g ˆ 0 f g ˆ ` 6ˆ 0 f g ˆ H Di due funzioni f e g entrambe infinite er! c diciamo che: f eá di ordine sueriore a g se!c f g ˆ f eá dello stesso ordine di g se f eá di ordine inferiore a g se!c!c f g ˆ ` 6ˆ 0 f g ˆ 0 Per facilitare il calcolo di iti di funzioni che, er!, sono infinite eá utile stabilire una gerarchia degli infiniti che indichiamo di seguito in ordine decrescente; er ogni a >, >0: a log a Per esemio:!! ˆ ercheâ eá di ordine sueriore a log a ˆ ercheâ eá di ordine sueriore a log a

14 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA ESERCIZI SUI LIMITI Calcola i seguenti iti.!! 4 6! 9 tan 4 sin! tan 5 sin!0 6!0 ln sin 7 e!0 4! Š 4 4 0Š 4 Š e 9 e! 5 Š 0!0 ln ln e! (Suggerimento: il ite si resenta nella forma di indecisione 0 ; riscrivilo scomonendo numeratore e denominatore:! ˆ e 0 e! ˆ e! ) ln!0 cos! Š 4 4 4!0 5 6Š 5! e e Š e

15 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 ln 6! ln 7 e! Š! sin sin 9 e sin! 4 0!! : ;! : 0Š! 7 5 ln 5Š!0 log 5 e! Š ln 4! 4 5 cos!0 e 6 6 5! 7 tan 5 cotan 5! 0Š e 4 Š e Determina il valore del arametro reale a in modo che sia a!a a a ˆ. a ˆ 0Š Š e 9 Determina i valori dei arametri a e b er i quali si ha! ae b ˆ. a ˆ 0 ^ b ˆ 0 Determina i valori dei arametri reali a e b er i quali si ha a 4 b! b ˆ 5 4. a ˆ 0 ^ b ˆ Š Data la funzione f ˆ a 4, determina i arametri a e b in modo che si abbia b! f ˆ e f ˆ 0: a ˆ 4 ^ b ˆ Š Considerata la funzione f ˆ! f ˆ e!0 a b, determina i arametri a e b in modo che si abbia f ˆ 9. a ˆ ^ b ˆ 4

16 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Data la funzione f ˆ >< >: < 0 cos a > 0, determina il valore del arametro a in modo esista il ite di f er! 0. a ˆ 4 Determina i valori dei arametri a e b er i quali si ha che arcsin e a 7 ˆ 0.! e b b >, a qualsiasiš 5 Stabilisci er quali valori reali dei arametri a, b, c si ha che: h i 4 7 a b c ˆ 0! a ˆ, b ˆ 0, c ˆ Š 6 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ r e centro O. Preso un unto P sull'arco AM, essendo M il unto medio dell'arco AB, siano s la retta tangente in B e t la retta tangente in P alla semicirconferenza che si intersecano in K; siano oi H il unto di intersezione di t con la retta AB e L la roiezione ortogonale di P su s. Posto POH d ˆ, sia f ˆ OH KL; calcola il ite di f er!. r Š 7 Sia P il unto, oltre all'origine, in cui la arabola y ˆ incontra la retta y ˆ m; indicata con H la roiezione di P sull'asse, siano Q e R risettivamente i unti in cui la tangente e la normale alla arabola in P intersecano l'asse. Calcola il ite del raorto fra le aree dei triangoli OPH e QPR al tendere di P verso l'origine degli assi. Š Sia AOB un settore circolare di amiezza di una circonferenza di centro O e raggio r; reso un unto P sull'arco AB, siano H la sua roiezione sulla corda AB e K la sua roiezione sul raggio OA. Calcola il ite del raorto PH PK AK al tendere di P ad A. Š 9 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ r; una retta arallela al diametro incontra la retta tangente in B nel unto P e la semicirconferenza in due unti dei quali K eá il iuá distante da P. Calcola il ite a cui tende il raorto fra le aree del triangolo ABP e del traezio ABPK al tendere di P verso B. 40 Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, traccia da O una semiretta s che incontra la circonferenza in Q. Indicato con P un generico unto di s esterno a, traccia da esso le tangenti alla circonferenza e siano A e B i unti di tangenza. Indicata con la lunghezza del segmento PQ, calcola il ite er! del raorto k ˆ AQ BQ. AB 4 Sono dati un quadrato PQRS di lato ` e una circonferenza di centro O e raggio ` tangente al lato SR del quadrato nel vertice R in modo che O si trovi sul rolungamento del lato QR dalla arte di R. Per il unto medio B del lato SR si traccia una retta che incontra il lato PS del quadrato in A e la circonferenza in C eind (con C iuá vicino a B). Calcola le misure delle aree del triangolo SBA e del segmento circolare deitato dalla corda CD e dall'arco CRD in funzione dell'amiezza dell'angolo SBA d e valuta il ite del raorto fra queste due aree al tendere di a0. 0Š

17 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 4 Sia L un unto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB ˆ r e sia K un unto di AB tale che AL ˆ AK. Posto ABL d ˆ, calcola in funzione di il raorto fra l'area del cerchio inscritto nel triangolo ABL e l'area del triangolo ALK e determinane il ite al tendere di L ad A. h i 4 Dato un quadrato ABCD di lato `, costruisci la semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato; rendi oi un unto P su AB e un unto Q su AD in modo che sia PB ˆ AQ. Indicato con K il unto della semicirconferenza la cui roiezione ortogonale su AB coincide con P, calcola il raorto tra l'area del triangolo PAQ e quella del triangolo KPB al tendere di P rima a B e oi ad A. quando P! B : ; quando P! A : 0Š 44 Sul lato AB ˆ ` del quadrato ABCD ed esternamente ad esso si costruisce un triangolo equilatero ABE. Preso un unto P su AE e un unto Q su BC in modo che sia AP BQ, considera il solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo APD di una rotazione comleta attorno alla retta AD e il solido che si ottiene da una analoga rotazione del triangolo PBQ attorno alla retta BC. Posto AP ˆ, esrimi in funzione di il raorto fra i volumi dei due solidi e calcola il ite dell'esressione ottenuta er P che tende a A. 0Š 45 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, considera un unto P sull'arco OA della arabola y ˆ deitato dall'origine O e dal unto A,. Tracciata la tangente t alla arabola in A, trova l'esressione della distanza PT del unto P dalla retta t e determina il ite del raorto k ˆ PA PT al tendere di P ad A Date due circonferenze C e C di raggio unitario tangenti esternamente in O, sia t la retta tangente comune assante er O; reso un unto P su t, considera la circonferenza di raggio minore avente centro in P e tangente a C e C e sia r il suo raggio. Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di centro O, avente la retta t come asse delle ordinate orientata da O verso P e la retta assante er i centri di C e C come asse delle ascisse, considera la arabola di equazione y ˆ. Sia r il raggio della circonferenza di centro P e tangente a tale arabola nel suo vertice. Calcola il ite del raorto r al tendere di P ad O. r 0Š SUGLI ASINTOTI 47 Determina i valori dei arametri reali a, b, c er i quali la funzione f ˆ a b ha c come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ e come asintoto verticale la retta ˆ. (Suggerimento: la retta y ˆ eá asintoto orizzontale se f ˆ ; la retta ˆ eá asintoto verticale se f ˆ e cioá caita solo se il denominatore si annulla er ˆ )!! a ˆ 0 ^ b ˆ ^ c ˆ Š 4 Determina i valori reali dei arametri a e b in modo che la funzione f ˆ ln a assi er il b unto di coordinate, e abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0. a ˆ 4 ^ b ˆ Š 49 Determina i arametri reali a e b della funzione y ˆ a b in modo che assi er l'origine degli assi e ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4. a ˆ, b ˆ 0Š

18 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 50 Determina i valori di a e b er i quali la funzione f ˆ a b ha come asintoto verticale la 4 retta ˆ e come asintoto orizzontale la retta y ˆ. a ˆ, b ˆ Š 5 Data la funzione f ˆ a b, determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che c essa abbia la retta ˆ come asintoto verticale e la retta y ˆ come asintoto orizzontale. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 5 Determina i valori reali dei arametri a, b e c in modo che la funzione f ˆ b assi er i a c unti A, 0, B, e abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0. a ˆ ^ b ˆ ^ c ˆ 5 Determina i valori dei arametri reali a e b in corrisondenza dei quali la funzione f ˆ ln a b ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y ln ˆ 0 e assa er il unto A, 0. a ˆ ^ b ˆ Š 54 Determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che la funzione f ˆ a 5 b a c abbia come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ e er asintoti verticali le rette di equazioni ˆ. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ 6Š 55 Data la funzione f ˆ log a b c, determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che f abbia er asintoto orizzontale destro la retta di equazione y ˆ e assi er il unto 4 A, 0. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 56 Data la funzione f ˆ b 4, determina i valori reali dei arametri a e b in modo a che f ammetta la retta y ˆ come asintoto orizzontale sinistro e assi er il unto di coordinate,. Qual eá in questo caso l'equazione dell'asintoto orizzontale destro? a ˆ 4, b ˆ, y ˆ Š 57 Determina i arametri reali a, b, c er i quali la funzione f ˆb sin a c ammette la retta y ˆ come asintoto orizzontale, assa er il unto di coordinate, ed eá f ˆ!0. a ˆ, b ˆ, c ˆ Š 5 Determina i valori reali dei arametri a, b, c er i quali la funzione f ˆ a non eá b c definita in ˆ 0, ha come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 4 e assa er il unto di coordinate, 0. a ˆ, b ˆ 4, c ˆ 0 59 Determina i valori dei arametri reali a e b in corrisondenza dei quali la funzione f ˆ a 4 b ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ˆ 0. a ˆ ^ b ˆ

19 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 60 Determina i valori di a edib in modo che la funzione f ˆ a ammetta come asintoto b obliquo la retta di equazione y ˆ 9 7. a ˆ, b ˆ Š 6 Determina i valori dei arametri reali a, b, c er i quali la funzione y ˆ a b c ammette come asintoto obliquo la retta y ˆ. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 6 Determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che la funzione f ˆ a b assi er il c unto P, 0, abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0 e come asintoto obliquo una retta di coefficiente angolare. a ˆ, b ˆ, c ˆ Š 6 Trova i valori reali dei arametri a, b, c in modo che la funzione f ˆ a abbia come b c asintoto obliquo destro una retta di coefficiente angolare, come asintoto verticale la retta ˆ 0 e intersechi l'asse, oltre che nell'origine, nel unto di ascissa. Quali sono le equazioni degli asintoti obliqui delle funzioni ottenute? a ˆ, b ˆ, c ˆ 4 _ a ˆ, b ˆ, c ˆ ; asintoti: y ˆ, y ˆ 4 64 Considerata la funzione f ˆ log b a b c, determina i valori reali dei arametri in essa contenuti in modo che f abbia come asintoto verticale la retta ˆ 0, assi er il unto di coordinate 0, 5 e sia monotoá na crescente. f ˆ log b 5, b > 65 Considerata la funzione f ˆ a c b stabilisci: c a. in quali condizioni esiste asintoto orizzontale a ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š b. in quali condizioni esiste asintoto obliquo a 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š c. in quali condizioni la funzione non ha asintoti a ˆ 0 ^ b ˆ 0 ^ c 6ˆ 0Š d. er quali valori dei arametri la funzione ha come asintoto obliquo la retta y ˆ 0e interseca l'asse nel unto di ascissa. a ˆ, b ˆ, c ˆ 4Š 66 Considerate le due funzioni f ˆ a e g ˆ 4 b c c, determina er quali b c valori dei arametri a, b, c sono verificate contemoraneamente le seguenti condizioni: entrambe le funzioni hanno lo stesso asintoto orizzontale la funzione f ha un solo asintoto verticale si ha che f ˆ 0 7. In queste iotesi, quanti sono gli asintoti verticali della funzione g? " r r # a ˆ 4, b ˆ, c ˆ ; g non ha asintoti verticali Considerate le funzioni f ˆ log a e g ˆ c, determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che siano verificate le seguenti b b condizioni: f ˆ g g abbia come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ f abbia come asintoto verticale la retta ˆ. a ˆ 5, b ˆ, c ˆ Š

20 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 Data la funzione f ˆ ln ln a con >0, determina i valori dei arametri b reali che in essa comaiono in modo che: f ˆ! abbia come asintoto orizzontale la retta y ˆ. ˆ, a ˆ 0, b ˆ INFINITI E INFINITESIMI Doo aver verificato che le seguenti funzioni sono infinitesime, stabilisci se sono confrontabili f ˆ g ˆ 7 5 er! f infinitesimo inferiore a g 70 f ˆ 0, g ˆ 9 6 er! f infinitesimo sueriore a g 7 f ˆ sin 7 f ˆ cos 7 f ˆ sin tan g ˆ cos sin er! 0 infinitesimi dello stesso ordineš g ˆ tan er! 0 f infinitesimo sueriore a g g ˆ cos er! infinitesimi dello stesso ordineš Determina l'ordine dei seguenti infinitesimi. 74 f ˆ 75 f ˆ er! Š er! Š 76 f ˆ sin sin er! 0 Š 77 f ˆ e er! 0 Š Stabilisci er quale valore del arametro reale ositivo k le seguenti funzioni sono infinitesime di ordine n er! 0 in ciascuno dei seguenti casi. q 7 f ˆ k er! e n ˆ k ˆ 4Š 79 f ˆ sin k e er! 0 e n ˆ k ˆ Š 0 f ˆ tan k cos er! 0 e n ˆ 4 k ˆ Š f ˆ k er! e n ˆ 6 k ˆ Š

21 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI Doo aver verificato che le funzioni f e g sono degli infiniti, stabilisci se sono confrontabili. f ˆ ln 4 g ˆ 5 er! f infinito inferiore a g f ˆ cos g ˆ sin er! 0 infiniti dello stesso ordineš 4 f ˆ tan g ˆ er! infiniti non confrontabiliš 5 f ˆ ln g ˆ er! f infinito inferiore a g 6 f ˆ 5 g ˆ er! 4 f infinito sueriore a g Determina l'ordine dei seguenti infiniti. 7 f ˆ f ˆ 7 sin er! er! Š 4Š 9 f ˆ tan sin er! Š 90 f ˆ 0 5 er! 0 Š 9 f ˆ 9 er! Š 9 f ˆ ln er! 0 Š

22 AREA : FUNZIONI E LIMITI LA CONTINUITAÁ DELLE FUNZIONI Per ricordare H Una funzione f definita in un insieme D eá continua in un unto 0 di accumulazione er D se f ˆ f 0.! 0 Quindi er vedere se una funzione eá continua si deve: calcolare f 0 calcolare f!0 verificare che i due valori trovati coincidano. Se due funzioni f e g sono continue nel unto 0, allora sono continue in 0 anche le funzioni: f e f f g f g e in articolare k f e f Š n f g e in articolare g se g 0 6ˆ 0 In conseguenza di cioá sono continue nel loro insieme di definizione: le funzioni olinomiali le funzioni razionali fratte le funzioni logaritmiche ed esonenziali le funzioni goniometriche fondamentali le funzioni comoste se sono continue tutte le funzioni comonenti. H Se una funzione non eá continua in un unto 0 si dice che 0 eá un unto di discontinuitaá o anche che eá un unto singolare. I unti di discontinuitaá si ossono classificare con il seguente criterio: discontinuitaá di rima secie se il ite sinistro e il ite destro sono finiti ma diversi:! 0 f ˆ ` ^! 0 f ˆ ` con ` 6ˆ ` discontinuitaá di seconda secie se almeno uno dei due iti dalla sinistra o dalla destra eá infinito o non esiste:! 0 f ˆ _! 0 f ˆ _ 69! 0 f

23 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 discontinuitaá di terza secie o einabile se esiste finito il ite er! 0 ma tale valore eá diverso da quello assunto dalla funzione o se la funzione non esiste in 0 :! 0 f 6ˆ f 0 H Per le funzioni continue valgono alcune rorietaá fondamentali che sono enunciate dai seguenti teoremi: Teorema di Weierstrass. Se una funzione f eá continua in un intervallo chiuso e itato a, bš, essa eá itata in tale intervallo ed esiste almeno un unto aartenente ad a, bš in cui assume il suo valore massimo ed almeno un unto in cui assume il suo valore minimo. Teorema di esistenza degli zeri. Se una funzione f eá continua in un intervallo chiuso e itato a, bš esef a e f b hanno segno oosto, allora esiste almeno un unto c a, b nel quale la funzione si annulla. ESERCIZI Stabilisci er quali valori reali dei arametri che in esse comaiono le seguenti funzioni sono continue nel loro insieme di definizione. >< cos 0 f ˆ e a b 0 < < a ˆ 0, b ˆ Š >: ln a sin b < >< f ˆ b cos >: < >< 4 f ˆ a < < >: b log f ˆ h a ˆ, b ˆ i a ˆ 4, b ˆ Doo averne determinato il dominio, calcola il valore del arametro a er il quale la funzione < e > 0 sin : a 0 eá continua in ˆ 0. a ˆ 4 5 Determina er quali valori dei arametri reali a e b eá continua in ˆ 0 la funzione < 0 ˆ 0 f ˆ b. a R ^ b ˆ 0Š : 6ˆ 0 a j j

24 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 Trova i unti di discontinuitaá della funzione f ˆ ln sin e classificali. ˆ k, seconda secieš 4 6 >< 6ˆ 7 Studia la continuitaá della funzione f ˆ 4 ˆ >: ˆ classificando le eventuali discontinuitaá. continua in ˆ, disc. einabile in ˆ Š Studia i unti di discontinuitaá delle seguenti funzioni: a. f ˆ j j e b. f ˆ c. f ˆ jsin j cos e < >< 5 ˆ >: sin > ˆ : seconda secie; ˆ : rima secieš ˆ k : terza secie (einabile) Š ˆ : rima secieš ln jj < _ > >< 0 9 Studia i unti di discontinuitaá della funzione f ˆ 0 < sin >: 5 < < 0 0 Data la funzione f ˆ < 0 : < verifica che f eá continua e tracciane il grafico. A artire da esso, costruisci oi i grafici di: a. y ˆ f b. y ˆ f jj c. y ˆ f d. y ˆ f e. y ˆ f f. y ˆ f. Determina il valore reale di a er il quale la funzione f ˆ ˆ 0 : continua, ˆ : rima secie, ˆ : seconda secieš < 4 : a > 4. eá continua in ˆ 4; osto oi a ˆ, determina il tio di discontinuitaá che si resenta nello stesso unto. continua er a ˆ, discontinuita di rima secie se a ˆ Š >< 5 Considerata la funzione f ˆ a b < < determina i valori dei arametri reali >: 9 a e b er i quali f eá continua in ˆ e resenta una discontinuitaá di rima secie con salto uguale a 4 in ˆ. a ˆ, b ˆ 7 ; a ˆ 9, b ˆ 79 Determina il valore del arametro reale c in modo che la funzione f ˆ jj abbia in ˆ j cj ein ˆ una discontinuitaá di rima secie con salto uguale a. c ˆ Š

25 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 4 Determina i valori dei arametri reali a e b (con a > 0) in modo che i unti ˆ e ˆ siano discontinuitaá di seconda secie er la funzione f ˆ coordinate 0, 4 la funzione f ˆ 4 j aj b. a ˆ 5, b ˆ 6 _ a ˆ, b ˆ Š 5 Stabilisci er quali valori dei arametri reali a e b risulta continua e inoltre assa er il unto di a < b 0 : b ln a > 0. a ˆ, b ˆ Š 6 Stabilisci er quale valore del arametro reale a risulta continua la funzione di equazione ( j j a y ˆ j j 0. a ˆ 4 < 0 < e a 6ˆ 0 7 Stabilisci er quale valore del arametro reale a la funzione f ˆ si : a ˆ 0 uoá rolungare con continuitaá nell'origine e determina, in corrisondenza di tale valore, se f ossiede asintoto orizzontale e qual eá la sua equazione. a ˆ, asintoto orizz. sinistro y ˆ Š Trova il valore del arametro reale a in modo che abbia una discontinuitaá einabile in ˆ 0la e a >< < 0 funzione f ˆ >: ln e > 0. a ˆ 9 Stabilisci, motivando adeguatamente la risosta, se eá continua in ˆ la funzione >< 4 6ˆ ^ 6ˆ f ˆ j j >: 0 ˆ. Traccia oi il grafico di f e determinane il codominio. non continua in ˆ, codominio:, 4 [, Š 0 Trova i valori dei arametri reali a e b er i quali risulta continua su tutto R la funzione sin >< f ˆ a sin b < <. Doo averne costruito il grafico, determina il massimo >: cos e il minimo assoluti della funzione. a ˆ, b ˆ, minimo ass., massimo ass. Š a < 0 >< b ˆ 0 Considerata la funzione f ˆ tan cotan 0 < determina er quali valori 4 ce e 4 >: > sin cos 4 dei arametri reali a, b, c essa eá continua. a ˆ, b ˆ e, c ˆ e 4

26 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Verifica se le seguenti funzioni soddisfano il teorema degli zeri negli intervalli indicati e determina i unti di tali intervalli in cui f ˆ 0. a. f ˆ in, ˆ Š b. f ˆ 9 in 0, Š ˆ c. f ˆ log 9 6 in 4, 6Š f 4 f 6 > 0 Dimostra, utilizzando un oortuno teorema, che l'equazione e tan 5 ammette almeno una soluzione nell'intervallo 6, h ln sin i. h 4 Dimostra, utilizzando un oortuno teorema, che nell'intervallo 0, i la funzione di equazione y ˆ e sin cos ln interseca l'asse delle ascisse almeno una volta. 5 Data la funzione f ˆ j 9j a 0 < 4 determina in quali iotesi l'equazione b c 4 f ˆ 0 ammette almeno una soluzione nell'intervallo, 5Š in base al teorema degli zeri ed inoltre eá f ˆ ; 4 osto oi b ˆ, determina le soluzioni che aartengono a questo intervallo. a ˆ, b >, c ˆ 4b; 4 er b ˆ : ˆ Trova una funzione f continua nell'intervallo 0, Šche ammette infiniti zeri ositivi minori di h e uno zero in ˆ 0. esemio: f ˆ sin i 7 Usando in modo oortuno il teorema degli zeri, dimostra che la funzione f ˆ e sin ossiede infiniti zeri. Dimostra oi che la funzione f ˆ e sin ossiede infiniti zeri er > 0 e nessuno zero er < 0. (Suggerimento: sfrutta il fatto che sin eá una funzione eriodica e che e er 0) Doo aver tracciato i grafici delle funzioni assegnate, verifica che soddisfano le iotesi del teorema di Weierstrass e determinane massimo e minimo assoluti. >< 0 < f ˆ 5 massimo ˆ ; minimo ˆ Š >: 0 5 < 7 9 f ˆ 0 f ˆ 4 < 0 >< >: 5 4 < 7 >< < < >: massimo ˆ 5; minimo ˆ Š massimo ˆ 4; minimo ˆ Š

27 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 Stabilisci se la funzione f ˆ >< < 0 e 0 >: ln < e soddisfa le iotesi del teorema di Weierstrass; in caso contrario modifica la definizione della funzione in modo che il teorema sia alicabile. Determina il valore del arametro a in modo che la funzione < sin a < 0 f ˆ verifichi le iotesi del teorema di : j j 0 Weierstrass nell'intervallo, 4Š. Considerato che il grafico di questa funzione nell'intervallo, 0 eá quello in figura, tracciane il grafico comleto in, 4Š e determina oi il minimo e il massimo assoluti di f. a ˆ ; minimo assoluto in,5 : f,5 0,4; massimo assoluto in ˆ 4 : f 4 ˆ 6 ( Considerata la funzione f ˆ jj < lnjj jj i suoi zeri il segno della funzione i iti agli estremi del dominio. Costruiscine il grafico e studia la continuitaá. determina: 4 Sia f ˆ e 0 ; determina il valore del arametro reale a in modo a cos < che f soddisfi le iotesi del teorema di Weierstrass e trovane oi il massimo e il minimo assoluti.costruisciquindiilgraficodif. a ˆ e ; minimo: e, massimo: 5 Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, 5 [ 5, la sua esressione eá una frazione che ha un radicale quadratico al denominatore e un olinomio al numeratore ha come asintoto orizzontale sinistro la retta y ˆ 0 e come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 0. Scrivi una ossibile esressione di f. esemio: f ˆ 5 6 Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, [, 4 [ 4, ha come asintoto orizzontale la retta y ˆ interseca l'asse y nel unto di ordinata ha come asintoto verticale la retta ˆ ma la retta ˆ 4 non eá un asintoto. Scrivi una ossibile esressione di f. esemio: f ˆ Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, [, ha come asintoto orizzontale l'asse e come asintoto verticale la retta ˆ

28 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA assa er l'origine eá ositiva er < 0 _ > e negativa altrove. Scrivi una ossibile esressione di f. h esemio: f ˆ i Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti rorietaá : sia simmetrica risetto all'asse y ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4 ammetta come asintoti verticali le rette ˆ e ˆ assuma il valore er ˆ 0. esemio: f ˆ 4 9 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti rorietaá : ha dominio D :, la sua esressione eá una frazione che ha un'esonenziale di base e al numeratore e un radicale quadratico al denominatore ha asintoto verticale destro di equazione ˆ eá semre ositiva nel suo dominio. esemio: f ˆ e Risultati di alcuni esercizi. 0. Grafico di f a. Grafico di f b. Grafico di f jj c. Grafico di f d. Grafico di f e. Grafico di f f. Grafico di f.

29 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI

30 AREA : 4 FUNZIONI E LIMITI LE SUCCESSIONI H Una successione eá una funzione che ha come dominio l'insieme N dei numeri naturali. I suoi termini si ossono raresentare: mediante il suo termine generale a n esresso in funzione di n; er esemio a n ˆ n n mediante una formula ricorsiva definita in questo modo a 0 ˆ valore del rimo termine della successione a 0 ˆ ; er esemio a n ˆ regola che esrime a n in funzione di a n a n ˆ a n H Una successione uoá essere: convergente se a n ˆ ` n! cioeá se " >0 esiste un indice tale che, n >, sia ja n `j <" divergente se a n ˆ n! cioeá se M > 0 esiste un indice tale che, n >, sia ja n j > M irregolare se neá converge neá diverge. Per il calcolo del ite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli studiati er i iti delle funzioni di numeri reali. H Una rogressione aritmetica eá una successione di numeri reali er la quale la differenza fra un termine ed il suo recedente si mantiene costante ed eá uguale ad un numero d non nullo che si chiama ragione della rogressione. In articolare: il termine a n si calcola con la formula a n ˆ a n d il termine a s, noto il termine a r, si calcola con la formula a s ˆ a r s r d la somma S n dei rimi n termini si calcola con la formula S n ˆ n a a n H Una rogressione geometrica eá una successione di numeri reali er la quale il raorto fra un termine ed il suo recedente si mantiene costante ed eá uguale ad un numero q che si chiama ragione della rogressione. In articolare: il termine a n si calcola con la formula a n ˆ a q n il termine a s, noto il termine a r, si calcola con la formula a s ˆ a r q s r q n la somma S n dei rimi n termini si calcola con la formula S n ˆ a q q il rodotto P n dei rimi n termini si calcola con la formula P n ˆ a a n n

31 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI ESERCIZI Verifica che le successioni definite in modo ricorsivo da ciascuna delle seguenti esressioni non sono neâ convergenti neâ divergenti. a 0 ˆ a n ˆ n a n ( a 0 ˆ 0 a n ˆ n cos a n a 0 ˆ a n ˆ a n 4 < a 0 ˆ n : a n ˆ a n 5 < a 0 ˆ : a n ˆ a n 6 Determina le caratteristiche dell'insieme numerico I ˆ R j ˆ n n, con n N. 7 Individua i unti di accumulazione degli insiemi C ˆ R j ˆ n n, n N e n D ˆ R j ˆ n, n N 0. a 0 ˆ Data la successione a n ˆ, determinane il carattere. converge a zeroš a n 9 a 0 ˆ Verificare che diverge a la successione definita dalla formula ricorsiva a n ˆ a n. 0 Data la successione,, 5, 7,... scrivi l'esressione di a n in funzione di a n e definisci ricorsivamente la successione; successivamente, se ossibile, scrivi l'esressione di a n in funzione di n e determinane il carattere. a 0 ˆ ; a n ˆ n, n N; divergente a n ˆ a n Data la successione 0,,, 6, 0, 5,... scrivi l'esressione di a n in funzione di a n e definisci ricorsivamente la successione; successivamente, se ossibile, scrivi l'esressione di a n in funzione di n e determinane il carattere. a 0 ˆ 0 ; a n ˆ nn, n N; divergente a n ˆ a n n a ˆ 0 Considera la successione definita in modo ricorsivo dalla seguente formula a n ˆ a n er n. Stabilisci se la successione fb n g definita onendo b n ˆ a n n > 0 eá una rogressione geometrica; esrimi b n in funzione di n e stabilisci il carattere delle due successioni. b n ˆ n, entrambe divergenti

32 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA < a 0 ˆ Data la successione definita er ricorrenza dalla formula a n ˆ a n : : a a. mostra che a n n > b. mostra che la successione eá decrescente c. usa il teorema della monotonia er stabilire il carattere della successione d. dimostra che a n ˆ. n! ( a 0 ˆ 4 Scrivi i rimi quattro termini della successione a n ˆ ; stabilisci oi se er ˆ la a n successione converge e, in caso affermativo, calcolane il ite anche in modo arossimato. (Suggerimento: si tratta della successione delle frazioni continue) a 0 ˆ, a ˆ y 5 Verifica che la successione definita ricorsivamente dalla formula a n ˆ a n a n a n n n con, y R converge quando j yj <, diverge se j yj > oure se y ˆ, eá indeterminata se y ˆ. Nel caso in cui la successione converge, dimostra che a n ˆ y y n! y. 6 Considerata la successione definita in modo ricorsivo dalla formula >< a 0 ˆ a n ˆ sin a n er n ari >: a n ˆ cos a n er n disari verifica, servendoti anche di una calcolatrice, che si tratta di una successione oscillante fra i due valori ite ˆ 0,7669 e q ˆ 0, Verifica inoltre che arcsin ˆ cos q e arccos q ˆ sin. 7 Sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario. Costruisci la successione dei triangoli inscritti ciascuno nel recedente che hanno vertici nei unti medi dei lati del triangolo recedente. a. Stabilisci che tio di successione si ottiene considerando le aree di tali triangoli e determinane il carattere. b. Calcola la somma dei rimi n termini di tale successione e calcolane oi il ite er n!. 6 4 rogressione geometrica di ragione q ˆ 4, termine iniziale a ˆ la successione converge a 0; S n ˆ 4 n, ite: 4 ; 7 5 Sia Q 0 un quadrato di lato unitario; costruisci la successione dei quadrati inscritti ciascuno nel recedente e aventi i vertici nei unti medi dei lati del quadrato recedente. Doo aver trovato l'esressione della lunghezza del lato di ciascuno di tali quadrati: a. verifica che si tratta di una successione geometrica e determinane il carattere b. calcola la somma dei rimi n termini della successione dei erimetri di tali quadrati e determinane il ite er n!. h converge a 0; 4 i 9 In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eá dato il unto a A 0, a (con a > 0). Siano A la roiezione di A 0 sull'asse, A la roiezione di A sulla retta OA 0, A la roiezione di A sull'asse e cosõá di seguito i unti A i si ottengono roiettando

33 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 alternativamente quello immediatamente recedente sull'asse e sulla retta OA 0 ; si ottiene in questo modo la sezzata :A 0 A A A ::::::: nella quale i vertici di indice disari aartengono all'asse. a. Dimostra che le lunghezze dei lati di sono in rogressione geometrica e calcola la lunghezza `n della sezzata. " " `n ˆ a ## n b. Determina il ite a cui tende `n al tendere di n all'infinito. aš 0 In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O eá dato il unto Pa, a (con a > 0). Considerato il quadrato Q 0 che ha un vertice in P e le cui diagonali si intersecano in O, inscrivi in esso il cerchio C 0 ; nel cerchio inscrivi il quadrato Q con i lati aralleli a Q 0,inQ inscrivi il cerchio C e cosõá via. Ottieni cosõá la successione di quadrati Q 0, Q, Q,... e quella dei cerchi C 0, C, C,... Dimostra che le successioni dei erimetri, delle aree dei quadrati, delle lunghezze delle circonferenze e delle aree dei cerchi sono convergenti e trova il ite a cui tende la h somma dei termini di ciascuna di esse. a ;a ;a i ;a In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O, una retta r assa er il unto A 0, e eá l'angolo che essa forma con semiasse ositivo delle ascisse, con 0. Sia B n il unto sulla retta r che dista n da A e sia C n il unto del segmento AB n che soddisfa la condizione AC n : AB n ˆ : n. Indicate con C 0 n e B0 n risettivamente le roiezioni di C n e B n sull'asse delle ascisse, calcola, al variare di, il ite della successione fa n g dove a n ˆ OB0 n n n. OC 0 n ˆ 0 : a n ˆ ; 6ˆ 0 : a n! Š Data la funzione f ˆ e reso un unto P n n, f n sul suo grafico, roiettalo sull'asse y ottenendo il unto Q n. Sia H n il simmetrico di Q n risetto alla retta y ˆ e sia P n il unto del grafico di f che ha la stessa ascissa di H n. a. Calcola l'ascissa n di P n in funzione di n ottenendo una successione data er ricorrenza. n ˆ n n b. Posto 0 ˆ, stabilisci se la successione recedente converge e calcola l'eventuale ite. (Suggerimento: mostra che la successione eá decrescente, itata inferiormente dal valore 0; questo garantisce la convergenza. Il valore del ite, che esiste, si calcola imonendo che a n ˆ a h n) n! n! i n ˆ 0 n! In un iano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eá data la circonferenza di raggio unitario e centro O. Sia A 0 un unto di tale circonferenza aartenente al rimo quadrante; il unto A si ottiene ruotando il raggio OA 0 di un angolo (in radianti) ari all'ascissa di A 0 ; il unto A si ottiene ruotando il raggio OA di un angolo (in radianti) ari all'ascissa di A e cosõá via. Determina la osizione sulla circonferenza del unto ite della successione giustificando il risultato ottenuto. unto ite: A 0, Š 4 Siano C e C le due circonferenze di equazioni: C : y ˆ C : y ˆ Considerato un unto A su C si definisce il unto A come il unto di intersezione del cerchio C con la semiretta che ha origine nel centro di C e assante er A. Allo stesso modo si definisce A come il unto di intersezione del cerchio C con la semiretta che ha origine nel centro di C e assante er A.

34 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Continuando con questa rocedura si determina una successione di unti tali che A n aartiene a C e A n aartiene a C. Stabilisci se questa successione converge e, in caso affermativo, trovane il ite. (Suggerimento: le ascisse dei unti di indice disari sono date dall'esressione n ˆ n 4 q n ; 5 0 n 4 n 4 n er n! tale esressione tende a zero, e quindi la successione converge nell'origine)