AREA 1: FUNZIONI E LIMITI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "AREA 1: FUNZIONI E LIMITI"

Transcript

1 AREA : FUNZIONI E LIMITI INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI Per ricordare H Un insieme E si dice: itato sueriormente se esiste un numero k, non necessariamente aartenente a E, che eá maggiore o uguale di tutti i suoi elementi; il iuá iccolo fra questi numeri k eá l'estremo sueriore dell'insieme (si indica con su E) che, se aartiene a E, eá anche il massimo di E itato inferiormente se esiste un numero h, non necessariamente aartenente a E, che eá minore o uguale di tutti i suoi elementi; il iuá grande fra questi numeri h eá l'estremo inferiore dell'insieme (si indica con inf E) che, se aartiene a E, eá anche il minimo di E. Quando un insieme eá itato sia sueriormente che inferiormente, si dice semlicemente che eá itato. Quando un insieme non eá itato sueriormente si dice che su E ˆ ; quando non eá itato inferiormente si dice che inf E ˆ. Per esemio: A ˆ R j < 7 eá un insieme itato ed eá inf A ˆ, su A ˆ 7 ; eá anche il mini- mo ercheâ aartiene ad A, mentre non esiste il massimo ercheá 7 non aartiene ad A. n B ˆ R j > o eá un insieme itato a sinistra e ilitato a destra; allora inf B ˆ, su B ˆ ; questo insieme non ha il minimo ercheâ non gli aartiene e ovviamente non ha il massimo essendo ilitato sueriormente. H L'insieme dei numeri reali che sono comresi fra altri due numeri a e b si chiama intervallo; sea e b sono entrambi finiti l'intervallo si dice itato, se uno dei due non eá finito l'intervallo si dice ilitato; in articolare, la scrittura: a, b indica un intervallo itato aerto che raresenta l'insieme degli R tali che a < < b a, bš indica un intervallo itato chiuso che raresenta l'insieme degli R tali che a b a, indica un intervallo ilitato a destra, aerto a sinistra, che raresenta l'insieme degli R tali che > a, bš indica un intervallo ilitato a sinistra, chiuso a destra, che raresenta l'insieme degli R tali che b In ratica la arentesi tonda indica che l'estremo dell'intervallo non aartiene all'insieme, quella quadra indica che gli aartiene; sul simbolo di infinito si usa solo la arentesi tonda.

2 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Per esemio: 5, 0Š eá un intervallo itato, aerto a sinistra e chiuso a destra e raresenta l'insieme degli R tali che 5 < 0, eá un intervallo itato e chiuso a sinistra, ilitato a destra e raresenta l'insieme degli R tali che. H Si dice intorno di un unto 0 ogni intervallo aerto che contiene 0 al suo interno; intorno di eá un qualunque intervallo del tio a,, intorno di eá un qualunque intervallo del tio, b, intorno di infinito eá l'unione di un intorno di con un intorno di. Un unto 0 si dice di accumulazione er un insieme E se ogni intorno di 0 contiene infiniti unti di E. Per esemio: un qualunque numero reale a eá unto di accumulazione in R ercheâ qualunque intorno di a contiene infiniti numeri reali un numero intero n non eá unto di accumulazione in Z ercheá gli intorni di n non contengono infiniti numeri interi (er esemio l'insieme degli interi comresi fra 5 e 0 eá un intorno di 0 ma contiene solo un numero finito di interi). H Una funzione eá una corrisondenza univoca fra due insiemi A e B, eá cioeá una legge che ad ogni elemento di A associa uno e uno solo elemento y di B; in questa corrisondenza raresenta la variabile indiendente, y la variabile diendente. Quando A e B sono insiemi numerici, questa legge si esrime di solito con un'equazione della forma y ˆ f, dove f eá un'esressione nella variabile, che esrime il legame fra gli elementi dei due insiemi. Per esemio, l'equazione y ˆ esrime il fatto che gli elementi y si ottengono da quelli elevandoli al quadrato e sottraendo al risultato. L'elemento y B che corrisonde ad un articolare A si dice immagine di ; viceversa, ogni elemento A che resta associato nella corrisondenza a un elemento y B si dice controimmagine di y. L'insieme delle controimmagini costituisce il dominio della funzione, l'insieme delle immagini ne eá il codominio. Quando eá nota la sua equazione y ˆ f, il dominio della funzione f si determina chiedendosi quali sono i valori che uoá assumere la variabile indiendente. Per risondere a questa domanda occorre tenere resente che: un olinomio ha semre significato in R, quindi le funzioni olinomiali hanno come dominio R una frazione esiste se il denominatore non eá nullo una radice di indice ari esiste se il radicando eá ositivo o nullo una radice di indice disari esiste semre in R un logaritmo di base assegnata esiste se il suo argomento eá ositivo di un logaritmo a base variabile occorre imorre che la base sia ositiva e diversa da le funzioni esonenziali a base fissa (e ositiva) esistono se esiste l'esonente delle funzioni esonenziali a base varabile occorre chiedere che la base sia ositiva e che esista l'esonente le funzioni goniometriche sin e cos hanno significato er qualsiasi R, la funzione tan ha significato se 6ˆ k; occorre oi ricordare che la funzione seno e la funzione coseno sono eriodiche di eriodo, mentre la funzione tangente eá eriodica di eriodo le funzioni arcsin e arccos devono avere un argomento comreso fra e (estremi inclusi), la funzione arctan esiste er ogni R.

3 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 H Se una funzione f eá definita in un unto 0 e si verifica che: f 0 f er ogni del dominio, allora si dice che 0 eá un unto di massimo assoluto e che f 0 eá il massimo assoluto della funzione f 0 f er ogni del dominio, allora si dice che 0 eá un unto di minimo assoluto eche f 0 eá il minimo assoluto della funzione. Una funzione f eá: monotoána crescente in un intervallo I se, I da < segue che f < f Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeá se f f, allora la funzione eá monotoána non decrescente, cioeá in ratica cresce o tutt'al iuá si mantiene costante, ma non decresce mai monotoána decrescente in un intervallo I se, I da < segue che f > f Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeá se f f, allora la funzione eá monotoána non crescente, cioeá in ratica decresce o tutt'al iuá si mantiene costante, ma non cresce mai. ari se f ˆ f e allora il suo grafico resenta una simmetria risetto all'asse y disari se f ˆ f e allora il suo grafico resenta una simmetria risetto all'origine eriodica di eriodo k se f k ˆ f e allora il suo grafico si riete ad ogni eriodo. ESERCIZI Descrivi le caratteristiche degli insiemi soluzione delle seguenti disequazioni. ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO j j > Risolvendo la disequazione si ottiene l'insieme < _ > ; si tratta dell'unione dei due intervalli, e,. Del rimo intervallo si uoá dire che eá aerto, eá ilitato a sinistra e itato a destra, l'estremo inferiore eá, l'estremo sueriore eá, non ossiede neâ massimo neâ minimo; del secondo intervallo si uoá dire che eá aerto, itato a sinistra e ilitato a destra, l'estremo inferiore eá, l'estremo sueriore eá, non ossiede neâ massimo neâ minimo. j j j 5j > 4 4 ln < 0 5 sin cos > 0 in 0, Š Dei seguenti insiemi numerici individua gli eventuali unti di accumulazione. 6 A ˆ f Z j 0 < < 5g 7 B ˆ f Q j < < 5g

4 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA C ˆ f R j ˆ n, n Ng 9 D ˆ R j ˆ n, n N 0 E ˆ R j ˆ k, k Q Traccia il grafico delle seguenti funzioni f di cui sono assegnate le equazioni e stabilisci: - qual eá il dominio - qual eá il codominio e se la funzione eá itata - quali sono l'estremo sueriore e l'estremo inferiore - se la funzione ossiede il massimo e il minimo assoluti. (I risultati si trovano al termine dell'unitaá) y ˆ j j (Suggerimento: analizzando il segno dell'argomento del modulo, la funzione ha la seguente esressione: y ˆ _ 0 ed il grafico eá formato dagli archi di < < 0 due arabole) y ˆ j j y ˆ jj 4 y ˆ j4 j 5 y ˆ jj j j 6 y ˆ 9 (Suggerimento: osto y 0, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione ottieni una semicirconferenza) 7 y ˆ 4 y ˆ 4 9 y ˆ 0 y ˆ y ˆ 5 y ˆ y ˆ 4 y ˆ 5 y ˆ 4 6 y ˆ jj 7 y ˆ j j y ˆ jj

5 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 Costruisci il grafico di una funzione f che soddisfi alle caratteristiche indicate. 9 Abbia come dominio l'insieme D ˆ, 4, sia crescente in, e tale che inf f ˆ. 0 Abbia come dominio l'insieme D ˆ,0, sia su f ˆ, sia itata inferiormente con minimo assoluto in ˆ. Abbia come dominio l'insieme R f, g, sia itata, abbia massimo assoluto 4 er ˆ, non abbia minimo assoluto e sia inf f ˆ. Abbia come dominio l'insieme,, sia su f ˆ, abbia un unto di minimo assoluto uguale a zero in ˆ. Abbia come dominio l'insieme D ˆ, [ 5,, sia decrescente nell'intervallo, e crescente in 5,. 4 Abbia come dominio l'insieme D ˆ, [,, sia ari, abbia massimo assoluto uguale a, sia inf f ˆ. Determina il dominio delle seguenti funzioni e raresentalo nel iano cartesiano. 5 f ˆ, [, [, 0ŠŠ 4 6 f ˆ, Š 7 f ˆ ln, f ˆarccos arcsin, 0ŠŠ 9 f ˆ arctan ln q 40 f ˆ log log Š 0, Š, Š 4 f ˆlog log, Š 4 f ˆarctan ln, Š 4 f ˆarccos 0, ŠŠ Costruisci il grafico delle seguenti funzioni doo averne determinato il dominio. 44 f ˆ j j (Suggerimento: l'esressione della funzione uoá essere riscritta nella seguente forma: f ˆ. Il dominio eá l'insieme <, ; il grafico eá comosto da un arco di arabola e dalla retta y ˆ ) 45 f ˆ j 5j 46 f ˆ j j < 0 0

6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 47 < >< f ˆ >: > (Suggerimento: nell'intervallo, Š la curva eá la funzione omografica di asintoti y ˆ e ˆ 0) 4 f ˆ cos < 0 tan 0 49 f ˆ sin < Determina il dominio della funzione f ˆ ln e stabilisci in quali intervalli eá ositiva. D ˆ f R j < _ > g; ositiva er < Š 5 Determina il dominio della funzione f ˆ q 4 9 ln 9 7 e stabilisci se il suo grafico eá costituito da: a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti c. nessun unto. due unti:, 0, 6, 0 Š q 5 Determina il dominio della funzione f ˆ ln e stabilisci se il suo grafico eá costituito da: 9 a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti c. nessun unto. nessun untoš 5 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ r sin e stabilisci se il suo grafico eá cos costituito da: a. un numero ilitato di unti b. un numero finito di unti h n c. nessun unto. D ˆ R j ˆ k o i ; infiniti unti isolati s 54 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ 4 ; da quanti unti eá costituito il grafico della funzione? D ˆ ; nessun untoš 55 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ ln cos e indica qual eá la sua caratteristica. D ˆ f R j ˆ k, k > 0gŠ 56 Sia D il dominio della funzione di equazione y ˆ ln 4 ln e D il dominio della funzione di equazione y ˆ ln 4 ; si uoá dire che: a. D ˆ D b. D D c. D D Motiva esaurientemente la risosta. D : 4,, D :, [ 4, ; b: Š 57 Confronta i domini delle funzioni f ˆ ln e g ˆ ln jj e stabilisci che relazione intercorre fra essi. D f : 0, ; D g :, 0 [ 0,

7 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 r 5 Date le funzioni f ˆ sin ln cos e g ˆ sin cos ln nell'intervallo 0, Š, che relazione esiste fra i loro domini? D ˆ 6, tan tan h [, h ; D ˆ 6, 59 Trova i domini delle funzioni f ˆ ln arctan Š, f ˆln arctan, f ˆln arctan e descrivi la relazione che sussiste fra gli insiemi ottenuti. h h D ˆ i, ; D ˆ D ˆ, 4 60 Date le funzioni f ˆ e g ˆ 4, determina er quali valori di si ha che f g ˆ f g. _ < < _ Š 6 Considerate le funzioni f ˆ 6 e g ˆ, calcola er quali valori di eá verificata la relazione f g ˆ f g. ˆ Doo aver determinato il dominio delle funzioni f ˆ log e g ˆ log 9, calco- la er quali valori di eá verificata la relazione f g ˆ f g. ˆ Š 6 Date le funzioni f ˆ e g ˆ ln, doo averne determinato dominio e segno, stabilisci qual eá il dominio della funzione h ˆ f g. 0, [, Š 64 Considerata la funzione f ˆ a, stabilisci er quali valori del arametro reale a la a funzione eá monotoá na decrescente. a < 0Š 65 Stabilisci er quali valori del arametro reale a la funzione y ˆ log a a eá monotoá na decrescente. a < a < 0Š 66 Stabilisci er quali valori del arametro reale k le funzioni f ˆ k e g ˆlog k k sono entrambe monotoá ne decrescenti. < k < 67 Determina in quali intervalli sono identiche le funzioni f ˆ 4 e g ˆ 4., Š 6 Date le funzioni f ˆ sin e g ˆ 0, definisci l'esressione della funzione < 0 h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ sin 0 0 < 0 69 Date le funzioni f ˆ ln e g ˆ >, definisci l'esressione della funzione < ln > h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ 0 < 70 Date le funzioni f ˆ e g ˆ <, definisci l'esressione della funzione h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ < " # 4

8 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 7 Date le funzioni f ˆ ln e g ˆ 0, definisci l'esressione della funzione > 0 ln < 0 h ˆ f g e costruiscine il grafico. h ˆ ln > 0 7 Date le funzioni f ˆ della funzione gf e 0 >< cos 0 < > e g ˆ ln determina il dominio >:. ln, [, 7 Sia f una funzione definita in D : 0, tale che sia: a. f ˆ 0 b. f ab ˆ f a f b con a, b D. Dimostra che:. f a ˆ f a f b b. f a n ˆnf a er n intero non nullo. f a m n ˆ n m f a er n, m interi e m 6ˆ 0. Dai un esemio di funzione f che soddisfa le condizioni a. e b. 74 Una funzione f : R! R si dice convessa se er ogni coia di unti, R e er ogni 0, Š vale la seguente uguaglianza f Š f f. Dai un'interretazione geometrica di tale disuguaglianza e dimostra che la funzione esonenziale f ˆ e eá convessa. Risultati di alcuni esercizi

9 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI

10 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA

11 AREA : FUNZIONI E LIMITI FUNZIONI E LIMITI Per ricordare H Una funzione ha er ite un numero ` finito er! c (con c finito o infinito) se la disequazione f ` <"eá verificata in un intorno di c. Una funzione ha er ite er! c (con c finito o infinito) se la disequazione f > M eá verificata in un intorno di c. Se!c f ˆ ` e!c g ˆ ` 0 e ` e ` 0 sono due valori finiti, allora:!c!c!c f g Š ˆ ` ` 0!c k f ˆ k` con k R!c f g ˆ ` ` 0 se ` 0 6ˆ 0 f g Š ˆ ` ` 0 f Š nˆ ` n H Nel calcolo di un ite si uoá giungere a quelle che si chiamano forme di indeterminazione che sono: Per risolvere queste forme occorre tenere resenti queste regole: il ite er!di un olinomio eá uguale al ite del termine di grado massimo: a 0 n a n :::: a n a n ˆ a 0 n!! Per esemio:! 6 4 ˆ! 6 ˆ! 74 ˆ 7 4 ˆ! il ite er!del raorto fra due olinomi eá uguale al ite del raorto fra i termini di grado massimo: a 0 k ::::a k a 0 k ˆ! b 0 h ::::b h! b 0 h

12 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA e si ha che: se k > h il ite vale se k ˆ h il ite vale a 0 b 0 se k < h il ite vale 0 Per esemio:! 6 ˆ! 6 ˆ! 6 ˆ 0!! 4 6 ˆ! 4 ˆ! 4 ˆ 4 4 ˆ! ˆ q q se A B si resenta nella forma, si moltilica e si divide er! A B e si calcola il ite della funzione che si ottiene. Per esemio: 5! ˆ! 5 5 ˆ! 4 ˆ 5 A se!c B si resenta nella forma 0, semlificando la frazione si riesce di solito ad einare la 0 causa dell'indeterminazione. Per esemio:! 4 5 ˆ! ˆ! ˆ 4 7 H Valgono i seguenti iti notevoli:!0 sin ˆ dai quali si ricavano anche i seguenti:!0!0 tan ˆ cos ˆ ˆ e!!0 cos ˆ e!0 ˆ 0!0 log a ˆ log a e ˆ ln a in articolare!0 ln ˆ!0!0 a ˆ ln a in articolare!0 k ˆ k e ˆ

13 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 H Una funzione f ossiede: un asintoto orizzontale di equazione y ˆ ` se: un asintoto verticale di equazione ˆ c se: un asintoto obliquo di equazione y ˆ m q se:!!c!! f ˆ ` f ˆ f ˆ m (con m finito e non nullo) f mš ˆ q (con q finito) Se una funzione ossiede asintoto orizzontale, non uoá avere asintoto obliquo e viceversa, altrimenti avrebbe due comortamenti diversi er!. H Si dice che: la funzione y ˆ f eá un infinitesimo er! c se la funzione y ˆ f eá un infinito er! c se!c!c f ˆ 0 f ˆ. H Di due funzioni f e g entrambe infinitesime er! c diciamo che: f eá di ordine sueriore a g se f eá dello stesso ordine di g se f eá di ordine inferiore a g se!c!c!c f g ˆ 0 f g ˆ ` 6ˆ 0 f g ˆ H Di due funzioni f e g entrambe infinite er! c diciamo che: f eá di ordine sueriore a g se!c f g ˆ f eá dello stesso ordine di g se f eá di ordine inferiore a g se!c!c f g ˆ ` 6ˆ 0 f g ˆ 0 Per facilitare il calcolo di iti di funzioni che, er!, sono infinite eá utile stabilire una gerarchia degli infiniti che indichiamo di seguito in ordine decrescente; er ogni a >, >0: a log a Per esemio:!! ˆ ercheâ eá di ordine sueriore a log a ˆ ercheâ eá di ordine sueriore a log a

14 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA ESERCIZI SUI LIMITI Calcola i seguenti iti.!! 4 6! 9 tan 4 sin! tan 5 sin!0 6!0 ln sin 7 e!0 4! Š 4 4 0Š 4 Š e 9 e! 5 Š 0!0 ln ln e! (Suggerimento: il ite si resenta nella forma di indecisione 0 ; riscrivilo scomonendo numeratore e denominatore:! ˆ e 0 e! ˆ e! ) ln!0 cos! Š 4 4 4!0 5 6Š 5! e e Š e

15 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 ln 6! ln 7 e! Š! sin sin 9 e sin! 4 0!! : ;! : 0Š! 7 5 ln 5Š!0 log 5 e! Š ln 4! 4 5 cos!0 e 6 6 5! 7 tan 5 cotan 5! 0Š e 4 Š e Determina il valore del arametro reale a in modo che sia a!a a a ˆ. a ˆ 0Š Š e 9 Determina i valori dei arametri a e b er i quali si ha! ae b ˆ. a ˆ 0 ^ b ˆ 0 Determina i valori dei arametri reali a e b er i quali si ha a 4 b! b ˆ 5 4. a ˆ 0 ^ b ˆ Š Data la funzione f ˆ a 4, determina i arametri a e b in modo che si abbia b! f ˆ e f ˆ 0: a ˆ 4 ^ b ˆ Š Considerata la funzione f ˆ! f ˆ e!0 a b, determina i arametri a e b in modo che si abbia f ˆ 9. a ˆ ^ b ˆ 4

16 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Data la funzione f ˆ >< >: < 0 cos a > 0, determina il valore del arametro a in modo esista il ite di f er! 0. a ˆ 4 Determina i valori dei arametri a e b er i quali si ha che arcsin e a 7 ˆ 0.! e b b >, a qualsiasiš 5 Stabilisci er quali valori reali dei arametri a, b, c si ha che: h i 4 7 a b c ˆ 0! a ˆ, b ˆ 0, c ˆ Š 6 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ r e centro O. Preso un unto P sull'arco AM, essendo M il unto medio dell'arco AB, siano s la retta tangente in B e t la retta tangente in P alla semicirconferenza che si intersecano in K; siano oi H il unto di intersezione di t con la retta AB e L la roiezione ortogonale di P su s. Posto POH d ˆ, sia f ˆ OH KL; calcola il ite di f er!. r Š 7 Sia P il unto, oltre all'origine, in cui la arabola y ˆ incontra la retta y ˆ m; indicata con H la roiezione di P sull'asse, siano Q e R risettivamente i unti in cui la tangente e la normale alla arabola in P intersecano l'asse. Calcola il ite del raorto fra le aree dei triangoli OPH e QPR al tendere di P verso l'origine degli assi. Š Sia AOB un settore circolare di amiezza di una circonferenza di centro O e raggio r; reso un unto P sull'arco AB, siano H la sua roiezione sulla corda AB e K la sua roiezione sul raggio OA. Calcola il ite del raorto PH PK AK al tendere di P ad A. Š 9 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ r; una retta arallela al diametro incontra la retta tangente in B nel unto P e la semicirconferenza in due unti dei quali K eá il iuá distante da P. Calcola il ite a cui tende il raorto fra le aree del triangolo ABP e del traezio ABPK al tendere di P verso B. 40 Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, traccia da O una semiretta s che incontra la circonferenza in Q. Indicato con P un generico unto di s esterno a, traccia da esso le tangenti alla circonferenza e siano A e B i unti di tangenza. Indicata con la lunghezza del segmento PQ, calcola il ite er! del raorto k ˆ AQ BQ. AB 4 Sono dati un quadrato PQRS di lato ` e una circonferenza di centro O e raggio ` tangente al lato SR del quadrato nel vertice R in modo che O si trovi sul rolungamento del lato QR dalla arte di R. Per il unto medio B del lato SR si traccia una retta che incontra il lato PS del quadrato in A e la circonferenza in C eind (con C iuá vicino a B). Calcola le misure delle aree del triangolo SBA e del segmento circolare deitato dalla corda CD e dall'arco CRD in funzione dell'amiezza dell'angolo SBA d e valuta il ite del raorto fra queste due aree al tendere di a0. 0Š

17 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 4 Sia L un unto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB ˆ r e sia K un unto di AB tale che AL ˆ AK. Posto ABL d ˆ, calcola in funzione di il raorto fra l'area del cerchio inscritto nel triangolo ABL e l'area del triangolo ALK e determinane il ite al tendere di L ad A. h i 4 Dato un quadrato ABCD di lato `, costruisci la semicirconferenza di diametro AB esterna al quadrato; rendi oi un unto P su AB e un unto Q su AD in modo che sia PB ˆ AQ. Indicato con K il unto della semicirconferenza la cui roiezione ortogonale su AB coincide con P, calcola il raorto tra l'area del triangolo PAQ e quella del triangolo KPB al tendere di P rima a B e oi ad A. quando P! B : ; quando P! A : 0Š 44 Sul lato AB ˆ ` del quadrato ABCD ed esternamente ad esso si costruisce un triangolo equilatero ABE. Preso un unto P su AE e un unto Q su BC in modo che sia AP BQ, considera il solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo APD di una rotazione comleta attorno alla retta AD e il solido che si ottiene da una analoga rotazione del triangolo PBQ attorno alla retta BC. Posto AP ˆ, esrimi in funzione di il raorto fra i volumi dei due solidi e calcola il ite dell'esressione ottenuta er P che tende a A. 0Š 45 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, considera un unto P sull'arco OA della arabola y ˆ deitato dall'origine O e dal unto A,. Tracciata la tangente t alla arabola in A, trova l'esressione della distanza PT del unto P dalla retta t e determina il ite del raorto k ˆ PA PT al tendere di P ad A Date due circonferenze C e C di raggio unitario tangenti esternamente in O, sia t la retta tangente comune assante er O; reso un unto P su t, considera la circonferenza di raggio minore avente centro in P e tangente a C e C e sia r il suo raggio. Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di centro O, avente la retta t come asse delle ordinate orientata da O verso P e la retta assante er i centri di C e C come asse delle ascisse, considera la arabola di equazione y ˆ. Sia r il raggio della circonferenza di centro P e tangente a tale arabola nel suo vertice. Calcola il ite del raorto r al tendere di P ad O. r 0Š SUGLI ASINTOTI 47 Determina i valori dei arametri reali a, b, c er i quali la funzione f ˆ a b ha c come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ e come asintoto verticale la retta ˆ. (Suggerimento: la retta y ˆ eá asintoto orizzontale se f ˆ ; la retta ˆ eá asintoto verticale se f ˆ e cioá caita solo se il denominatore si annulla er ˆ )!! a ˆ 0 ^ b ˆ ^ c ˆ Š 4 Determina i valori reali dei arametri a e b in modo che la funzione f ˆ ln a assi er il b unto di coordinate, e abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0. a ˆ 4 ^ b ˆ Š 49 Determina i arametri reali a e b della funzione y ˆ a b in modo che assi er l'origine degli assi e ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4. a ˆ, b ˆ 0Š

18 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 50 Determina i valori di a e b er i quali la funzione f ˆ a b ha come asintoto verticale la 4 retta ˆ e come asintoto orizzontale la retta y ˆ. a ˆ, b ˆ Š 5 Data la funzione f ˆ a b, determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che c essa abbia la retta ˆ come asintoto verticale e la retta y ˆ come asintoto orizzontale. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 5 Determina i valori reali dei arametri a, b e c in modo che la funzione f ˆ b assi er i a c unti A, 0, B, e abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0. a ˆ ^ b ˆ ^ c ˆ 5 Determina i valori dei arametri reali a e b in corrisondenza dei quali la funzione f ˆ ln a b ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y ln ˆ 0 e assa er il unto A, 0. a ˆ ^ b ˆ Š 54 Determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che la funzione f ˆ a 5 b a c abbia come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ e er asintoti verticali le rette di equazioni ˆ. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ 6Š 55 Data la funzione f ˆ log a b c, determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che f abbia er asintoto orizzontale destro la retta di equazione y ˆ e assi er il unto 4 A, 0. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 56 Data la funzione f ˆ b 4, determina i valori reali dei arametri a e b in modo a che f ammetta la retta y ˆ come asintoto orizzontale sinistro e assi er il unto di coordinate,. Qual eá in questo caso l'equazione dell'asintoto orizzontale destro? a ˆ 4, b ˆ, y ˆ Š 57 Determina i arametri reali a, b, c er i quali la funzione f ˆb sin a c ammette la retta y ˆ come asintoto orizzontale, assa er il unto di coordinate, ed eá f ˆ!0. a ˆ, b ˆ, c ˆ Š 5 Determina i valori reali dei arametri a, b, c er i quali la funzione f ˆ a non eá b c definita in ˆ 0, ha come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 4 e assa er il unto di coordinate, 0. a ˆ, b ˆ 4, c ˆ 0 59 Determina i valori dei arametri reali a e b in corrisondenza dei quali la funzione f ˆ a 4 b ha come asintoto obliquo la retta di equazione y ˆ 0. a ˆ ^ b ˆ

19 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 60 Determina i valori di a edib in modo che la funzione f ˆ a ammetta come asintoto b obliquo la retta di equazione y ˆ 9 7. a ˆ, b ˆ Š 6 Determina i valori dei arametri reali a, b, c er i quali la funzione y ˆ a b c ammette come asintoto obliquo la retta y ˆ. a ˆ 0, b ˆ, c ˆ Š 6 Determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che la funzione f ˆ a b assi er il c unto P, 0, abbia come asintoto verticale la retta di equazione ˆ 0 e come asintoto obliquo una retta di coefficiente angolare. a ˆ, b ˆ, c ˆ Š 6 Trova i valori reali dei arametri a, b, c in modo che la funzione f ˆ a abbia come b c asintoto obliquo destro una retta di coefficiente angolare, come asintoto verticale la retta ˆ 0 e intersechi l'asse, oltre che nell'origine, nel unto di ascissa. Quali sono le equazioni degli asintoti obliqui delle funzioni ottenute? a ˆ, b ˆ, c ˆ 4 _ a ˆ, b ˆ, c ˆ ; asintoti: y ˆ, y ˆ 4 64 Considerata la funzione f ˆ log b a b c, determina i valori reali dei arametri in essa contenuti in modo che f abbia come asintoto verticale la retta ˆ 0, assi er il unto di coordinate 0, 5 e sia monotoá na crescente. f ˆ log b 5, b > 65 Considerata la funzione f ˆ a c b stabilisci: c a. in quali condizioni esiste asintoto orizzontale a ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š b. in quali condizioni esiste asintoto obliquo a 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š c. in quali condizioni la funzione non ha asintoti a ˆ 0 ^ b ˆ 0 ^ c 6ˆ 0Š d. er quali valori dei arametri la funzione ha come asintoto obliquo la retta y ˆ 0e interseca l'asse nel unto di ascissa. a ˆ, b ˆ, c ˆ 4Š 66 Considerate le due funzioni f ˆ a e g ˆ 4 b c c, determina er quali b c valori dei arametri a, b, c sono verificate contemoraneamente le seguenti condizioni: entrambe le funzioni hanno lo stesso asintoto orizzontale la funzione f ha un solo asintoto verticale si ha che f ˆ 0 7. In queste iotesi, quanti sono gli asintoti verticali della funzione g? " r r # a ˆ 4, b ˆ, c ˆ ; g non ha asintoti verticali Considerate le funzioni f ˆ log a e g ˆ c, determina i valori reali dei arametri a, b, c in modo che siano verificate le seguenti b b condizioni: f ˆ g g abbia come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ f abbia come asintoto verticale la retta ˆ. a ˆ 5, b ˆ, c ˆ Š

20 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 Data la funzione f ˆ ln ln a con >0, determina i valori dei arametri b reali che in essa comaiono in modo che: f ˆ! abbia come asintoto orizzontale la retta y ˆ. ˆ, a ˆ 0, b ˆ INFINITI E INFINITESIMI Doo aver verificato che le seguenti funzioni sono infinitesime, stabilisci se sono confrontabili f ˆ g ˆ 7 5 er! f infinitesimo inferiore a g 70 f ˆ 0, g ˆ 9 6 er! f infinitesimo sueriore a g 7 f ˆ sin 7 f ˆ cos 7 f ˆ sin tan g ˆ cos sin er! 0 infinitesimi dello stesso ordineš g ˆ tan er! 0 f infinitesimo sueriore a g g ˆ cos er! infinitesimi dello stesso ordineš Determina l'ordine dei seguenti infinitesimi. 74 f ˆ 75 f ˆ er! Š er! Š 76 f ˆ sin sin er! 0 Š 77 f ˆ e er! 0 Š Stabilisci er quale valore del arametro reale ositivo k le seguenti funzioni sono infinitesime di ordine n er! 0 in ciascuno dei seguenti casi. q 7 f ˆ k er! e n ˆ k ˆ 4Š 79 f ˆ sin k e er! 0 e n ˆ k ˆ Š 0 f ˆ tan k cos er! 0 e n ˆ 4 k ˆ Š f ˆ k er! e n ˆ 6 k ˆ Š

21 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI Doo aver verificato che le funzioni f e g sono degli infiniti, stabilisci se sono confrontabili. f ˆ ln 4 g ˆ 5 er! f infinito inferiore a g f ˆ cos g ˆ sin er! 0 infiniti dello stesso ordineš 4 f ˆ tan g ˆ er! infiniti non confrontabiliš 5 f ˆ ln g ˆ er! f infinito inferiore a g 6 f ˆ 5 g ˆ er! 4 f infinito sueriore a g Determina l'ordine dei seguenti infiniti. 7 f ˆ f ˆ 7 sin er! er! Š 4Š 9 f ˆ tan sin er! Š 90 f ˆ 0 5 er! 0 Š 9 f ˆ 9 er! Š 9 f ˆ ln er! 0 Š

22 AREA : FUNZIONI E LIMITI LA CONTINUITAÁ DELLE FUNZIONI Per ricordare H Una funzione f definita in un insieme D eá continua in un unto 0 di accumulazione er D se f ˆ f 0.! 0 Quindi er vedere se una funzione eá continua si deve: calcolare f 0 calcolare f!0 verificare che i due valori trovati coincidano. Se due funzioni f e g sono continue nel unto 0, allora sono continue in 0 anche le funzioni: f e f f g f g e in articolare k f e f Š n f g e in articolare g se g 0 6ˆ 0 In conseguenza di cioá sono continue nel loro insieme di definizione: le funzioni olinomiali le funzioni razionali fratte le funzioni logaritmiche ed esonenziali le funzioni goniometriche fondamentali le funzioni comoste se sono continue tutte le funzioni comonenti. H Se una funzione non eá continua in un unto 0 si dice che 0 eá un unto di discontinuitaá o anche che eá un unto singolare. I unti di discontinuitaá si ossono classificare con il seguente criterio: discontinuitaá di rima secie se il ite sinistro e il ite destro sono finiti ma diversi:! 0 f ˆ ` ^! 0 f ˆ ` con ` 6ˆ ` discontinuitaá di seconda secie se almeno uno dei due iti dalla sinistra o dalla destra eá infinito o non esiste:! 0 f ˆ _! 0 f ˆ _ 69! 0 f

23 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 discontinuitaá di terza secie o einabile se esiste finito il ite er! 0 ma tale valore eá diverso da quello assunto dalla funzione o se la funzione non esiste in 0 :! 0 f 6ˆ f 0 H Per le funzioni continue valgono alcune rorietaá fondamentali che sono enunciate dai seguenti teoremi: Teorema di Weierstrass. Se una funzione f eá continua in un intervallo chiuso e itato a, bš, essa eá itata in tale intervallo ed esiste almeno un unto aartenente ad a, bš in cui assume il suo valore massimo ed almeno un unto in cui assume il suo valore minimo. Teorema di esistenza degli zeri. Se una funzione f eá continua in un intervallo chiuso e itato a, bš esef a e f b hanno segno oosto, allora esiste almeno un unto c a, b nel quale la funzione si annulla. ESERCIZI Stabilisci er quali valori reali dei arametri che in esse comaiono le seguenti funzioni sono continue nel loro insieme di definizione. >< cos 0 f ˆ e a b 0 < < a ˆ 0, b ˆ Š >: ln a sin b < >< f ˆ b cos >: < >< 4 f ˆ a < < >: b log f ˆ h a ˆ, b ˆ i a ˆ 4, b ˆ Doo averne determinato il dominio, calcola il valore del arametro a er il quale la funzione < e > 0 sin : a 0 eá continua in ˆ 0. a ˆ 4 5 Determina er quali valori dei arametri reali a e b eá continua in ˆ 0 la funzione < 0 ˆ 0 f ˆ b. a R ^ b ˆ 0Š : 6ˆ 0 a j j

24 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA 6 Trova i unti di discontinuitaá della funzione f ˆ ln sin e classificali. ˆ k, seconda secieš 4 6 >< 6ˆ 7 Studia la continuitaá della funzione f ˆ 4 ˆ >: ˆ classificando le eventuali discontinuitaá. continua in ˆ, disc. einabile in ˆ Š Studia i unti di discontinuitaá delle seguenti funzioni: a. f ˆ j j e b. f ˆ c. f ˆ jsin j cos e < >< 5 ˆ >: sin > ˆ : seconda secie; ˆ : rima secieš ˆ k : terza secie (einabile) Š ˆ : rima secieš ln jj < _ > >< 0 9 Studia i unti di discontinuitaá della funzione f ˆ 0 < sin >: 5 < < 0 0 Data la funzione f ˆ < 0 : < verifica che f eá continua e tracciane il grafico. A artire da esso, costruisci oi i grafici di: a. y ˆ f b. y ˆ f jj c. y ˆ f d. y ˆ f e. y ˆ f f. y ˆ f. Determina il valore reale di a er il quale la funzione f ˆ ˆ 0 : continua, ˆ : rima secie, ˆ : seconda secieš < 4 : a > 4. eá continua in ˆ 4; osto oi a ˆ, determina il tio di discontinuitaá che si resenta nello stesso unto. continua er a ˆ, discontinuita di rima secie se a ˆ Š >< 5 Considerata la funzione f ˆ a b < < determina i valori dei arametri reali >: 9 a e b er i quali f eá continua in ˆ e resenta una discontinuitaá di rima secie con salto uguale a 4 in ˆ. a ˆ, b ˆ 7 ; a ˆ 9, b ˆ 79 Determina il valore del arametro reale c in modo che la funzione f ˆ jj abbia in ˆ j cj ein ˆ una discontinuitaá di rima secie con salto uguale a. c ˆ Š

25 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 7 4 Determina i valori dei arametri reali a e b (con a > 0) in modo che i unti ˆ e ˆ siano discontinuitaá di seconda secie er la funzione f ˆ coordinate 0, 4 la funzione f ˆ 4 j aj b. a ˆ 5, b ˆ 6 _ a ˆ, b ˆ Š 5 Stabilisci er quali valori dei arametri reali a e b risulta continua e inoltre assa er il unto di a < b 0 : b ln a > 0. a ˆ, b ˆ Š 6 Stabilisci er quale valore del arametro reale a risulta continua la funzione di equazione ( j j a y ˆ j j 0. a ˆ 4 < 0 < e a 6ˆ 0 7 Stabilisci er quale valore del arametro reale a la funzione f ˆ si : a ˆ 0 uoá rolungare con continuitaá nell'origine e determina, in corrisondenza di tale valore, se f ossiede asintoto orizzontale e qual eá la sua equazione. a ˆ, asintoto orizz. sinistro y ˆ Š Trova il valore del arametro reale a in modo che abbia una discontinuitaá einabile in ˆ 0la e a >< < 0 funzione f ˆ >: ln e > 0. a ˆ 9 Stabilisci, motivando adeguatamente la risosta, se eá continua in ˆ la funzione >< 4 6ˆ ^ 6ˆ f ˆ j j >: 0 ˆ. Traccia oi il grafico di f e determinane il codominio. non continua in ˆ, codominio:, 4 [, Š 0 Trova i valori dei arametri reali a e b er i quali risulta continua su tutto R la funzione sin >< f ˆ a sin b < <. Doo averne costruito il grafico, determina il massimo >: cos e il minimo assoluti della funzione. a ˆ, b ˆ, minimo ass., massimo ass. Š a < 0 >< b ˆ 0 Considerata la funzione f ˆ tan cotan 0 < determina er quali valori 4 ce e 4 >: > sin cos 4 dei arametri reali a, b, c essa eá continua. a ˆ, b ˆ e, c ˆ e 4

26 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Verifica se le seguenti funzioni soddisfano il teorema degli zeri negli intervalli indicati e determina i unti di tali intervalli in cui f ˆ 0. a. f ˆ in, ˆ Š b. f ˆ 9 in 0, Š ˆ c. f ˆ log 9 6 in 4, 6Š f 4 f 6 > 0 Dimostra, utilizzando un oortuno teorema, che l'equazione e tan 5 ammette almeno una soluzione nell'intervallo 6, h ln sin i. h 4 Dimostra, utilizzando un oortuno teorema, che nell'intervallo 0, i la funzione di equazione y ˆ e sin cos ln interseca l'asse delle ascisse almeno una volta. 5 Data la funzione f ˆ j 9j a 0 < 4 determina in quali iotesi l'equazione b c 4 f ˆ 0 ammette almeno una soluzione nell'intervallo, 5Š in base al teorema degli zeri ed inoltre eá f ˆ ; 4 osto oi b ˆ, determina le soluzioni che aartengono a questo intervallo. a ˆ, b >, c ˆ 4b; 4 er b ˆ : ˆ Trova una funzione f continua nell'intervallo 0, Šche ammette infiniti zeri ositivi minori di h e uno zero in ˆ 0. esemio: f ˆ sin i 7 Usando in modo oortuno il teorema degli zeri, dimostra che la funzione f ˆ e sin ossiede infiniti zeri. Dimostra oi che la funzione f ˆ e sin ossiede infiniti zeri er > 0 e nessuno zero er < 0. (Suggerimento: sfrutta il fatto che sin eá una funzione eriodica e che e er 0) Doo aver tracciato i grafici delle funzioni assegnate, verifica che soddisfano le iotesi del teorema di Weierstrass e determinane massimo e minimo assoluti. >< 0 < f ˆ 5 massimo ˆ ; minimo ˆ Š >: 0 5 < 7 9 f ˆ 0 f ˆ 4 < 0 >< >: 5 4 < 7 >< < < >: massimo ˆ 5; minimo ˆ Š massimo ˆ 4; minimo ˆ Š

27 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 9 Stabilisci se la funzione f ˆ >< < 0 e 0 >: ln < e soddisfa le iotesi del teorema di Weierstrass; in caso contrario modifica la definizione della funzione in modo che il teorema sia alicabile. Determina il valore del arametro a in modo che la funzione < sin a < 0 f ˆ verifichi le iotesi del teorema di : j j 0 Weierstrass nell'intervallo, 4Š. Considerato che il grafico di questa funzione nell'intervallo, 0 eá quello in figura, tracciane il grafico comleto in, 4Š e determina oi il minimo e il massimo assoluti di f. a ˆ ; minimo assoluto in,5 : f,5 0,4; massimo assoluto in ˆ 4 : f 4 ˆ 6 ( Considerata la funzione f ˆ jj < lnjj jj i suoi zeri il segno della funzione i iti agli estremi del dominio. Costruiscine il grafico e studia la continuitaá. determina: 4 Sia f ˆ e 0 ; determina il valore del arametro reale a in modo a cos < che f soddisfi le iotesi del teorema di Weierstrass e trovane oi il massimo e il minimo assoluti.costruisciquindiilgraficodif. a ˆ e ; minimo: e, massimo: 5 Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, 5 [ 5, la sua esressione eá una frazione che ha un radicale quadratico al denominatore e un olinomio al numeratore ha come asintoto orizzontale sinistro la retta y ˆ 0 e come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 0. Scrivi una ossibile esressione di f. esemio: f ˆ 5 6 Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, [, 4 [ 4, ha come asintoto orizzontale la retta y ˆ interseca l'asse y nel unto di ordinata ha come asintoto verticale la retta ˆ ma la retta ˆ 4 non eá un asintoto. Scrivi una ossibile esressione di f. esemio: f ˆ Di una funzione f si sa che: ha dominio D :, [, ha come asintoto orizzontale l'asse e come asintoto verticale la retta ˆ

28 0 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA assa er l'origine eá ositiva er < 0 _ > e negativa altrove. Scrivi una ossibile esressione di f. h esemio: f ˆ i Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti rorietaá : sia simmetrica risetto all'asse y ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4 ammetta come asintoti verticali le rette ˆ e ˆ assuma il valore er ˆ 0. esemio: f ˆ 4 9 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti rorietaá : ha dominio D :, la sua esressione eá una frazione che ha un'esonenziale di base e al numeratore e un radicale quadratico al denominatore ha asintoto verticale destro di equazione ˆ eá semre ositiva nel suo dominio. esemio: f ˆ e Risultati di alcuni esercizi. 0. Grafico di f a. Grafico di f b. Grafico di f jj c. Grafico di f d. Grafico di f e. Grafico di f f. Grafico di f.

29 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI

30 AREA : 4 FUNZIONI E LIMITI LE SUCCESSIONI H Una successione eá una funzione che ha come dominio l'insieme N dei numeri naturali. I suoi termini si ossono raresentare: mediante il suo termine generale a n esresso in funzione di n; er esemio a n ˆ n n mediante una formula ricorsiva definita in questo modo a 0 ˆ valore del rimo termine della successione a 0 ˆ ; er esemio a n ˆ regola che esrime a n in funzione di a n a n ˆ a n H Una successione uoá essere: convergente se a n ˆ ` n! cioeá se " >0 esiste un indice tale che, n >, sia ja n `j <" divergente se a n ˆ n! cioeá se M > 0 esiste un indice tale che, n >, sia ja n j > M irregolare se neá converge neá diverge. Per il calcolo del ite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli studiati er i iti delle funzioni di numeri reali. H Una rogressione aritmetica eá una successione di numeri reali er la quale la differenza fra un termine ed il suo recedente si mantiene costante ed eá uguale ad un numero d non nullo che si chiama ragione della rogressione. In articolare: il termine a n si calcola con la formula a n ˆ a n d il termine a s, noto il termine a r, si calcola con la formula a s ˆ a r s r d la somma S n dei rimi n termini si calcola con la formula S n ˆ n a a n H Una rogressione geometrica eá una successione di numeri reali er la quale il raorto fra un termine ed il suo recedente si mantiene costante ed eá uguale ad un numero q che si chiama ragione della rogressione. In articolare: il termine a n si calcola con la formula a n ˆ a q n il termine a s, noto il termine a r, si calcola con la formula a s ˆ a r q s r q n la somma S n dei rimi n termini si calcola con la formula S n ˆ a q q il rodotto P n dei rimi n termini si calcola con la formula P n ˆ a a n n

31 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI ESERCIZI Verifica che le successioni definite in modo ricorsivo da ciascuna delle seguenti esressioni non sono neâ convergenti neâ divergenti. a 0 ˆ a n ˆ n a n ( a 0 ˆ 0 a n ˆ n cos a n a 0 ˆ a n ˆ a n 4 < a 0 ˆ n : a n ˆ a n 5 < a 0 ˆ : a n ˆ a n 6 Determina le caratteristiche dell'insieme numerico I ˆ R j ˆ n n, con n N. 7 Individua i unti di accumulazione degli insiemi C ˆ R j ˆ n n, n N e n D ˆ R j ˆ n, n N 0. a 0 ˆ Data la successione a n ˆ, determinane il carattere. converge a zeroš a n 9 a 0 ˆ Verificare che diverge a la successione definita dalla formula ricorsiva a n ˆ a n. 0 Data la successione,, 5, 7,... scrivi l'esressione di a n in funzione di a n e definisci ricorsivamente la successione; successivamente, se ossibile, scrivi l'esressione di a n in funzione di n e determinane il carattere. a 0 ˆ ; a n ˆ n, n N; divergente a n ˆ a n Data la successione 0,,, 6, 0, 5,... scrivi l'esressione di a n in funzione di a n e definisci ricorsivamente la successione; successivamente, se ossibile, scrivi l'esressione di a n in funzione di n e determinane il carattere. a 0 ˆ 0 ; a n ˆ nn, n N; divergente a n ˆ a n n a ˆ 0 Considera la successione definita in modo ricorsivo dalla seguente formula a n ˆ a n er n. Stabilisci se la successione fb n g definita onendo b n ˆ a n n > 0 eá una rogressione geometrica; esrimi b n in funzione di n e stabilisci il carattere delle due successioni. b n ˆ n, entrambe divergenti

32 4 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA < a 0 ˆ Data la successione definita er ricorrenza dalla formula a n ˆ a n : : a a. mostra che a n n > b. mostra che la successione eá decrescente c. usa il teorema della monotonia er stabilire il carattere della successione d. dimostra che a n ˆ. n! ( a 0 ˆ 4 Scrivi i rimi quattro termini della successione a n ˆ ; stabilisci oi se er ˆ la a n successione converge e, in caso affermativo, calcolane il ite anche in modo arossimato. (Suggerimento: si tratta della successione delle frazioni continue) a 0 ˆ, a ˆ y 5 Verifica che la successione definita ricorsivamente dalla formula a n ˆ a n a n a n n n con, y R converge quando j yj <, diverge se j yj > oure se y ˆ, eá indeterminata se y ˆ. Nel caso in cui la successione converge, dimostra che a n ˆ y y n! y. 6 Considerata la successione definita in modo ricorsivo dalla formula >< a 0 ˆ a n ˆ sin a n er n ari >: a n ˆ cos a n er n disari verifica, servendoti anche di una calcolatrice, che si tratta di una successione oscillante fra i due valori ite ˆ 0,7669 e q ˆ 0, Verifica inoltre che arcsin ˆ cos q e arccos q ˆ sin. 7 Sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario. Costruisci la successione dei triangoli inscritti ciascuno nel recedente che hanno vertici nei unti medi dei lati del triangolo recedente. a. Stabilisci che tio di successione si ottiene considerando le aree di tali triangoli e determinane il carattere. b. Calcola la somma dei rimi n termini di tale successione e calcolane oi il ite er n!. 6 4 rogressione geometrica di ragione q ˆ 4, termine iniziale a ˆ la successione converge a 0; S n ˆ 4 n, ite: 4 ; 7 5 Sia Q 0 un quadrato di lato unitario; costruisci la successione dei quadrati inscritti ciascuno nel recedente e aventi i vertici nei unti medi dei lati del quadrato recedente. Doo aver trovato l'esressione della lunghezza del lato di ciascuno di tali quadrati: a. verifica che si tratta di una successione geometrica e determinane il carattere b. calcola la somma dei rimi n termini della successione dei erimetri di tali quadrati e determinane il ite er n!. h converge a 0; 4 i 9 In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eá dato il unto a A 0, a (con a > 0). Siano A la roiezione di A 0 sull'asse, A la roiezione di A sulla retta OA 0, A la roiezione di A sull'asse e cosõá di seguito i unti A i si ottengono roiettando

33 Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA AREA - FUNZIONI E LIMITI 5 alternativamente quello immediatamente recedente sull'asse e sulla retta OA 0 ; si ottiene in questo modo la sezzata :A 0 A A A ::::::: nella quale i vertici di indice disari aartengono all'asse. a. Dimostra che le lunghezze dei lati di sono in rogressione geometrica e calcola la lunghezza `n della sezzata. " " `n ˆ a ## n b. Determina il ite a cui tende `n al tendere di n all'infinito. aš 0 In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O eá dato il unto Pa, a (con a > 0). Considerato il quadrato Q 0 che ha un vertice in P e le cui diagonali si intersecano in O, inscrivi in esso il cerchio C 0 ; nel cerchio inscrivi il quadrato Q con i lati aralleli a Q 0,inQ inscrivi il cerchio C e cosõá via. Ottieni cosõá la successione di quadrati Q 0, Q, Q,... e quella dei cerchi C 0, C, C,... Dimostra che le successioni dei erimetri, delle aree dei quadrati, delle lunghezze delle circonferenze e delle aree dei cerchi sono convergenti e trova il ite a cui tende la h somma dei termini di ciascuna di esse. a ;a ;a i ;a In un iano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O, una retta r assa er il unto A 0, e eá l'angolo che essa forma con semiasse ositivo delle ascisse, con 0. Sia B n il unto sulla retta r che dista n da A e sia C n il unto del segmento AB n che soddisfa la condizione AC n : AB n ˆ : n. Indicate con C 0 n e B0 n risettivamente le roiezioni di C n e B n sull'asse delle ascisse, calcola, al variare di, il ite della successione fa n g dove a n ˆ OB0 n n n. OC 0 n ˆ 0 : a n ˆ ; 6ˆ 0 : a n! Š Data la funzione f ˆ e reso un unto P n n, f n sul suo grafico, roiettalo sull'asse y ottenendo il unto Q n. Sia H n il simmetrico di Q n risetto alla retta y ˆ e sia P n il unto del grafico di f che ha la stessa ascissa di H n. a. Calcola l'ascissa n di P n in funzione di n ottenendo una successione data er ricorrenza. n ˆ n n b. Posto 0 ˆ, stabilisci se la successione recedente converge e calcola l'eventuale ite. (Suggerimento: mostra che la successione eá decrescente, itata inferiormente dal valore 0; questo garantisce la convergenza. Il valore del ite, che esiste, si calcola imonendo che a n ˆ a h n) n! n! i n ˆ 0 n! In un iano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eá data la circonferenza di raggio unitario e centro O. Sia A 0 un unto di tale circonferenza aartenente al rimo quadrante; il unto A si ottiene ruotando il raggio OA 0 di un angolo (in radianti) ari all'ascissa di A 0 ; il unto A si ottiene ruotando il raggio OA di un angolo (in radianti) ari all'ascissa di A e cosõá via. Determina la osizione sulla circonferenza del unto ite della successione giustificando il risultato ottenuto. unto ite: A 0, Š 4 Siano C e C le due circonferenze di equazioni: C : y ˆ C : y ˆ Considerato un unto A su C si definisce il unto A come il unto di intersezione del cerchio C con la semiretta che ha origine nel centro di C e assante er A. Allo stesso modo si definisce A come il unto di intersezione del cerchio C con la semiretta che ha origine nel centro di C e assante er A.

34 6 AREA - FUNZIONI E LIMITI Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SA Continuando con questa rocedura si determina una successione di unti tali che A n aartiene a C e A n aartiene a C. Stabilisci se questa successione converge e, in caso affermativo, trovane il ite. (Suggerimento: le ascisse dei unti di indice disari sono date dall'esressione n ˆ n 4 q n ; 5 0 n 4 n 4 n er n! tale esressione tende a zero, e quindi la successione converge nell'origine)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Trigonometria (tratto dal sito Comito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi

Esercizi SINTESI E RIEPILOGO. Parole chiave. Formule e proprietà importanti. Tema B. In più: esercizi interattivi Unità Esercizi In iù: esercizi interattivi Tema B SINTESI E RIEPILG Parole chiave Ascissa. 17 Asse delle ascisse. 17 Asse delle ordinate. 17 Asse. 17 Asse. 17 Coefficiente angolare. 10 Coordinata. 17 Distanza

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

IL TEOREMA DI PITAGORA

IL TEOREMA DI PITAGORA GEOMETRIA IL TEOREMA DI PITAGORA E LE SUE APPLICAZIONI PREREQUISITI l conoscere le rorietaá delle quattro oerazioni ed oerare con esse l conoscere il significato ed oerare con otenze ed estrazioni di radici

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si

Dettagli

I appello - 26 Gennaio 2007

I appello - 26 Gennaio 2007 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Prove d'esame a.a. 20082009

Prove d'esame a.a. 20082009 Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.

VERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE. VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

( ) ( ) Verifica di matematica classe 5 a A LST

( ) ( ) Verifica di matematica classe 5 a A LST Verifica di matematica classe 5 a A LST - Dopo aver dato le definizioni di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo, determina il Dominio e scrivi le equazioni degli asintoti della seguente funzione.

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15 Tutorato di Analisi - AA /5 Emanuele Fabbiani 5 marzo 5 Integrali doppi. La soluzione più semplice... Come per gli integrali in una sola variabile, riconoscere eventuali simmetrie evita di sprecare tempo

Dettagli

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione

Dettagli

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ LE CONICHE E LA RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI Rivedi a teoria La raresentazione grafica di articoari curve: e curve irrazionai Mediante o studio dee coniche ossiamo costruire in modo semice i grafico

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE

PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE STATALE IRIS VERSARI - Cesano Maderno (MB) PIANO DI LAVORO DEL PROFESSORE Indirizzo: LICEO SCIENTIFICO MATERIA: MATEMATICA ANNO SCOLASTICO: 2014-2015 PROF: MASSIMO BANFI

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Lezioni A.A. 2003/2004, prof. G. Stefani primo semiperiodo 22/9/03-8/11/03 Testo consigliato: Robert A. Adams - Calcolo differenziale 1 - Casa

Dettagli

Introduzione alla trigonometria

Introduzione alla trigonometria Introduzione alla trigonometria Angoli e loro misure In questa unità introdurremo e studieremo una classe di funzioni che non hai ancora incontrato, le funzioni goniometriche. Esse sono imortanti sorattutto

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli