LABORATORIO I-A. Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua

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1 1 UNIVERSITÀ DIGENOVA FACOLTÀDISCIENZEM.F.N. LABORATORIO IA Cenni sui circuiti elettrici in corrente continua Anno Accademico

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3 Capitolo 1 Richiami sui fenomeni elettrici Esperienze elementari mostrano come oggetti materiali possano essere caratterizzati da una proprietà, detta carica elettrica, in grado di sviluppare una forza tra i corpi stessi. Si osserva in particolare che esistono due forme di questa proprietà, dette rispettivamente carica positiva e carica negativa, tali che corpi dotati di carica dello stesso tipo si respingono mentre corpi dotati di carica differente si attraggono. Oggi sappiamo che questa proprietà è posseduta dalle particelle elementari che compongono la materia: gli atomi infatti sono costituiti da un nucleo massivo carico positivamente circondato da una nuvola di elettroni, dotati di massa molto minore e carichi negativamente. In condizioni normali la carica positiva e quella negativa degli oggetti microscopici si bilanciano esattamente o quasi ed essi ci appaiono elettricamente neutri. Nei solidi cristallini gli elettroni non sono vincolati ai singoli atomi ma al reticolo cristallino stesso e si dispongono in una struttura detta di bande energetiche. Quando gli elettroni occupano completamente i livelli (per così dire tutti i posti liberi ) di una banda i loro movimenti sono in un certo senso bloccati e la carica, associata al loro movimento, che fluisce in un verso è bilanciata esattamente dalla carica che fluisce in verso opposto. Esistono comunque materiali, detti conduttori (tipicamente metalli), in cui una banda non è completamente occupata e in cui gli elettroni sono liberi di muoversi in ogni direzione, un po come le molecole di un gas, e come tali, in condizioni normali, si muovono disordinatamente per agitazione termica senza dar luogo ad un flusso di carica. Se invece sugli elettroni liberi sono presenti forze elettriche (analoghe alle forze che a livello macroscopico sappiamo essere esercitate reciprocamente tra oggetti carichi) questi si possono muovere collettivamente in modo ordinato dando luogo a quello che si chiama una corrente elettrica. Esiste anche la possibilità di passaggio di corrente elettrica con modalità differenti in altri tipi di conduttori (per esempio conduttori elettrolitici) ma per semplicità nonsaranno considerati in questo corso. Torniamo al concetto di corrente in termini più precisi: possiamo dire che, se una sezione di un conduttore è attraversata nel tempo t da una quantità di carica elettrica Q, ilconduttore è percorso da una corrente elettrica di intensità i = Q/ t. L intensità può variare nel tempo: in questo caso possiamo definire una intensità istantanea i(t) = dq/dt. Sperimentalmente si osserva che l intensità di corrente, in un dato conduttore mantenuto in condizioni ambientali costanti (in particolare a temperatura costante), è proporzionale al valore di una quantità, detta differenza di potenziale elettrico, presente tra le estremità del conduttore. A sua volta la differenza di potenziale corrisponde al lavoro, cambiato di segno, che le forze 3

4 4 CAPITOLO 1. 1 elettriche compiono su una carica elettrica unitaria che si sposta tra i punti considerati, cioè al lavoro diviso per la carica elettrica su cui è stato compiuto, ossia V AB = V B V A = L AB /Q. Il rapporto tra la differenza di potenziale (in valore assoluto) e la corrispondente intensità di corrente si chiama resistenza elettrica del conduttore (R). Tutto questo è riassunto nella legge di Ohm: V = i R. La legge di Ohm appare pertanto come la definizione di resistenza elettrica. Il suo contenuto fisico risiede nel fatto che esistono corpi, detti conduttori ohmici, per i quali R è costante al variare della differenza di potenziale applicata. Occorre osservare subito che R non è costante quando cambia la sua temperatura; in particolare nei veri conduttori (metallici) la resistenza aumenta all aumentare della temperatura. Spesso le resistenze commerciali che vengono impiegate nella realizzazione di circuiti elettrici (come quelle che si utilizzano nelle esercitazioni di laboratorio di questo corso) sono a base di carbone e il loro comportamento termico è esattamente opposto a quello dei conduttori metallici, ossia la resistenza diminuisce all aumentare della temperatura. Se si considera un conduttore omogeneo, di sezione costante S e di lunghezza L, si trova che la sua resistenza è direttamente proporzionale a L e inversamente proporzionale ad S. La costante di proporzionalità, detta resistività, dipende dal tipo di materiale e, come abbiamo notato, dalla temperatura. Essa viene comunemente indicata con la lettera ρ. Quanto detto sopra viene riassunto nella seconda legge di Ohm: R = ρ L S. Nel Sistema Internazionale di unità di misura la grandezza fondamentale di tipo elettrico è l intensità di corrente i, la cui unità dimisuraè detta ampere (A) ed è definita a partire dalla forza magnetica agente tra fili percorsi da corrente. L unità di carica elettrica, detta coulomb (C) è la carica che attraversa un conduttore percorso da una corrente costante unitaria, cioè di 1 A, nell unità ditempo,cioè in 1 s. Quindi 1 C = 1 A 1sovvero1A=1C/1s. L unità di potenziale (o di differenza di potenziale) elettrico, detta volt (V) è definita come il rapporto tra l unità di lavoro, il joule (J), e l unità di carica elettrica: 1 V = 1 J / 1 C, ovvero 1 V = 1 J / (1 A s). La prima legge di Ohm ci consente di ricavare l unità di misura della resistenza: il suo nome è appunto Ohm (Ω) e vale 1 Ω = 1 V / 1 A = 1 J/(A 2 s). Dalla seconda legge di Ohm si ricava che l unità di resistivitàè l unità di resistenza per unità lunghezza, cioè 1 Ωm. Spesso si introduce un altra grandezza, detta conduttanza (G), uguale all inverso della resistenza. La sua unità dimisurasaràovviamente1ω 1 = 1 A/V, detta siemens (S). L inverso della resistività è detto conducibilità (σ) e la relativa unità dimisuranels.i.è1(ωm) 1. Il passaggio di una quantità di carica dq attraverso un elemento di circuito, ai capi del quale è presente una differenza di potenziale V, richiede il compimento di un lavoro dl = V dq; se chiamiamo dt il tempo in cui questo avviene ricaviamo che viene sviluppata una potenza P = dl/dt= V dq/dt = V i. Ne segue che in un circuito, in genere, non si può mantenere un passaggio di corrente senza la presenza di dispositivi in grado di fornire potenza. L esperienza quotidiana ci mostra che per tenere in funzione qualunque apparecchio elettrico occorre alimentarlo con batterie (cariche) o connetterlo alla rete di distribuzione di energia elettrica (cioè ad una presa di corrente ). Le batterie producono energia elettrica tramite reazioni chimiche; in quelle ricaricabili la reazione viene fatta procedere in senso inverso immettendo corrente con appositi dispositivi ( caricabatterie ecc...). Le prese di corrente sono il punto di arrivo di un sistema complesso. Nelle centrali elettriche dispositivi, detti alternatori, azionati meccanicamente, producono correnti alternate, ossia variabili sinusoidalmente nel tempo: i(t) = i 0 sen (2πνt φ) con una frequenza ν =50Hz (standard europeo, in USA ν =60Hz). La ragione dell impiego di correnti alternate deriva dalla facilità di trasformarle da bassa ad alta tensione e viceversa. Infatti il trasporto di energia elettrica si realizza facilmente ad altissima

5 tensione (poichè la potenza è data dal prodotto V i, ad alta tensione si possono utilizzare, a parità di potenza trasportata, correnti più basse, quindi cavi di sezione ragionevole) mentre per la produzione e l utilizzo sono convenienti tensioni relativamente basse (nessuno in casa vorrebbe collegare il frigorifero a V). Le prese di corrente comuni forniscono energia alla tensione efficace di 220 V. A livello di impianti industriali è anche diffusa la distribuzione a 380 V (trifase) ma questa non è utilizzata dagli strumenti di interesse di questo corso e non verrà considerata. Quando si parla di tensione efficace si intende una tensione alternata (variabile sinusoidalmente) tale che la potenza media dissipata su una resistenza sia uguale alla potenza che sarebbe dissipata da una tensione continua (cioè costante nel tempo) di valore uguale a quello efficace. In altri termini, se accendo una stufa elettrica alimentandola con una tensione continua di 220 V oppure con una tensione alternata di valore efficace 220 V, produco la stessa quantità di calore per unità ditempo. In pratica si verifica facilmente che una sorgente alternata con V = V 0 sen (2πνt φ) ha un valore efficace V eff =V 0 / 2. In molti casi (in particolare per le esercitazioni di laboratorio di questo corso) è opportuno utilizzare sorgenti che forniscano tensioni continue anzichè alternate. A questo fine esistono apparecchiature (alimentatori) che trasformano l alternata in una tensione continua con caratteristiche più o meno aderenti a quelle ideali (ossia di essere perfettamente costanti nel tempo e al variare della corrente erogata) in funzione della qualità (e del costo) dell apparecchio. In moltissimi casi uno o più alimentatori in continua sono contenuti nei comuni apparecchi domestici che vengono alimentati dalle prese di corrente alternata (televisioni, stereo, computer ecc.). 5

6 6 CAPITOLO 1. 1

7 Capitolo 2 Definizioni, notazioni e leggi fondamentali Introduciamo gli elementi che compongono i circuiti che saranno considerati in questo corso e realizzati nelle esercitazioni di laboratorio. È importante osservare che i componenti reali che saranno utilizzati nei circuiti approssimano soltanto il comportamento ideale che viene schematizzato teoricamente. L approssimazione può essere molto buona quando il componente viene utilizzato in opportune condizioni di funzionamento, ma al di fuori di queste il comportamento può essere completamente differente da quanto previsto dalla schematizzazione. Per esempio un resistore può avere un comportamento perfettamente ohmico se usato correttamente (ossia se attraversato da una corrente tale che la dissipazione di potenza possa essere smaltita senza surriscaldamenti) ma addirittura fondersi se percorso da correnti di intensità eccessiva. Come primo esempio di elemento circuitale consideriamo il resistore, spesso chiamato semplicemente resistenza dal nome della proprietà fisica caratterizzante, appunto la resistenza elettrica. Questo elemento è indicato dal simbolo rappresentato in figura 2.1. Un resistore ideale è R Figura 2.1: Simbolo circuitale del resistore di resistenza R. caratterizzato semplicemente dal valore nominale della sua resistenza (R). Un componente reale ha (o almeno dovrebbe avere) in condizioni ambientali normali una resistenza compatibile con il valore nominale (indicato da un codice a strisce colorate come in figura 2.2) entro la tolleranza dichiarata. Esso è inoltre caratterizzato da una potenza massima, che può essereneicasipiù comuni 1/4 W, 1 W oppure 2 W ma anche sensibilmente superiore, quando necessario. Il valore di resistenza è garantito solo se la potenza effettivamente dissipata sul resistore è inferiore alla potenza massima. Per valori di potenza superiori, il resistore si scalda significativamente e, come abbiamo visto, la sua resistenza cambia. Oltre un certo valore il resistore si danneggia (si brucia ) e può anche danneggiare il resto del circuito. 7

8 8 CAPITOLO Nero 1 Marrone 2 Rosso 3 Arancio 4 Giallo 5 Verde 6 Blu 7 Viola 8 Grigio 9 Bianco 1 Cifra 2 Cifra Esponente Tolleranza Rosso : 2% Oro : 5% Argento : 10% Niente : 20% Sequenza standard di valori Figura 2.2: Codice a colori delle resistenze. Oltre ai resistori considereremo come elementi circuitali i generatori di tensione e/o di corrente. Un generatore di tensione ideale è un dispositivo dotato di due terminali ai cui capi esiste una differenza di potenziale costante, uguale alla forza elettromotrice (f.e.m.), indipendentemente dall intensità di corrente erogata. Un generatore ideale di tensione è schematizzato da uno dei simboli circuitali mostrati in figura 2.3. V (a) (b) Figura 2.3: Simboli circuitali di un generatore ideale di tensione. Un generatore ideale di corrente è un dispositivo in grado fornire un valore fissato di corrente, indipendentemente dalla resistenza dei conduttori in cui passa la corrente stessa. Un generatore ideale di corrente è schematizzato dal simbolo circuitale mostrati in figura 2.4. Nessun generatore reale di tensione può comportarsi in ogni situazione come uno ideale in quanto dovrebbe essere in grado di fornire una potenza illimitata al crescere della corrente erogata. Una utile schematizzazione, valida soprattutto per descrivere il comportamento di una batteria, è pensare ad un generatore reale come ad un generatore ideale con una resistenza interna r i in serie. Al crescere dell intensità di corrente il valore della tensione osservabile sui morsetti è inferiore a quello nominale per via della caduta di tensione sulla resistenza interna: V est = f.e.m. i r i ; la massima corrente che può essere fornita sarà i max = f.e.m. / r i. Il comportamento di un alimentatore stabilizzato da laboratorio, usato opportunamente,

9 9 i i Figura 2.4: Simbolo circuitale di un generatore ideale di corrente. può essere sensibilmente diverso. La tensione diminuisce pochissimo all aumentare della corrente finchè questa non supera un certo livello; quando questo è superato la tensione cade a zero molto rapidamente. Quindi un alimentatore stabilizzato differisce da un generatore ideale in quanto può fornire un intensità di corrente non superiore ad un certo limite; fino a quel punto la sua resistenza interna è in genere trascurabile o comunque molto piccola. Viceversa una batteria è caratterizzata da una resistenza interna significativa e il cui valore dipende non solo dalle sue caratteristiche costruttive ma anche dal suo stato di carica (una batteria scarica ha la stessa f.e.m. di una batteria carica dello stesso tipo ma una resistenza interna molto più alta: la corrente massima che può erogare è estremamente ridotta ovvero la tensione che misuriamo ai morsetti sotto carico è molto inferiore al valore della f.e.m). Analogamente nessun generatore reale di corrente può comportarsi in tutto e per tutto come uno ideale in quanto nuovamente avremmo situazioni in cui la potenza potrebbe crescere illimitatamente. Una schematizzazione comune di un generatore di corrente reale corrisponde ad un generatore ideale con una resistenza in parallelo. La corrente vista all esterno resta sostanzialmente costante quando la resistenza esterna è molto più bassa di quella interna ma viene limitata automaticamente quando la resistenza esterna cresce. Un buon alimentatore da laboratorio può funzionare con buona approssimazione come generatore di corrente purchè la tensione ai sui capi non superi un determinato valore. Le comuni schematizzazioni dei generatori reali sono mostrate in figura 2.5. Lo studio dei i v r i v r i i r s (a) (b) (c) Figura 2.5: Schematizzazione di generatori reali. circuiti elettrici è basato su due leggi fisiche, dette leggi di Kirchhoff. La prima legge, detta legge dei nodi o teorema dei nodi, è basata sulla legge di conservazione

10 10 CAPITOLO 2. 2 della carica elettrica. In qualunque punto di un circuito non possiamo avere un accumulazione di carica perchè altrimenti si arriverebbe rapidamente a situazioni esplosive (differenze di potenziale elevatissime, campi elettrici e quindi forze enormi e distruttive...). Quindi se consideriamo un nodo, ossia un punto in cui convergono diversi rami di un circuito, poichè la carica elettrica non si crea e non si distrugge occorre che la carica trasportata in un certo tempo verso il nodo sia uguale a quella che esce dallo stesso nodo nello stesso tempo. In altri termini, la somma delle correnti entranti in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti. Se attribuiamo un segno positivo alle correnti entranti e uno negativo a quelle uscenti dal nodo, possiamo anche dire che la somma algebrica delle correnti in un nodo deve essere nulla. La seconda legge di Kirchhoff, detta anche legge della maglia o teorema della maglia, è una conseguenza dell unicità del potenziale elettrico. Se noi percorriamo un circuito elettrico seguendo un cammino chiuso (quello che si chiama appunto una maglia) al termine troviamo lo stesso potenziale di partenza, ossia la somma algebrica delle variazioni di potenziale deve essere nulla. Se in un ramo di un circuito abbiamo una resistenza, questa dà luogo ad una caduta di potenziale uguale al prodotto di intensità di corrente per resistenza, ossia V= ir se stiamo percorrendo il ramo nello stesso verso della corrente e V=iR se lo percorriamo in senso inverso. Se incontriamo un generatore di tensione questo implica una variazione V= f.e.m. se lo percorriamo dal polo negativo al positivo e V= f.e.m. nel caso opposto. Se il generatore ha una resistenza interna, questa viene trattata come tutte le altre resistenze. Quindi per capire cosa succede in un circuito contenente solo resistenze e generatori di tensione è sufficiente procedere nel modo seguente. In primo luogo assegnare una corrente, con un verso arbitrario, ad ogni ramo del circuito. Poi, individuati i nodi in cui convergono tre o più rami, scrivere per ciascuno la legge dei nodi. Fatto ciò, è necessario individuare un certo numero di maglie tali da ricoprire tutti gli elementi del circuito. In generale la scelta delle maglie non è univoca. L importante è considerare il numero minimo di maglie sufficienti, come si è detto, a ricoprire tutti i rami del circuito. Ogni maglia in più darebbe luogo ad equazioni linearmente dipendenti dalle altre e quindi appesantirebbe inutilmente la trattazione. Per ogni maglia indipendente scrivere per ciascuna la legge della maglia a partire dalle correnti che si erano assegnate inizialmente ai vari rami. L insieme delle equazioni scritte per i nodi e di quelle scritte per le maglie si traduce in un sistema di equazioni lineari in cui le incognite sono le correnti. Il sistema può essere risolto con uno dei metodi noti consentendo così di ricavare le correnti passanti in ogni elemento del circuito. È importante notare che quando il valore di una corrente risulta negativo il verso effettivo di tale corrente è opposto a quello che si era schematizzato.

11 Capitolo 3 Esempi ed applicazioni delle leggi di Kirchhoff Come primo esempio di studio di circuiti consideriamo il caso elementare di due resistori disposti in serie e collegati ad un generatore ideale di tensione come in figura 3.1. In questo caso le i R 1 R 2 V Figura 3.1: Esempio di circuito elettrico con 2 resistenze in serie. resistenze sono attraversate dalla stessa corrente i. La legge della maglia ci dice: V ir 1 ir 2 =0,cioèV=i(R 1 R 2 ). Allora il sistema dei due resistori in serie èequivalente ad un unico resistore la cui resistenza sia la somma di quelle dei due considerati. La cosa si estende banalmente al caso di un numero qualunque di resistori in serie, per cui vale la legge R s = n i=1 R i. Un altro caso è quello di due resistori in parallelo, come in figura 3.2. In questo caso ai i R 1 R 2 V Figura 3.2: Esempio di circuito elettrico con 2 resistenze in parallelo. capi di entrambe le resistenze è applicata la stessa differenza di potenziale V, quindi esse sono attraversate rispettivamente da intensità di corrente i 1 =V/R 1 ei 2 =V/R 2. Per la legge dei nodi la corrente totale vista all esterno del parallelo sarà i T =i 1 i 2 = V (1/R 1 1/R 2 ). 11

12 12 CAPITOLO 3. 3 Vediamo allora come il parallelo è equivalente ad un unico resistore di resistenza R p tale che 1/R p = 1/R 1 1/R 2. Quindi adesso si sommano gli inversi delle resistenze (ovvero si sommano le conduttanze). Nel caso generale di un numero qualunque di resistori in parallelo vale la legge 1/R p = n i=1 1/R i, oppure G p = n i=1 G i. La conoscenza delle leggi di Kirchhoff è essenziale per un corretto impiego degli strumenti di misura, di cui discuteremo brevemente le caratteristiche principali. I moderni strumenti di misura elettrici consentono di effettuare svariate misure; in questo corso ci occupiamo soltanto di misure di resistenza, intensità di corrente continua e differenza di potenziale continua (o variabile molto lentamente). Gli strumenti si dividono sostanzialmente in due categorie: strumenti a bobina mobile, in cui la visualizzazione è analogica, basata sul posizionamento di un ago lungo una scala graduata, e strumenti elettronici a conversione analogicodigitale, in cui la visualizzazione di norma è realizzata mediante un display numerico. Negli strumenti a bobina mobile l elemento centrale è appunto una bobina percorsa dalla corrente che si vuole misurare e immersa in un campo magnetico. La bobina si comporta come un ago magnetico e tende ad allinearsi al campo magnetico, contrastando il richiamo di una molla. La posizione di equilibrio dipende dal valore della corrente ed è messa in evidenza dalla posizione di un ago, collegato alla bobina, lungo una scala graduata. In questo modo si è realizzato uno strumento di misura di corrente, che si chiama amperometro. Si può ottenere un fondoscala differente mettendo in parallelo alla bobina un resistore (detto di shunt ) di valore opportuno. Per esempio, se si mette in parallelo un resistore la cui conduttanza sia 9 volte maggiore di quella della bobina, solo un decimo della corrente totale passa attraverso la bobina e quindi il fondoscala viene moltiplicato per 10. Un amperometro deve essere inserito in serie nel ramo di circuito in cui si vuole misurare l intensità di corrente. Per alterare il meno possibile le caratteristiche del circuito in cui viene inserito è bene che la resistenza interna dell amperometro sia il più possibile bassa. Per la misura di correnti molto basse si usano strumenti molto sensibili e delicati, detti galvanometri, il cui funzionamento è analogo a quello degli amperometri ma in cui la bobina, anzichè essere collegata ad una molla, è sospesa a due fili sottili che realizzano anche il collegamento elettrico. L amperometro, con una resistenza in serie, può essere utilizzato per misurare differenze di potenziale (voltmetro). In questo caso i puntali devono essere collegati ai punti del circuito tra cui si vuole determinare la differenza di potenziale e quindi la disposizione è in parallelo rispetto alla porzione di circuito considerata. Per questo motivo è opportuno che la resistenza interna sia il più possibile alta in modo da non introdurre grosse alterazioni al circuito originale. Tuttavia in uno strumento a bobina mobile il valore di questa resistenza è limitato dal fatto che è necessario il passaggio di un intensità di corrente non troppo piccola per poter spostare l ago contro il richiamo della molla. Attualmente sono molto utilizzati gli strumenti elettronici a conversione analogicodigitale; questa viene realizzata con diverse tecniche, che in genere si basano sul confronto tra la tensione in misura e una tensione di riferimento generata internamente allo strumento. A titolo di esempio, uno dei metodi utilizzati consiste nel creare internamente allo strumento una tensione crescente linearmente nel tempo (rampa di tensione) e contemporaneamente far partire un contatore di impulsi prodotti a intervalli regolari di tempo. Nel momento in cui la tensione generata supera quella in misura, il contatore viene fermato e un apposito circuito ne visualizza, con le opportune manipolazioni e conversioni di unità di misura, il contenuto (vedere figura 3.3). Anche gli strumenti digitali, ovviamente, sono solitamente realizzati in modo da poter misurare grandezze di diverso tipo (tensioni, correnti, resistenze, ecc...). La loro resistenza interna,

13 13 quando usati come amperometri, è in genere confrontabile con quella degli strumenti analogici, mentre può essere sensibilmente superiore (tipicamente 10 MΩ) quando usati come voltmetri. V (Rampa di tensione) V m Tensione in misura t m t Impulsi tra t=0 e t m Figura 3.3: Esempio schematico di conversione analogicodigitale. Può essere utile mettere in evidenza il ruolo della resistenza interna degli strumenti considerando come esempio il metodo voltamperometrico per la determinazione della resistenza, basato sulla misura contemporanea della corrente passante attraverso un conduttore e la differenza di potenziale ai capi del medesimo. A questo scopo si possono realizzare in alternativa due circuiti, rappresentati nelle figure 3.4 (a) e (b). Amp Rx Amp R x Volt Volt (a) (b) Figura 3.4: Schemi di circuiti per misure di resistenza con il metodo voltamperometrico. Nel caso del circuito (a) il voltmetro misura correttamente la d.d.p. ai capi di R x ma la corrente i misurata dall amperometro differisce in modo sistematico dalla corrente i che attraversa la resistenza in quando comprende anche la corrente che attraversa il voltmetro stesso. Si capisce immediatamente che questo effetto tende a 0 quando la resistenza interna del voltmetro tende a. In generale possiamo dire che i= V e i = V dove 1 = 1 1 (con R V =resistenza R x R p R p R x R V interna del voltmetro).

14 14 CAPITOLO 3. 3 Ne segue che i = V (1 R x V )dacuisiricavar x = R x R V i ; la correzione risulta quindi V/R V trascurabile se V << i. La corrente che attraversa R x sarà i=i V. R V R V Se si considera invece il circuito (b) è corretta la corrente i letta dall amperometro ma risulta falsata la tensione V letta dal voltmetro in quanto essa include anche la caduta di potenziale nella resistenza interna R A dell amperometro. Avremo V = i(r x R A )dacuisiricavar x = V ir A ;inquestocasolacorrezioneè i trascurabile se ir A << V. La tensione ai capi di R x sarà ovviamente V = V ir A Un altro circuito elementare, che è utile studiare, èilpartitore di tensione mostrato in figura 3.5. Nel circuito, ad una sola maglia, circola una corrente i= V 0 R ar b ;latensioneai R a V 0 R b V Figura 3.5: Il partitore di tensione (o attenuatore). R b capi di R b sarà V=iR b =V 0. Quindi la tensione ai capi di R b risulta attenuata di R a R b R b un fattore (detto appunto fattore di attenuazione) rispetto alla tensione V 0 fornita R a R b dal generatore. È importante osservare che il fattore di attenuazione così trovatoè valido a circuito aperto. Se la tensione V viene utilizzata da un carico schematizzato per esempio da una resistenza R L (figura 3.6) occorre sostituire a R b il parallelo tra R b er L :V=V 0, R a R p dove R p =(1/R b 1/R L ) 1. R p R a V 0 R b R L Figura 3.6: Il partitore di tensione con il carico R L. Il potenziometro èundispositivoa3terminalischematizzatoinfigura 3.7.

15 15 A R T C R X B Figura 3.7: Schema di potenziometro. Tra i terminali A e B si ha un valore fisso di resistenza (R T ), tra B e C, invece, il valore può essere regolato mediante una manopola o una vite e assume un valore R X compresotra0e R T (ovviamente tra C ed A si avrà una resistenza R T R X ). Il potenziometro, collegato ad un generatore, costituisce un partitore con fattore di attenuazione regolabile dato da R X /R T. In presenza di una resistenza di carico R L,postoR p =(1/R X 1/R L ) 1, il fattore di attenuazione R p diventa. R T R X R p Si può fare una applicazione completa delle leggi di Kirchhoff considerando un circuito a due maglie indipendenti, come in figura 3.8. La legge dei nodi, applicata nel punto A, ci dice: i 1 =i 2 i 3. La legge delle maglie, applicata per esempio al settore sinistro e al settore destro del circuito, implica altre due equazioni: V 1 i 1 R 1 i 3 R 3 =0 V 2 i 3 R 3 i 2 R 2 =0 Quindi abbiamo ottenuto un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite (le 3 correnti); possiamo osservare che l applicazione della legge dei nodi al punto B o di quella delle maglie alla maglia esterna porterebbe a scrivere equazioni linearmente dipendenti da quelle sopra ricavate. Si può procedere per esempio per sostituzione ricavando inizialmente dalle prime due equazioni i 2 = V 1 i 3 (R 1 R 3 ) R 1 e quindi sostituendo nella terza: V 2 i 3 R 3 R 2 [V 1 i 3 (R 1 R 3 )] = 0 da cui R 1 i 3 [R 3 R 1 R 2 R 1 R 2 R 3 ]=V 1 R 2 V 2 R 1 cioè V 1 R 2 V 2 R 1 i 3 =. R 3 R 1 R 2 R 1 R 2 R 3 Notiamo che il valore di i 3 può essere positivo o negativo (quindi la corrente può andare secondo il verso ipotizzato oppure al contrario) a seconda dei valori di V 1,V 2,R 1 ed R 2. Sostituendo il valore di i 3 nelle equazioni precedenti, ricaviamo rispettivamente i 2 = R 3V 1 R 1 V 2 R 3 V 2 R 3 R 1 R 2 R 1 R 2 R 3

16 16 CAPITOLO 3. 3 i 1 R 1 A R 2 i 2 V 1 i 3 R 3 V 2 B Figura 3.8: Esempio di circuito a due maglie. i 1 = R 2V 1 R 3 V 1 R 3 V 2. R 3 R 1 R 2 R 1 R 2 R 3 Si vede immediatamente che i 1 ei 2 sono positive indipendentemente dai valori delle grandezze in gioco, quindi queste correnti seguono sempre il verso ipotizzato inizialmente. Il problema può essere affrontato in maniera lievemente differente utilizzando il metodo, introdotto da Maxwell, delle correnti fittizie di maglia. Nell esempio che abbiamo appena considerato possiamo introdurre una corrente, che chiamiamo i A, associata alla maglia di sinistra e una corrente, i B, associata alla maglia di destra. Con questa convenzione è possibile utilizzare soltanto le equazioni delle maglie purchèneirami in comune a due maglie si consideri come corrente la somma algebrica delle correnti associate alle due maglie interessate. Nell esempio del circuito di figura 3.8 la corrente i 1 si identifica con i A,i 2 con i B ei 3 con i A i B. Ovviamente il risultato è esattamente lo stesso: l unica differenza è che la legge dei nodi viene utilizzata implicitamente anzichè esplicitamente.

17 Capitolo 4 Alcuni teoremi relativi ai circuiti elettrici Dal punto di vista fisico i circuiti elettrici in corrente continua sono descritti completamente dalle leggi di Kirchhoff. In pratica in molti casi può essere utile fare ricorso ad alcuni teoremi, che costituiscono essenzialmente elaborazioni matematiche delle leggi precedentemente considerate, per analizzare più agevolmente alcune situazioni. Vediamo in primo luogo il teorema di sovrapposizione. Questo asserisce che il comportamento di una rete lineare contenente più generatori indipendenti può essere determinato considerando separatamente l effetto di ogni generatore e sommando le rispettive risposte. Possiamo applicare questo teorema al circuito di figura 3.8: a questo scopo consideriamo i circuiti mostrati in figura 4.1 (a) e (b), contenenti ciascuno un solo generatore. R 1 R R A 2 1 A R 2 V 1 R 3 R 3 V 2 B (a) B (b) Figura 4.1: Circuiti analoghi a quello di figura 3.8 ma con un solo generatore. Nel caso del circuito (a) avremo la resistenza R 1 in serie al parallelo di R 2 er 3. In R 1 V 1 circolerà la corrente i 1a = R 1 R. 2R 3 R 2 R 3 La tensione ai capi di R 2 er 3 sarà V ABa =V 1 R 1 i 1a e quindi le correnti circolanti in R 2 er 3 saranno rispettivamente i 2a = V ABa ei 3a = V ABa. R 2 R 3 Se invece consideriamo il circuito (b) R 2 sarà in serie al parallelo di R 1 ed R 3.InR 2 circolerà 17

18 18 CAPITOLO 4. 4 V 2 i 2b = R 2 R. 1R 3 R 1 R 3 La tensione ai capi di R 1 er 3 sarà V ABb =V 2 R 2 i 2b e quindi le correnti circolanti in R 1 er 3 saranno rispettivamente i 1b = V ABb ei 3b = V ABb. R 1 R 3 Si possono così ricostruire i valori delle correnti nel circuito originale: i 1 =i 1a i 1b ; i 2 = i 2a i 2b ; i 3 =i 3a i 3b. Inmolticasipuò essere conveniente considerare un circuito equivalente semplificato rispetto a quello originale. Questo succede in particolare quando non siamo interessati al dettaglio di quello che accade internamente al circuito ma ai suoi effetti nei confronti del mondo esterno ossia, in genere, di un altro circuito. A questo proposito èrilevanteilteorema di Thevenin. Questo asserisce che ogni rete lineare vista tra due capi A e B è equivalente ad un generatore ideale di tensione V Th con in serie una resistenza R Th. Il valore di V Th è la tensione esistente tra A e B a circuito aperto (ossia con il circuito non collegato al resto del mondo ) mentre R Th è la resistenza che si vede tra i punti A e B supponendo di avere cortocircuitato tutti i generatori di tensione e tagliato i rami contenenti i generatori di corrente. Possiamo utilizzare il teorema di Thevenin per semplificare il circuito di figura 3.8. Per esempio la maglia composta dal generatore di tensione V 1 e dalle resistenze R 1 er 3 si può ridurre ad un ramo contenente un generatore con una resistenza in serie come illustrato in figura 4.2. R 1 A V 1 R 3 B V Th R Th A B Figura 4.2: Esempio di semplificazione di un circuito con il teorema di Thevenin. La tensione V Th è quella che sussiste tra i punti A e B, quando questi non sono collegati ad R 3 altri elementi circuitali, cioè V Th =V 1. R 1 R 3 La resistenza R Th è quella vista tra A e B cortocircuitando il generatore, ossia il parallelo di R 1 con R 3 :R Th = R 1R 3. R 1 R 3 Allora per il calcolo della corrente circolante in R 2 circuito (a una sola maglia) di figura 4.3. Avremo semplicemente i 2 = V Th V 2 R Th R 2. (i 2 ) si può far riferimento al

19 19 È chiaro che con questo metodo perdiamo il dettaglio di cosa accade internamente alla parte di circuito che abbiamo semplificato. R Th A V Th R 2 B V 2 Figura 4.3: Circuito equivalente a quello di figura 3.8, ricavato utilizzando il teorema di Thevenin. Un altro modo di sostituire un circuito con uno equivalente semplificato è fornito dal teorema di Norton. Secondo questo teorema si può sostituire qualunque rete lineare tra due punti A e B con un generatore di corrente con in parallelo una resistenza vista tra i punti A e B (in pratica la stessa del teorema di Thevenin). La corrente i N da considerare è quella che scorre tra A e B quando questi punti siano in corto circuito, ossia collegati da un ramo di resistenza nulla (trascurabile). L applicazione del teorema di Norton al circuito di figura 3.8 è mostrata in figura 4.4. La corrente di corto circuito sarà i N = V 1 R 1 elaresistenzatraaebsarà R N = R 1R 3 R 1 R 3. R 1 A A V 1 R 3 i N R N B B Figura 4.4: Esempio di semplificazione di un circuito con il teorema di Norton.

20 20 CAPITOLO 4. 4 Dai teoremi di Thevenin e Norton si ricava immediatamente che V Th =i N R Th,cioèche, presi due terminali A e B di un circuito, la tensione a circuito aperto tra A e B è uguale al prodotto della corrente di corto circuito per la resistenza vista tra A e B. Questa relazione, che è formalmente analoga alla legge di Ohm, può essere utile per ricavare semplicemente la tensione tra due punti di un circuito.

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