Probabilità discreta
|
|
- Gerardina Filippa Zamboni
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 CAPITOLO 2 Probabilità discreta Esercizio 2.1 Eventi Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω{(M,M), (M,F), (F, M), (F, F)}. L evento unione di primo figlio femmina e secondo figlio maschio è dato da {(F, M), (F, F), (M,M)}, mentre l evento intersezione è dato da {(F, M)}. Esercizio 2.2 Un opportuno spazio degli eventi è dato da: Ω{R, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27, 28, 29, 30, 30L}. L evento promosso è dato da {18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27, 28, 29, 30, 30L}. L evento complementare all evento voto maggiore di 27 è dato da {R, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 2, 26, 27}. L evento voto minore di 21 è incompatibile con l evento voto maggiore di 21 e con l evento voto maggiore di 27. Inoltre l evento voto minore di 27 è incompatibile con l evento voto maggiore di 27. Esercizio 2.3 Lo spazio degli eventi è Ω{(X, Y, z) X, Y {testa, croce}, z {1, 2, 3, 4,, 6}}. Se le monete o il dado sono truccati lo spazio degli eventi si riduce ad un sottoinsieme di Ω. Esercizio 2.4 Gli eventi composti sono i seguenti: {A, B} peso alla nascita inferiore a 200 g; {B, C} peso alla nascita superiore a 100 g; {A, C} peso alla nascita inferiore a 100 g o superiore a 200 g; {A, B, C} peso alla nascita qualsiasi. Esercizio 2. Ω{(i, j) i {A, B, C}, j {P, N, R}}. 7
2 8 2. PROBABILITÀ DISCRETA Distribuzioni di probabilità Esercizio 2.6 No. Il fatto che due eventi siano diversi non mi consente di affermare che le loro probabilità siano diverse. Ad esempio, se A Ω ha probabilità 1/2, allora l evento complementare B Ω \ A (che senza dubbio è diverso da A) haanch esso probabilità 1/2. Esercizio 2.7 Che sia multiplo di 3, dato che ogni multiplo di 9 è anche multiplo di 3. Esercizio 2.8 Lo spazio degli eventi è quello dell esercizio 2.3. Esso contiene 24 eventi elementari, ognuno dei quali ha probabilità 1/24. L evento due teste e un 2 è un evento elementare, pertanto avrà probabilità 1/24. Esercizio 2.9 1/6 (1 (1/2) 6 ). Esercizio 2.10 Rispettivamente 1/128 e 18/2048. Esercizio 2.11 Idueeventisonoequiprobabili,conprobabilità ( 2) (1/2). Esercizio 2.12 La probabilità che sia 8 è 8/90, mentrechesia12è7/90. Lospazio degli eventi è l insieme dei naturali compresi tra 10 e 99. Lesommepiùprobabilisono9e 10, entrambe con probabilità 1/10. Esercizio 2.13 La probabilità di ottenere 1 è 1/6,cosìcomelaprobabilitàdiottenere 6. Laprobabilitàdiottenere7 è 0. Esercizio 2.14 La probabilità di ottenere 1 è 1/9. Laprobabilitàdiottenere6 è 2/9. La probabilità di ottenere 7 è 0. Esercizio 2.1 probabilità 1/n. La somma più probabile, lanciando due dadi a n facce, è n +1, con Esercizio 2.16 Le somme meno probabili, lanciando due dadi a n facce, sono 2 e 2n, entrambe con probabilità 1/n 2. Esercizio /2. Esercizio /8. Esercizio /4. Esercizio 2.20 (a) 18/37; (b) 22/37; (c) 2/37. Frequenze relative Esercizio 2.21 Rispettivamente 0.28, 0.14, 0.03, 0.6. Esercizio 2.22 Esercizio /12. Esercizio Esercizio 2.2 Circa Esercizio /116. La probabilità che sia sana è 2/,mentrequellachesiamalataè3/. La probabilità di guarigione è /12,mentrequelladinonguarigioneè
3 PROBABILITÀ CONDIZIONATA 9 Assiomi della probabilità Esercizio 2.27 La probabilità di essere sordi e muti è 0.0%, mentrequelladiessere sordi o muti è 1.0%. Esercizio 2.28 Esercizio 2.29 No. No. Esercizio Esercizio % Esercizio /300. Esercizio 2.33 Eventi indipendenti A e A c sono indipendenti se e solo se uno dei due ha probabilità zero. Esercizio 2.34 Due eventi incompatibili sono indipendenti se e solo se almeno uno dei due ha probabilità zero. Esercizio 2.3 Rispettivamente 1/2, 1/3, 1/6. Esercizio 2.36 Sì in tutti e tre i casi. Esercizio 2.37 Sono eventi indipendenti. La legge di Hardy-Weinberg Esercizio 2.38 La probabilità che contenga l allele A è 0.3, mentre quella che contenga l allele B è Esercizio 2.39 Rispettivamente (0.6) e (0.266) 2. Esercizio 2.40 p GG 0.49, p Gb 0.42, p bb Esercizio 2.41 p c 0.3, p L 1 0.3, p cc 0.3, P LL (1 0.3) 2, p Lc 2(1 0.3) 0.3. Esercizio 2.42 p B 0.3, p V 0.2, p R 0.4, p BB 0.122, p VV 0.062, p BV 0.17, p RR 0.16, p RB 0.28, p RV Probabilitàcondizionata Esercizio Esercizio 2.44 La probabilità richiesta è 1/4, enondipendedalladistribuzionedi probabilità dei vari genotipi. Esercizio 2.4 Infatti si calcola come p(entrambi maschi) p(almeno un maschio). Esercizio Esercizio 2.47 (a) 0.062; (b) 0.2; (c) 0.0; (d) 0.2; (e) 1.
4 10 2. PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio 2.48 (a) 0.9; (b) 0.613; (c) 0.71; (d) 0.36; (e) 0. Esercizio 2.49 Rispettivamente 9.66% e 8.41%. Esercizio 2.0 Esercizio 2.1 p(a B C) p(a B C) p(b C) p(a B C) p(a B C) p(b C) p(a B C) p(b C). Esercizio 2.2 p(a B C) p(b C) p(a B C) p(a C B). p(c B) p(a C B) p(b) p(b C) p(c B) p(b) Esercizio 2.3 p(b A c ) p(b Ac ) p(a c ) p(b) p(b A) 1 p(a) p(b) p(a) p(b A) 1 p(a) Esercizio 2.4 (a) 8.29%; (b) 17.6%. Esercizio 2. p(a B C)+p(A B c C) p(a B C)+p(A Bc C) p(a C) p(a C). Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio 2.9 (a) ; (b) ; (c) Per errori di approssimazione.
5 CALCOLO COMBINATORIO 11 Esercizio 2.60 Fare 4. Calcolo combinatorio Esercizio Esercizio 2.62 Non è un caso: l evento in un gruppo di 2 persone ce ne sono due che hanno lo stesso compleanno può essere riparafrasato come l evento in un gruppo di 2 persone tutti hanno lo stesso compleanno, e ai fini del calcolo delle probabilità è irrilevante che tu faccia parte o meno del gruppo. Esercizio 2.63 (a) 720, 040, (b) 040, 20160, (c) 1/6, 1/42, 1/336. (d) ,0.104,1/84. (e) 4, 10, 20, 462. (f) , 9702, Esercizio 2.64 k+1 (a) k+1 m ; (b) P n,h h ; (c) ( ) n+1 6. Esercizio 2.6 (a) x 4 +4x 3 +12x 2 +16x +16; (b) k ( n n0 k) y k ; (c) x 6 x 4 y 2 x 2 y 4 + y 6 ; (d) 32a +80a 4 b +80a 3 b 2 +40a 2 b 3 +10ab 4 + b. Esercizio 2.66 In caso di estrazioni con reimbussolamento abbiamo: (a) (3/4) ; (b) 4 (4 3) In caso di estrazioni senza reimbussolamento abbiamo: (a) ; (b) 4 / ( ) 12. Esercizio 2.67 Rispettivamente , , , Esercizio Esercizio 2.69 Se ogni compito può apparire al più una volta posso effettuare l assegnazione in 3 modi diversi. Se sono ammesse ripetizioni posso effettuare l assegnazione in 210 modi diversi. Esercizio Esercizio 2.71 (a) 1/10 ; (b) 1/!; (c) 2/!; (d) 1/10 3.
6 12 2. PROBABILITÀ DISCRETA Esercizio 2.72 (a) 1/10 4 ; (b) 1/10 3 ; (c) 1/( ); (d) 1/4!; (e) 2/4!. Esercizio 2.73 (a) 210; (b) 120; (c) ( n k) se k n,0altrimenti; (d) ( n k 1) se k n +1,0altrimenti. Esercizio 2.74 (a) (4/) 30 ; 30! (b) (6!) / 30. Esercizio 2.7 Rispettivamente 2/ ( 2 ), ( 13 Esercizio 2.76 ) ( 4/ 2 ), se sono ammesse ripetizioni, nessuna altrimenti. Esercizio 2.77 Rispettivamente 9/24, 8/24 e 0. [Errata per la prima edizione: nel testo dell esercizio sostituire 6 con 4 entrambe le volte.] Esercizio 2.78 (a) 4/2; (b) ; (c) 48/( ). Esercizio 2.79 (a) 4/40; (b) ; 38 ; 38 ; 38. (c) (d) (e) Esercizio 2.80 (a) (1/6) 6 ; (b) 6!/6 6 ; (c) ( ) ; 6 (d) ( ) Esercizio 2.81 biologia ha anagrammi, chimica ne ha 1260 e matematica ne ha Esercizio 2.82 (a) 6!; (b) 1/3; (c) rispettivamente 7!, 2/7. Esercizio (a) y i ; i1
7 b i ; n+1 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) i2 k x i ; i0 n x 2i ; i0 4 a 3 i ; i1 N (x i y i ) 2 ; i1 ( 1) i zi 2 ; i2 3 x 2i 1. i0 Esercizio 2.84 (a) q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q + q 6 ; (b) x 1 + x 0 + x 2 + x 3 + x 4 ; (c) DISTRIBUZIONE BINOMIALE 13 Esercizio 2.8 (a) Segue dalla proprietà associativa della somma; (b) Segue dalla proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto; (c) Segue da (a) e (b). Esercizio 2.86 Distribuzione binomiale Circa 0.13, 0.116, 0.384, 0.19 rispettivamente. Esercizio 2.87 Sapendo che il primo figlio è maschio otteniamo circa 0.263, 0, 0., rispettivamente. Sapendo che il primo figlio è femmina otteniamo circa 0, 0.237, 0.263, rispettivamente. Esercizio Esercizio Esercizio 2.90 Esercizio Esercizio 2.92 Almeno 4. Circa 0.42 e 0.68 rispettivamente.
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8
STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 8 Dott. Giuseppe Pandolfo 18 Novembre 2013 CALCOLO DELLE PROBABILITA Elementi del calcolo delle probabilità: 1) Esperimento: fenomeno caratterizzato da incertezza 2) Evento:
Dettaglilibri acquistati sconto 1 10% 2 20% 3 30% 4 40% 5 50% 6 60% 7 70% Tabella 3. Sconti
ESERCITAZIONI 5 2.. Percentuali. 2. Compiti a casa 3 ottobre 2006 Esercizio 2.. Se in un anno in una popolazione i nuovi nati sono l, 5% della popolazione e i morti l, 8% della popolazione, di quanto è
DettagliSTATISTICA ESERCITAZIONE 9
STATISTICA ESERCITAZIONE 9 Dott. Giuseppe Pandolfo 19 Gennaio 2015 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione
DettagliPROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)
L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello
DettagliESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
ESERCIZI SU EVENTI E VARIABILI ALEATORIE DISCRETE Docente titolare: Irene Crimaldi 26 novembre 2009 Es.1 Supponendo che la probabilità di nascita maschile e femminile sia la stessa, calcolare la probabilità
Dettagli1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3.
Corso di Laurea INTERFACOLTÀ - Esercitazione di Statistica n 6 ESERCIZIO 1: 1. Descrivere gli spazi campionari dei seguenti esperimenti casuali: 1. lancio di un dado 2. lancio di due dadi 3. lancio di
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 1 Abbiamo visto: Definizioni di statistica, statistica inferenziale, probabilità (interpretazione
DettagliCorrezione primo compitino, testo B
Correzione primo compitino, testo B gennaio 20 Parte Esercizio Facciamo riferimento alle pagine 22 e 2 del libro di testo Quando si ha a che fare con la moltiplicazione o la divisione di misure bisogna
Dettagli1 Ingredienti base del CDP. 2 Denizioni classica e frequentista. 3 Denizione assiomatica. 4 La σ-algebra F. 5 Esiti equiprobabili
1 Ingredienti base del CDP 2 Denizioni classica e frequentista 3 Denizione assiomatica 4 La σ-algebra F 5 Esiti equiprobabili 6 Esperimento casuale 7 Probabilità condizionata Ingredienti base del CDP eventi
DettagliPROBABILITA. Nella costruzione dello spazio degli eventi la difficoltà aumenta notevolmente laddove sia necessario fare uso del prodotto cartesiano.
Nella costruzione dello spazio degli eventi la difficoltà aumenta notevolmente laddove sia necessario fare uso del prodotto cartesiano. La costruzione dello spazio cartesiano richiede un grado di astrazione
DettagliProbabilità I Calcolo delle probabilità
Probabilità I Calcolo delle probabilità Nozioni di eventi. Definizioni di probabilità Calcolo di probabilità notevoli Probabilità condizionate Concetto di probabilità Cos'è una probabilità? Idea di massima:
DettagliIL CALCOLO DELLE PROBABILITA
IL CALCOLO DELLE PROBABILITA INTRODUZIONE Già 3000 anni fa gli Egizi praticavano un antenato del gioco dei dadi, che si svolgeva lanciando una pietra. Il gioco dei dadi era diffuso anche nell antica Roma,
DettagliPROBABILITA. DEFINIZIONE: Ogni singolo risultato di un esperimento casuale si chiama evento elementare
PROBABILITA La teoria della probabilità si applica ad esperimenti aleatori o casuali: ossia, esperimenti il cui risultato non è prevedibile a priori. Ad esempio, lancio di un dado, lancio di una moneta,
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 05-6 P.Baldi Lista di esercizi, 8 gennaio 06. Esercizio Si sa che in una schedina
DettagliCorrezione primo compitino, testo A
Correzione primo compitino, testo A Parte Esercizio Facciamo riferimento alle pagine 22 e 2 del libro di testo Quando si ha a che fare con la moltiplicazione o la divisione di misure bisogna fare attenzione,
DettagliFondamenti di Statistica. Prof. V. Simoncini. Orario di Lezione: Mar Gio
Fondamenti di Statistica Prof. V. Simoncini Orario di Lezione: Mar 14-16 Gio 9.00-11.00 Orario di ricevimento: per appuntamento valeria@dm.unibo.it Siti del corso: www.dm.unibo.it/ simoncin/fondamenti.html
DettagliTest di autovalutazione
Test Test di autovalutazione 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n Confronta le tue risposte con le soluzioni. n
DettagliMetodi quantitativi per i mercati finanziari
Metodi quantitativi per i mercati finanziari Esercizi di probabilità Spazi di probabilità Ex. 1 Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Siano A e B sottoinsiemi di Ω tali che A = {numeri pari},
DettagliPROBLEMI DI PROBABILITÀ
PROBLEMI DI PROBABILITÀ 1. Si dispongono a caso su uno scaffale sette libri, dei quali tre trattano di matematica. Qual è la probabilità che i tre libri di matematica si vengano a trovare l uno accanto
DettagliNOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ
NOZIONI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ESPERIMENTO CASUALE: un esperimento si dice casuale quando gli esiti (manifestazioni o eventi) non possono essere previsti con certezza. PROVA: le ripetizioni, o occasioni
DettagliIntroduzione al Calcolo delle Probabilità
Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto
DettagliSperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3
Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile
DettagliMatematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità
Matematica con elementi di statistica ESERCIZI: probabilità Esercizi sulla Probabilità Esercizio 1. In un corso di laurea uno studente deve scegliere un esame fra 8 di matematica e un esame fra 5 di fisica.
DettagliCalcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità Definizione di Spazio Campionario Definizioni di Probabilità Eventi mutuamente esclusivi Eventi indipendenti Principio della somma Principio del prodotto Eventi certi : è certo
DettagliÈ l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio; si indica generalmente con il simbolo.
A Ripasso Terminologia DOMADE Spazio campionario Evento Evento certo Evento elementare Evento impossibile Evento unione Evento intersezione Eventi incompatibili Evento contrario RISPOSTE È l insieme di
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno 00- P.Baldi Lista di esercizi. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio Si sa che in una schedina del totocalcio i tre simboli, X, compaiono con
DettagliEsercitazione del 31/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità
Esercitazione del 1/01/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercizio 1 Vengono lanciati due dadi regolari a 6 facce. (a) Calcolare la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia 9? (b) Calcolare
DettagliCalcolo delle Probabilità 2013/14 Foglio di esercizi 3
Calcolo delle Probabilità 203/4 Foglio di esercizi 3 Probabilità condizionale e indipendenza. Esercizio. Per rilevare la presenza di una certa malattia, si effettua un test. Se la persona sottoposta al
DettagliIL CALCOLO DELLA PROBABILITÀ
IL LOLO LL PROILITÀ 1 Una scatola contiene quattro dischetti rossi numerati da 1 a 4, sei dischetti verdi numerati da 1 a e cinque dischetti bianchi numerati da 1 a 5. Si estrae un dischetto. Scrivi gli
DettagliPreparazione all esame in italiano del ALGEBRA -
TEST PSICOMETRICO Preparazione all esame in italiano del 2014 - - Febbraio Marzo 2014 Docente: Giacomo Sassun E-mail: gsassun@yahoo.it info@israeluni.it Realizzato grazie al contributo dell UNIONE DELLE
DettagliLo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U 1. 2. 3. U 4. 5. 6
EVENTI ALEATORI E LORO RAPPRESENTAZIONE Lo spazio degli eventi del lancio di un dado regolare a sei facce è l insieme U... U.. La definizione classica di probabilità dice che, se gli eventi che si considerano
Dettagli( ) ( ) Ω={1,2,3,4,5,6} B B A Siano A e B due eventi di Ω: si definisce evento condizionato B A. Consideriamo il lancio di un dado:
Eventi condizionati Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi sia subordinato al verificarsi di altri eventi, si è soliti distinguere tra eventi dipendenti(o condizionati )
DettagliModelli descrittivi, statistica e simulazione
Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)
DettagliEsempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Esempio 2
Esempi di prove di verifica su calcolo combinatorio e delle probabilità Esempio 1 Il compito verte sui seguenti contenuti irrinunciabili: probabilità totale e composta Competenze essenziali interessate:
DettagliVARIABILI ALEATORIE Una moneta equilibrata viene lanciata più volte. Qual è la probabilità che al 6 lancio:
VARIABILI ALEATORIE. Una moneta equilibrata viene lanciata più volte. Qual è la probabilità che al lancio: a) si abbia testa per la prima volta? b) Si sia avuto testa almeno una volta? c) Si sia avuta
DettagliESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina?
ESERCIZI PROBABILITA E CALCOLO COMBINATORIO CON RISULTATI 1. P che estraendo a caso 1 carta da un mazzo di 52 sia una regina? [4/52] 2. Estratta una Q, P che ad una seconda estrazione si presenti ancora
DettagliEsercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N 1 PROBABILITÀ
Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA AA 2010/2011 LEZIONE N 1 PROBABILITÀ Definizione classica di probabilità: La probabilità di un dato evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli
DettagliID pratica Posizione Punteggio Aree OFA
1563172 1 84,3 1548761 2 81,3 1567589 3 80,2 1557160 4 78,3 1559270 5 76,4 1567830 6 73,3 1549846 7 73 1564343 8 71,1 1551114 9 71,1 1557166 10 70,3 1552944 11 70 1548732 12 70 1552341 13 69,9 1546339
DettagliCalcolo delle Probabilità: esercitazione 2
Argomento: eventi indipendenti ed incompatibili, probabilità dell evento unione e complementare, probabilità condizionata, principio della probabilità composta. Paragrafi 3.2, 3.3, 3.4 e 3.5 libro di testo.
DettagliMATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2009 TEMI 1 E 3 ESERCIZI SVOLTI
MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2009 TEMI 1 E 3 ESERCIZI SVOLTI OSSERVAZIONE PRELIMINARE: Premesso che per il corretto svolgimento di
Dettagliprima urna seconda urna
Un po di fortuna Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella prima urna ci sono una
DettagliTutorato 1 (20/12/2012) - Soluzioni
Tutorato 1 (20/12/2012) - Soluzioni Esercizio 1 (v.c. fantasia) Si trovi il valore del parametro θ per cui la tabella seguente definisce la funzione di probabilità di una v.c. unidimensionale X. X 0 1
DettagliCENTRO SALESIANO DON BOSCO TREVIGLIO Corso di Informatica
) Un urna contiene 0 palline numerate da a 0. Si calcoli la probabilità che: a) estraendo successivamente palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell urna, si abbiano due numeri primi; b) estraendo
DettagliCalcolo delle Probabilità Soluzioni 1. Spazio campionario ed eventi
ISTITUZIONI DI STATISTICA A. A. 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona
DettagliSia f la frequenza di un evento A e n sia la dimensione del campione. La probabilità dell'evento A è
Cenni di probabilità di Carlo Elce Definizioni Lo spazio campionario per un esperimento è l'insieme di tutti i suoi possibili esiti. Per esempio, se l'esperimento è il lancio di due di dadi e si rappresentano
DettagliCenni di probabilità
Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Costruzioni Idrauliche A.A. 2004-05 www.dica.unict.it/users/costruzioni Cenni di probabilità Ing. Antonino Cancelliere Dipartimento
DettagliProbabilità esempi. Aiutiamoci con una rappresentazione grafica:
Probabilità esempi Paolo e Francesca giocano a dadi. Paolo scommette che, lanciando due dadi, si otterrà come somma 8 oppure 9. Francesca scommette che si otterrà come somma un numero minore o uguale a
DettagliProbabilità Condizionale - 1
Probabilità Condizionale - 1 Come varia la probabilità al variare della conoscenza, ovvero delle informazioni in possesso di chi la calcola? ESEMPIO - Calcolare la probabilità che in una estrazione della
DettagliESERCIZI SULLA PROBABILITA
PROBABILITA CLASSICA ESERCIZI SULLA PROBABILITA 1) Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte ; calcolare la probabilità che la carta sia: a. una figura; b. una carta di danari; c. un asso. 2) Un urna
DettagliEsperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità
Esperimentazioni di Fisica 1 Elementi di Calcolo delle Probabilità Università Roma Tre - Dipartimento di Matematica e Fisica 3 novembre 2016 Introduzione La probabilità nel linguaggio comune I E probabile
DettagliSoluzioni degli esercizi proposti
Soluzioni degli esercizi proposti.9 a La cardinalità dell insieme dei numeri,..., 0 n che sono multipli di 5 è 0n 5. Dunque, poiché siamo in una condizione di equiprobabilità, la probabilità richiesta
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica Matematica A.A. 2011/12. CAPITOLO 1 Analisi combinatoria
CAPITOLO 1 Analisi combinatoria 1.1 Introduzione 1.2 Il principio fondamentale del calcolo combinatorio 1.3 Permutazioni 1.4 Disposizioni e combinazioni 1.1 Introduzione Problema. Un sistema di comunicazione
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 51 Introduzione Il Calcolo delle
DettagliCosa dobbiamo già conoscere?
Cosa dobbiamo già conoscere? Come opera la matematica: dagli ai teoremi. Che cosa è una funzione, il suo dominio e il suo codominio. Che cosa significa n j=1 A j dove A j sono insiemi. Che cosa significa
DettagliDistribuzione di Probabilità
Distribuzione di Probabilità Sia X variabile con valori discreti X 1, X 2,..., X N aventi probabilità p 1, p 2,..., p N ( i p i = 1) (X variabile discreta aleatoria, o stocastica, o casuale, random) Funzione
DettagliSoluzione esercizi (quarta settimana)
Soluzione esercizi (quarta settimana) Marco Riani Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? 1 Esempio Gioco la schedina mettendo a caso i segni (1 X
DettagliGRUPPI SANGUIGNI. Supponendo che la popolazione italiana sia H-W, calcola la probabilità di ogni singolo allele e di ogni genotipo
GRUPPI SANGUIGNI La distribuzione dei gruppi sanguigni nella popolazione italiana è: gruppo A 36%, gruppo B 17%, gruppo AB 7%, gruppo 0 40%. Il gruppo sanguigno è determinato da un locus genetico con tre
DettagliMatematica e statistica 23 febbraio 2012
Matematica e statistica 23 febbraio 2012 Compito A Cognome e nome Matricola Parte I Esercizio 1 L indice di massa corporea (IMC) è ottenuto dal rapporto tra massa, espressa in Kg, e altezza, espressa in
DettagliSi supponga di lanciare simultaneamente una moneta e un dado: (a) Qual é lo spazio degli eventi associato a quest esperimento?
1 Esercizio 1 Si supponga di lanciare simultaneamente una moneta e un dado: (a) Qual é lo spazio degli eventi associato a quest esperimento? (b) Qual é la probabilitá di uscita di una testa e di un tre?
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI
STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri
DettagliElementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1
Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 15-La probabilità vers. 1.0a (26 novembre 2014) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca 2014-2015
Dettagli6. PROBABILITÀ. Definizione Due eventi A e B si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro,
6. PROBABILITÀ L introduzione alla teoria della probabilità può essere vista come un applicazione della teoria degli insiemi. Essa si occupa degli esperimenti il cui esito è incerto. Ebbe origine a metà
DettagliCalcolo Combinatorio e Probabilità
Calcolo Combinatorio e Probabilità Andrea Galasso 1 Calcolo Combinatorio Definizione 1 Fissati n, k N, con k n, indicheremo con D n,k := n! (n k)! le disposizioni di n oggetti in k posti e con DR n,k :=
DettagliCOMPITO n. 1. a) Determinare la distribuzione del numero X di palline nere presenti nell urna.
Università di Siena a.a. 28/9 Docente D. Papini COMPITO n. 1 a) Un dado non truccato viene lanciato due volte. Quant è la probabilità dell evento: al primo lancio esce un numero minore o uguale a 2 ed
DettagliLezione 1: Università Mediterranea di Reggio Calabria Decisions Lab. Insiemi. La Probabilità Probabilità e Teoria degli Insiemi
Lezione 1: Probabilità e Teoria degli Università Mediterranea di Reggio Calabria Decisions Lab Gli insiemi Gli Un insieme S è una collezione di oggetti chiamati elementi dell insieme. - Se x è un elemento
DettagliCalcolo combinatorio
Calcolo combinatorio Fattoriale: n! = n( n 1)( n 2)...1 1 1 n n = 0 Fattoriale discendente: n( n 1)...( n k + 1) n! (n) k = = ( n k)! 1 1 k n k = 0 Coefficiente binomiale (k n) : n (n) = k n! = k k! k!(
DettagliMatematica di base. Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com
Matematica di base Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30 BLOG: matematicadibase.wordpress.com Calendario 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare 28 Ottobre Geometria elementare 4 Novembre Insiemi
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre Gennaio 2001
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre 2000-28 Gennaio 2001 1 Nona settimana 76. Lun. 4 Dic. Generalita. Spazi
DettagliESERCIZI SCHEDA N. 1: EVENTI E VARIABILI ALEATORIE
ESERCIZI SCHEDA N. 1: EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Dato lo spazio campionario Ω = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); ; (6,6)} riferito al lancio di due dadi non truccati,
DettagliFigura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile pag. 15
Figura 7: Ruota della Fortuna. Quanti sono i casi possibili? G. Sanfilippo - CdP - STAD - Lezione 2 del 12 Aprile 2012- pag. 15 Casi Possibili B= La lancetta indica il Blu V= La lancetta indica il Verde
DettagliLezione 2. La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi
Lezione 2 La probabilità oggettiva : definizione classica e frequentistica e loro problemi La definizione classica Definizione classica: La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi
DettagliLa PROBABILITA è un numero che si associa ad un evento E ed esprime il grado di aspettativa circa il suo verificarsi.
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ogni volta. La PROBABILITA
DettagliDOMANDA 1: mettere una croce sulla affermazione esatta (90 89)
PROVA D ESAME - 0 marzo 00 nome: cognome: SSIS-INDIRIZZO MATEMATICA E MATEMATICA APPLICATA (primo anno MATEMATICA APPLICATA B: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Per le domande a risposta aperta il punteggio varia
DettagliSeconda legge di Mendel
Seconda legge di Mendel Capitolo 2 semi rotondi P X semi grinzosi P F1 SOLO SEMI LISCI? F2 F2 AUTOIMPOLLINAZIONE SULLA STESSA PIANTA SI ORIGINA LA F2! Risultati di un incrocio diibrido I ncro c io pa r
DettagliSTATISTICA A K (63 ore) Marco Riani
STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esempio totocalcio Gioco la schedina mettendo a caso i segni 1 X 2 Qual è la prob. di fare 14? Esempio Gioco la schedina mettendo
DettagliΨ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE
Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA
DettagliLezione 3 Calcolo delle probabilità
Lezione 3 Calcolo delle probabilità Definizione di probabilità La probabilità è lo studio degli esperimenti casuali e non deterministici Se lanciamo un dado sappiamo che cadrà ma non è certo che esca il
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA' risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento
CALCOLO DELLE PROBABILITA' Esperimento o prova Evento Spazio Campionario (Ω) una qualsiasi operazione il cui risultato non può essere previsto con certezza ogni risultato possibile di un esperimento insieme
DettagliCP110 Probabilità: Esonero 1
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2016-17, II semestre 11 aprile, 2017 CP110 Probabilità: Esonero 1 Cognome Nome Matricola Firma Nota: 1. L unica cosa che si può usare durante l esame
Dettagli3.1 La probabilità: eventi e variabili casuali
Capitolo 3 Elementi di teoria della probabilità Abbiamo già notato come, per la ineliminabile presenza degli errori di misura, quello che otteniamo come risultato della stima del valore di una grandezza
Dettagli22/07/2013 PRECORSO Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche. Numeri, frazioni, operazioni fondamentali
PRECORSO 2013 Problemi di Matematica Alessandro Passeri Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche PRECORSO 2013: ciclo formativo di orientamento alle prove di ammissione ai Corsi di studio
DettagliSARA BORLENGO MARTA LUCCHINI
SARA BORLENGO MARTA LUCCHINI COINCIDENZE? In quest aula ci sono almeno due persone che compiono gli anni lo stesso giorno. COINCIDENZE? In quest aula ci sono almeno due persone che compiono gli anni lo
DettagliEsercizi su variabili aleatorie discrete
Esercizi su variabili aleatorie discrete Esercizio 1. Data la variabile aleatoria discreta X, caratterizzata dalla seguente rappresentazione nello spazio degli stati: 1 0,25 X = { 0 0,50 1 0,25 calcolare
DettagliLanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4. uscirà il numero 9
Lanciando un dado, il tuo compagno esclama: uscirà 1, 2, 3, 4, 5 o 6 oppure: uscirà il numero 4 o ancora: uscirà il numero 9 Possiamo dire che le previsione del tuo compagno sono la prima certa, la seconda
DettagliI ESERCITAZIONE GENETICA
2-04-2008 _ Dott.Baratta I ESERCITAZIONE GENETICA 1) Definizione di Probabilità (eventi elementari) 2) Calcolo della Probabilità di eventi composti (Regola del prodotto e della somma) 3) Predizione dei
DettagliTeoria della probabilità
Introduzione alla teoria della probabilità Teoria della probabilità Primi sviluppi nel XVII secolo (Pascal( Pascal, Fermat, Bernoulli); Nasce nell ambito dei giochi d azzardo; d La prima formalizzazione
DettagliCenni di analisi combinatoria
Cenni di analisi combinatoria In molti problemi concreti di teoria della probabilità e, in particolare, nell ambito della interpretazione classica occorre calcolare quanti sono gli esiti che compongono
DettagliEsercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata
Esercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 2: Eventi disgiunti, eventi indipendenti e probabilitá condizionata Stefano Patti 1 19 ottobre 2005 Definizione 1 Sia (Ω, F) uno spazio probabilizzabile.
DettagliFRAME 0.3. E possibile partecipare a tre appelli su 5 (esclusi i compitini). Farà fede l iscrizione alle liste elettroniche.
FRAME 0.1. S.M. Ross, Calcolo delle Probabilità, Apogeo 2004. C. Mariconda, A. Tonolo, Matematica Discreta, a.a. 2005-2006, Libreria Progetto, 2005 (costo 6 euro. Compitini FRAME 0.2. 13 maggio, ore 9.30
DettagliUniversità del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica
Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia Corso di Statistica Medica Elementi di calcolo delle probabilità CdL Infermieristica Pediatrica ed
DettagliCalcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale a.a. 2016/17
Calcolo delle Probabilità e Statistica, Ingegneria Civile e A&T e Informatica I prova finale aa 6/ Punteggi: : 3 + 6; : + + + ; 3: + Una scatola contiene monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli
DettagliEsercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti
Esercizi svolti di statistica Gianpaolo Gabutti (gabuttig@hotmail.com) 1 Introduzione Questo breve documento contiene lo svolgimento di alcuni esercizi di statistica da me svolti durante la preparazione
DettagliMATEMATICA E STATISTICA CORSO B PROF. MARCO ABATE. 23 novembre 2006
MATEMATICA E STATISTICA CORSO B PROF. MARCO ABATE PRIMO COMPITINO FILA A SOLUZIONI 3 novembre 006. Parte I Esercizio.. Se 99 < x < 0 e 9 < y
DettagliUn elenco di esercizi per il corso Matematica docente: Alberto Dolcetti
Un elenco di esercizi per il corso Matematica docente: Alberto Dolcetti Ricevo molti messaggi di posta elettronica che suggeriscono varie soluzioni per gli esercizi proposti. Questo non mi dispiace perchè
DettagliP(X > 0) = P(X 1 = 1) + P(X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1) =
1 Esercizi settimana 3 Esercizio 1. Un urna contiene 8 palline bianche, 4 nere e rosse. Si assuma di vincere e ogni volta che si estragga una pallina nera, si perda 1e per ogni pallina bianca e non succeda
DettagliVARIABILI CASUALI CONTINUE
p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale
DettagliCALCOLO DELLE PROBABILITA
CALCOLO DELLE PROBABILITA Italo Nofroni Statistica medica - Facoltà di Medicina Sapienza - Roma Nella ricerca scientifica, così come nella vita, trionfa l incertezza Chi guiderà il prossimo governo? Quanto
DettagliOPERAZIONI CON GLI EVENTI
LA PROBABILITA GLI EVENTI Definiamo come evento il verificarsi di un avvenimento, situazione o fenomeno; in quest ottica potremmo intuitivamente definire la probabilità come l indice di verosimiglianza
DettagliProbabilità delle cause:
Probabilità delle cause: Probabilità condizionata 2 Teorema delle probabilità composte A B) A) B/A) 3 Teorema delle probabilità totali B )! 4 Teorema delle probabilità delle cause n i A! B ) A / B ) B
Dettagli