Traccia delle soluzioni degli esercizi del fascicolo 6
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- Marco Corti
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1 Traccia delle soluzioi degli esercizi del fascicolo 6 Esercizio Vegoo geerati umeri casuali tra 0 e, co distribuzioe uiforme. Quati umeri è ecessario geerare affiché la probabilità che la somma di essi sia compresa tra 0.49 e 0.5 sia maggiore o uguale a 0.99? Soluzioe. La probabilità i esame si può riscrivere ella forma P 0.49 X 0.5 = P Dobbiamo allora risolvere: cioè da cui si trova / Z 0.0 / Φ0.0. Φ Φ Φ , Esercizio U veditore porta a porta deve vedere 0 copie di u libro. Se ogi sigolo cliete acquista il libro co probabilità 0., quati clieti deve visitare il veditore affiché la probabilità di vedere tutti e dieci i libri sia almeo 0.99? Soluzioe. Poste X,..., X Be0, idipedeti, la probabilità i esame si può riscrivere ella forma P X i 0 = P i= Φ X 0 = P Z = Φ Dobbiamo allora risolvere ossia che si può riscrivere ella forma Φ da cui 4.08, ovvero , Esercizio 3 Calcolare approssimativamete la probabilità che ua variabile casuale X co distribuzioe di Poisso di parametro 00 assuma u valore miore di 95. Soluzioe. Bisoga ricordare che se X,..., X 00 P o soo idipedeti, allora X X P o00. Ricordado che EX i = V arx i =, la probabilità da calcolare è P X = P Z Φ 0.5 = Φ0.5 =
2 Esercizio 4 U cogego è costituito da ua compoete elettrica che viee rimpiazzata o appea smette di fuzioare. Duque, se T, T,..., T soo i tempi di vita di compoeti che si hao a disposizioe, il tempo di vita totale del cogego è T = T +T + +T. Si suppoga che T i Exp, e che le T i siao idipedeti. Utilizzado l approssimazioe ormale calcolare: a. se = 00 la probabilità P T < 90; b. il valore miimo di per cui P T < Soluzioe. a. b. P T 00 < 0.9 = P Z Φ = Φ = P Vogliamo allora che sia T < = P Z < 90 Φ. 90 Φ 0.95, da cui 90.64, che si riscrive ella forma Esercizio 5 U giocatore di pallacaestro ha ua percetuale di successo ei tiri da tre puti del 0%. Calcolare: a. la probabilità che i 00 tiri faccia o più di 54 puti; b. il umero miimo di tiri che deve effettuare per realizzare almeo 57 puti co probabilità maggiore o uguale a Soluzioe. a. Sia X i la variabile di Beroulli che vale se l i-esimo caestro viee realizzato. Poichè realizzare o più di 54 puti sigifica realizzare o più di 8 caestri, le probabilità da calcolare è P X = P Z Φ = sia b. Poichè realizzare almeo 57 puti sigifica realizzare almeo 9 caestri, si vuole che P X 9 9 = P Z 0. 9 Φ , cioè Esercizio 6 Il umero gioraliero di passeggeri sui trei da Milao a Fireze è ua variabile aleatoria di distribuzioe icogita. Suppoedo che il valore atteso sia pari a 3000 e la variaza pari a 0 6, si calcoli approssimativamete la probabilità che i 30 giori il umero
3 complessivo di viaggiatori sia almeo 0 5. Soluzioe. Sia X i il umero di passeggeri de gioro i-mo. P X + + X 30 > 0 5 = P X 30 > = P X > 30 Φ Esercizio 7 Sia {X } ua successioe di variabili casuali i.i.d. co distribuzioe di Poisso di parametro. Usado opportuamete il Teorema del Limite Cetrale per tale successioe, calcolare + k lim + e k!. k=0 Soluzioe. Notare che S = X + + X P o. Ma allora + e k=0 k k! = P S + = P X. Per il Teorema del limite cetrale, la successioe X coverge i distribuzioe ad ua Normale stadard. Perciò + k lim + e k! = Φ. k=0 Esercizio 8 Il gruppo promotore di u referedum ritiee che il 60% della popolazioe sia disposta a firmare per la relativa raccolta di firme. Si assuma che le persoe a cui viee richiesto di firmare siao scelte a caso. Dovedo raccogliere firme, quate persoe è ecessario iterpellare affichè la soglia delle firme sia raggiuta co probabilità di almeo 0, 95? Soluzioe. Sia X i la variabile che vale se l i-esima persoa iterpellata accetta di firmare, e 0 altrimeti. Per ipotesi X i Be0.6, e le X i si possoo riteere idipedeti. La probabilità i esame è, allora, usado l approssimazioe ormale, X P X i = P i= Φ = Φ Richiededo che tale probabilità sia maggiore o uguale a 0.95, si ottiee: Φ che equivale a da cui
4 Esercizio 9 Si assuma che, i u libro di 400 pagie, la probabilità che ua pagia sia priva di errori sia 0.98, idipedetemete dalle altre pagie. Sia X il umero di pagie che cotegoo almeo u errore. a. Qual è la distribuzioe di X? b. Usado l approssimazioe ormale, calcolare approssimativamete la probabilità dell eveto {X 4}. c. Calcolare la probabilità al puto b. usado u altro tipo di approssimazioe, visto a lezioe. Soluzioe. a. Posto { se la i-esima pagia cotiee almeo u errore X i = 0 altrimeti si ha che X i Be0.0, le X i soo idipedeti e X = 400 i= X i B400, 0.0. b P X 4 = P X = P Z Φ Z c. Usado l approssimazioe di Poisso, Be400, 0.0 P o8. Ne segue P X 4 = 3 P X = i = e 8 i=0 3 i=0 8 i i!... Esercizio 0 Per ua certa specie africaa di uccelli, i eoati hao idipedetemete l uo dal l altro ua probabilità di sopravvivere al primo mese pari a /7. Quelli che sopravvivoo al primo mese hao ua probabilità pari a /3 di superare l ao.. Qual è la probabilità che u eoato sopravviva al primo ao?. Se u eoato muore etro il primo ao, qual è la probabilità che sia sopravvissuto al primo mese? 3. Si determii approssimativamete il umero miimo di eoati da moitorare affiché la probabilità che e sopravvivao almeo 30 dopo u mese sia almeo Soluzioe.. Itroducedo gli eveti A := il eoato sopravvive al primo mese e B := il eoato sopravvive al primo ao, i dati del problema ci dicoo che P A = 7, P B A = 3. Di cosegueza, per il teorema delle probabilità totali, P B = P B AP A + P B A c P A c = P B AP A = 3 dove si è usato il fatto che P B A c = 0, perché B A. 4 7 =,
5 . Per la formula di Bayes P A B c = P Bc AP A P B c = 3 7 = Dati eoati, il umero di questi che sopravvive dopo u mese è ua variabile casuale X co distribuzioe B, p, co p = 7. Applicado l approssimazioe ormale e la correzioe di cotiuità, si ottiee P X 30 = P X 9.5 = P X p Φ 9.5. p p 7 7 6/7 Dato che Φz 0.95 se e solo se z Φ , si ottiee la disequazioe / Le soluzioi positive soo date da 6.5, cioè 73. Esercizio I ua elezioe votao u milioe di persoe, che devoo scegliere tra i due cadidati A e B. Il voto di u certo umero di elettori è sotto il cotrollo di ua orgaizzazioe malavitosa, che garatisce che essi votio per il cadidato A. Tutti gli altri elettori votao a caso, scegliedo co ugual probabilità i due cadidati, oguo idipedetemete dagli altri.. Suppoiamo che l orgaizzazioe malavitosa cotrolli = 000 voti. Qual è la probabilità approssimata che il cadidato A vica le elezioi?. Qual è il umero miimo di idividui che l orgaizzazioe malavitosa deve cotrollare, per garatire che la probabilità di vittoria di A sia almeo del 99%? Soluzioe.. Sia X il umero di voti ricevuti da A tra i elettori o cotrollati. Notare che X B , /. Il cadidato A vice se X > Usado l approssimazioe ormale dati i umeri elevati la correzioe di cotiuità o è rilevate X P X > = P > 000 Φ = Se X è il umero di voti ricevuti da A tra i elettori o cotrollati, si ha X B , /. Il cadidato A vice se X > , per cui procededo come sopra X / P X > = P > Φ Quidi deve essere si trova > Φ Elevado al quadrato e risolvedo, 5.
6 Esercizio Siao C, X, Y variabili aleatorie reali idipedeti, co X P o4, Y P o4 metre C Bep, dove p 0, è u parametro fissato. Defiiamo la variabile W := CX + CY.. Si mostri che EW = 4 e V arw = 4.. Siao W, W,..., W 00 variabili i.i.d. co la stessa legge di W. Si determii approssimativamete il valore di c tale che la somma W W 00 assuma valori maggiori di c co probabilità Si dimostri che W P o4. [Sugg.: calcolare la desità discreta di W codizioado rispetto agli eveti {C = 0} e {C = }] Soluzioe.. Per le proprietà be ote del valor medio si ha Si oti che EW = ECEX + ECEY = p4 + p4 = 4. W = C X + C Y + C CXY = CX + CY, poiché C = C, C = C e C C = 0, essedo C a valori i {0, }. Dato che EX = V arx + EX = = 0 e aalogamete EY = 0, si ottiee EW = ECEX + ECEY = p0 + p0 = 0, da cui V arw = EW EW = 0 6 = 4.. Idicado µ = 4, σ = si ottiee P W W 00 > c = P W 00 > P c = P 00 Z > c 0 0 = Φ Dato che Φ , si ottiee l equazioe W 00 µ 00 > σ 0 c. 0 0 c =.05 = c = c Codizioado rispetto agli eveti {C = } e {C = 0} e usado la formula delle probabilità totali, per k {0,,,...} si ottiee P W = k = P W = k C = 0P C = 0 + P W = k C = P C = = P Y = k C = 0 p + P X = k C = p = P Y = k p + P X = kp, e dato che P X = k = P Y = k = e 4 4 k /k! si ottiee P W = k = e 4 4 k /k!, quidi W P o4. 6
7 Esercizio 3 Sia X N = ua famiglia di variabili casuali i.i.d., tali che P X = = P X = =. Sia ioltre ξ ua variabile casuale co la stessa distribuzioe delle X e idipedete da tutte le X. Poiamo Y := ξx.. Mostrare che le variabili casuali Y N = soo i.i.d.. Mostrare che le variabili casuali bidimesioali X, Y N = soo ideticamete distribuite ma o idipedeti. Soluzioe.. La tesi segue se mostriamo che X, X,..., X e Y, Y,..., Y hao la stessa distribuzioe. Azitutto, se σ, σ,..., σ {, }, è chiaro che P X = σ,..., X = σ =. Usado l idipedeza tra X, X,..., X e ξ, abbiamo P Y = σ,..., Y = σ = P X = σ,..., X = σ, ξ = + P X = σ,..., X = σ, ξ = = P X = σ,..., X = σ P ξ = + P X = σ,..., X = σ P ξ = = + =. Si oti che P X =, Y = = P X =, ξ = = 4 = P X =, ξ = = P X =, Y =. Allo stesso modo si mostra che P X =, Y = = P X =, Y = = 4, e quidi la distribuzioe di X, Y o dipede da. Se le coppie X, Y fossero idipedeti, ache i prodotti X Y sarebbero idipedeti i quato fuzioi di variabili casuali idipedeti soo idipedeti. Ma, osservado che X Y = ξ per ogi, P X Y =, X Y = = P ξ = = P X Y = P X Y = = P ξ = = 4. Esercizio 4 La lughezza dei chiodii prodotti da ua certa ditta ha ua distribuzioe icogita, la cui media e variaza idichiamo co µ e σ. Il valore di σ è oto e pari a 0.5 mm, metre il valore di µ espresso i mm è icogito e vogliamo stimarlo empiricamete. A tal fie, misuriamo le lughezze X,..., X di chiodii scelti a caso e e idichiamo la media empirica co X := X X /. Se è grade, per la legge dei gradi umeri sappiamo che X sarà vicio a µ. Per redere più quatitativa questa affermazioe, scegliamo u umero reale δ > 0 e cosideriamo l itervallo I δ di ampiezza δ cetrato i X, vale a dire I δ := X δ, X + δ. 7
8 Si determii δ i modo che la probabilità che l itervallo I δ cotega µ valga approssimativamete 0.95 per grade. [Sugg.: si esprima l eveto {µ I δ } ella forma {a < X < b} per opportui a, b.] Soluzioe. Per defiizioe µ I δ sigifica X δ < µ < X + δ. Possiamo riscrivere la prima disuguagliaza come X δ < µ X < µ + δ, e la secoda come Questo mostra che µ < X + δ X > µ δ. {µ I δ } = {µ δ < X < µ + δ }, per cui, applicado il teorema limite cetrale e ricordado che σ = 0.5, δ P µ I δ = P µ δ < X < µ + δ = P 0.5/ < X µ σ/ < δ 0.5/ P δ < Z < δ = Φδ, dove Z N0, e Φx = P Z x. Impoedo la codizioe P µ I δ = 0.95 si ottiee Φδ = 0.975, cioè δ = Φ e quidi δ = 0.98/. 8
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