Dimensionare, usando un ferro IPN Fe390 considerando le distanze in metri

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1 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 1 Esercizio no.1 soluzione a pag. Dimensionare la trave indicata in figura, dove le distanze sono espresse in metri, ipotizzando di usare un profilato IPN in Fe90. I carichi sono: f 150daN p 00daN q 400daN R IPN10 Esercizio no. soluzione a pag.5 Considerando le distanze in metri, dimensionare, usando un ferro IPN Fe90 con p 160daN q 100daN R IPN80 Esercizio no. soluzione a pag.7 Dimensionare, usando un ferro IPN Fe90 considerando le distanze in metri f 1000daN p 000daN q 500daN R IPN 40 Esercizio no.4 soluzione a pag.9 Usando delle IPN in Fe0, dimensionare la trave a mensola, dove p1kn. R IPN10 1

2 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti Esercizio no.5 soluzione a pag.10 Usando delle IPN in Fe0, dimensionare la trave a mensola, dove p1kn e q500n. R IPN80 Esercizio no.6 soluzione a pag.1 Usare delle IPN in Fe0, dimensionare la trave illustrata. R IPN80 Esercizio no.7 soluzione a pag.15 Nell ipotesi di usare Fe60, dimensionare il puntone della struttura considerando pkn qkn e le distanze in metri. R IPN100

3 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti Esercizio no.1 Dimensionare la trave indicata in figura, dove le distanze sono espresse in metri, ipotizzando di usare un profilato IPN in Fe90. I carichi sono: f 150daN p 00daN q 400daN Esercizio no.1:soluzione eseguendo l eq. dei momenti con polo in A : 0 1 f + p + 5q 6B B f + p + 5q ,daN dato che A + B f + p q si ha A , 91,6 dan + ora calcolo il valore del momento flettente in corrispondenza dei carichi concentrati in A,C,D,E e B, considerando positivi i momenti orari a sinistra della sezione considerata (partendo da A e andando verso destra).

4 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 4 fa fc fd fe fb 0 A 1 91,6 1 91,6daNm 916 Nm Nmm A f 91, daNm 5760Nm Nmm 5A 6 A 4 f p 5 91, daNm 4580Nm Nmm 5 f p q 6 91, Il momento massimo è dunque Nm L eq. di stabilità per il momento flettente dice: σ f W f per Fe90 assumiamo σ 90 10N / mm W f σ f mm Essendo il carico applicato lungo la direzione x, dovremo usare il modulo di resistenza a flessione W x. La IPN100 ha W x 4100N/mm ed è dunque insufficiente. Scegliamo una IPN10 che ha W x 54700N/mm e dovrebbe resistere.. Disegniamo il diagramma del taglio, partendo da A, andando verso destra, considerando positive le sollecitazioni che vanno verso l alto. 4

5 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 5 Si osserva come lo sforzo di taglio maggiore si abbia in corrispondenza del vincolo in B Nel caso dello sforzo di taglio T σt S 4 4 σ T σ N / mm l eq. di stabilità per il taglio: 5 5 Se scelgo una IPN10 si ha S1060mm per cui T ,40N >> 4580N quindi resiste alla sollecitazione di taglio. Esercizio no. Dimensionare, usando un ferro IPN Fe90 con p 160daN q 100daN considerando le distanze in metri Esercizio no.:soluzione Scriviamo l eq. dei momenti con polo in A (positivi i momenti orari). 0 1,5 p 4B B + 5q , B 185daN 1850N B essendo A + B p + q A p + q B daN 750N calcolo il valore del momento flettente in corrispondenza dei carichi concentrati in A,C,D,E e B, considerando positivi i momenti orari a sinistra della sezione considerata (partendo da A e andando verso destra). 5

6 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 6 fa fc fb fc 0 1,5A 4 A 5A 1, ,5daNm 115Nm,5 p 4 75, daNm 1000Nm,5 p + 1B Deduciamo un momento flettente massimo f(max) 115Nm Nmm σ per Fe90 σ f W f R n s 90 10N / mm f W f σ mm anche in questo caso il ferro è sollecitato secondo la direzione x-x e per una IPN80 viene fornito W x 19400N/mm dato che il modulo di resistenza che abbiamo richiesto (8655) è ben inferiore da quello fornito per le condizioni di sicurezza dal fabbricante, possiamo ritenere che la trave resiste agli sforzi di flessione. Disegniamo il diagramma del taglio, partendo da A, andando verso destra, considerando positive le sollecitazioni che vanno verso l alto. Si ha una massima sollecitazione al taglio con T max 100daN 1000N per Fe90 si ha 6

7 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti σ T σ N / mm nominale 5 5 Lo sforzo attuale a cui è soggetta la sezione essendo S757mm per la IPN80: Tmax 1000 σ T 1, N / mm << 104N / mm S 757 resiste sicuramente alla sollecitazione di taglio. Esercizio no. Dimensionare, usando un ferro IPN Fe90 considerando le distanze in metri f 1000daN p 000daN q 500daN Esercizio no.:soluzione Eq. dei momenti con polo in A (considero positivi i momenti con senso orario). 0 f + p 7,5B B + 9q ,5 B , ,5 15daN dato che A + B f + p + q A ( f + p + q ) B daN Come nei casi precedenti parto dalla estremità C e mentre procedo verso destra attraverso una sezione ideale, valuto i momenti che stanno nel tronco sinistro. 7

8 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 8 fc fa fd fb fd 0 f daNm A 9,5 f + 7,5A 11 f + 9A daNm 4,5 p , ,5daNm 6 p + 1,5B , f(max) 901daNm9.010Nm Nmm 6 f 9,01 10 W x σ mm dalle tabelle ottengo per la serie normale IPN un W x 5000mm per una IPN40 che ha una superficie S4610mm. Disegniamo il diagramma del taglio, partendo da C, valutando il tronco a sinistra della nostra sezione ideale andando verso destra e considerando positive le sollecitazioni che vanno verso l alto. T (max) 1967daN19.670N 4 σ T σ 104N / mm 5 Il massimo sforzo di taglio a cui può resistere la sezione scelta è T σ T S N >> 19670N La sezione è dunque in condizioni di sicurezza rispetto allo sforzo di taglio. 8

9 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 9 Esercizio no.4 Usando delle IPN in Fe0, dimensionare la trave a mensola, dove p1kn. Esercizio no.4:soluzione L incastro introduce tre gradi di vincolo che bilanciano i tre gradi di libertà del corpo rigido. per le equazioni di stabilità deve essere A x 0 mentre A p. L equazione dei momenti con polo in A fornisce 4 p ; allo stesso risultato saremmo giunti fulcrando in B, perché avremmo avuto 4A 4 A 4 p 0 Partendo da A e procedendo verso destra notiamo che lo sforzo di taglio sopportato dalla trave è costante e lungo tutto il tronco sinistro e vale A p 1000N Alla stessa maniera valutiamo il momento flettente nel tronco sinistro della sezione X Si nota come il momento nella sezione X A x px dipende dalla distanza x ed è progressivamente decrescente procedendo verso l estremo libero: i A vale 4p4kNm4000Nm Nmm 9

10 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 10 all estremo libero vale 0. La sezione maggiormente sollecitata è A. Per Fe0 σ110n/mm. f f σ Wx Wx 664 mm ,cm La IPN100 ha W x 4,1cm, quindi usiamo la IPN10 che ha W x 54,7cm. Questo profilato ha S14,cm 140mm per cui: T σ T S con 4 4 σ T σ N / mm può tenere uno sforzo di taglio: 5 5 T N > 4000N anche per il taglio siamo in condizioni di sicurezza. Esercizio no.5 Usando delle IPN in Fe0, dimensionare la trave a mensola, dove p1kn e q500n. Esercizio no.5:soluzione Dobbiamo procedere come nel caso precedente con di sicuro A x 0 ; l equazione dei momenti viene eseguita con polo in A. A p + q 1500N 0 1 p + q Nm Nmm Partendo da A e procedendo verso destra tramite la sezione ideale X, notiamo che lo sforzo di taglio sopportato dalla trave è costante e lungo tutto il tronco sinistro e vale A 1500N fino al punto B. 10

11 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 11 Dal punto B a C lo sforzo di taglio vale 500N. Per la valutazione del momento, partiamo da A e procediamo verso destra: Nel tratto AB vale l equazione f A x quindi ed fa fb 1 A Nm Nel tratto BC vale l equazione f A x p( x 1) i B x1 e in C x quindi: fb fc Nm ( 1) Nm Il momento massimo si ha in A f max nmm per Fe0 σ110n/mm. f W x 18181,8mm 18,1cm σ 110 Potrebbe essere sufficiente una IPN80 che ha W x 19,4cm. Se usiamo questo ferro 4 Tmax σ T S σ S N > 1500N 5 Il massimo sforzo ammissibile per il taglio è molto maggiore di quello che stiamo applicando. Anche per il taglio siamo in condizioni di sicurezza. 11

12 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 1 Esercizio no.6 Usare delle IPN in Fe0, dimensionare la trave illustrata. Esercizio no.6:soluzione Il carico distribuito corrisponde ad un unico carico concentrato q 7Q 7kN con l eq.dei momenti in A, si ha: q A + B,5 q 4B 0 A B q B 7 4,75,65kN,5 7 4,75kN 4 dall estremo libero sinistro fino ad A il taglio vale T Qx all estremo libero vale 0 in A vale: T 1 Q 1kN Infatti, le forze a sisnstra della sezione che puntano verso il basso sono da considerarsi negative. A destra di A fino a B vale l eq. T A 1kN Qx,65 1 Qx 1,65 Qx si deduce che nel punto immediatamente a destra di A T1,65kN mentre in B si avrà T 1, ,75kN 1

13 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 1 Nel tratto fra B e l estremo libero destro l eq. del taglio vale: T A dato che A + B 1kN 4kN Qx + B 7kN avremo T 7 5 Qx Qx allora in B TkN, mentre all estremo libero destro T0. Il diagramma per il taglio è il seguente: A destra di A il momento flettente in una generica sezione X vale x Qx f Qx quindi all etremo libero f 0 in A fa 500 Nm l andamento è parabolico. Qx Nel tratto AB l eq. del momento nella generica sezione X vale f A x 1(0,5 + x ) 1 16 con fa 0,5kNm 500Nm e con fb 4,65 4,5 1 x l equazione trovata si può scrivere 1,65x per x che va da 0 a 4 è una parabola con la concavità rivolta verso il basso, ha un massimo per x 1,65m che vale 0,80kNm. 1

14 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 14 Nel tratto che va da B all estremo libero destro avremo: f fb Qx 1 ( 4,5 + x ) + A( 4 + x ) 4( + x ) + B x quindi 4,5 + 4,65 4 knm mentre all estremo libero dove x f 6,6 + 6, ,75 0 Quindi il diagramma del momento flettente: Il momento massimo fmax 000Nm Nmm ci dà fmax W x ,8mm σ 110 è dunque sufficiente una IPN80 che ha il W x mm. Con una superficie S757mm : 4 4 T max σ S N >> 75N 5 5 e anche per il taglio è verificata. 14

15 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 15 Esercizio no.7 Nell ipotesi di usare Fe60, dimensionare il puntone della struttura considerando pkn qkn e le distanze in metri. Esercizio no.7:soluzione Valutando i vincoli esterni con equazione dei momenti con polo in B: svincolando la struttura in A le tre eq. cardinali per il puntone sono: p + q A + B Ax + Bx 0 A 4 p + q 0 A p + q 4 + 6kN 15

16 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 16 da cui B p + q A + 6 kn eq. dei momenti nel tirante con polo in D A' x A' A' x A' A' x 6kN Ax Bx 6kN Abbiamo ottenuto: Bx, B, le altre due equazioni per il tirante sono: A' A' x D x D 6kN 6kN componendo i vettori rappresentativi le reazioni vincolari in D le reazioni esterne possono essere così schematizzate: Per la trave CB si cerca di disegnare il diagramma dello sforzo normale partendo da C, andando verso destra: Per il taglio procediamo come nel caso dello sforzo normale, partendo da C, andando verso destra, considerando il tronco a sinistra della nostra sezione ideale 16

17 Edutecnica.it Analisi delle sollecitazioni esercizi risolti 17 Per il momento flettente valgono le solite considerazioni, considerando positivi i momenti orari rispetto alla sezione ideale, che progressivamente si sposta verso destra di cui valutiamo solo il tronco sinistro. fc fa fb 0 p 4kNm 4 p + A q il momento flettente massimo è max f 4000 Nm Nmm R 60 Ipotizziamo di usare una IPN80 per Fe 60 valutiamo σ 10N / mm ns mentre se S757mm lo sforzo unitario attuale a cui è soggetta la trave per flessione è: f max σ 06 N / mm non va bene ci vuole almeno una IPN100: W x σ f max W x N / mm 4100 < 10 La massima sollecitazione al taglio è T max kn 000N se usiamo questa IPN100 σ T T S max N / mm σ T( no min ale ) 4 σt N / mm noi con 1,88 siamo ampiamente sotto e quindi in condizioni di sicurezza. 17