GEOMETRIA EUCLIDEA O RAZIONALE. Prof.ssa Angela Donatiello

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1 GEOMETRIA EUCLIDEA O RAZIONALE Prof.ssa Angela Donatiello

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3 Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire misura della terra ), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dell utilità pratica. Se l oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d indagine della geometria dev essere diverso da quello del fisico, basato sull osservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio). Prof.ssa Angela Donatiello

4 La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli Elementi di Euclide. Prof.ssa Angela Donatiello

5 GEOMETRIA INTUITIVA RAZIONALE OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE ENTI e CONCETTI PRIMITIVI DEFINIZIONI ASSIOMI o POSTULATI Prof.ssa Angela Donatiello

6 GEOMETRIA INTUITIVA GEOMETRIA RAZIONALE Prof.ssa Angela Donatiello

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8 Considerata la fama degli Elementi e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a.c., insegnò matematica ad Alessandria d Egitto, nell accademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Prof.ssa Angela Donatiello

9 Concetti e enti primitivi Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari Assiomi o postulati Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che supponiamo essere vere e che pertanto non dimostriamo. Prof.ssa Angela Donatiello

10 I TEOREMI I Teoremi sono enunciati la cui verità può essere dimostrata a partire dai Postulati o da altri Teoremi. La dimostrazione di un Teorema è una sequenza di deduzioni che, partendo da affermazioni considerate vere (IPOTESI), fa giungere ad una nuova affermazione (TESI). Se (IPOTESI), allora (TESI) I Teoremi che sono l immediata conseguenza di Teoremi più importanti vengono detti COROLLARI Prof.ssa Angela Donatiello

11 Come mai il metodo ipotetico deduttivo si sviluppa presso i Greci e non presso gli Egiziani? Nelle poleis democratiche del VI e V secolo a.c. i politici devono conquistars il favore del popolo per essere eletti. Nascono dunque la Retorica (Arte della Persuasione) e la Logica (Arte del Discorso). La prima fa leva anche sulle reazioni emotive e psicologiche, mentre la seconda si basa solo su argomentazioni di carattere rigorosamente razionale. Nella civiltà dell Antico Egitto il Faraone deteneva il potere, non vi erano elezioni democratiche, per cui non nacque neanche l esigenza di sviluppare un metodo dimostrativo matematico. Prof.ssa Angela Donatiello

12 L IMPORTANZA DEI TEOREMI Prof.ssa Angela Donatiello

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14 Gli assiomi scelti soddisfano la condizione di : COMPATIBILITA (non devono contraddirsi l uno con l altro) INDIPENDENZA (dalle proprietà affermate dell uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell altro) Prof.ssa Angela Donatiello

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17 INOLTRE: Ø Su una retta ci sono almeno due punti Ø Per ogni retta di un piano, esiste almeno un punto, nel piano, che non appartiene ad essa. Prof.ssa Angela Donatiello

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19 L ORDINAMENTO SULLA RETTA La retta : Ø È un insieme ordinato di punti; Ø Non esiste né un primo, né un ultimo punto; Ø Fra due punti esiste sempre almeno un altro punto Retta orientata Prof.ssa Angela Donatiello

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