Il modello di trave adottato dal Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi:

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1 IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT Il problema del De Saint-Venant è un particolare problema di equilibrio elastico di notevole interesse applicativo, potendosi considerare alla base della teoria tecnica delle travi. Il problema consiste nel determinare lo stato di tensione e deformazione in una trave elastica ad asse rettilineo, di sezione costante avente forma generica, non vincolata e soggetta a forze applicate solo sulle basi alle estremità della trave (Fig. ). Per risolvere tale problema si utilizzano gli argomenti sviluppati fino ad ora con riferimento ad un corpo continuo tridimensionale di forma qualsiasi.. IPOTESI GENERLI Il modello di trave adottato dal Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi: a) GEOMETRI: si considera una trave prismatica, ovvero ad asse rettilineo e di sezione costante (di forma sufficientemente regolare), sufficientemente snella, di lunghezza cioè molto più grande delle dimensioni della sezione. Si assume un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (x, x 2, x 3 ) con origine nel baricentro G di una delle basi, con asse x 3 coincidente con l'asse geometrico della trave, e assi x ed x 2 coincidenti con gli assi centrali d inerzia della sezione, per cui S = S 2 = I 2 = 0 () Sia V la regione dello spazio occupata dal volume della trave. Con n = (n, n 2, 0) si indica la normale esterna sulla superficie laterale L della trave (mantello), ovvero sul contorno della generica sezione ortogonale all asse x 3. L x 0 G x 2 x 3 G V L x x 2 n Fig.. Trave del De Saint-Venant di sezione costante ad asse rettilineo,

2 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 2 soggetta a forze applicate sulle basi b) MTERILE: si considera un materiale (iper)elastico, lineare, omogeneo, isotropo, definito dalla relazione costitutiva (in forma inversa) ε = E [( + ν) σ ν (tr σ) I] (2) in funzione delle costanti E e ν (cioè modulo di elasticità longitudinale e coefficiente di contrazione trasversale). c) CONDIZIONI DI CRICO: si considerano forze di volume b nulle e forze di superficie s agenti solo sulle basi 0 e L, situate rispettivamente ad x 3 = 0 e x 3 = L, tali da costituire un sistema equilibrato, mentre la superficie laterale della trave risulta scarica. Pertanto, le equazioni indefinite di equilibrio all interno della trave e le condizioni di equilibrio sul contorno laterale si scrivono rispettivamente: 3 j= σij, j = 0 in V σ n = 0 su L (3) ovvero in forma estesa σ, + σ 2,2 + σ 3,3 = 0 σ n + σ 2 n 2 = 0 σ 2, + σ 22,2 + σ 23,3 = 0 in V σ 2 n + σ 22 n 2 = 0 su L (4) σ 3, + σ 32,2 + σ 33,3 = 0 σ 3 n + σ 32 n 2 = 0 d) CINEMTIC: si considera il solido non vincolato, coerentemente con l'ipotesi di sistema di forze equilibrato. Si suppone inoltre valida l ipotesi di deformazioni infinitesime per cui valgono le relazioni di congruenza tra deformazioni e spostamenti: ε ij = 2 (u i,j + u j,i) (5) Sotto queste ipotesi, la soluzione del problema è unica, a meno di un possibile moto rigido della trave, non essendo vincolata.

3 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 3 2. IL PRINCIPIO DI SINT-VENNT Lo stato di tensione nei tratti iniziale e terminale della trave può risentire della particolare distribuzione di forze sulle basi caricate, ma solo per una lunghezza circa uguale alla dimensione maggiore della sezione trasversale. Vale, infatti, il principio di Saint-Venant che può essere così enunciato: due distribuzioni di forze superficiali staticamente equivalenti, ossia con la stessa risultante e lo stesso momento risultante, agenti sulla stessa porzione della superficie di un corpo, producono gli stessi effetti in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicazione delle forze. In base a questo principio, se si escludono i tratti di trave in prossimità delle basi caricate, due sistemi di forze staticamente equivalenti danno origine allo stesso stato di tensione e deformazione all interno della trave. Nella Fig. 2 sono riportati due sistemi di forze staticamente equivalenti ed è tratteggiato il volume che risente della particolare distribuzione di forze superficiali, mentre lo stato di tensione e deformazione nella parte rimanente è praticamente lo stesso. Pertanto, non è necessario imporre una particolare distribuzione di forze superficiali sulle basi caricate, ma è sufficiente far riferimento solo alla risultante R e al momento risultante M di tale distribuzione. La soluzione corrispondente risulta valida per tutte le distribuzioni di forze superficiali aventi stessa risultante R e stesso momento risultante M. Fig. 2. Sistemi di forze staticamente equivalenti alla stessa sollecitazione di sforzo normale 3. I QUTTRO CSI FONDMENTLI DI SOLLECITZIONE La risultante R ed il momento risultante M calcolato rispetto al baricentro G delle azioni interne agenti sulla generica sezione della trave ammettono le seguenti componenti nel sistema di riferimento considerato: R = (T, T 2, N) M = (M, M 2, M 3 ) (6)

4 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 4 Poiché le equazioni che descrivono il problema elastico sono lineari, risulta valido il principio di sovrapposizione degli effetti, per cui è possibile studiare separatamente l effetto di ciascuna componente di R e di M. Ciò consente di suddividere lo studio del caso generale di sollecitazione nella somma dei seguenti quattro casi fondamentali, in cui le forze superficiali applicate alle basi forniscono una ad una le componenti dell azione interna. Si osservi che il sistema di forze applicate alle basi 0 ed L del cilindro deve risultare in equilibrio. ) Problema di SFORZO NORMLE CENTRTO, in cui l unica caratteristica di sollecitazione è lo sforzo normale N N N 2) Problema di FLESSIONE SEMPLICE o RETT, in cui l unica caratteristica di sollecitazione è il momento flettente M M M Lo studio di tale problema fornisce anche la soluzione per la sollecitazione di flessione semplice M 2. 3) Problema di TORSIONE, in cui l unica caratteristica di sollecitazione è il momento torcente M 3 M 3 M 3 4) Problema di TGLIO E FLESSIONE, in cui le caratteristiche di sollecitazione non nulle sono il taglio T 2 ed il momento flettente M T 2 T 2 L Si tratta perciò di un caso di sollecitazione composta per la concomitanza di taglio e momento flettente. Lo studio di tale problema fornisce anche la soluzione per la sollecitazione di taglio T e flessione M 2. T 2

5 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 5 La soluzione in corrispondenza di uno stato di sollecitazione generico si ottiene quindi dalla sovrapposizione di questi quattro casi semplici. Per le sollecitazioni di sforzo normale e flessione semplice la soluzione trovata da de Saint Venant si presenta particolarmente semplice, mentre per il caso di torsione e flessione e taglio la determinazione della soluzione non è molto agevole ad eccezione di forme particolarmente semplici della sezione trasversale. 4. CRTTERISTICHE DELL SOLLECITZIONE Le caratteristiche della sollecitazione in una generica sezione della trave, individuata dall ascissa x 3, corrispondono alla risultante R e al momento risultante M, valutato rispetto al baricentro G, delle tensioni σ 3, σ 32 e σ 33 agenti in ogni punto della sezione considerata. x G P d σ 3 σ 33 σ 32 x 2 x 3 In particolare, per lo sforzo normale e per gli sforzi di taglio si ha: N = σ 33 d T = σ 3 d T 2 = σ 32 d per i momenti flettenti si ha: M = σ 33 x2 d M 2 = σ 33 x d (7) e per il momento torcente si ha: M 3 = ( σ x σ x ) d

6 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 6 Tali relazioni possono ottenersi valutando la risultante R ed il momento risultante M delle forze elementari t d che agiscono su ciascuna area elementare d della sezione, normale all asse x 3, dove t = σ e 3 = (σ 3, σ 32, σ 33 ) (8) Si ha infatti: R = t d M = (P G) t d (9) dove P G è il vettore di componenti (x, x 2, 0) e quindi: e e2 e3 σ33 x2 (P G) t = x x2 0 = σ33 x (0) σ σ σ σ32 x σ3 x2 5. IPOTESI DEL DE SINT VENNT La strategia di soluzione del problema seguita dal Saint Venant consiste nell assumere a priori delle ipotesi ragionevoli sullo stato di tensione, che verificano alcune equazioni di equilibrio, e nel cercare quindi la soluzione che soddisfa tutte le rimanenti equazioni del problema elastico (metodo semiinverso). L unicità della soluzione del problema elastico, garantisce quindi che la soluzione trovata col metodo semi-inverso è proprio la soluzione effettiva. L efficacia del metodo semi-inverso è legata alla corretta intuizione sulle caratteristiche parziali che la soluzione deve avere, da assumere a priori nella formulazione. In particolare, il Saint Venant assume la seguente caratterizzazione per le componenti di tensione σ = σ 22 = σ 2 = 0 () per cui le condizioni di equilibrio (4) si riducono alle seguenti equazioni che devono risultare verificate nei punti interni della trave σ 3,3 = 0 σ 23,3 = 0 σ 3, + σ 32,2 + σ 33,3 = 0 in (2)

7 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 7 e all unica condizione che deve risultare verificata sul contorno laterale σ 3 n + σ 32 n 2 = 0 su (3) Dalle prime due equazioni di equilibrio (2) segue che le tensioni tangenziali σ 3 e σ 32 non dipendono dalla coordinata x 3. Le tensioni tangenziali possono quindi variare all interno della sezione ma la loro distribuzione rimane identica in tutte le sezioni della trave. Derivando la terza equazione di equilibrio (2) 3 rispetto ad x 3 si ottiene inoltre σ 33,33 = 0 (4) cioè la tensione normale σ 33 è al più una funzione lineare di x PROBLEM DEL DE SINT-VENNT NELL SOL TENSIONE NORMLE Poiché la distribuzione delle tensioni tangenziali rimane identica in tutte le sezioni, se le tensioni tangenziali si annullano su una base allora risulteranno nulle in tutte le sezioni della trave. In tal caso, dalla terza equazione di equilibrio si ottiene σ 33,3 = 0 (5) cioè σ 33 non dipende da x 3. Tale condizione si verifica nel caso in cui T = T 2 = M 3 = 0. Queste sollecitazioni danno infatti origine alle tensioni tangenziali σ 3 e σ 32 nella sezione della trave, come si può rilevare dalle (7). Pertanto, se agiscono solo N, M e M 2 l unica componente di tensione non nulla è la tensione normale σ 33, che in virtù della (5) risulta indipendente da x 3. Utilizzando anche le relazioni di congruenza e di legame costitutivo [ ] si può dimostrare che σ 33 deve dipendere linearmente da x e x 2, ovvero: σ 33 = a + b x 2 + c x (6) Se l unica componente di tensione non nulla è σ 33, dalla (5) e dal legame costitutivo si ha infatti ε 33 = E σ33 ε = ε 22 = E ν σ33 ε ij = 0 (per i j) (7)

8 Cap. IV IL PROBLEM DEL DE SINT-VENNT 8 Utilizzando quindi la (5) e le relazioni di congruenza, dalle (7) 2,3 segue u,3 = u 2,23 = 0 u i,j = u j,i (per i j) (8) di conseguenza si ottiene u 3, = u,3 = 0 u 3,22 = u 2,32 = 0 (9) u 3,2 = u,32 = u 2,3 = u 3,2 = 0 Pertanto, la componente di spostamento u 3 deve risultare una funzione al più lineare di x e x 2 e non può dipendere dal termine x x 2. Da cui segue la conservazione delle sezioni piane. Inoltre, anche la componente di deformazione ε 33 = u 3,3 e la tensione σ 33 = E ε 33 devono risultare funzioni lineari di x e x 2 e quindi la validità della (6). Le costanti a, b e c si possono definire in funzione delle caratteristiche della sollecitazione N, M e M 2 impiegando le espressioni (7) e ricordando che, per la scelta particolarmente conveniente del sistema di riferimento centrale d inerzia, si annullano sia i momenti statici che il momento centrifugo (S = S 2 = I 2 = 0). Per cui le caratteristiche della sollecitazione risultano N = (a + b x 2 + c x ) d = a + b S + c S 2 = a M = (a + b x 2 + c x ) x 2 d = a S + b I + c I 2 = b I (20) da cui segue M 2 = (a + b x 2 + c x ) x d = a S 2 + b I 2 + c I 2 = c I 2 a = N b = M I c = M I 2 2 Pertanto, la tensione normale (5) può scriversi nella forma N M σ 33 = + I x2 M 2 x (2) I 2 nota come formula di Navier.