La statistica descrittiva

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1 MATEMATICAperTUTTI Dee seguenti indagine statistiche individua a popoazione, i carattere oggetto di studio e e possibii modaità di tae carattere. 1 ESERCIZIO SVOLTO Indagine: utiizzo de tempo ibero da parte degi studenti di una scuoa i carattere studiato è: utiizzo de tempo ibero a popoazione è: insieme di tutti gi studenti dea scuoa; e modaità con cui si può presentare i carattere sono: ettura, sport, cinema e teatro, visite ai musei, shopping... 2 Indagine: numero di figi nee famigie itaiane. 3 Indagine: i grado di istruzione dei avoratori di una data azienda. 4 Indagine: i peso corporeo (in kg) di un gruppo di bambini di una seconda casse di una scuoa eementare. Indagine: e attività sportive preferite dai ragazzi di età compresa fra i 13 e i 18 anni. 6 ESERCIZIO SVOLTO Le distribuzioni di frequenza. I dati raccoti in un indagine devono essere organizzati per poteri anaizzare. Si ricorre di soito ae distribuzioni di frequenza, cioè tabee nee quai vengono riportate e modaità di un carattere e e reative frequenze. Consideriamo i seguente esempio. Da un indagine condotta su un certo numero di aunni che frequentano a scuoa superiore si è rievato che 300 aunni eggono 1 soo ibro a mese, 10 aunni ne eggono 2 soi a mese, 0 aunni ne eggono più di 2 a mese, 100 aunni non eggono ibri. Costruiamo a tabea dee frequenze assoute e reative. Ricordiamo che a frequenza reativa si ottiene dividendo ciascuna frequenza assouta per i totae dee osservazioni; a frequenza reativa percentuae, invece, si ottiene motipicando e dividendo per 100 a frequenza reativa. Ad esempio, data a frequenza reativa 0,32, otteniamo a frequenza reativa percentuae ne seguente modo: 0, ¼ ¼ 32% La somma di tutte e frequenze reative è sempre uguae ad 1, mentre a somma dee frequenze percentuai è sempre uguae a 100%. La tabea dee frequenze reativa a esempio è a seguente: 1

2 Libri etti a mese Fr. assouta Fr. reativa Fr. reativa perc ¼ 0, 0% ¼ 0,2 2% > ¼ 0,08 8% ¼ 0,17 17% Totae 1 100% 7 Da un indagine condotta sugi studenti di una scuoa si è rievato che 382 aunni hanno fatto meno di 3 giorni di assenza, 224 aunni da 3 ad 8 giorni di assenza, 103 aunni hanno fatto da 9 a 1 giorni di assenza, 82 aunni hanno fatto da 16 a 30 giorni di assenza e che 1 aunni hanno fatto otre 30 giorni di assenza. Organizza i dati in una tabea dee frequenze e determina e frequenze reative e e frequenze reative percentuai. 8 Da un indagine condotta fra un certo numero di studenti iscritti ad una facotà universitaria si è rievato che 300 provengono da un iceo scientifico, 180 da un iceo cassico, 80 da un istituto tecnico, 40 da atri tipi di scuoa. Organizza i dati in una tabea dee frequenze e determina e frequenze reative e e frequenze reative percentuai. 9 Dai registri dei matrimoni di un grande comune risuta che in un certo anno si sono sposate 230 coppie; anaizzando età dee spose, si è visto che 91 erano di età compresa fra i 18 e i 26 anni, 1230 di età compresa tra 27 e 32, e rimanenti di età superiore ai 32 anni. Organizza i dati in una tabea dee frequenze e determina e frequenze reative e e frequenze reative percentuai. 10 ESERCIZIO SVOLTO La media aritmetica, a moda e a mediana (di un insieme di dati). Per comprendere a fondo un fenomeno statistico evidenziandone e caratteristiche essenziai servono degi indici di sintesi dei dati. Tai indici, ricordiamo, sono a media, a moda e a mediana. Ad esempio, dati i seguenti vaori: cacoiamo a media aritmetica, a moda e a mediana. a media aritmetica di n numeri è i rapporto fra a oro somma ed n; ne nostro caso, quindi, abbiamo che a media è: ¼,6 4 þ þ 9 þ 10 þ 2 þ 4 þ þ 6 þ 7 þ 4 10 a moda è i vaore a quae corrisponde a massima frequenza; a moda dea nostra distribuzione è, quindi, 4 a mediana è i vaore centrae di una serie di n dati (ordinati in senso crescente o decrescente) se n è dispari, atrimenti è uguae aa semisomma dei due vaori centrai se n è pari. Riscriviamo i dati dea distribuzione in ordine crescente: La mediana è quindi: þ 2 ¼. 2

3 11 Cacoa a media aritmetica, a mediana e a moda dei seguenti gruppi di dati statistici: a. 4; 8; 6; 12; 1; 16; 10; 7; 12; b. 12; 1; 8; 6; 9; 1; 10; 8; c. 3; 0,; 1,2; 4; 2; 3; 1,; 0, Cacoa a media aritmetica, a mediana e a moda dei seguenti gruppi di dati statistici: a. 17; 16; 18; 20; 2; 30; 24; 26; 30; b. 44; 43; 8; 3; ; 6; 3; 2; 48; 46; 49; c. 3; ; 2; ; 7; 8; 9; 10; 9; 3; ; 8; Da un gruppo di amici si è rievato i numero di scarpe; i dati sono i seguenti: Cacoa media, moda e mediana. 14 Dieci misurazioni successive de peso di una certa massa hanno condotto ai seguenti risutati (espressi in grammi): 1 14,3 14, 14,2 1,1 14,3 14,7 14,8 14,3 14,2 Cacoa media, moda e mediana. 1 ESERCIZIO SVOLTO La media, moda e mediana (di una distribuzione di frequenza). Quando i dati si presentano con una certa frequenza è utie costruire e tabee di frequenza e da esse cacoare a media, moda e mediana. Vediamo i seguente esempio. Da un indagine su un gruppo di 11 ragazzi reativamente a oro peso corporeo sono emersi i seguenti risutati (in kg): Organizziamo i dati in una tabea dee frequenze dove aggiungiamo una terza coonna in cui cacoare i prodotto di ciascuna modaità con a sua frequenza. Peso x Frequenza assouta f Prodotto x f ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 83 TOTALE per cacoare a media (detta ponderata perché ogni dato si presenta con una certa frequenza) basta dividere i totae ottenuto nea terza coonna per a somma dee frequenze. 637 La media è, quindi, uguae a: 11 ¼ 7,9. 3

4 per cacoare a moda dobbiamo individuare i peso a cui corrisponde a massima frequenza. Daa tabea notiamo che i vaori che presentano frequenza maggiore sono due, i 48 e i 2. Questa distribuzione ha due vaori modai e si dice anche bimodae. per cacoare a mediana osserviamo che e modaità sono già in ordine crescente (da peso più basso a peso più ato); per cacoare i vaore centrae dea distribuzione dobbiamo: costruire a coonna dee frequenze cumuate che si ottiene sommando aa frequenza di una certa osservazione tutte e frequenze dee osservazioni precedenti; cercare i vaore a cui corrisponde a metà dea frequenza compessiva. Peso x Frequenza f Frequenze cumuate TOTALE 11 Da momento che i totae dee frequenze è 11 che è un numero dispari, i vaore mediano sarò queo che occupa i posto centrae e che si trova quindi nea sesta posizione. Guardando a coonna dee frequenze cumuate vediamo che tae posizione (6) corrisponde a vaore 3 che, quindi,rappresenta i vaore cercato. 16 A termine de Esame di Stato e dopo a pubbicazione degi esiti, una scuoa effettua una indagine per determinare come si sono distribuiti i voti superiori ai 9/100. I risutati sono indicati nea seguente tabea: Voto in centesimi N. dipomati Determina media, moda e mediana dea distribuzione. 17 La distribuzione de reddito in un gruppo di persone è così ripartita: Reddito (in migiaia di euro) Frequenza Determina media, moda e mediana dea distribuzione. 18 La seguente tabea indica a distribuzione dei voti presi da una studentessa universitaria ne corso di aurea in ingegneria: 4

5 Voti Frequenza Determina media, moda e mediana dea distribuzione. 19 ESERCIZIO SVOLTO Scarto quadratico medio e varianza. Per vautare correttamente un fenomeno a vote non bastano gi indici introdotti. Per esempio confrontiamo i voti ottenuti da due studenti nee cinque verifiche di matematica de secondo quadrimestre: studente A: studente B: La media aritmetica deo studente A è: 7 þ 7 þ þ 8 þ ¼ 6,4 7 þ 6 þ 6 þ 7 þ 6 La media aritmetica deo studente B è: ¼ 6,4 Le due medie coincidono, ma e situazioni sono competamente diverse. Lo studente A ha ricevuto due insufficienze mentre o studente B non ha mai ricevuto insufficienze e e sue vautazioni risutano abbastanza omogenee. Possiamo anche dire che o studente A presenta una variabiità maggiore deo studente B, cioè un andamento meno costante nee vautazioni. L indice che misura questa maggiore o minore variabiità dei dati rispetto aa media aritmetica è o scarto quadratico medio che si indica con a ettera : Ricordiamo che per cacoare o scarto quadratico medio di una distribuzione di n dati che ammettono media aritmetica M, si può utiizzare a seguente formua: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 1 ¼ þ x2 þ 2 ::::::::x2 n M 2 n I quadrato deo scarto quadratico medio, cioè 2,èdetto varianza, quindi 2 ¼ x2 1 þ x2 2 þ ::::::::x2 n n M 2 Ritornando a esempio, cacoiamo o scarto quadratico medio dee distribuzioni di voti dei due studenti: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 A ¼ 2 þ 7 2 þ 2 þ 8 2 þ 2 6,4 2 7 ¼ 1,2 B ¼ 2 þ 6 2 þ 6 2 þ 7 2 þ 6 2 6,4 2 ¼ 0,49 Le vautazioni deo studente B, come avevamo già anticipato, presentano una minor variabiità dato che B < A. Cacoa o scarto quadratico medio e a varianza dee seguenti sequenze di numeri

6 23 Due gruppi di studenti effettuano misurazioni reative aa unghezza (in cm) di un oggetto e riportano i dati in una tabea. Quae gruppo presenta a minor variabiità fra i dati? GRUPPO A GRUPPO B misurazioni vaore misurazioni vaore prima 7,8 prima 7,3 seconda 7,7 seconda 7,3 terza 7,3 terza 7, quarta 7, quarta 7,9 quinta 7,7 quinta 7,4 Risutati di acuni esercizi. 11. a. 10, 10, 12; b. 10,37, 9,, 8 e 1; c. 1,921, 1,7, a. 22,8, 24, 30; b. 0,6, 2, 3; c. 6,46, 7, , 40, ,; 14,3; 14, ,7; 96; ,3; 30; ; 27; ¼ 7,2; 2 ¼ 6,8 21. ¼ 3,16; 2 ¼ ¼ 6,67; 2 ¼ 44, 23. Gruppo A 6