I numeri reali e la loro rappresentazione

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "I numeri reali e la loro rappresentazione"

Transcript

1 I numeri reali e la loro rappresentazione 1 Alcune figure di questi appunti riportano nei commenti esempi in linguaggio MATLAB. In tali esempi i caratteri di peso normale sono prodotti dal computer mentre i caratteri in grassetto sono battuti dall operatore. I caratteri >> sono il prompt del sistema, ossia indicano che MATLAB è in attesa di istruzioni. Ad esempio la sequenza seguente: >> whos significa che MATLAB attendeva ordini e che l operatore ha battuto il comando whos. MATLAB (MATrix LABoratory) è un sistema interattivo basato sul calcolo matriciale per uso scientifico e tecnico. Oltre al trattamento di matrici è in grado di trattare polinomiali, equazioni differenziali e altre applicazioni. Funzionalità aggiuntive sono rese possibili mediante l installazione di toolbox addizionali. La Homepage di MATLAB è Un sistema simile a MATLAB, di tipo Open Source (ossia gratuito), è Scilab ( La sintassi di Scilab è molto simile a quella di MATLAB. In particolare, negli esempi che seguono i comandi da dare sono identici, tranne dove esplicitamente dichiarato. L output di Scilab è leggermente diverso. Il prompt di Sscilab è -->.

2 Classi di numeri (irrazionali) 2 NUMERO FINITO DI RELATIVI infiniti razionali infiniti irrazionali 2 Ogni classe esterna (più ampia) include le classi interne: ad esempio i numeri relativi comprendono anche i numeri naturali. In ogni classe più esterna sono possibili le operazioni delle classi interne, più altre: nella classe dei razionali è sempre possibile la divisione (eccetto che con denominatore nullo), che con i relativi non è sempre possibile. Le classi di numeri vengono comunemente identificate con i simboli seguenti: Naturali: N Relativi: Q Razionali: Z Reali: R Paaina 2

3 Interi (positivi): 10 simboli Notazione posizionale cifra più significativa cifra meno significativa b = 2,3, a i = 0,,b-1 3 Il numero è la combinazione lineare di tanti numeri di una cifra, ognuno moltiplicato per un peso che è una potenza della base. Posizionale : il peso di una cifra dipende dalla posizione in cui si trova la cifra. Le cifre più a sinistra sono più significative (hanno un peso maggiore). Gli interi negativi hanno la stessa rappresentazione, con l aggiunta del simbolo -. Paaina 3

4 Numeri interi: rappresentazione in basi diverse!"!"!" Una cifra esadecimale equivale a quattro cifre binarie (bit). # $ 10 =#$ 2 =#$ 16 4 Nelle rappresentazioni in basi diverse da 10 si usano: per i primi numeri (zero, uno, ) le stesse cifre usate per la rappresentazione decimale; se la base è >10 si aggiungono, in coda al 9, le prime lettere dell alfabeto latino (A, B, ). Per capire che una sequenza di cifre rappresenta un numero in una base b si usa la notazione (cifre ) b, dove il numero b è sempre scritto in base 10. Se la base non è indicata si sottintende b=10. La rappresentazione binaria (base 2) è quella usata intrinsecamente nei computer. Le cifre binarie (che sono solo lo 0 e 1) dono chiamate BIT (Binary unit). Una cifra esadecimale corrisponde a quattro bit. Quindi rappresentazione in base 2 e in base 16 sono equivalenti purché si usi un numero di bit multiplo di 4. La notazione in base 16 è pertanto una comune rappresentazione, utilizzante 16 simboli, dei numeri in un computer. In effetti in un computer l informazione è comunemente organizzata in byte (o ottetti). Un byte è una sequenza di 8 cifre binarie, per cui un byte corrisponde a due cifre esadecimali il cui valore va da (00) 16 a (FF) 16 (ossia da 0 a 255). In MATLAB il comando dec2hex(n) converte un numero intero positivo da base 10 a base 16. Esempio: >> dec2hex(17) ans = 11 Paaina 4

5 Rappresentazione posizionale dei numeri razionali = + π cifra più significativa % = % =% Non tutti i numeri razionali sono rappresentabili con un numero finito di cifre. = % cifra meno significativa I numeri irrazionali: Non sono rappresentabili con un numero finito di cifre. Non hanno periodo. periodo 5 Nella rappresentazione di un razionale è essenziale il simbolo di separazione fra le parte intera (a sinistra) e la parte frazionaria (a destra). Tale simbolo è spesso il carattere. (punto), tuttavia alcuni software possono richiedere il carattere, (virgola), ad esempio Excel in edizione italiana e se opportunamente configurato. MATLAB accetta solo il punto. Paaina 5

6 Numeri razionali: rappresentazione in basi diverse!"!" % % % %!" % =% Un numero può essere finito in una base e periodico in un altra. 6 Paaina 6

7 Notazione esponenziale Notazione esponenziale = % = % = % = % CIFRE SIGNIFICATIVE Esponenziale normalizzata = % =0 0 MANTISSA ESPONENTE!" " b = 2,3, a i = 0,,b-1 a Paaina 7

8 Numero di macchina È un numero reale rappresentato da N cifre (N prefissato). Esempio: N = 4 (b = 10) a i = 0,,9 $ $ %&'(! ) # " * %&" +! ) = 0,01 " ' = 99,99 -. " = 0, = 0,0001, $$ Esponente - 4 " ' = 0, = Paaina 8

9 L insieme dei Numeri di macchina I numeri di macchina, comunemente rappresentati in virgola mobile, costituiscono un insieme limitato e finito di razionali. UNDERFLOW!, Errore di arrotondamento, OVERFLOW!, 0 "!- " " 0,1 &"%,) " 2 0,1 &"%,), &"%,)!- " '/ Con i numeri di macchina gli errori di rappresentazione sono inevitabili! 9 Paaina 9

10 Precisione: zero macchina e epsilon macchina Quante più cifre si dedicano all esponente tanto più aumenta il campo di variazione dei numeri di macchina. Quante più cifre si dedicano alla mantissa tanto più aumenta la precisione. In particolare: 1. Diminuisce lo zero macchina ( reale minimo ): minimo numero positivo rappresentabile; 2. Diminuisce l epsilon macchina ( precisione di macchina ): minimo numero positivo che sommato a 1 fornisce un risultato diverso da 1: 1 + ε M > ε M = Paaina 10

11 Numeri di macchina: lo standard IEEE bit S(egno) 8 bit,/ 23 bit $$ $ $ S(egno) 11 bit 64 bit 52 bit,/ $$ # $ % * '-") 11 Lo Standard 754, emesso da IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) è equivalente allo standard internazionale ISO/IEC 60559, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems. Prevede diversi formati, di cui quello doppia precisione è il più usato, ad esempio da software come MATLAB/Scilab ed Excel. Nel formato doppia precisione il 1 bit (il più significativo) vale 0 se il numero è positivo, 1 se negativo. Gli 11 bit successivi contengono l esponente EXP. Dei 2048 valori possibili (fra 0 e 2047) di questi 11 bit i valori da 1 a 2046 sono utilizzati per rappresentare EXP I valori 0 e 2047 servono a rappresentare situazioni speciali quali +INF (Infinito positivo, risultato ad esempio di un overflow), -INF (Infinito negativo), NaN (Not a Number, risultato ad esempio di una divisione 0/0). Paaina 11

12 Numeri di macchina, MATLAB e Excel (alcuni comandi MATLAB per evidenziare effetti liminali dei numeri di macchina). realmin (determina il minimo intero positivo rappresentabile) realmax (determina il massimo intero) eps (determina epsilon macchina) format long e (output con 15 cifre decimali purché non tutte =0) format hex (output evidenziato come 8 cifre esadecimali) format (torna a default) (con EXCEL è possibile costruire epsilon macchina). 12 === Scilab ====================== Il comando realmin è sostituito da number_properties("tiny") Il comando realmax è sostituito da number_properties( huge") La variabile eps si chiama %eps Il comando format ha una sintassi differente, ad esempio: certi limiti) -->format( v,12) (usa 12 simboli al massimo, formato esponenziale oltre -->format( e,12) (usa 12 simboli, formato esponenziale sempre) (non esiste l equivalente di format hex ). Per maggiori dettagli vedere l help di sistema. Paaina 12

13 Propagazione degli errori 13

14 Propagazione degli errori nelle operazioni elementari Volendo effettuare operazioni fra numeri reali, si opera in realtà sui loro rappresentanti di macchina. Ciò ha per conseguenza che gli errori di arrotondamento dei numeri su cui si opera producono errori di arrotondamento sul risultato dell operazione. Relazione fra un numero reale x e il suo rappresentante di macchina fl(x): x fl( x ) ε x = fl( x ) = x( 1 ε x ) x ε x < ε M 14 Paaina 14

15 Esempio: errore di moltiplicazione fl(xy) fl(x) fl(y) ε xy = '3 1 &"%')&"%3) '3 ε xy = '3 1 '%4 ε x )3%4 ε y ) '3 = ε x 5ε y 4 ε x ε y ε x 5ε y Nel prodotto l errore relativo non viene amplificato. 15 Paaina 15

16 Errore nella somma: cancellazione numerica fl(x+y) fl(x)+fl(y) ε x+y = '531 %'%4ε x )53%4ε y )) '53 ε x+y = 'ε x 53ε y '53 Nella somma l errore relativo può essere notevolmente amplificato. Ciò accade se x+y x 0 16 Paaina 16

17 Cancellazione numerica con MATLAB a=2; b=eps; c=a + 2*b; d=a +b +b; (nell algebra comune risulta d=c!) (si verifica che c>d) a=2^28; b=2^(-26); si verifica che: a+b a b < 0 (a+b) (a+b) = 0 (a b) (a b) = 0 a b a+b > 0 17 Per verificare che c>d (1 esempio) basta battere: >> c-d Si ottiene un numero positivo (maggiore di realmin). Con Scilab ricordarsi di usare %eps al posto di eps. Paaina 17

18 Instabilità di un algoritmo Algoritmo: Sequenza organizzata di operazioni su alcuni dati, per ottenere un risultato. Es: algoritmo per effettuare la divisione fra due numeri. Instabilità: Fenomeno per cui un algoritmo amplifica gli errori sui dati. Esistono alcuni algoritmi instabili, che per loro natura amplificano gli errori. 18 Paaina 18

19 Esempio di algoritmo instabile Successione per approssimare π: z 2 = 2; z n+1 = 2 n-1/ n z 1 n n = 2,3, La successione z 2, z 3, z 4,... converge a π. L errore diminuisce nelle prime 16 iterazioni, poi aumenta nuovamente. 19 Un programma MATLAB per verificare le prime 21 iterazioni può essere il seguente: >>z(2)=2; >>for n=2:20;z(n+1)=2^(n-1/2)*sqrt(1-sqrt(1-4^(1-n)*z(n)^2));end >>format long e;errore=z-pi (viene visualizzato un vettore errore di 21 valori che contiene gli errori alle varie iterazioni). === Scilab ====================== lo stesso programma in Scilab: --> z(2)=2; --> for n=2:20;z(n+1)=2^(n-1/2)*sqrt(1-sqrt(1-4^(1-n)*z(n)^2));end --> format('e',12);errore=z-%pi Paaina 19

20 Sensitività (condizionamento) di un problema Esistono problemi per loro natura sensibili a variazioni dei dati. Esempio, risolvere l equazione: (x-2) 2 = 10-6 Soluzione: x = 2 ±10-3 alteriamo il secondo membro: (x-2) 2 = Soluzione: x = 2 ± Paaina 20

21 Conclusioni 1. Nelle computazioni gli errori sono sempre presenti (finitezza della rappresentazione su elaboratore) 2. Utilizzare algoritmi stabili per evitare di propagare gli errori 3. Esistono problemi sensibili alle variazioni sui dati (problemi mal condizionati) che vanno trattati con particolare attenzione. 21 Paaina 21

Codifica. Rappresentazione di numeri in memoria

Codifica. Rappresentazione di numeri in memoria Codifica Rappresentazione di numeri in memoria Rappresentazione polinomiale dei numeri Un numero decimale si rappresenta in notazione polinomiale moltiplicando ciascuna cifra a sinistra della virgola per

Dettagli

Rappresentazione dei numeri reali in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri reali in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri reali in un calcolatore Lezione 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione di numeri

Dettagli

Aritmetica dei Calcolatori Elettronici

Aritmetica dei Calcolatori Elettronici Aritmetica dei Calcolatori Elettronici Prof. Orazio Mirabella L informazione Analogica Segnale analogico: variabile continua assume un numero infinito di valori entro l intervallo di variazione intervallo

Dettagli

Fondamenti di Informatica - 1. Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012

Fondamenti di Informatica - 1. Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012 Fondamenti di Informatica - 1 Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012 I numeri reali Sommario Conversione dei numeri reali da base 10 a base B Rappresentazione dei numeri reali Virgola fissa Virgola mobile (mantissa

Dettagli

Numeri in virgola mobile

Numeri in virgola mobile Numeri in virgola mobile PH. 3.6 1 Motivazioni virgola mobile Rappresentazione in virgola fissa per rappresentare numeri frazionari fissando la posizione della virgola su una posizione prestabilita Le

Dettagli

Sistemi di Numerazione Binaria

Sistemi di Numerazione Binaria Sistemi di Numerazione Binaria NB.1 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato

Dettagli

Sistemi di Numerazione Binaria

Sistemi di Numerazione Binaria Sistemi di Numerazione Binaria NB.1 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato

Dettagli

La codifica. dell informazione

La codifica. dell informazione 00010010101001110101010100010110101000011100010111 00010010101001110101010100010110101000011100010111 La codifica 00010010101001110101010100010110101000011100010111 dell informazione 00010010101001110101010100010110101000011100010111

Dettagli

Sistemi di Numerazione Binaria

Sistemi di Numerazione Binaria Sistemi di Numerazione Binaria BIN.1 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato

Dettagli

Rappresentazione di Numeri Reali. Rappresentazione in virgola fissa (fixed-point) Rappresentazione in virgola fissa (fixed-point)

Rappresentazione di Numeri Reali. Rappresentazione in virgola fissa (fixed-point) Rappresentazione in virgola fissa (fixed-point) Rappresentazione di Numeri Reali Un numero reale è una grandezza continua Può assumere infiniti valori In una rappresentazione di lunghezza limitata, deve di solito essere approssimato. Esistono due forme

Dettagli

Rappresentazione di dati: numerazione binaria. Appunti per la cl. 3 Di A cura del prof. Ing. Mario Catalano

Rappresentazione di dati: numerazione binaria. Appunti per la cl. 3 Di A cura del prof. Ing. Mario Catalano Rappresentazione di dati: numerazione binaria Appunti per la cl. 3 Di A cura del prof. Ing. Mario Catalano Rappresentazione binaria Tutta l informazione interna ad un computer è codificata con sequenze

Dettagli

Fondamenti di Programmazione. Sistemi di rappresentazione

Fondamenti di Programmazione. Sistemi di rappresentazione Fondamenti di Programmazione Sistemi di rappresentazione Numeri e numerali Il numero cinque 5 V _ Π 五 Arabo Romano Maya Greco Cinese Il sistema decimale Sistemi posizionali 1 10 3 + 4 10 2 + 9 10 1 + 2

Dettagli

I sistemi di numerazione. Informatica - Classe 3ª, Modulo 1

I sistemi di numerazione. Informatica - Classe 3ª, Modulo 1 I sistemi di numerazione Informatica - Classe 3ª, Modulo 1 1 La rappresentazione interna delle informazioni ELABORATORE = macchina binaria Informazione esterna Sequenza di bit Spett. Ditta Rossi Via Roma

Dettagli

Rappresentazione di numeri reali. Architetture dei Calcolatori (Lettere. Perché la rappresentazione in virgola mobile

Rappresentazione di numeri reali. Architetture dei Calcolatori (Lettere. Perché la rappresentazione in virgola mobile Rappresentazione di numeri reali Architetture dei Calcolatori (Lettere A-I) Rappresentazione in Virgola Mobile Prof. Francesco Lo Presti Con un numero finito di cifre è possibile rappresentare solo un

Dettagli

Sistema Numerico Decimale

Sistema Numerico Decimale Sistema Numerico Decimale 10 digits d = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] 734 = 7 * 10 2 + 3 * 10 1 + 4 * 10 0 0.234 = 2 * 10-1 + 3 * 10-2 + 8 * 10-3 In generale un numero N con p digits(d) interi ed n digits frazionari

Dettagli

Codice binario. Codice. Codifica - numeri naturali. Codifica - numeri naturali. Alfabeto binario: costituito da due simboli

Codice binario. Codice. Codifica - numeri naturali. Codifica - numeri naturali. Alfabeto binario: costituito da due simboli Codice La relazione che associa ad ogni successione ben formata di simboli di un alfabeto il dato corrispondente è detta codice. Un codice mette quindi in relazione le successioni di simboli con il significato

Dettagli

Lezione 3. I numeri relativi

Lezione 3. I numeri relativi Lezione 3 L artimetcia binaria: i numeri relativi i numeri frazionari I numeri relativi Si possono rappresentare i numeri negativi in due modi con modulo e segno in complemento a 2 1 Modulo e segno Si

Dettagli

Calcolatori Elettronici Parte III: Sistemi di Numerazione Binaria

Calcolatori Elettronici Parte III: Sistemi di Numerazione Binaria Anno Accademico 2001/2002 Calcolatori Elettronici Parte III: Sistemi di Numerazione Binaria Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre Numeri e numerali! Numero: entità astratta! Numerale: stringa di

Dettagli

La codifica binaria. Sommario

La codifica binaria. Sommario La codifica binaria Prof. Alberto Borghese Dipartimento di Scienze dell Informazione borghese@dsi.unimi.it Università degli Studi di Milano 1/44 Sommario Rappresentazione binaria dell Informazione Conversione

Dettagli

Analogico vs. Digitale. LEZIONE II La codifica binaria. Analogico vs digitale. Analogico. Digitale

Analogico vs. Digitale. LEZIONE II La codifica binaria. Analogico vs digitale. Analogico. Digitale Analogico vs. Digitale LEZIONE II La codifica binaria Analogico Segnale che può assumere infiniti valori con continuità Digitale Segnale che può assumere solo valori discreti Analogico vs digitale Il computer

Dettagli

Rappresentazione numeri relativi e reali

Rappresentazione numeri relativi e reali Rappresentazione numeri relativi e reali Lezione 2 Rappresentazione numeri relativi Rappresentazione numeri reali Rappresentazione in Modulo e Segno Rappresentare separatamente il segno (mediante un bit

Dettagli

Numeri di macchina. Lucia Gastaldi. DICATAM - Sez. di Matematica,

Numeri di macchina. Lucia Gastaldi. DICATAM - Sez. di Matematica, Numeri di macchina Lucia Gastaldi DICATAM - Sez. di Matematica, http://lucia-gastaldi.unibs.it Indice 1 Rappresentazione dei numeri Formato di memorizzazione dei numeri Arrotondamento di un numero reale

Dettagli

Lo schema seguente presenta le principali informazioni che devono essere rappresentate mediante codici binari.

Lo schema seguente presenta le principali informazioni che devono essere rappresentate mediante codici binari. Rappresentaziione delllle iinformaziionii allll iinterno dii un ellaboratore I calcolatori digitali sono sistemi in grado di elaborare e archiviare nelle loro memorie esclusivamente grandezze binarie.

Dettagli

Rappresentazione dei dati in memoria

Rappresentazione dei dati in memoria Rappresentazione dei dati in memoria La memoria Una memoria deve essere un insieme di oggetti a più stati. Questi oggetti devono essere tali che: le dimensioni siano limitate il tempo necessario per registrare

Dettagli

I.4 Rappresentazione dell informazione

I.4 Rappresentazione dell informazione I.4 Rappresentazione dell informazione Università di Ferrara Dipartimento di Economia e Management Insegnamento di Informatica Ottobre 13, 2015 Argomenti Introduzione 1 Introduzione 2 3 L elaboratore Introduzione

Dettagli

Rappresentazione dei Numeri

Rappresentazione dei Numeri Rappresentazione dei Numeri Rappresentazione dei Numeri Il sistema numerico binario è quello che meglio si adatta alle caratteristiche del calcolatore Il problema della rappresentazione consiste nel trovare

Dettagli

Problema numerico. Relazione funzionale chiara e non ambigua tra dati iniziali e la soluzione. Dati iniziali e soluzione sono due vettori finiti

Problema numerico. Relazione funzionale chiara e non ambigua tra dati iniziali e la soluzione. Dati iniziali e soluzione sono due vettori finiti Problema numerico Relazione funzionale chiara e non ambigua tra dati iniziali e la soluzione. Dati iniziali e soluzione sono due vettori finiti X F(X) F Y Metodo numerico Descrizione matematica dei calcoli

Dettagli

Fondamenti di Programmazione. Sistemi di rappresentazione

Fondamenti di Programmazione. Sistemi di rappresentazione Fondamenti di Programmazione Sistemi di rappresentazione Numeri e numerali Il numero cinque 5 V _ Π 五 Arabo Romano Maya Greco Cinese Sistemi posizionali 1 10 3 + 4 10 2 + 9 10 1 + 2 10 0 Sistemi posizionali

Dettagli

Informatica di Base - 6 c.f.u.

Informatica di Base - 6 c.f.u. Università degli Studi di Palermo Dipartimento di Ingegneria Informatica Informatica di Base - 6 c.f.u. Anno Accademico 27/28 Docente: ing. Salvatore Sorce Rappresentazione delle informazioni Sistemi di

Dettagli

La codifica. dell informazione

La codifica. dell informazione La codifica dell informazione (continua) Codifica dei numeri Il codice ASCII consente di codificare le cifre decimali da 0 a 9 fornendo in questo modo un metodo per la rappresentazione dei numeri Il numero

Dettagli

Calcolo numerico e programmazione Rappresentazione dei numeri

Calcolo numerico e programmazione Rappresentazione dei numeri Calcolo numerico e programmazione Rappresentazione dei numeri Tullio Facchinetti 16 marzo 2012 10:54 http://robot.unipv.it/toolleeo Rappresentazione dei numeri nei calcolatori

Dettagli

Lezione 4. Sommario. L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari. I numeri relativi I numeri frazionari

Lezione 4. Sommario. L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari. I numeri relativi I numeri frazionari Lezione 4 L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari Sommario I numeri relativi I numeri frazionari I numeri in virgola fissa I numeri in virgola mobile 1 Cosa sono inumeri relativi? I numeri

Dettagli

Rappresentazione dell informazione. Argomenti trattati: Codifica: Teoria generale. Proprietà di una codifica:

Rappresentazione dell informazione. Argomenti trattati: Codifica: Teoria generale. Proprietà di una codifica: Rappresentazione dell informazione I calcolatori gestiscono dati di varia natura: testi, immagini, suoni, filmati, nei calcolatori rappresentati con sequenze di bit: mediante un opportuna codifica presentiamo

Dettagli

Conversione binario-decimale. Interi unsigned in base 2. Esercitazioni su rappresentazione. dei numeri e aritmetica

Conversione binario-decimale. Interi unsigned in base 2. Esercitazioni su rappresentazione. dei numeri e aritmetica Esercitazioni su rappresentazione dei numeri e aritmetica Salvatore Orlando & Marta Simeoni Interi unsigned in base 2 I seguenti numeri naturali sono rappresentabili usando il numero di bit specificato?

Dettagli

Argomenti trattati: Rappresentazione dell informazione. Proprietà di una codifica: Codifica: Teoria generale

Argomenti trattati: Rappresentazione dell informazione. Proprietà di una codifica: Codifica: Teoria generale Rappresentazione dell informazione I calcolatori gestiscono dati di varia natura: testi, immagini, suoni, filmati, nei calcolatori rappresentati con sequenze di bit: mediante un opportuna codifica presentiamo

Dettagli

Rappresentazione dell informazione. Argomenti trattati: Codifica: Teoria generale. Proprietà di una codifica:

Rappresentazione dell informazione. Argomenti trattati: Codifica: Teoria generale. Proprietà di una codifica: Rappresentazione dell informazione I calcolatori gestiscono dati di varia natura: testi, immagini, suoni, filmati, nei calcolatori rappresentati con sequenze di bit: mediante un opportuna codifica presentiamo

Dettagli

Sistemi di Elaborazione delle Informazioni

Sistemi di Elaborazione delle Informazioni Sistemi di Elaborazione delle Informazioni Rappresentazione dell Informazione 1 Il bit Si consideri un alfabeto di 2 simboli: 0, 1 Che tipo di informazione si può rappresentare con un bit? 2 Codifica binaria

Dettagli

Aritmetica in Floating Point

Aritmetica in Floating Point Aritmetica in Floating Point Esempio di non associatività Alcune proprietà delle operazioni in aritmetica esatta possono non valere in aritmetica finita in virgola mobile (floating point). Ad esempio:

Dettagli

Numeri reali. Notazione scientifica (decimale) Floating Point. Normalizzazione. Esempi. Aritmetica del calcolatore (virgola mobile)

Numeri reali. Notazione scientifica (decimale) Floating Point. Normalizzazione. Esempi. Aritmetica del calcolatore (virgola mobile) Numeri reali Aritmetica del calcolatore (virgola mobile) Capitolo 9 1 Numeri con frazioni Posso essere rappresentati anche in binario Es.: 1001.1010 = 2 4 + 2 0 +2-1 + 2-3 =9.625 Quante cifre dopo la virgola?

Dettagli

Sistemi di numerazione

Sistemi di numerazione Sistemi di numerazione Introduzione Un sistema di numerazione è un sistema utilizzato per esprimere i numeri e possibilmente alcune operazioni che si possono effettuare su di essi. Storicamente i sistemi

Dettagli

Rappresentazione dei dati reali e teoria degli errori. N. Del Buono

Rappresentazione dei dati reali e teoria degli errori. N. Del Buono Rappresentazione dei dati reali e teoria degli errori N. Del Buono Rappresentazione dei dati reali Sorgenti di errore Rappresentazione dei numeri reali in una base assegnata Rappresentazione approssimata

Dettagli

Abilità Informatiche e Telematiche

Abilità Informatiche e Telematiche Abilità Informatiche e Telematiche (Laurea Triennale + Laurea Magistrale) Marco Pedicini mailto:marco.pedicini@uniroma3.it Corso di Laurea Magistrale in Informazione, Editoria e Giornalismo, Università

Dettagli

Unità aritmetica e logica

Unità aritmetica e logica Aritmetica del calcolatore Capitolo 9 Unità aritmetica e logica n Esegue le operazioni aritmetiche e logiche n Ogni altra componente nel calcolatore serve questa unità n Gestisce gli interi n Può gestire

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 3

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 3 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Lezione 3 Alberto Garfagnini Marco Mazzocco Cinzia Sada La Rappresentazione dei Numeri Lezione III: Numeri Reali 1. Rappresentazione e Cambiamento di Base Dipartimento

Dettagli

Utilizzata per rappresentare numeri frazionari nella. numero =(mantissa) 2 esponente. Il formato piu utilizzato e quello IEEE P754, rappresentato

Utilizzata per rappresentare numeri frazionari nella. numero =(mantissa) 2 esponente. Il formato piu utilizzato e quello IEEE P754, rappresentato Rappresentazione in oating-point Utilizzata per rappresentare numeri frazionari nella notazione esponenziale: numero =(mantissa) 2 esponente Il formato piu utilizzato e quello IEEE P754, rappresentato

Dettagli

Rappresentazione numeri reali

Rappresentazione numeri reali Rappresentazione numeri reali I numeri reali rappresentabili in un calcolatore sono in realtà numeri razionali che approssimano i numeri reali con un certo grado di precisione Per rappresentare un numero

Dettagli

Codifica di informazioni numeriche

Codifica di informazioni numeriche Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Codifica di informazioni numeriche Fondamenti di Informatica - Ingegneria Elettronica Leonardo Querzoni querzoni@dis.uniroma1.it

Dettagli

Rappresentazione di numeri reali. Rappresentazione in virgola mobile. Perché la rappresentazione in virgola mobile. Rappresentazione in virgola mobile

Rappresentazione di numeri reali. Rappresentazione in virgola mobile. Perché la rappresentazione in virgola mobile. Rappresentazione in virgola mobile Rappresentazione di numeri reali Rappresentazione in virgola mobile Architetture dei Calcolatori (lettere A-I) Con un numero finito di cifre è possibile rappresentare solo un numero razionale che approssima

Dettagli

Fondamenti di Informatica - 1. Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012

Fondamenti di Informatica - 1. Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012 Fondamenti di Informatica - 1 Prof. B.Buttarazzi A.A. 2011/2012 Sommario Operazioni aritmetiche tra numeri in virgola mobile Algoritmi Esempi Errore di rappresentazione (assoluto e relativo) Approssimazione

Dettagli

Somma di numeri binari

Somma di numeri binari Fondamenti di Informatica: Codifica Binaria dell Informazione 1 Somma di numeri binari 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 Esempio: 10011011 + 00101011 = 11000110 in base e una base Fondamenti di

Dettagli

Rappresentazione dell informazione

Rappresentazione dell informazione Rappresentazione dell informazione Problema che coinvolge aspetti filosofici Interessa soprattutto distinguere informazioni diverse Con un solo simbolo è impossibile Pertanto l insieme minimo è costituito

Dettagli

codifica in virgola mobile (floating point)

codifica in virgola mobile (floating point) codifica in virgola mobile (floating point) Del tutto simile a cosiddetta notazione scientifica o esponenziale Per rappresentare in modo compatto numeri molto piccoli o molto grandi e.g. massa dell elettrone

Dettagli

Lezione 2. Rappresentazione dell informazione

Lezione 2. Rappresentazione dell informazione Architetture dei calcolatori e delle reti Lezione 2 Rappresentazione dell informazione A. Borghese, F. Pedersini Dip. Scienze dell Informazione (DSI) Università degli Studi di Milano L 2 1/29 Terminologia!

Dettagli

Algebra di Boole e porte logiche

Algebra di Boole e porte logiche Algebra di Boole e porte logiche Dott.ssa Isabella D'Alba Corso PENTEST MIND PROJECT 2016 Algebra di Boole e porte logiche (I parte) Algebra di Boole I Sistemi di Numerazione (Posizionali, Non posizionali)

Dettagli

La codifica binaria. Informatica B. Daniele Loiacono

La codifica binaria. Informatica B. Daniele Loiacono La codifica binaria Informatica B Introduzione Il calcolatore usa internamente una codifica binaria ( e ) per rappresentare: i dati da elaborare le istruzioni dei programmi eseguibili Fondamenti di codifica

Dettagli

modificato da andynaz Cambiamenti di base Tecniche Informatiche di Base

modificato da andynaz Cambiamenti di base Tecniche Informatiche di Base Cambiamenti di base Tecniche Informatiche di Base TIB 1 Il sistema posizionale decimale L idea del sistema posizionale: ogni cifra ha un peso Esempio: 132 = 100 + 30 + 2 = 1 10 2 + 3 10 1 + 2 10 0 Un numero

Dettagli

Fondamenti di Informatica

Fondamenti di Informatica Corso di Fondamenti di Informatica http://www.dei.unipd.it/~satta/teach/java/index.html Giorgio Satta Dipartimento di Ingegneria dell Informazione http://www.dei.unipd.it/~satta satta@dei.unipd.it Fond.

Dettagli

Rappresentazione dei numeri interi in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri interi in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I Rappresentazione dei numeri interi in un calcolatore Prof. Roberto Canonico Università degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle

Dettagli

Conversione di base. Conversione decimale binario. Si calcolano i resti delle divisioni per due

Conversione di base. Conversione decimale binario. Si calcolano i resti delle divisioni per due Conversione di base Dato N>0 intero convertirlo in base b dividiamo N per b, otteniamo un quoto Q 0 ed un resto R 0 dividiamo Q 0 per b, otteniamo un quoto Q 1 ed un resto R 1 ripetiamo finché Q n < b

Dettagli

La codifica binaria. Fondamenti di Informatica. Daniele Loiacono

La codifica binaria. Fondamenti di Informatica. Daniele Loiacono La codifica binaria Fondamenti di Informatica Introduzione q Il calcolatore usa internamente una codifica binaria (0 e 1) per rappresentare: i dati da elaborare (numeri, testi, immagini, suoni, ) le istruzioni

Dettagli

Numeri interi. Laboratorio di Calcolo Paola Gallo

Numeri interi. Laboratorio di Calcolo Paola Gallo Numeri interi Alfabeto binario anche il segno può essere rappresentato da 0 o 1 è indispensabile indicare il numero k di bit utilizzati Modulo Modulo e segno 1 bit di segno (0 positivo, 1 negativo) k 1

Dettagli

Aritmetica dei Calcolatori

Aritmetica dei Calcolatori Aritmetica dei Calcolatori Nicu Sebe March 14, 2016 Informatica Nicu Sebe 1 / 34 Operazioni su Bit Bit Scienza della rappresentazione e dell elaborazione dell informazione Abbiamo visto come i computer

Dettagli

Addizionatori: metodo Carry-Lookahead. Costruzione di circuiti combinatori. Standard IEEE754

Addizionatori: metodo Carry-Lookahead. Costruzione di circuiti combinatori. Standard IEEE754 Addizionatori: metodo Carry-Lookahead Costruzione di circuiti combinatori Standard IEEE754 Addizionatori Il circuito combinatorio che implementa l addizionatore a n bit si basa su 1-bit adder collegati

Dettagli

Codifica binaria dei dati numerici: i numeri naturali

Codifica binaria dei dati numerici: i numeri naturali Codifica binaria dei dati numerici: i numeri naturali Sistema Sistema di numerazione posizionale in base b c k c k 1 c 0 rappresenta c k b k + c k 1 b k 1 + + c 0 b 0 b=10 1101 dieci indica 1 10 3 + 1

Dettagli

12BHD - Informatica - soluzioni Appendice B del quaderno di testo - v. 1.05

12BHD - Informatica - soluzioni Appendice B del quaderno di testo - v. 1.05 Esercizio 1 Effettuare i seguenti cambiamenti di codifica su numeri naturali: 123 10 = x 2 [ 1111011 2 ] 011101 2 = x 10 [ 29 10 ] 23 10 = x 5 [ 43 5 ] 123 5 = x 10 [ 38 10 ] 123 10 = x H [ 7B 16 ] A1

Dettagli

Rappresentazione e Codifica dell Informazione

Rappresentazione e Codifica dell Informazione Rappresentazione e Codifica dell Informazione Capitolo 1 Chianese, Moscato, Picariello, Alla scoperta dei fondamenti dell informatica un viaggio nel mondo dei BIT, Liguori editore. Sistema di numerazione

Dettagli

Rappresentazione e Codifica dell Informazione

Rappresentazione e Codifica dell Informazione Rappresentazione e Codifica dell Informazione Capitolo 1 Chianese, Moscato, Picariello, Alla scoperta dei fondamenti dell informatica un viaggio nel mondo dei BIT, Liguori editore. Calcolare il complemento

Dettagli

Rappresentazione dei Dati

Rappresentazione dei Dati Parte II I computer hanno una memoria finita. Quindi, l insieme dei numeri interi e reali che si possono rappresentare in un computer è necessariamente finito 2 Codifica Binaria Tutti i dati usati dagli

Dettagli

Caratteristiche di un linguaggio ad alto livello

Caratteristiche di un linguaggio ad alto livello Caratteristiche di un linguaggio ad alto livello Un linguaggio ad alto livello deve offrire degli strumenti per: rappresentare le informazioni di interesse dell algoritmo definire le istruzioni che costituiscono

Dettagli

Codifica dati e istruzioni. Lezione 9. Codifica dati e istruzioni. Codifica dati e istruzioni. Codifica binaria dell informazione

Codifica dati e istruzioni. Lezione 9. Codifica dati e istruzioni. Codifica dati e istruzioni. Codifica binaria dell informazione 24//22 Codifica dati e istruzioni Lezione 9 Codifica dell informazione Algoritmi = istruzioni + dati. Per scrivere un programma che descriva un algoritmo è necessario rappresentare istruzioni e dati utilizzando

Dettagli

Introduzione e Nozioni di Base. Prof. Thomas Casali

Introduzione e Nozioni di Base. Prof. Thomas Casali Università degli studi di Bologna Facoltà di Economia Sede di Forlì Introduzione e Nozioni di Base Corso di Laurea in Economia di Internet Prof. Thomas Casali thomas@casali.biz La rappresentazione digitale

Dettagli

Numeri binari Conversioni numeriche: decimali-binario Operazioni algebriche con numeri binari Russo ing. Saverio

Numeri binari Conversioni numeriche: decimali-binario Operazioni algebriche con numeri binari Russo ing. Saverio Numeri binari Conversioni numeriche: decimali-binario Operazioni algebriche con numeri binari Russo ing. Saverio Arch. Elab. - S. Orlando 1 Il trionfo dello ZERO Il trionfo dello ZERO C era una volta un

Dettagli

Aritmetica dei Calcolatori

Aritmetica dei Calcolatori Aritmetica dei Calcolatori Luca Abeni e Luigi Palopoli February 18, 2016 Informazione nei Computer Un computer è un insieme di circuiti elettronici......in ogni circuito, la corrente può passare o non

Dettagli

Numeri frazionari. sistema posizionale. due modi: virgola fissa virgola mobile. posizionale, decimale

Numeri frazionari. sistema posizionale. due modi: virgola fissa virgola mobile. posizionale, decimale Numeri frazionari sistema posizionale due modi: virgola fissa virgola mobile posizionale, decimale 0,341=tre decimi più quattro centesimi più un millesimo cifre dopo la virgola: decimi centesimi millesimi

Dettagli

Esercitazione Informatica I (Parte 1) AA Nicola Paoletti

Esercitazione Informatica I (Parte 1) AA Nicola Paoletti Esercitazione Informatica I (Parte 1) AA 2011-2012 Nicola Paoletti 31 Maggio 2012 2 Antipasto 1. Quanti bit sono necessari per rappresentare (a) (227.551.832) 10? (b) (125.521) 10? 2. Quanti decimali sono

Dettagli

Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 5 Rappresentazione delle informazioni

Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 5 Rappresentazione delle informazioni Università di Roma Tre Dipartimento di Matematica e Fisica Corso di Laurea in Matematica Appunti del corso di Informatica 1 (IN110 Fondamenti) 5 Rappresentazione delle informazioni Marco Liverani (liverani@mat.uniroma3.it)

Dettagli

La codifica binaria. Informatica B. Daniele Loiacono

La codifica binaria. Informatica B. Daniele Loiacono La codifica binaria Informatica B Introduzione Il calcolatore usa internamente una codifica binaria (0 e 1) per rappresentare: i dati da elaborare (numeri, testi, immagini, suoni, ) le istruzioni dei programmi

Dettagli

Rappresentazioni numeriche

Rappresentazioni numeriche Rappresentazioni numeriche Un numero è dotato di un valore una rappresentazione La rappresentazione di un numero è il sistema che utilizziamo per indicarne il valore. Normalmente è una sequenza (stringa)

Dettagli

Aritmetica dei Calcolatori

Aritmetica dei Calcolatori Aritmetica dei Calcolatori Luca Abeni e Luigi Palopoli February 25, 2015 Informazione nei Computer Un computer è un insieme di circuiti elettronici......in ogni circuito, la corrente può passare o non

Dettagli

Codifica binaria. Rappresentazioni medianti basi diverse

Codifica binaria. Rappresentazioni medianti basi diverse Codifica binaria Rappresentazione di numeri Notazione di tipo posizionale (come la notazione decimale). Ogni numero è rappresentato da una sequenza di simboli Il valore del numero dipende non solo dalla

Dettagli

Esercitazione n. 5. Rappresentazione dei numeri

Esercitazione n. 5. Rappresentazione dei numeri Esercitazione n. 5 Rappresentazione dei numeri dott. Carlo Todeschini tode@cremona.polimi.it Politecnico di Milano A.A. 2009/2010 Queste slide sono distribuite con licenza Creative Commons Attribuzione-Non

Dettagli

Esercizi di Analisi Numerica. Errori, Cambi di base, Numeri macchina, Aritmetica finita

Esercizi di Analisi Numerica. Errori, Cambi di base, Numeri macchina, Aritmetica finita Esercizi di Analisi Numerica Errori, Cambi di base, Numeri macchina, Aritmetica finita ERRORI - es. 1 Calcolare il numero di decimali esatti e di cifre significative nei seguenti numeri scritti in base

Dettagli

Un quadro della situazione. Lezione 6 Aritmetica in virgola mobile (2) e Codifica dei caratteri. Dove siamo nel corso. Organizzazione della lezione

Un quadro della situazione. Lezione 6 Aritmetica in virgola mobile (2) e Codifica dei caratteri. Dove siamo nel corso. Organizzazione della lezione Un quadro della situazione Lezione 6 Aritmetica in virgola mobile (2) e Codifica dei caratteri Vittorio Scarano Architettura Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Salerno Input/Output

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico Informatica e Comunicazione Digitale - Taranto A.A. 2015/2016

Corso di Calcolo Numerico Informatica e Comunicazione Digitale - Taranto A.A. 2015/2016 di Corso di Calcolo Numerico Informatica e Comunicazione Digitale - Taranto A.A. 2015/2016 Giuseppina Settanni Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Bari Aldo Moro 1 / 50 di 1 2 di Table

Dettagli

Rappresentazione in virgola mobile

Rappresentazione in virgola mobile Rappresentazione in virgola mobile Architetture dei Calcolatori (lettere A-I) Rappresentazione di numeri reali Con un numero finito di cifre è possibile rappresentare solo un numero razionale che approssima

Dettagli

Esercitazione del 09/03/ Soluzioni

Esercitazione del 09/03/ Soluzioni Esercitazione del 09/03/2006 - Soluzioni. Conversione binario decimale ( Rappresentazione dell Informazione Conversione in e da un numero binario, slide 0) a. 0 2? 0 2 Base 2 Si cominciano a contare le

Dettagli

Esercitazione del 2/3/2010- Numeri binari e conversione

Esercitazione del 2/3/2010- Numeri binari e conversione Esercitazione del 2/3/2010- Numeri binari e conversione 1. Conversione binario decimale a. 1101 2? 10 1 1 2 Base 2 La posizione della cifra all interno del numero indica il peso della cifra stessa, cioè

Dettagli

Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria. Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre

Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria. Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre Unità di misura Attenzione però, se stiamo parlando di memoria: n 1Byte = 8 bit n 1K (KiB:

Dettagli

Sommario. I Sistemi di numerazione Posizionale e non Posizionale (1/2) I Codici. I Codici I Sistemi di numerazione Posizionali e non posizionali

Sommario. I Sistemi di numerazione Posizionale e non Posizionale (1/2) I Codici. I Codici I Sistemi di numerazione Posizionali e non posizionali Corso di Laurea in Ingegneria Civile Politecnico di Bari Sede di Foggia Fondamenti di Informatica Anno Accademico 2011/2012 docente: Prof. Ing. Michele Salvemini Sommario I Codici I Sistemi di numerazione

Dettagli

Corso di Matematica per la Chimica

Corso di Matematica per la Chimica Corso di Matematica per la Chimica Dott.ssa Maria Carmela De Bonis Dipartimento di Matematica, Informatica e Economia Università della Basilicata a.a. 2014-15 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Dettagli

La codifica digitale

La codifica digitale La codifica digitale Codifica digitale Il computer e il sistema binario Il computer elabora esclusivamente numeri. Ogni immagine, ogni suono, ogni informazione per essere compresa e rielaborata dal calcolatore

Dettagli

Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria. Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre

Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria. Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre Calcolatori Elettronici Parte II: Sistemi di Numerazione Binaria Prof. Riccardo Torlone Università di Roma Tre Unità di misura Attenzione però, se stiamo parlando di memoria: 1Byte = 8 bit 1K (KiB: KibiByte)

Dettagli

Introduzione al MATLAB c Parte 1 Variabili ed array

Introduzione al MATLAB c Parte 1 Variabili ed array Introduzione al MATLAB c Parte 1 Variabili ed array Lucia Gastaldi DICATAM - Sezione di Matematica, http://lucia-gastaldi.unibs.it Indice 1 Cos è il MATLAB Componenti principali di MATLAB Avvio e Strumenti

Dettagli

Introduzione allo Scilab Parte 1: numeri, variabili ed operatori elementari

Introduzione allo Scilab Parte 1: numeri, variabili ed operatori elementari Introduzione allo Scilab Parte 1: numeri, variabili ed operatori elementari Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari http://dm.uniba.it/ iavernaro 6 Giugno 2007 Felice Iavernaro (Univ.

Dettagli

Rappresentazione delle Informazioni. Prof. Francesco Accarino IIS Altiero Spinelli Via Leopardi 132 Sesto San Giovanni

Rappresentazione delle Informazioni. Prof. Francesco Accarino IIS Altiero Spinelli Via Leopardi 132 Sesto San Giovanni Rappresentazione delle Informazioni IIS Altiero Spinelli Via Leopardi 132 Sesto San Giovanni La rappresentazione delle Informazioni Nella vita di tutti i giorni siamo abituati ad usare vari tipi di informazioni,

Dettagli

La rappresentazione dei dati

La rappresentazione dei dati La rappresentazione dei dati Base binaria E la base minima che include cifre diverse si devono conoscere le tabelline dello 0 dell 1 in elettronica si realizzano bene dispositivi bistabili There are only

Dettagli

Lezione 7 Standard IEEE-754 per le operazioni floating-point

Lezione 7 Standard IEEE-754 per le operazioni floating-point Lezione 7 Standard IEEE-754 per le operazioni floating-point http://www.dii.unisi.it/~giorgi/didattica/arcal1 Roberto Giorgi, Universita di Siena, C116L07, Slide 1 Floating-Point (breve schema) Nelle operazioni

Dettagli

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri

La rappresentazione dei numeri. La rappresentazione dei numeri. Aritmetica dei calcolatori. La rappresentazione dei numeri CEFRIEL Consorzio per la Formazione e la Ricerca in Ingegneria dell Informazione Aritmetica dei calcolatori Rappresentazione dei numeri naturali e relativi Addizione a propagazione di riporto Addizione

Dettagli

Lezione 2. La conoscenza del mondo

Lezione 2. La conoscenza del mondo Lezione 2 Analogico/Digitale Il sistema binario L aritmetica binaria La conoscenza del mondo Per poter parlare (ed elaborare) degli oggetti (nella visione scientifica) si deve poter assegnare a questi

Dettagli

Laboratorio del 21/10/2010- Numeri binari e conversione

Laboratorio del 21/10/2010- Numeri binari e conversione Laboratorio del 21/10/2010- Numeri binari e conversione 1. Conversione binario decimale a. 1101 2? 10 1 1 2 Base 2 La posizione della cifra all interno del numero indica il peso della cifra stessa, cioè

Dettagli