METODOLOGIA SPERIMENTALE IN AGRICOLTURA

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1 METODOLOGIA SPERIMENTALE IN AGRICOLTURA LABORATORIO DI BIOMETRIA CON R ( APPUNTI DALLE LEZIONI (bozze Settembre 005) DOCENTE Adrea Oofr Dpartmeto d Sceze Agroambetal e della Produzoe Vegetale Sezoe d Agrooma e Coltvazo erbacee Borgo Gugo PERUGIA Tel: oofr@upg.t - 1 -

2 UNITA' I: IL PROCEDIMENTO SCIENTIFICO SPERIMENTALE OBIETTIVO Compredere l'ambto el quale s muove la statstca e la sua mportaza a supporto della spermetazoe agroomca. Itrodurre alcue ozo grado d formare ua termologa scetfca d base. SOMMARIO 1. Defzoe d statstca e troduzoe alla bometra. Il procedmeto scetfco spermetale e la statstca 3. Statstca descrttva ed ferezale 4. L errore spermetale 5. Le replche 6. Collettvo, utà spermetale e varabl statstche 7. Varabl quattatve e qualtatve SPIEGAZIONE Defzoe d statstca e troduzoe alla bometra I geere, co l terme statstca s tede la dscpla che studa le tecche per la raccolta de dat e la loro elaborazoe, modo da otteere l pù elevato umero d formazo rfermeto al feomeo studo (chmco, fsco, bologco, socologco, pscologco...). I camp d applcazoe della statstca soo umeros e spazao dalla meteorologa alle sceze socal, alle rcerche d marketg ecc.. Ioltre, la statstca trova applcazoe tutte le sceze spermetal, come, le sceze bologche, l'agrooma, le tecologe almetar e le dscple relatve allo svluppo rurale. L'esgeza d cooscere la statstca per chuque s occup d sceze spermetal asce gà dal mometo cu s procede alla raccolta de dat, che s esegue co procedmet d msurazoe, utlzzado strumet ed utà d msura adeguat. Da questo puto d vsta, le operazo soo tutt'altro che baal, quato essua msura può essere cosderata precsa seso assoluto, coè perfettamete cocdete col valore reale della gradezza msurata, che rmae u'ettà cogta e cooscble. Oltre che asssterc e procedmet d msurazoe, la statstca c sega ache a gestre correttamete le msure otteute, a stetzzare dat modo da far emergere effcacemete l'formazoe ess coteuta, a testare potes scetfche e a cofrotare trattamet spermetal. Quella parte d statstca che c sega a msurare correttamete feome bologc e, geere, a rsolvere problem legat alla spermetazoe bologca s dce bometra (o bostatstca) e costtusce l'argometo del proseguo d questo testo. Il procedmeto scetfco spermetale e la statstca. La statstca e la bometra partcolare soo parte tegrate ed essezale dell'applcazoe - -

3 del metodo scetfco spermetale, basato sulla formulazoe d u potes duttva, che deve essere po verfcata deduttvamete medate u espermeto appostamete pafcato. Alla pafcazoe e alla esecuzoe dell espermeto segue la raccolta e l aals de dat, che cosete d verfcare o rgettare l potes zale ed, evetualmete, d formulare ua successva (fg. I.1). Ad esempo, potremmo chederc quale procedmeto tecologco è pù opportuo per produrre vo d qualtà. E' charo che ua scelta d merto può essere effettuata solo se samo grado d msurare la qualtà e qud d mettere a cofroto dvers procedmet uo schema spermetale adeguato. Allo stesso modo potremmo chederc quale tra due varetà d frumeto è mglore u dato ambete pedo-clmatco; questo caso orgazzeremo u espermeto d cofroto co metodche adeguate a msurare la produzoe d graella delle due varetà e stablre quale è la pù produttva. Dopo aver stablto l procedmeto tecologco o la varetà mglore potremmo chederc quale effetto avrebbe l cambo della temperatura alla quale vee codotto quel procedmet tecologco o l cambo del lvello d cocmazoe per la varetà studo. I questo seso, l procedmeto scetfco è charamete teratvo: ad og potes e segue ua successva, che cosete d approfodre l lvello d coosceze ragguto, ua sequeza seza fe (s spera!). La statstca bometrca cosete d segure questo cammo logco terveedo tutte le sue tappe: ella defzoe del problema e ella formulazoe d u'potes precsa, ell'orgazzazoe dell'espermeto adatto a verfcarla, ella raccolta de dat e ella loro aals. Ipotes scetfca Collettvo dvdu Aggregazoe dat Verfca potes Protocollo spermetale Varabl Calcolo statstche Rlevo (msure) Stes Collettvo msure Estrazoe formazo Fgura I.1. Schema logco el metodo scetfco tradzoale. Statstca descrttva e ferezale Alla fe d u espermeto c trovamo mao ua mole ache otevole d dat grezz. D cosegueza, l prmo problema che c s trova ad affrotare è quello d stetzzare la massa d dat - 3 -

4 grezz poch umer o dcator partcolarmete formatv, utlzzado metodche grafche o umerche, che sao grado d descrvere la massa d dat, seza alterare l seso complessvo. Questa parte della statstca è ota co l ome d statstca descrttva. Talvolta, la semplce descrzoe de dat grezz o è l vero scopo dell dage statstca. Ifatt spesso s studao feome per qual o è possble predere cosderazoe u umero d dvdu suffcetemete elevato. Ad esempo, se voglamo sapere la produttvtà meda delle pate d mas d u determato appezzameto, possamo ache decdere d raccoglere tutte le pate dell'appezzameto, cotarle e determare la produzoe utara. Se vece voglamo sapere la produttvtà meda delle pate d mas u tero compresoro, probablmete o saremo grado d valutare tutte le sgole pate e sgol appezzamet d quel compresoro, se o co cost e temp troppo elevat. Pertato effettueremo le ostre msure su u umero rdotto d appezzamet (campoe rappresetatvo; rtoreremo tra breve su questo cocetto), scelt a caso tra quell preset el compresoro studo e cercheremo po d rsalre dalle caratterstche degl appezzamet cosderat alle caratterstche dell'tero compresoro. Questa operazoe prede l ome d fereza statstca e la dscpla relatva s chama statstca ferezale. Sccome le potes che s fao all zo dell espermeto soo d carattere geerale, metre gl espermet per loro atura o possoo che essere codott su u umero lmtato d dvdu, è propro la statstca ferezale che c cosete d cofermare o rgettare l potes zale, completado qud l procedmeto scetfco zadoe uo uovo L'errore spermetale Come abbamo gà detto, l problema d fodo che rchede l'adozoe della statstca elle sceze spermetal è legato all'mprecsoe delle msure effettuate. I partcolare, el msurare ua determata gradezza fsca possamo commettere due tp d errore: sstematco ed accdetale. L'errore sstematco è provocato da dfett trsec dello strumeto o capactà pecular dell'operatore e tede a rpeters costatemete msure successve. U esempo tpco è quello d ua blaca o tarata, che tede ad aggugere 0 gramm ad og msura che effettuamo. Per queste sue peculartà, l'errore sstematco o è quatfcable e o costtusce l'oggetto d metodologe statstche partcolar. L'uco modo per coteerlo al mmo lvello possble è quello d rpetere le msure co metodche dverse, modo da arrvare ad ua perfetta taratura e stadardzzazoe degl strumet e/o delle procedure d msura. L'errore accdetale (o casuale) è vece legato a fattor varabl el tempo e ello spazo, qual: 1 - malfuzoamet accdetal dello strumeto. S pes ad esempo al rumore elettrco d uo strumeto, che fa fluttuare rsultat delle msure effettuate; - mprecso o dsattezo casual dell'operatore. S pes ad esempo ad u baale errore d lettura dello strumeto, che può captare soprattutto ad u operatore che esegua moltssme msure maual co procedure d route; 3 - rregolartà dell'oggetto da msurare ute ad ua precsoe relatvamete elevata dello strumeto d msura. S pes alla msurazoe del dametro d ua bgla apparetemete sferca, co uo strumeto molto precso: è facle che compaao error legat all'rregolartà della bgla o al fatto che l'operatore o resce a msurare la stessa el puto cu l suo dametro è massmo. Oppure, pù semplcemete s pes alla msurazoe della produzoe d graella d ua certa varetà d frumeto: ache potzzado d avere uo strumet d msura perfetto e qud esete da errore, la produzoe mostrerebbe comuque ua fluttuazoe aturale da pata a pata, base al patrmoo geetco e, soprattutto, base alle codzo d coltvazoe che o possoo essere stadardzzate oltre ad u certo lvello (s pes alla varabltà del terreo agraro)

5 Dato che queste mprecso soo assolutamete casual è charo che le fluttuazo postve (msura maggore d quella vera) soo altrettato probabl d quelle egatve e s rpetoo co la stessa frequeza. Per questo motvo, l'certezza d msura che l'errore casuale troduce può essere rdotta e detfcata graze alla rpetzoe della msura. Le replche Dovrebbe essere tutvamete charo che u rsultato assolutamete accurato può essere otteuto solo rpetedo la msura fte volte, l che o è teccamete fattble. Per questo motvo le msure vegoo rpetute u umero fto d volte (replche) e vegoo po adottate metodche d fereza statstca per rsalre da rsultat delle msure effettuate a quell che s sarebbero otteut co u umero fto d replche. Nel decdere quate replche effettuare, bsoga teer presete che la rpetzoe delle msure da ua parte aumeta la precsoe delle stme, ma dall'altra troduce de cost per l'operatore e va qud valutata co estrema attezoe, cosderazoe della tpologa d msura da effettuare e delle caratterstche dello strumeto da utlzzare. Collettvo, utà spermetale e varabl statstche I sostaza, statstca s ha sempre a che fare co u collettvo, coè co u seme d msure o d dvdu (amal, pate, terre, fogle...) su qual è stata studata (o meglo msurata) ua certa caratterstca (peso, altezza, coteuto fosforo, larghezza), grado d assumere dvers valor e, pertato, detta varable. Il sgolo dvduo o la sgola msura predoo l ome d utà spermetale. Varabl qualtatve e quattatve Le varabl statstche possoo essere qualtatve, se esprmoo ua qualtà dell dvduo, (ad esempo colore e forma delle fogle e de frutt; s rcordo famos psell d Medel). Ua varable qualtatva o vee msurata, ma classfcata categore sulla base delle modaltà co cu essa s preseta (psell lsc o rugos, verd o gall). D altra parte esstoo le varabl quattatve, che possoo essere msurate su ua scala dscreta (umero d sett suscettbl ad u certo settcda, umero d sem germat certe codzo ambetal...) o su ua scala cotua (produzoe delle pate o altezza degl alber...). 1. Dare ua defzoe stetca d statstca e d bometra. Cosa s tede per statstca ferezale? 3. Cosa s tede per statstca descrttva? 4. Che cosa è u collettvo? 5. Qual è la dffereza tra varabl qualtatve e quattatve? VERIFICA - 5 -

6 UNITA' II: INTRODUZIONE AD R OBIETTIVO Imparare le operazo fodametal R, dspesabl per cotuare questo corso. 1 - Itroduzoe ad R - Assegazo 3 - Oggett e Dataframe 4 - Workspace 5 - Ce sulle fuzoaltà grafche R SOMMARIO SPIEGAZIONE Itroduzoe ad R R è u software cugo d S-PLUS, co l quale codvde la gra parte delle procedure ed ua perfetta compatbltà. Rspetto al cugo pù famoso, è completamete freeware (sotto la lceza GNU Geeral Publc Lcece della Free Software Foudato) ed è ato propro per mettere a dsposzoe degl utet u software gratuto, attraverso l quale passare ad S-PLUS, laddove dspoble, mateedo comuque la capactà d lavorare propro seza usare software d frodo. E' uo strumeto molto potete, ache da u puto d vsta grafco, ma ecessta d ua certa pratca, quato maca d ua terfacca grafca (Graphcal User Iterface: GUI) molto avazata e d cosegueza l'terazoe co l'utete avvee a lvello d lea d comado (prompt). Ioltre, s tratta d u programma Ope Source, coè oguo può avere accesso al suo codce tero ed, evetualmete, propore modfche. Altro vataggo è che, oltre che u programma, è ache u lguaggo object oreted, che può essere faclmete esteso dall'utete. Per evtare oos error che possoo essere molto comu per ch è abtuato a lavorare ambete MS-DOS, è bee precsare subto che R, come tutt lguagg d dervazoe UNI, è case sestve, coè dstgue tra lettere mauscole e lettere muscole. Per facltare la lettura, el proseguo d questo testo utlzzeremo u carattere rosso per dcare cò che l'utete deve dgtare al prompt d R (dcato co >) e utlzzeremo u carattere blu per dcare l'output d R. Assegazo R lavora co umer, vettor e matrc, da assegare a varabl co opportu comad. Ad esempo, l comado: y <- 3 assega l valore 3 alla varable y. Ivece l comado: x <- c(1,,3) - 6 -

7 crea u vettore x coteete umer 1, e 3. Bsoga comuque precsare che co l terme vettore R o c s rfersce alla ozoe usuale d vettore algebrco, m pù semplcemete ad ua strga d valor cosecutv, rappresetat covezoalmete da R ua rga. Oltre a umer e vettor, R possamo defre le matrc. Ad esempo l comado: z <- matrx(c(1,,3,4,5,6,7,8),,4,byrow=true) crea ua matrce z a rghe e 4 coloe, coteete umer da 1 a 8. La matrce vee rempta per rga. Per vsualzzare l coteuto d ua varable basta dgtare l ome della varable. Ad esempo: > z [,1] [,] [,3] [,4] [1,] [,] > Le varabl possoo essere create ache co opportue operazo algebrche: > f<-*y > f [1] 6 > Nel caso d ua matrce, gl elemet possoo essere rchamat co u opportuo utlzzo delle paretes quadre: > z[1,3] [1] 3 > Oggett e Dataframe Y, x, z ed f soo oggett d R, che, essedo umerc, possoo essere utlzzat per effettuare operazo d og tpo. Tuttava, l'oggetto pù mportate per ostr f è l DATAFRAME, el quale possamo memorzzare l database delle ostre osservazo spermetal attesa d successve aals. I questa sede partremo dal presupposto d aver creato (come frequetemete avvee) l ostro database co ECEL e d volerlo mportare R, regstradolo el DATAFRAME dat. Creamo ECEL la tabella rportata d seguto (tab II.1), che s rfersce a 0 pate d mas. Salvamo questa tabella u fle d testo "mport.dat". Per far questo sceglere Meù Fle, Salva co ome. Sceglere u ome per l fle e dcare Tpo fle = testo delmtato da tabulazoe (*.txt). Salvare qud l fle ua drectory prescelta (mmagamo d avere scelto l ome mport.txt). Avvare qud ua sessoe R cambare la drectory predefta del sstema, scegledo co l meu Fle, Chage Drectory, la cartella ella quale abbamo memorzzato l fle d mportazoe. Per leggere l fle d testo el DATAFRAME s usao seguet comad: > dat<-read.table("mport.txt",header=true) - 7 -

8 Co questo comado, R vee creato u dataframe d ome dat, coteete le tre coloe della tabella mport.dat appea creata, comprese le testazo d coloa. L'oggetto dataframe è dspoble R, e può essere rchamato molto semplcemete dgtadoe l ome. Ifatt, s può osservare che dgtado: > dat R rspode co l seguete output: Pata Vareta Altezza 1 1 N 17 S V V C N C C V N N N S C N C V S 15 Tabella II.1. Esempo d u database da mportare R Pata Varetà Altezza 1 N 17 S V V C 16 6 N C C V N N N S C N C V S C C

9 19 19 C C 185 Per u veloce accesso al DATAFRAME, s può usare l comado FI. I dat el DATAFRAME possoo essere salvat u fle estero: > save(fle="dat1.rda", dat) ed evetualmete rcarcat: > load("dat1.rda") Per utlzzare dat el DATAFRAME, bsogerà accedere a sgol vettor coloa che lo costtuscoo. Per far questo s usa l comado attach, che crea mmedatamete tre vettor (Pata, Varetà e Altezza), che soo dspobl per le succesve elaborazo. Dgtado fatt: > attach(dat) > Vareta R rspode co l seguete output: [1] N S V V C N C C V N N N S C N C V S C C Levels: C N S V Oppure dgtado: > Altezza R rspode co l seguete output: [1] [0] 185 > Per carcare ua parte d DATAFRAME u altro DATAFRAME, s può usare l seguete metodo: > dat<-data.frame(=vareta, Y=Altezza) > dat Y 1 N 17 S V V C 16 6 N C C V

10 10 N N N S C N C V S C C 185 > Workspace Gl oggett creat durate ua sessoe d lavoro vegoo memorzzat el cosddetto workspace. Il coteuto d quest'ultmo può essere vsualzzato: > ls() cacellato > rm(lst=ls()) salvato ella drectory correte: > save.mage("omefle.rdata") e rchamato, per prosegure l lavoro dal puto cu lo s è terrotto: > load("omefle.rdata") Scrpt o programm Come è possble memorzzare dat e workspace, è ache possble scrvere programm (procedure, fuzo...) da memorzzare e rchamare seguto. Nel caso pù semplce, mmagamo d voler scrvere u programma che, dato l valore della produzoe rlevata ua parcella d orzo d 0 m ( kg) e la sua umdtà percetuale, calcol automatcamete l valore della produzoe secca kg/ha. La fuzoe che dobbamo mplemetare è: 100 U 10'000 PS = PU ove PS è la produzoe secca kg/ha e PU è la produzoe all'umdtà U kg per 0 m. Scrveremo u fle d testo (ad esempo co l Block otes): PS <- fucto(pu, U) {

11 PU*((100-U)/100)*(10000/0) } Notare l'uso delle paretes graffe. Regstreremo l fle d testo co l ome (esempo) "prova.r". Apredo ua uova sessoe R, possamo rcarcare memora l fle d programma ed utlzzare la fuzoe somma, el modo seguete: > source("prova.r") > ls() [1] "PS" > PS(0,85) [1] 1500 Iterrogazoe d oggett A dffereza d altr lguagg statstc come SAS o SPSS, R mmagazza rsultat delle aals egl oggett, mostrado u output vdeo puttosto mmale. Per otteere formazo è ecessaro terrogare opportuamete gl oggett che al loro tero possoo coteere altr oggett da cu recuperare le formazo teressat. Gl oggett che cotegoo altr oggett soo dett lste. Ad esempo, se voglamo calcolare autovettor ed autovalor d ua matrce, utlzzamo la fuzoe ege. Questa fuzoe resttusce ua lsta d oggett, che al suo tero cotee due oggett values (autovalor) e vectors (autovettor). Per recuperare l'uo o l'altro de due rsultat (autovettor o autovalor) s usa l'operatore d cocateameto $. > matrce<-matrx(c(,1,3,4),,) > ev<-ege(matrce) > ev $values [1] 5 1 $vectors [,1] [,] [1,] [,] > ev$values [1] 5 1 > ev$vectors [,1] [,] [1,] [,] > Altre fuzo matrcal Co R abbamo la possbltà d gestre fuzo d matrce. Se ad esempo abbamo le matrc: 1 Z = Y = ( 3 ) 3 possamo carcarle R co seguet comad:

12 > Z<-matrx(c(1,,,3),,) > Y<-matrx(c(3,)1,) Possamo po otteere la trasposta d Z co l comado: > t(z) [,1] [,] [1,] 1 [,] 3 Possamo moltplcare Y e Z utlzzado l'operatore %*%: > Y%*%Z [,1] [,] [1,] 7 1 Possamo calcolare l'versa d Z co: > solve(z) [,1] [,] [1,] -3 [,] -1 Ce sulle fuzoaltà grafche R R è u lguaggo abbastaza potete e permette d creare grafc puttosto teressat. Ovvamete u trattazoe esaurete esula dagl scop d questo testo, ache se è opportuo dare alcue dcazo che potrebbero essere utl seguto. La fuzoe pù utlzzata per produrre grafc è: plot(x,y, type, xlab, ylab, col, lwd, lty...) ove x ed y soo vettor co le coordate de put da dsegare. Type rappreseta l tpo d grafco ("p" produce u grafco a put, "l" u grafco a lee, "b" dsega put ut da lee, "h" dsega stogramm), Ttle dsega l ttolo del grafco, sub l sottottolo, xlab e ylab le etchette degl ass, col è l colore dell'oggetto, lwd l suo spessore, lty l tpo d lea e così va. Per ua descrzoe pù dettaglata s cosgla d cosultare la documetazoe o le. A ttolo d esempo mostramo che comad > x<-c(1,,3,4) > y<-(10,11,13,17) > plot(x,y,"p",col="red",lwd=5,xlab="ascssa",ylab="ordata") producoo come output l grafco fgura II.1: Per sovrapporre u altro grafco al precedete ua fuzoe possamo utlzzare la fuzoe: curve(fuzoe, zale, fale, add=true), co l metodo add. Per aggugere u ttolo possamo utlzzare la fuzoe: - 1 -

13 ttle(ma="ttolo"), metre per aggugere ua legeda utlzzamo la fuzoe: > leged(coord, YCoord, leged=c("put","+10"), pch=c(19,-1), col=c("red","blue"), lwd=c(3,3), lty=c(0,3)) ove vettor dcao, per og elemeto della legeda, l testo che deve essere rportato (leged), l tpo d smbolo (pch, co -1 che dca essu smbolo), l colore (col), la larghezza (lwd) e l tpo d lea (lty, co 0 che dca essua lea). Ordata Ascssa Fgura II.1 Esempo d grafco co R Ad esempo, dopo aver creato l grafco fgura II.1, utlzzado comad: > curve(10+x,add=true,lty=1,lwd=,col="blue") > ttle(ma="grafco d prova") > leged(1,17, leged=c("put","+10"),pch=c(19,-1),col=c("red","blue"), lwd=c(3,3), lty=c(0,1)) > possamo otteere l seguete grafco rportato fgura II. L'ultma cosa che desderamo mezoare è la possbltà d dsegare grafc a torta, utlzzado l comado pe(vettorenumer,vettoreetchette,vettorecolor). Ad esempo l comado: > pe(c(0,30,50),label=c("a","b","c"),col=c("blue","gree","red"))

14 produce l'output rportato fgura II.3. Grafco d prova Ordata Put Ascssa Fgura II.. Esempo d grafco multplo co legeda R. B A Fgura II.3. Esempo d grafco d grafco a torta R. C

15 UNITA' III: LE STATISTICHE DESCRITTIVE OBIETTIVO Imparare le tecche d base per l'aals statstca descrttva de dat spermetal. Svluppare l'abltà d utlzzare R per l calcolo delle statstche descrttve 1- Dstrbuzo d frequeza - Destà d frequeza 3 - Idc d tedeza cetrale 4 - Calcolo delle mede d sottogrupp 5 - Idc d varabltà SOMMARIO SPIEGAZIONE Abbamo gà vsto che lo scopo della statstca descrttva è quello d stetzzare l'formazoe coteuta e dat grezz, modo da dare ua lettura l pù mmedata possble, seza però aver la pretesa d estedere alcua cosderazoe a dat spermetal dvers da quell aalzzat. Gl strumet fodametal che abbamo a dsposzoe per questo fe soo le dstrbuzo d frequeza, le loro rappresetazo grafche e prcpal dc d stes che le descrvoo. Dstrbuzo d frequeza Avedo a che fare co u umero elevato d dat, è coveete cosderare le frequeze delle utà spermetal: la frequeza assoluta o è altro che l umero degl dvdu che presetao ua certa msura (per u carattere quattatvo) o ua certa modaltà (per u carattere qualtatvo). Ad esempo, se su 500 sett 100 soo eterotter, 00 soo meotter e 150 soo ortotter, possamo cocludere che la frequeza assoluta degl eterotter è par a 100. Se abbamo a che fare co varabl quattatve su scala cotua, prma d calcolare le frequeze è ecessaro suddvdere l tervallo delle msure ua sere d class d frequeza. Ad esempo, se abbamo cosderato 3000 pate d mas ed abbamo osservato che 115 hao altezze comprese tra 150 e 155 cm, possamo coclude che la frequeza degl dvdu della classe cm è par a 115. Oltre alle frequeze assolute, possamo cosderare ache le frequeze relatve, che s calcolao dvdedo le frequeze assolute per l umero totale degl dvdu del collettvo. Ne cas prma acceat, la frequeza relatva degl eterotter è par a 100/500, coè 0., metre la frequeza relatva degl dvdu ella classe è par a 115/3000, coè Se abbamo ua varable quattatva o comuque ua varable ella quale le modaltà o le class d frequeza possoo essere logcamete ordate, oltre alle frequeze assolute e relatve possamo predere cosderazoe le cosddette frequeze cumulate, che s ottegoo cumulado valor d tutte le class d frequeza che precedoo quella cosderata. Ad esempo se tra le 3000 pate d mas azdette 4 hao altezze comprese tra 155 e 160 cm, la frequeza cumulata della classe è par a = 339, che s ottee sommado alla frequeza assoluta d classe la frequeza assoluta della classe precedete. Aggregare dat forma d dstrbuzo d frequeza è estremamete coveete, perché la lettura delle formazo ess coteute è molto pù facle! Il prezzo da pagare è ua leve

16 perdta d formazoe, come sarà charo ell eserczo seguete. CASO STUDIO III.1 I u campo d mas soo state rlevate su 0 pate le altezze e la varetà d cascua pata (tab. III.1). Tabella III. 1. Dat relatv al caso studo III.1. pata Varetà Altezza 1 N 17 S V V C 16 6 N C C V N N N S C N C V S C C valutare la dstrbuzoe delle frequeze assolute, relatve e percetual degl dvdu d cascua varetà; - valutare la dstrbuzoe delle frequeze assolute, relatve, percetual assolute cumulate dell'altezza d tutt gl dvdu, cosderado class d ampezza par a 5 cm; 3 - Dsegare la torta delle frequeze relatve della varetà e l'stogramma delle frequeze assolute dell'altezza. La soluzoe mauale del problema è baale e qud vee lascata al lettore. S llustrerà vece l'eleco delle procedure R ecessare per la soluzoe del problema. 1 -Suppoamo d aver carcato dat u dataframe e d aver utlzzato l comado attach per redere dspoble l vettore varetà (s veda l'utà precedete). Il comado R per otteere le dstrbuzo d frequeza è table:

17 > table(vareta) Vareta C N S V > Per otteere le frequeze relatve e percetual s deve dvdere cascua frequeza assoluta per l umero de dat, che R cocde co la lughezza del vettore. Il comado è leght. > table(vareta)/legth(vareta) Vareta C N S V > > table(vareta)/legth(vareta)*100 Vareta C N S V > - Per la varable altezza, che è d tpo quattatvo, s utlzza lo stesso comado table, ma occorre specfcare l'ampezza delle class co la fuzoe cut e e l comado breaks, che specfca gl estrem superor della classe (clus per default ella classe stessa). Per le frequeze cumulate s usa l comado cumsum. > table(cut(altezza, c(140,150,160,170,190,00))) (140,150] (150,160] (160,170] (170,190] (190,00] >table(cut(altezza, (140,150,160,170,190,00)))/legth(Altezza) (140,150] (150,160] (160,170] (170,190] (190,00] >table(cut(altezza, c(140,150,160,170,190,00)))/legth(altezza)*100 (140,150] (150,160] (160,170] (170,190] (190,00] > cumsum(table(cut(altezza, c(140,150,160,170,190,00)))) [1] Per dsegare grafc s usao comad pe e plot. > pe(table(vareta)/legth(vareta)) > plot(table(cut(altezza, c(140,150,160,170,190,00))),lwd=10,col="blue",ylab="frequeza") > Che producoo l'output rportato fgura III

18 Frequeza (140,150] (150,160] (160,170] (170,190] (190,00] Fgura III. 1. Grafc relatv al caso studo III.1 Destà d frequeza Le destà d frequeza rappresetao la frequeza assocata a cascu puto dell'tervallo della classe. S cerca questo modo d evtare che class molto ampe abbao frequeze pù alte d class pù rappresetatve, ma molto strette. Ad esempo, Se ho due class d altezza, la prma da 160 a 165 cm e la secoda da 165 a 175 cm e ho 5 dvdu ella prma classe e 5 ella secoda, è charo che la secoda classe cotee lo stesso umero d dvdu della prma, ma è molto pù ampa. Se usamo le sole frequeze o ruscamo ad evdezare questo fatto, ma se dvdamo la frequeza d classe per l'ampezza dell'tervallo otteamo apputo la destà d frequeza:

19 d = a che el prmo caso è par a 1 e el secodo caso è par a 0.5, che è propro l'formazoe corretta d come s dstrbuscoo le utà all'tero degl tervall. Nel caso d R, le destà d frequeza vegoo calcolate facedo rfermeto alle frequeze relatve: f d = a e s ottegoo co la fuzoe hst, che può ache essere utlzzata per dsegare gl stogramm delle destà. CASO STUDIO III.1 (segue) 4 - Calcolare le destà d frequeza per l'altezza delle 0 pate tabella 1 e dsegare relatv stogramm. Cosderare le seguet class: ( ], ( ], ( ], ( ]. Se o lo abbamo gà fatto, carchamo l dataframe "dat"e redamoe dspobl relatv vettor co l comado attach. Utlzzamo l comado table per otteere le dstrbuzo d frequeza: I partcolare, calcolamo le frequeze assolute > table(cut(altezza, breaks=c(140,160,170,190))) (140,160] (160,170] (170,190] > Calcolamo le destà d frequeza: > hst(altezza, c(130,160,170,00),plot=false) $breaks [1] $couts [1] $testes [1] $desty [1] $mds [1] $xame [1] "Altezza" $equdst [1] FALSE attr(,"class") [1] "hstogram" Dsegamo l'stogramma relatvo > hst(altezza, c(130,160,170,00))

20 Hstogram of Altezza Desty Altezza Fgura III.. Grafco delle destà d frequeza delle altezze relatve al caso studo III.1 E' da otare che la chamata della fuzoe hst, resttusce ua sere d formazo, come le frequeze assolute e le destà d frequeza, che soo cotraddstte da ua parola chave preceduta dal sego $. queste parole chave soo gl attrbut d og propretà dell'oggetto hst e ad esse s può accedere co l'operatore d cocateameto $: > freq<-hst(altezza, c(130,160,170,00),plot=false) > freq$couts [1] oppure: > hst(altezza, c(130,160,170,00),plot=false)$couts [1] > Idc d tedeza cetrale: moda, medaa e meda E' possble descrvere alcue caratterstche dell'seme de dat, attraverso alcu dc d statstca descrttva. I partcolare, è teressate adottare degl dc che msuro qualche modo la tedeza cetrale d ua popolazoe, coè se esste u valore attoro al quale s aggregao dat. Il pù semplce dcatore d tedeza cetrale, utlzzable co qualuque tpo d dat è la moda, - 0 -

21 coè la classe che preseta la maggor frequeza. Ovvamete, se la varable è quattatva, s assume come moda l puto cetrale della classe co maggor frequeza. Se le class soo d dversa ampezza s debboo cosderare le destà d frequeza e o le frequeze. L'dvduazoe della moda è baale e o rchede calcol d sorta. Nel caso d dstrbuzo d frequeza per caratter ordabl (qualtatv e quattatv), oltre alla moda possamo calcolare la medaa, data dal valore che bpartsce la dstrbuzoe d frequeza modo da lascare lo stesso umero d term a sstra e a destra. Se abbamo ua sere d dvdu ordat graduatora, la medaa è data dall dvduo che occupa l posto ( + 1)/ o, se gl dvdu soo umero par, dalla meda delle due osservazo cetral. Il comado per calcolare la medaa R è meda(vettore). La medaa è legata al cocetto d rpartzoe ed è l prmo d ua sere d dcator dett quatl, o, se parlamo d frequeze percetual, percetl. U percetle bpartsce la popolazoe ormale modo da lascare ua certa quattà d term alla sua sstra e la restate quattà alla sua destra. I percetl soo 99: ad esempo l prmo percetle bpartsce la popolazoe modo da lascare a sstra l 1% de term e alla destra l restate 99%. Allo stesso modo l ottatesmo percetle bpartsce la popolazoe modo da lascare a sstra l 80% de term e alla destra l restate 0% (fgura 1). Per calcolare l'ottatesmo e l ovatesmo percetle dell'altezza de dat el caso studo III.1, usamo l comado quatle(). > quatle(altezza,probs=c(0.8,0.9)) 80% 90% > Collegato all'uso de percetl possamo trodurre l cocetto d boxplot, che è ua grafco a scatola, cu estrem soo l 5 e l 75 percetle, taglata da ua lea cetrale corrspodeza della medaa e dotata d due lee vertcal taglate corrspodeza d ua lea orzzotale traccata ad ua dstaza par a 1.5 volte l 5 e l 75 percetle rspettvamete. Se tutt dat retrao egl tervall così costtut, le lee orzzotal s pogoo corrspodeza del valore ferore o maggore rspettvamete. > boxplot(altezza) > Fgura III.. Esempo d Boxplot - 1 -

22 Nel caso d varabl quattatve, è possble calcolare ache la meda artmetca, che è u cocetto molto tutvo ed esprme, geere, quata parte dell testà totale del feomeo compete, meda, a cascua utà spermetale. S dca co µ e s calcola facedo la somma de valor relatv alla varable rlevata tutt gl dvdu, e dvdedola per l umero degl dvdu del collettvo. µ = = 1 x Quado s ha a che fare co dstrbuzo d frequeze, la meda può essere calcolata moltplcado l valore cetrale d ua classe per l umero degl dvdu che appartegoo a quella classe, secodo la seguete espressoe. µ = = 1 f x Il valore cetrale d ua classe è dato dalla semsomma degl estrem della classe stessa. I R, la meda s calcola co l comado mea. > mea(altezza) [1] 164 > Scelta dell'dcatore d tedeza cetrale La scelta dell'dce d tedeza cetrale dpede dal tpo d dat co cu abbamo a che fare, secodo la tabella III.. Tabella III.. Scelte possbl per alcue statstche descrttve Carattere Idce qualtatvo omale qualtatvo ordale quattatvo (cotuo o dscreto) moda SI SI SI medaa NO SI SI percetl NO SI SI meda NO NO SI campo d varazoe NO NO SI Quado possamo utlzzare pù dc (varabl quattatve) dobbamo teer presete che la medaa è u dcatore pù robusto della meda. Ifatt, suppoamo d avere cque valor: La meda è par a 6., metre la medaa è par a 7 (valore cetrale). - -

23 Se cambao l umero pù alto questo modo: la meda d quest cque valor sarà 4., metre la medaa sarà sempre par a 7. Calcolo delle mede d sottogrupp I bometra è molto comue che l gruppo d utà spermetal sa dvsble pù sottogrupp. Ad esempo potremmo avere u gruppo d ove utà spermetal (parcelle d terreo) coltvate co tre lvell d cocmazoe azotata (tre parcelle per og lvello d cocmazoe). S può essere teressat a calcolare la meda d og lvello d cocmazoe, utlzzado l comado by. La stass d questo comado è: by(var, dce, mea) dove var è la varable che cotee valor da medare, dce è la varable che cotee la codfca d gruppo, mea è la fuzoe che dobbamo calcolare. Ovvamete mea può essere sosttuto da qualuque altra fuzoe che voglamo calcolare per cascu sottogruppo. Esempo III.1 Cosderare la seguete tabella d dat produttv per tre lvell d cocmazoe azotata (N): N=30 kg/ha N=60 kg/ha N=90 kg/ha Calcolare le mede per og lvello d cocmazoe. I R: > Prod<-c(15,16,19,18,,19,1,4,5) > Coc<-c(30,30,30,60,60,60,90,90,90) > by(prod,coc,mea) INDICES: 30 [1] INDICES: 60 [1] INDICES: 90 [1] > La fuzoe by resttusce u oggetto che può essere cosderato come u vettore d mede (el caso dell'esempo formato da tre elemet) assocato ad u vettore che cotee gl dc, cosderat come om d rga. Questo c cosete d rutlzzare calcol successv sa le mede, sa gl dc. Esempo III.1 (segue) Cosderate le mede sopra dcate e carcatele u vettore MedeProd

24 Carcate lvell d cocmazoe el vettore MedeCoc. I R: > mede<-by(prod,coc,mea) > MedeProd<-as.vector(mede) > MedeCoc<-as.vector(row.ames(mede)) > MedeProd [1] > MedeCoc [1] "30" "60" "90" Se voglamo trasformare l vettore MedCoc u vettore d umer azchè d strghe (come ce lo resttusce R), possamo operare come segue > MedeCocNum<-as.umerc(MedeCoc) > MedeCocNum [1] Idc d varabltà de feome: devaza, varaza, devazoe stadard e coeffcete d varabltà Gl dc d tedeza cetrale o c formao su come le utà spermetal tedoo ad assumere msure che soo dverse l ua dall altra. I sostaza ua meda par a 100 può essere otteuta co tre dvdu che msurao 99, 100 e 101 rspettvamete o co tre dvdu che msurao 1, 100 e 199. E evdete che questo secodo gruppo gl dvdu soo molto pù dfferet tra loro (dspers) che el prmo gruppo. Qud, quado s vuole descrvere u gruppo d utà spermetal, è ecessaro utlzzare o solo u dce della tedeza cetrale, ma ache u dce d varabltà, che c coseta d stablre come s colloca og sgolo dvduo rspetto alla tedeza cetrale dell seme. Il pù semplce dce d varabltà è l campo d varazoe, che è la dffereza tra la msura pù bassa e la msura pù alta. I realtà, o s tratta d u vero e propro dce d varabltà, quato dpede solo da term estrem della dstrbuzoe e o ecessaramete cresce al crescere della varabltà degl dvdu. Esstoo dvers dc d varabltà, tra cu pù dffus soo la devaza, la varaza, la devazoe stadard ed l coeffcete d varabltà. L dce SS: SS = ( µ) x costtusce la somma de quadrat degl scart (SS) ed è oto co l terme d devaza. La devaza è u dcatore che ha u sgfcato geometrco molto precso, collegable alla somma de quadrat delle dstaze eucldee d og osservazoe rspetto alla meda. Come msura d 'dstaza', ha alcue mportat propretà (che vedremo meglo seguto), ma essedo la somma d scart, l valore fale dpede dal umero d scart da sommare e qud o è possble operare cofrot tra collettv format da u dverso umero d dvdu. S può qud defre u altro dce, detto varaza (e software d uso pù correte s parla d varaza della popolazoe), e defto come segue: σ = ( x µ) - 4 -

25 I realtà, per motv che sarao pù char seguto, pù che la varaza d ua popolazoe, ormalmete s usa u altro dcatore, detto varaza campoara o pù semplcemete varaza (seza ulteror specfche) otteuto dvdedo la devaza per l umero de grad d lbertà (umero degl dvdu del collettvo meo uo): s SS = = 1 ( x µ ) 1 Per collettv molto grad due dc pressappoco cocdoo ed etramb esprmoo qualche modo la dstaza meda al quadrato delle osservazo rspetto alla meda del collettvo. Etramb cosetoo d cofrotare la varabltà d collettv format da u umero dverso d dvdu, ache se permae l problema che la dstaza tra le osservazo e la meda è su ua scala al quadrato: ad esempo se le osservazo soo espresse metr, la varaza è espressa metr quadrat. Per elmare questo problema s rcorre alla radce quadrata della varaza costtusce la devazoe stadard, che s dca co σ. σ = σ La devazoe stadard è espressa ella stessa utà d msura de dat orgar ed è qud molto formatva sulla bada d oscllazoe de dat rspetto alla meda. U problema d questo dce è che spesso la varabltà de dat è qualche modo proporzoale alla meda: collettv co ua meda alta hao ache ua varabltà alta e vceversa. Per questo motvo vee utlzzato spesso l coeffcete d varabltà, che è u umero puro, che o dpede dall'utà d msura e dall'ampezza del collettvo, scché è molto adatto ad esprmere ad esempo l'errore degl strumet d msura e delle apparecchature d aals: CV σ = 100 µ CASO STUDIO III. Ua varetà d frumeto è stata saggata se appezzamet della Meda Valle del Tevere, per verfcare la produttvtà. Le produzo otteute ( t ha -1 ) soo state: Valutare medaa, meda, devaza, varaza, devazoe stadard e coeffcete d varabltà. La medaa è 6.5 (meda artmetca de due term cetral 6. e 6.3). La meda è: m = = La devaza è par a: ( ) SS = + ( ) + ( ) + ( ) 6 + ( ) Il calcolo della varaza e della devazoe stadard è baale. + ( ) =

26 U esempo pratco Co R, l lavoro procede come segue: 1 - Immssoe dat: > prod<-c(6.5,5.7,6.4,6.3,6.,5.8) - Calcolo medaa > meda(prod) [1] Calcolo meda > mea(prod) [1] Calcolo varaza > var(prod) [1] Calcolo devaza > var(prod)*(legth(prod)-1) [1] Calcolo devazoe stadard > sqrt(var(prod)) [1] NB. S può utlzzare ache la fuzoe sd(prod), dspoble elle uove verso d R 7 - Calcolo del coeffcete d varabltà > sqrt(var(prod))/mea(prod)*100 [1] > Alcu de rsultat azdett possoo essere faclmete otteut rcorredo alla fuzoe summary > summary(prod) M. 1st Qu. Meda Mea 3rd Qu. Max > I u captolo precedete abbamo vsto come l metodo fodametale per froteggare l'mprecsoe degl strumet d msura è quello d effettuare pù replche della stessa msurazoe. I questo modo c s vee a trovare co u collettvo d msure. I questo caso s prederà come rsultato la meda delle msure effettuate, che sarà assocata ad u dcatore d varabltà che attest qualche modo l'errore della msura, o meglo la sua certezza. I geere, la devazoe stadard, per le sue caratterstche, vee utlzzata come dcatore dell'certezza assoluta assocata ad ua determata msurazoe. Questa certezza s rfersce soltato all'errore casuale, del quale costtusce ua stma affdable. L'certezza può ache essere espressa forma d coeffcete d varabltà (certezza relatva percetuale; CV), che, come gà detto, è molto adatto ad esprmere l'errore degl strumet d msura e delle apparecchature d aals: - 6 -

27 CASO STUDIO III.3 U rcercatore ha eseguto se replche della stessa aals chmca per valutare la cocetrazoe d u ftofarmaco elle fogle d lattuga. Ha otteuto seguet rsultat: aogramm per grammo Stablre la cocetrazoe del ftofarmaco e l'certezza assocata co questa determazoe. Qual è l errore d msura dell appareccho utlzzato per l aals? La cocetrazoe della sostaza ella lattuga è: = 109 g / g L'certezza d questa stma è par a: ( ) + (16 109) + (97 109) + ( ) + (11 109) + (94 109) 5 = 13.6 Arrotodamet Globalmete, possamo cocludere che la cocetrazoe è par a: 109 ± 13.6 g/g L'errore d msura dell'appareccho è par al: = 1.5% 109 La soluzoe co R è otteuta aalogamete all'esempo precedete Normalmete l calcolo della meda e della devazoe stadard (sa a mao che co l computer) porta all'ottemeto d u umero elevato d cfre decmal. E' qud lecto cheders quate cfre rportare el rferre rsultat della msura. Nel caso della meda è poco corretto rportare u umero d cfre decmal superore a quello rlevato ella msura. Ad esempo, se stamo msurado l'altezza d ua pata co uo strumeto capace d msurare mllmetr, o è gusto rportare u rsultato come metr, perché la cfra fale o è stata effettvamete msurata, ma è solo frutto de calcol. S covee vece che el rportare le msure d varabltà s dovrebbe utlzzare u decmale pù. RIEPILOGO I questo captolo abbamo utlzzato le seguet fuzo R: table (vettoredat) table (cut(vettoredat, c(estrem d classe))) pe(table(vettoredat)) calcola le frequeze assolute d feome qualtatv frequeze assolute per varabl cotue dsega grafc a torta - 7 -

28 plot(table(vettoredat)) hst(vettoredat,vettore estrem d classe) meda(vettoredat) quatle(vettoredat, probs=c(prob1,prob,...) boxplot(vettoredat) m, max, rage(vettoredat) mea(vettoredat) summary(vettoredat) var(vettoredat) sqrt(var(vettoredat)) dsega stogramm dsega stogramm della destà d dstrbuzoe) calcola la medaa quatl boxplot mmo, massmo e tervallo d varazoe meda alcue statstche descrttve varaza campoara devazoe stadard ESERCIZI PROPOSTI 1) Su u campoe d 500 olve s rscotra che 5 soo state attaccate da Dacus oleae (mosca dell'olvo). Stablre: a) frequeza assoluta e relatva delle pate attaccate. (R: 5; 0.45) ) Alla fortura del mas s soo msurate le altezze d dec pate. Le msure otteute soo: 150, 160, 155, 154, 17, 137, 136, 148, 155, 157 Determare: a) meda; b) devaza, varaza e devazoe stadard. (R: 15.4; ; 11.7; ) 3) U rcercatore sta eseguedo uo studo sulle produzo d u vgeto d Sagovese. Per questo motvo, ha msurato la produzoe utara d 500 pate, otteedo la seguete dstrbuzoe d frequeze assolute. Class (kg/pata) Frequeze assolute, -,5 1, ,5 78 3, , , ,5 51 5,5-6 7 Stablre: 1) la frequeza relatva della classe d produzoe da 4 a 4,5 kg/pata; ) la frequeza cumulata della classe da 3 a 3,5 kg/pata; 3) meda, varaza, devazoe stadard e coeffcete d varabltà; 4) quale percetle s trova ua pata che produce 5,5 kg/pata? - 8 -

29 UNITA' IV: RELAZIONI TRA VARIABILI OBIETTIVO Svluppare l'abltà d utlzzare R per l'aals statstca descrttva delle relazo tra varabl spermetal (dpedeza, dpedeza meda, correlazoe e regressoe). SOMMARIO 1- Due varabl qualtatve: tabelle d cotgeza e dpedeza - Due varabl quattatve: correlazoe e regressoe SPIEGAZIONE I alcu cas cascua utà spermetale del collettvo vegoo studat due (o pù) caratter e, d cosegueza, s ha a che fare co dstrbuzo d frequeza bvarate. Procededo secoda quato detto precedeza, è possble calcolare separatamete per cascua delle due varabl gl dc d statstca descrttva fora acceat (meda, varaza, devazoe stadard ecc ). I questo modo è possble avere u ottma descrzoe d ogua delle due varabl, ma o è possble avere formazo sulle relazo o su legam esstet tra loro; ad esempo o è possble sapere come s comporta ua varable ma mao che l altra camba d valore. E qud utle avere la possbltà d calcolare degl dc statstc che descrvao qualche modo le relazo esstet tra le due varabl. Due varabl quattatve: tabelle d cotgeza ed dc d dpedeza (coessoe) Idpedetemete dal tpo d varabl studo, quado s ha a che fare co u umero otevole d dvdu è possble costrure delle tabelle d cotgeza: s tratta d tabelle a due etrate elle qual og umero rappreseta la frequeza coguta ( geere assoluta) per ua partcolare coppa d valor delle due varabl. Ad esempo cosderamo le varabl d fatasa =Varetà (co valor SANREMO e FANO) e Y=Forma delle bacche (co valor LUNGO, TONDO, OVALE), ella tabella sottostate l valore 37 dca l umero d dvdu che presetao cogutamete la modaltà SANREMO e la modaltà LUNGO. I total mostrao le frequeze margal delle due varabl separatamete. Tabella IV. 1. Esempo d tabella d cotgeza LUNGO TONDO OVALE Totale SANREMO FANO Totale Og rga della tabella d cu sopra (esclus total) costtusce ua dstrbuzoe codzoata della varable Y, dato u certo valore della (Y SANREMO e Y FANO). Vceversa og coloa ( LUNGO, TONDO e OVALE)

30 I smbol: Y 1... Y j... Y k j... 1k j... k h h1... hj... hk Totale.1....j....k 308 Dpedeza Se guardamo le due dstrbuzo codzoate Y SANREMO e Y FANO possamo otare che esste ua certa dffereza. Potremmo chederc qud se l presetars d ua data modaltà del carattere (SANREMO o FANO) flueza l presetars d ua partcolare modaltà del feomeo Y. Se cò o è vero s parla d dpedeza delle varabl (allora le dstrbuzo codzoate soo ugual) altrmet s parla d dpedeza o coessoe. I caso d dpedeza, le dstrbuzo codzoate d Y dovrebbero essere ugual tra loro e alla dstrbuzoe margale d. I smbol: = j.. j l che equvale a dre che la frequeza relatva codzoale d per ua data modaltà d Y deve essere uguale alla frequeza relatva margale d. I sostaza, se esste dpedeza, og valore detro alla tabella d cotgeza dovrebbe essere par a:.. j j = Possamo qud rcostrure la tabella, delle frequeze assolute attese, caso d dpedeza completa LUNGO TONDO OVALE Totale SANREMO = 34.6 = FANO = Totale A questo puto è logco costrure u dce statstco d coessoe, detto χ che msur lo scostameto tra le frequeze osservate e quelle attese ell'potes d dpedeza perfetta: = ( f o f a ) χ f a dove f o sta per frequeza osservata ed f a sta per frequeza attesa el caso dpedeza. Questo dce assume valore par a zero el caso d dpedeza completa (le frequeze osservate soo ugual a quelle attese) ed assume u valore postvo tato pù alto quato maggore è la coessoe

31 tra due caratter. Nel caso esame: ( ) (3 44.7) χ = = 10. Per valutare l sgfcato del valore otteuto, el campo della statstca descrttva s suole dvdere l'dce per l suo valore massmo, che è proporzoale al umero d rghe e d coloe della tabella: max χ = m( h 1, k 1) Nel ostro caso l massmo è par a: max χ = 308 m(3 1, 1) = 308 I sostaza, l'dce otteuto è par a 10./308=0.033; l valore rsultate è puttosto vco a zero e c fa sospettare che la coessoe tra due caratter o è molto elevata. Per l calcolo dell'dce d coessoe co R, dobbamo prma creare ua tabella d cotgeza, co l comado table che abbamo gà utlzzato per costrure le dstrbuzo d frequeza. A questa tabella d cotgeza applcheremo po l comado summary. CASO STUDIO IV.1 Immagamo d aver rlevato su vet pate d frumeto apparteet a quattro varetà (N, S, V e C) la preseza o l'asseza d ua determata malatta. Voglamo vedere se l carattere varetà è coesso co la preseza della malatta. Tabella IV.. Dat relatv al caso studo IV. 1. Pata Varetà Attacco fugo 1 N SI S SI 3 V NO 4 V NO 5 C NO 6 N SI 7 C NO 8 C SI 9 V SI 10 N SI 11 N NO 1 N NO 13 S NO 14 C NO 15 N NO 16 C SI 17 V SI 18 S NO 19 C NO 0 C SI Se mmagamo che dat soo stat gà regstrat formato testo (fle

32 "caso.dat", l lavoro procede come segue: 1 - Cambamo drectory d lavoro, co l meu FILE(CHANGE DIR) - Leggamo l fle el dataframe coessoe: > coessoe<-read.table("caso.dat",header=true) > 3 - redamo dspobl le coloe de dat > attach(coessoe) > 4 - creamo la tabella d cotgeza > cotgeza<-table(vareta,attacco) > cotgeza Attacco Vareta NO SI C 4 3 N 3 3 S 1 V > 5 - Calcolamo l χ > summary(cotgeza) Number of cases table: 0 Number of factors: Test for depedece of all factors: Chsq = , df = 3, p-value = Ch-squared approxmato may be correct> Come s può vedere, l comado summary resttusce, tra l'altro, l valore dell'dce d coessoe, da rutlzzare per effettuare u calcolo successvo. Per capre come estrarlo, utlzzamo l comado str. > str(summary(cotgeza)) Lst of 7 $.vars : t $.cases : t 0 $ statstc: um 0.79 $ parameter: um 3 $ approx.ok: log FALSE $ p.value : um $ call : NULL - attr(*, "class")= chr "summary.table" Vedamo che l valore che c teressa è coteuto $ statstc. Questo parametro potrà essere utlzzato cogutamete al comado summary, come segue. > ch<-summary(cotgeza)$statstc > ch - 3 -

33 [1] > ch/(legth(vareta)*(m(dm(cotgeza)-1))) [1] Possamo cocludere che la coessoe è molto debole. Se o abbamo dat, ma abbamo ua semplce tabella d cotgeza, possamo carcarla ua matrce ed utlzzare l comado as.table per formare l sstema sul fatto che quella matrce è realtà ua tabella d cotgeza. > cot<-matrx(c(4,3,,,3,3,1,),4,) > cot [,1] [,] [1,] 4 3 [,] 3 3 [3,] 1 [4,] > colames(cot)<-c("si","no") > rowames(cot)<-c("c","n","s","v") > cot SI NO C 4 3 N 3 3 S 1 V > summary(as.table(cot)) Number of cases table: 0 Number of factors: Test for depedece of all factors: Chsq = , df = 3, p-value = Ch-squared approxmato may be correct Varabl quattatve Se abbamo a che fare co varabl quattatve, possamo calcolare l'dce d coessoe rcorredo a dvso class d frequeza opportuamete scelte. Oltre a cò, co varabl quattatve è possble esplorare l'essteza d altr tp d relazo tra varabl, d cu soo estremamete mportat le seguet: 1) varazoe coguta (covarazoe): s ha quado al varare d ua varable camba l valore dell altra modo abbastaza aalogo, ma seza che s possa qualche modo stablre u esso causale tra ua varable e l altra; ) dpedeza: s ha quado ua varable (detta dpedete) è fuzoe dell altra (detta dpedete). I questo modo tra le varabl s può stablre u esso dretto causa-effetto. Ad esempo, su ua popolazoe d pate d mas s potrebbe msurare (a) l altezza delle pate e la lughezza delle fogle. Oppure su ua popolazoe d pate d pomodoro s potrebbe msurare (b) la produzoe d bacche e la quattà d cocme utlzzata da og pata. Oppure acora s potrebbe su ua sere d v dvers s potrebbe msurare (c) la gradazoe alcolca e l coteuto zucchero dell uva prma della pgatura. Emerge ua dffereza fodametale tra tre esemp rportat. Nel caso dell esempo (a) c può aspettare che pate d mas pù alte abbao ache fogle pù lughe, ma è evdete che o è

34 possble stablre ua relazoe fuzoale d dpedeza tra ua varable e l altra. I altre parole, è l altezza delle pate che dpede dalla lughezza delle fogle o vceversa? Probablmete e l ua e l altra cosa! I questo caso s può solo parlare d varazoe coguta, o d dpedeza. Cò o è vero per gl esemp (b) e (c): è fatt evdete come la produzoe del pomodoro (varable dpedete) dpede drettamete dalla dose d cocme (varable dpedete) e come la gradazoe del vo (varable dpedete) dpede dal coteuto zucchero dell uva (varable dpedete). Nel caso dell esempo (a), l rcercatore è teressato a stablre l ettà della varazoe coguta delle due varabl rlevate, metre e cas (b) e (c) l rcercatore potrebbe essere teressato a defre l equazoe matematca che lega la varable dpedete alla varable dpedete. Il prmo problema è rsolvble medate aals d CORRELAZIONE, metre l secodo problema è rsolvble medate aals d REGRESSIONE. Coeffcete d correlazoe U dcatore statstco per descrvere l grado d varazoe coguta d due varabl è l coeffcete d correlazoe. Il calcolo è abbastaza semplce: dato u collettvo statstco composto da utà spermetal, sulle qual soo state rlevate due varabl statstche (1 e co che va da 1 ad e mede rspettvamete par a µ 1 e µ ), defamo coeffcete d correlazoe (r), la msura: r = [ ( 1 µ x1)( µ x )] = 1 ( 1 µ x1) = 1 = 1 ( µ ) x La quattà al umeratore vee detta codevaza (o somma de prodott), metre s può otare che al umeratore, sotto radce, abbamo l prodotto delle devaze delle due varabl. Il coeffcete d correlazoe vara tra 1 e +1 (la dmostrazoe d questa propretà o è ecessara): u valore par a +1 dca cocordaza perfetta (tato aumeta ua varable, tato aumeta l altra), metre u valore par a 1 dca dscordaza perfetta (tato aumeta ua varable tato dmusce l altra). U valore par a 0 dca asseza d qualuque grado d varazoe coguta tra le due varabl (asseza d correlazoe). Valor termed tra quell azdett dcao correlazoe postva (se postv) e egatva (se egatv). I R, per calcolare covaraza (par alla codevaza dvso -1) e correlazoe tra due varabl s usao molto semplcemete le fuzo cov e cor CASO STUDIO IV. Il coteuto d olo degl ache d grasole è stato msurato co due metod dvers; le msurazo soo stata esegute su quattro campo. I rsultat (espress percetuale) soo come segue: N campoe Metodo 1 Metodo Verfcare se esste ua buoa cocordaza tra due tp d aals