Appello di Ricerca Operativa A.A (29/3/2007)

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1 Nome... Cognome... 1 Appello di Ricerca Operativa A.A (29/3/2007) Si consideri la funzione f(x) = 4x x 4 2 2x 2 1x 2. Si applichi per un iterazione il metodo del gradiente a partire dai punti A = (0; 0) e B = (0; 1/2). Per il calcolo del passo si utilizzi il metodo di Armijo con parametri: α 0 = 1/2, σ = 1/2 e γ = Si controlli la condizione di arresto dell algoritmo. 2 Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata: min x x 4 2 x x x1 x 2 0 x 1 0 x 2 0 Verificare se i punti A = (0, 0), B = ( 2/2, 2/2), C = (1, 0), D = ( 2, 0) possono essere punti di minimo. Cosa si può dire sull esistenza di un minimo globale? Considerando il punto B = ( 2/2, 2/2), si determini se la direzione d = [1 1] T è di discesa ed è ammissibile. 1

2 3 L azienda Program&Co produce software e deve decidere quanto tempo impiegare per i prossimi due mesi su ogni progetto che sta portando avanti. In tabella sono indicati i progetti che devono essere eseguiti i prossimi due mesi, il numero di giorni di programmazione da impiegare su ogni progetto nei prossimi due mesi, i costi giornalieri relativi a lavorare su un dato progetto (diversi per giorni del primo o secondo mese). L azienda dispone di quattro dipendenti programmatori, ciascuno disponibile per 20 giorni lavorativi al mese. Formulare il problema di stabilire quanti giorni al mese dedicare a ciascun progetto in modo da minimizzare i costi, sapendo che: mese; 4 - i costi di progetto devono essere pagati alla fine di ogni mese; - il budget iniziale è di Euro e non si può andare in rosso alla fine del primo Progetti Numero di giorni Costo mese 1 Costo mese 2 sviluppo di portali web applicatvi per le banche gestionali per benzinai Siete al trentottesimo piano di un grattacielo di 50 piani e dovete raggiungere il piano numero 17 utilizzando ascensori. Esistono due tipi di ascensori: Gli ascensori veloci, che possono essere utilizzati solo in discesa ed impiegano 2 secondi a piano e fermano solo al piano terra, al ventesimo, al quarantesimo e al cinquantesimo. Gli ascensori normali impiegano 10 secondi a piano, fermano a tutti i piani e possono essere utilizzati per salire e scendere. Inoltre si consideri che il tempo di attesa di un ascensore è di 30 secondi. Formulare il problema di raggiungere il diciasettesimo piano come un problema su grafi e determinare con un opportuno algoritmo la soluzione ottima. Suggerimento: si può evitare di rappresentare esplicitamente tutti i piani del palazzo. 2

3 Nome... Cognome... 5 Appello di Ricerca Operativa A.A (19/4/2007) Si consideri la funzione f(x) = 4x 2 1x x 3 2. A partire dal punto A = (0; 1/2), si applichi per una iterazione: il metodo del gradiente. Per il calcolo del passo si utilizzi il metodo di Armijo con parametri: α 0 = 1, σ = 1/2 e γ = il metodo di Newton nella versione pura. Si controlli la condizione di arresto degli algoritmi. 6 Si consideri il problema min 4x 2 2 g 1 (x) = 4 (x 1 1) 2 x g 2 (x) = x g 3 (x) = x 1 x 2 0 Quali di questi punti A = [ 1 0] T, B = [1 2] T, C = [3 0] T, D = [1 2] T essere punti di minimo locale? possono 3

4 7 Un piccolo caseificio produce formaggio, panna e ricotta. Per produrre un kg di formaggio e panna sono necessari rispettivamente 15 e 20 litri di latte. Per produrre un kg di ricotta sono necessari 8 litri di latte e 0,3 kg di panna. I formaggi prodotti sono di due tipi: fresco (stagionatura di 2 mesi) e stagionato (stagionatura di 6 mesi). Per stagionare un kg di formaggio per un mese l azienda spende 1 euro. Nella tabella sono riportati i ricavi, in euro, ottenuti dalla vendita di un kg di prodotto. Formaggio fresco Formaggio stagionato Ricotta Panna Ricavo Per la produzione l azienda dispone di 1000 litri di mese al giorno. Sapendo che devono essere prodotti per essere venduti almeno 8 kg di ricotta, 5 kg di panna, e 15 kg di formaggio (stagionato o fresco) al mese, formulare come problema di PL il problema di massimizzare il profitto nel prossimo mese (assumendo che tutta la produzione sia venduta). 8 Dovendo fare un viaggio da Roma a Sydney, avete raccolto alcune informazioni sui migliori prezzi praticati dalle varie compagnie aeree sulle varie tratte. tratta costo (migliaia di euro) Roma-Delhi 1,5 Roma-Katmandu 1,8 Katmandu-Delhi 0,1 Delhi-Katmandu 0,2 Delhi-Tokyo 1,7 Katmandu-Seul 1,2 Tokyo-Seul 0,3 Seul-Tokyo 0,4 Tokyo-Sydney 1,5 Seul-Sydney 1,6 Table 1: Supponendo che il vostro unico obiettivo sia minimizzare la spesa, formulare il problema in termini di un opportuno problema di ottimizzazione su grafi, e applicare un opportuno algoritmo per risolverlo. 4

5 Nome... Cognome... 9 Appello di Ricerca Operativa A.A (25/7/2007) Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata: min x x x 1 x 2 g 1 (x) = x x g 2 (x) = 2 (x 1 2) 2 (x 2 2) 2 0 g 3 (x) = 2 x 1 x 2 0 Quali dei punti A = (1; 1), B = ( 2; 0), C = (1/2; 2) e D = (2; 2) possono essere punti di minimo locale? Considerando il punto A = (1; 1), si determini se la direzione d = [1 1] T è una direzione di discesa ammissibile. 5

6 10 Un agricoltore desidera concimare un terreno calcareo di m 2. Per concimare un m 2 occorrono almeno 3 gr di Azoto (N), 5 gr di Fosforo (P), 6 gr di Potassio (K), 0,5 gr di Ferro (Fe) e 0,4 gr di Zolfo (S). L agricoltore può acquistare due tipi di concimi complessi A e B, disponibili sul mercato. Le caratteristiche dei concimi (gr di elemento chimico per Kg di peso di concime) e costi (Euro / Kg) sono indicati in tabella. Concime A B Azoto (N) 10 gr / Kg 5 gr / Kg Fosforo (P) 20 gr / Kg 10 gr / Kg Potassio (K) 15 gr / Kg 20 gr / Kg Ferro (Fe) 4 gr / Kg 1 gr / Kg Zolfo (S) 2 gr / Kg 4 gr / Kg Costo al kg 5 Euro / Kg 4 Euro / Kg 1. Formulare come problema di PL il problema di definire il numero di Kg di concime A e B che è necessario acquistare al fine di minimizzare la spesa complessiva. 2. Impostare il problema duale. 11 Consideriamo il progetto costituito dalle attività A, B, C, D, E. Tra queste attività sono presenti dei vincoli di precedenza. Le predecenze e le durate di ogni attività sono descritte nella seguente tabella: Attività Predecessori Durata (giorni) A - 20 B - 30 C A 10 D A 30 E B,C 20 Applicare un opportuno algoritmo per determinare la durata minimina del progetto. Determinare inoltre le attività critiche. 6

7 Nome... Cognome Appello di Ricerca Operativa A.A (25/9/2007) Si consideri il seguente problema di ottimizzazione vincolata: min x x 2 2 g 1 (x) = (x 1 1) 2 + x g 2 (x) = 2 x 1 x 2 0 g 3 (x) = x 1 0 (1) Quali dei punti A = (0; 0), B = (1; 1), C = (2; 0) e D = (0; 3) possono essere punti di minimo locale? Cosa si può dire sull esistenza di un minimo globale? Dato il punto B = (1; 1), si determini, se possibile, una direzione di discesa ammissibile. 13 Un azienda produce salsa di pomodoro acquistando pomodoro fresco. Supponiamo che il processo produttivo non comporti scarti, cioé il 100% del pomodoro viene trasformato in prodotto. Il costo di acquisto del pomodoro dipende dal mese ed è pari a 20 euro al quintale per i mesi 1 e 2, e 22 euro al quintale per i mesi 3 e 4. Il prezzo di vendita della salsa è di 45 euro al quintale per i quattro mesi. Il costo per la trasformazione è di 20 euro al quintale, e non dipende dal mese in cui la salsa viene prodotta. Il prodotto che non viene venduto alla fine dei mesi 1, 2 e 3 viene mantenuto nel magazzino. Il costo per mantenere un quintale di salsa in magazzino per un mese è di 4 euro. La capacità di produzione complessiva della fabbrica è di 180 quintali al mese, la capacità massima del magazzino è di 150 quintali. Sia nota la domanda del mercato (cioé, la quantità di prodotto venduta) quantificabile in 100, 90, 150 e 200 quintali di salsa nei mesi 1, 2, 3 e 4, rispettivamente. Si formuli il problema di pianificare l attività di trasformazione, cioé, di determinare quanti quintali di salsa produrre nei prossimi quattro mesi ed i livelli di magazzino alla fine dei mesi 1, 2 e 3 in modo da soddisfare esattamente la domanda e massimizzare il profitto dell azienda. 7

8 14 Dato il seguente problema di programmazione lineare: min 7x 1 10x 2 8x 3 x 1 + 2x 2 + x 3 7 x 1 + x 2 + 2x 3 6 x 1, x 2, x 3 0 Scrivere il duale. Dire se la soluzione duale y 1 = 3, y 2 = 4 è ottima, giustificando la risposta 15 Un progetto è decomponibile nelle seguenti 7 attività la cui durata in giorni è indicata tra parentesi: A (4), B (3), C (5), D (2), E (10), F (10), G (1). Nello svolgere le attività devono venire rispettate le seguenti precedenze: A precede G,D; E,G precedono F; D,F precedono C e B. Ogni giorno di lavoro comporta un costo di 1000 euro, inoltre dall inizio dell attività A alla fine dell attività B deve essere affittata una apparecchiatura il cui costo è di 2000 euro al giorno. Determinare la durata ed il costo minimi del progetto. Determinare inoltre le attività critiche. 8