TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO

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1 TEORIA SUI LIMITI DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO Si die he, per he tende a, la funzione y=f() ha per ite l e si srive: l = l I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI UN LIMITE Per verifiare se il risultato di un ite è orretto basta appliare la definizione, ovvero se e solo se qualunque appartenente ad un I() si ha he f ) l = l ESEMPIO: verifiare he = 3 ; deve risultare 3 0, si ha: 4 ( 4 ) da ui 4 ( 4 + ) ******************* ********************* X X ( 4 ; 4 + ) *************************************** ( on 0 e molto piolo., intorno ompleto di =,.v.d.

2 DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE INFINITO Si die he, per he tende a infinito, la funzione y=f() ha per ite l e si srive: l = l I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI UN LIMITE Per verifiare se il risultato di un ite è orretto basta appliare la definizione, ovvero se e solo se qualunque appartenente ad un I( ) si ha he f ) l = l ESEMPIO: verifiare he = ; deve risultare > ( on 0 e molto piolo. 0 un intorno di =; si ha < > + ; + ; + I( ),.v.d.

3 DEFINIZIONE DI LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE FINITO Si die he, per he tende ad un valore finito, la funzione y=f() ha per ite infinito e si srive: f ( > M ) = I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI UN LIMITE Per verifiare se il risultato di un ite è orretto basta appliare la definizione, ovvero f ( ) = ESEMPIO: se e solo se qualunque appartenente ad un I( ) si ha he > M on M 0 e molto grande. verifiare he > M = ; deve risultare M 0 > M 0 un intorno di infinito; si ha > M < < < ; + M M M M M I( 0),.v.d.

4 DEFINIZIONE DI LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE PER X CHE TENDE AD UN VALORE INFINITO Si die he, per he tende ad un valore finito, la funzione y=f() ha per ite infinito e si srive: f ( > M ) = I( ) ESEMPIO DI VERIFICA DI UN LIMITE Per verifiare se il risultato di un ite è orretto basta appliare la definizione, ovvero f ( ) = ESEMPIO: se e solo se qualunque appartenente ad un I( ) si ha he > M on M 0 e molto grande. verifiare he 3 > M 3 = 3 3 < M > + M 3 ; deve risultare > M 3 3 M > + M M 0 un intorno di infinito; si ha I( ),.v.d. 3 3 < ( ; M ) ( + M ; + )

5 T: uniità del ite Se per he tende a, finito o infinito, TEOREMI SUI LIMITI f ( ) = l, si ha he questo ite è unio. ± T: della permanenza del segno Se = ± l 0 esiste un intorno di per tutti i punti del quale, esluso al più, l valori della ± funzione hanno lo stesso segno del ite ovvero f()>0, se l>0 oppure f()<0 se l<0. TC: primo teorema del onfronto Se risulta f() g() h() e = ± l e h( ) = ± l ± allora anhe g( ) = ± l ± ± TC: seondo teorema del onfronto Se risulta g( ) e g( ) ± = 0 allora anhe = 0 ± T3C: terzo teorema del onfronto Se risulta g( ) e f ( ) = ± ± allora anhe g ( ) = ± ± FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE: Una funzione di equazione y=f() si die ontinua in un punto quando esiste il ite della funzione per tendente a e questo ite è uguale al valore della funzione in quel punto, ioè quando si verifiano le seguenti ondizioni: ) f()=l ) = l 3) = f ( ) = l Sono ontinue le funzioni: valori di ontinuità o Costanti f()=k R o Lineari f()= R o irrazionali on indie pari f ( ) = n 0 o irrazionali on indie dispari = + R o esponenziali = a a > 0 R o logaritmihe = log a a > 0, a R o goniometrihe f()=sen; f()=os R o goniometrihe f()=tan π + kπ o goniometrihe f()=ot kπ ome si vede ogni funzione è ontinua nel proprio dominio.

6 CALCOLO DEI LIMITI DI FUNZIONI CONTINUE I iti delle funzioni ontinue si possono alolare sostituendo al posto della il valore a ui tendono. Esempio: 3 = f (3) = 3 = 9 TEOREMA: Limite della somma di due funzioni: siano f() e g() due funzioni he ammettono, per he tende a ( finito o infinito), iti finiti l ed l, allora il ite della somma delle due funzioni esiste ed è la somma dei loro iti: (f()+g())=f()+g()= l + l Si possono avere i seguenti asi: a) (f()+k)= l +k b) l =+ ed l =+ ( f+g)=+ + =+ ) l =- ed l =- (f+g)=- - =- d) l =k ed l =+ (f+g)=k+ =+ + - si ha una FORMA INDETERMINATA. e) se dalla somma risulta [ ] SOMMA E DIFFERENZE DI FUNZIONI CONTINUE SONO FUNZIONI CONTINUE. TEOREMA: Limite del prodotto di due funzioni: siano f() e g() due funzioni he ammettono, per he tende a ( finito o infinito), iti finiti l ed l, allora il ite del prodotto di due funzioni esiste ed è il prodotto dei loro iti: (f() * g())=f() * g()= l * l Si possono avere i seguenti asi: f) (k f())= k l g) l =+ ed l =+ ( f+g)=+ *+ =+ h) l =- ed l =- (f+g)=- *(- )=+ i) (f()) n =l n j) se dal prodotto risulta [ 0 ] si ha una FORMA INDETERMINATA. IL PRODOTTO DI FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO I E UNA FUNZIONE CONTINUA NELLO STESSO INTERVALLO. Le funzioni razionali intere ovvero i polinomi di grado n sono funzioni ontinue in R. Limite di una potenza: n = ( ) n Limite del reiproo di una funzione: = on l l 0

7 TEOREMA: Limite del quoziente di due funzioni: siano f() e g() due funzioni he ammettono, per he tende a ( finito o infinito), iti finiti l ed l 0, allora il ite del quoziente due funzioni esiste ed è il quoziente dei loro iti: Si possono avere i seguenti asi: k) (f()/g())=f()/g()= l /l k k = on l 0 l l) Se l =k 0 ed l =0 m) Se l = ed l =l n) Se l =k ed l = o) g ( ) k k 0 ; k = g ( ) 0 g( ) = l = k 0 ; ; 0 k p) Se dal quoziente risulta 0 anhe se l=0 0 e si hanno FORME INDETERMINATE. 0 IL QUOZIENTE DI FUNZIONI CONTINUE IN UN INTERVALLO I E UNA FUNZIONE CONTINUA IN TUTTI I PUNTI DELLO STESSO INTERVALLO IN CUI RISULTA g() 0. Le funzioni razionali fratte sono ontinue per tutti i valori di he non annullano il denominatore. COME SI RISOLVONO ALCUNE FORME INDETERMINATE Quando, nella risoluzione di un ite, si ottiene ome risultato una forma indeterminata del tipo, si può alolare il ite mettendo in pratia una trasformazione algebria della funzione o somponendo e semplifiando. Riassumiamo i asi più omuni: CASO : ite per he tende all infinito di una funzione razionale di grado n n n n a + b ± Se si trova la forma indeterminata si raoglie la di grado massimo e si ha he il ite da alolare è uguale al ite del termine di grado massimo ovvero n n n n a + b = a ± ±

8 CASO : ite per he tende ad un valore finito di una funzione fratta; se si trovano le forme indeterminate o allora si devono somporre numeratore e denominatore e semplifiare la frazione, prima di rialolare il ite. CASO 3: ite per he tende all infinito di una funzione fratta; se si trovano le forme indeterminate o allora si deve raogliere la di grado massimo sia al numeratore he al denominatore e si ha he il ite sarà uguale al ite del rapporto dei termini di grado massimo. RIEPILOGO ASINTOTI L asintoto è una retta a ui la urva he rappresenta la funzione nel piano artesiano si avviina indefinitivamente senza toarla mai (si die he la urva è tangente all asintoto all infinito). Possono esistere tre tipi di asintoti: ASINTOTI VERTICALI di equazione X= ± C Esistono soprattutto per le funzioni fratte e si trovano per quei i valori he annullano il denominatore; se esiste, l asintoto vertiale, si trova quando il ite per he tende ad un valore finito, tende all infinito ovvero f ( ) = ± ± ASINTOTI ORRIZZONTALI di equazione Y= ± C Se esiste, l asintoto orizzontale, si trova quando il ite per he tende all infinito, tende ad un valore finito ovvero = ± ± ASINTOTI OBLIQUI di equazione Y=m+q Se esiste, l asintoto obliquo, si trova quando il ite per he tende all infinito, tende ad un valore infinito ovvero f ( ) = ± ± In tal aso se nel alolo dei iti si ottiene questo risultato, si deve proedere alolando prima il oeffiiente angolare e poi l ordinata all origine q m= = ± on (il oeffiiente angolare non può essere infinito) ± (ovviamente se m=0 e se pure q=0 la retta non esiste). q= [ m] = ± ±

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