I numeri reali sulla retta e nei calcoli. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 I numeri reali sulla retta e nei calcoli Daniela Valenti, Treccani scuola 1

2 Un video per esplorare il tema Dove si trovano i numeri reali? Guardiamo un breve video per trovare le prime risposte I numeri reali 2

3 Che cosa ha richiamato il video? I numeri irrazionali non provengono solo dall estrazione di radice; ad esempio è irrazionale anche il numero indicato con la lettera!, che esprime il rapporto fra circonferenza e diametro.! è un numero irrazionale, perciò non può essere scritto esattamente con un numero decimale finito. 3,14 è un valore approssimato di! 3

4 I numeri reali sulla retta 4

5 Numeri razionali e irrazionali sulla retta I numeri irrazionali trovano posto sulla retta E sulla retta trovo anche gli opposti di questi numeri Numeri razionali e irrazionali trovano tutti posto sulla retta e formano un unico insieme: l insieme dei numeri reali 5

6 L insieme dei numeri reali è ordinato I numeri reali sono in fila sulla retta uno dopo l altro, perciò posso sempre stabilire quale viene prima e quale dopo. Ad esempio la figura mostra che risulta: 1 3 < 2 < 5 2 < " Ma la rappresentazione sulla retta richiede tempo e un disegno accurato; più rapido è il procedimento di confrontare numeri reali scritti in forma decimale. 6

7 Per scrivere un numero reale in forma decimale Tenere presenti i casi che si possono presentare Numero razionale! Numero decimale finito Numero razionale! Numero decimale periodico Numero irrazionale! Numero decimale con infinite cifre dopo la virgola, senza periodo Il numero decimale finito approssima il numero reale 7

8 Ordinare numeri reali scritti in forma decimale Esempio. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri Sono necessarie due cifre decimali per scrivere in ordine i numeri dati 3 4 < 8 5 < 4 7 < 5 3 < 3 A. Una cifra decimale B. Due cifre decimali 8 5 =1,6 8 5 =1, " 1,6 5 3 " 1,67 3 " 1,7 3 " 1, " 1,6 4 7 " 1,6 Scrittura in forma decimale 3 4 " 1, " 1,63 Per confrontare numeri reali scritti in forma decimale bisogna scrivere, dopo la virgola, le cifre necessarie per distinguere un numero dall altro. 8

9 Attività. Esplorare calcoli con numeri reali L attività è divisa in tre parti: I.! II.! III.! Calcoli con carta e penna Calcoli con la calcolatrice tascabile e approssimazioni Calcoli con un software di calcolo simbolico. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 40 minuti di tempo 9

10 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con carta e penna Trovo analoghe convenzioni di scrittura nel calcolo letterale: 10

11 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con carta e penna Proprietà distributiva! 11

12 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con carta e penna 1. Radice 2. Divisione 3. Addizione 12

13 Una domanda Rimangono delle operazioni che non posso eseguire neanche con i numeri reali? 1. Non posso dividere per 0 perché non trovo il reciproco di 0 2. Non posso calcolare la radice di indice pari di un numero negativo 13

14 Riflessioni Arrivo a considerare solo 3 operazioni: 1.! Elevazione a potenza perché l estrazione di radice diventa potenza ad esponente frazionario: 3 = 3 2.! Moltiplicazione perché la divisione diventa moltiplicazione per l inverso: 3: 2 = 3" 1 3.! Addizione 2 perché la sottrazione diventa addizione con l opposto. 3" 2 = 3+ "2 1 2 ( ) 14

15 Riflessioni Si estendono ai numeri reali le proprietà di addizione e moltiplicazione valide per i numeri razionali.! Si estende ai numeri reali l ordine delle operazioni.! 15

16 Proprietà di addizione e moltiplicazione nell insieme dei numeri reali 16

17 Si estende ai numeri reali l ordine delle operazioni A. Espressioni con una sola operazione In espressioni con una sola operazione applicata a tre o più numeri, i calcoli si eseguono nell ordine in cui sono scritti, da sinistra verso destra. B. Priorità delle operazioni In un espressione con addizioni, moltiplicazioni ed elevazioni a potenza le operazioni si eseguono in questo ordine: 1.! Potenze; 2.! Moltiplicazioni; 3.! Addizioni. C. Si usano le parentesi per cambiare l ordine stabilito. 17

18 Che cosa abbiamo trovato Calcoli con la calcolatrice tascabile 18

19 Calcoli con software di calcolo simbolico Nel file Reali_CAS_Presenta1, si trovano tutti i risultati come quelli mostrati qui sotto. 19

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