1 Derivate parziali 1. 2 Regole di derivazione 5. 3 Derivabilità e continuità 7. 4 Differenziabilità 7. 5 Derivate seconde e teorema di Schwarz 8

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1 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Drivat dll funzioni di più variabili Indic Drivat parziali Rgol di drivazion 5 3 Drivabilità continuità 7 4 Diffrnziabilità 7 5 Drivat scond torma di Schwarz 8 6 Drivazion di funzioni dfinit attravrso un intgral 7 Soluzioni dgli srcizi 3 Com abbiamo visto nlla II part dl corso, la drivata di una funzion non è altro ch un rapporto tra du variazioni, qullo dl valor dlla funzion in corrispondnza a qullo dlla variabil. Si ricordrà (spro) ch più prcisamnt con drivata di f in un punto intndiamo il it dl rapporto incrmntal di f. Volndo costruir anch pr funzioni di n > variabili un rapporto incrmntal, cioè un quozint di variazioni, ci si imbatt in una difficoltà. Vdiamolo pr smplicità con du variabili: considriamo il punto (, ) il punto (, ), in prossimità di (, ). Volndo far qullo ch si fa in una variabil, la variazion di f è f(, ) f(, ) pr ora non cambia molto; la variazion dlla variabil (ch ora è un vttor) è invc (, ) (, ). Ora prò non possiamo costruir il rapporto incrmntal, dato ch il dnominator non è un numro, ma un vttor. Possiamo ancora crcar di dfinir una drivata nl modo tradizional, cioè com it di un rapporto incrmntal, ma dobbiamo far in modo ch qul dnominator torni ad ssr un numro ral. Drivat parziali Smpr considrando il caso di du sol variabili, s in prossimità di (, ) prndiamo un punto (, ) facndo variar solo la prima componnt, cioè considriamo un punto (, ), possiamo costruir il rapporto incrmntal f(, ) f(, ). Si noti ch, dato ch solo la varia, la variazion ch sta a dnominator è data dalla variazion dlla sola, quindi il dnominator torna ad ssr un numro. Allora possiamo dfinir la drivata, ch sarà ovviamnt una drivata risptto alla. Dfinizion S (, ) è un punto intrno al dominio di f, chiamiamo drivata parzial di f risptto ad nl punto (, ) il f(, ) f(, ), s qusto è finito. Ricordo la dfinizion formal: la drivata di una funzion f : A R R in un punto intrno ad A è il f() f( ) f( + h) f( ). h h Si noti ch, tra l tant oprazioni ch abbiamo dfinito in qusto corso, molt dll quali dfinit tra vttori (vdi part III), non c n è nssuna ch prvda il quozint tra un numro un vttor.

2 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Analogamnt, possiamo costruir un altro rapporto incrmntal s in prossimità di (, ) prndiamo un punto (, ) facndo variar solo la sconda componnt, cioè considriamo un punto (, ). Avrmo allora la drivata risptto alla. Dfinizion Chiamiamo drivata parzial di f risptto ad nl punto (, ) il f(, ) f(, ), s qusto è finito. La drivata parzial di f risptto ad nl punto (, ) si indica con i simboli (, ) oppur f (, ). S qusta sist, diciamo anch ch f è drivabil parzialmnt risptto ad nl punto (, ). Analogamnt la drivata parzial di f risptto ad nl punto (, ) si indica con i simboli (, ) oppur f (, ), s qusta sist, diciamo ch f è drivabil parzialmnt risptto ad nl punto (, ). Dicndo smplicmnt ch una funzion f di du variabili è drivabil in (, ) si intnd ch ssa è drivabil parzialmnt in (, ) sia risptto ad sia risptto ad. In tal caso si chiama gradint di f in (, ) il vttor dll su drivat parziali. Si scriv ( f(, ) = (, ), ) (, ) = ( f (, ), f (, ) ). In gnral, pr una funzion di n variabili, avrmo n possibili drivat parziali. A partir dal punto = (,..., n) possiamo dar una variazion ad una sola dll n variabili, diciamo la i, passando pr qusta dal valor i al valor i. Considriamo poi il i i f(,..., i, i, i+,..., n ) f(,..., i, i, i+,..., n ) i. i S sso sist finito, lo chiamiamo drivata parzial di f risptto a i nl punto, diciamo ch f è drivabil parzialmnt risptto a i nl punto. Pr indicar tal drivata si usano i simboli ( ) oppur f i ( ). i S nl punto la funzion f è drivabil parzialmnt risptto a tutt l su n variabili, si dirà brvmnt ch è drivabil nl punto. S f è una funzion drivabil nl punto, il gradint di f in è il vttor ( f( ) = ( ),..., ) ( ) = ( f ( ),..., f n ( ) ). n Esmpi Considriamo la funzion f(, ) = +, dfinita in tutto R. Considriamo poi il punto (, ) = (, ), in cui la funzion val. Si ha Si ha poi f(, ) f(, ) + (, ) =. f(, ) f(, ) + (, ) =. 3 Quindi f è drivabil nl punto (, ) f(, ) = (, ). Considriamo la funzion f(, ) = ln, dfinita sul smipiano >. Considriamo poi il punto (, ) = (, ), in cui la funzion val. 3 È uno di iti notvoli.

3 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 3 La funzion val lungo la rtta = quindi la drivata parzial risptto ad è nulla. Si ha poi f(, ) f(, ) ln (, ) =. 4 Quindi f è drivabil nl punto (, ) f(, ) = (, ). Considriamo la funzion f(, ) =, dfinita nl smipiano. Considriamo il punto (, ) = (, 4), intrno al dominio, in cui la funzion val. Si ha f(, 4) f(, 4) (, 4) ( )( + ) = 4. Si ha poi f(, ) f(, 4) (, 4) ( )( + ) = 4. Quindi f è drivabil nl punto (, 4) f(, 4) = (4, 4 ). Si considri infin funzion f(, ) = +, dfinita in tutto R. Pr facilitar la comprnsion di calcoli ch sguono, possiamo riscrivr la f com { + s, R f(, ) = + s <, R f(,)= + rapprsntiamo quanto scritto nlla figura a fianco (nl primo quarto quadrant la funzion è +, mntr nl scondo trzo quadrant la funzion è + ). Considriamo ora il punto (, ) = (, ), in cui si ha f(, ) =. Dar una variazion solo ad vuol dir muovrsi lungo una rtta passant pr (, ) parallla all ass (tal rtta ha quazion = ). Su di ssa, a dstra di (, ), la funzion val +, mntr a sinistra val +. Si ha prciò f(, ) f(, ) + =, f(,)=+ + + f(, ) f(, ) + =, prtanto qusta funzion non ammtt drivata parzial risptto ad nl punto (, ). Ciò è sufficint pr dir ch in qul punto non è drivabil. C è invc in (, ) drivabilità parzial risptto ad, dato ch f(, ) f(, ) =. f(,)= + f(,)=+ Si noti ch il calcolo dlla drivata parzial risptto a richid di distingur i du casi > <, mntr il calcolo dlla drivata parzial risptto a non lo richid. Si considri ora il punto (, ) = (, ). Facndo variar solo la prcorrndo quindi l ass (con = ) si trova ch sia a dstra sia a sinistra, in un intorno sufficintmnt piccolo di (, ), la funzion val +. Si ha quindi =, quindi la funzion è drivabil parzialmnt risptto a in (, ). f(,)=+ = = 4 Cambio di variabil = t poi si trova ancora uno di iti notvoli.

4 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 4 Prcorrndo invc una parallla all ass (con = ) si trova ancora ch sia al di sopra sia al di sotto di (, ) la funzion val +. Si ha quindi + =, quindi la funzion in (, ) è drivabil parzialmnt anch risptto ad d è prtanto drivabil. Si ha f(, ) = (, ). Ossrvazion Non è difficil intuir capir ch studiar la drivabilità parzial risptto ad di una funzion f in un punto (, ) quival a studiar la drivabilità in t = dlla rstrizion di f alla curva γ (t) = ( + t, ). Analogamnt, studiar la drivabilità parzial risptto ad in (, ) quival a studiar la drivabilità in t = dlla rstrizion di f alla curva γ (t) = (, + t). La figura a fianco illustra ch il sostgno dlla curva γ è la rtta di quazion = il sostgno dlla curva γ è la rtta di quazion =. Anzi, possiamo dimostrar facilmnt ch, s c è drivabilità parzial, allora risulta (, ) = (f γ ) () (, ) = (f γ ) (). Infatti, con il cambio di variabil = t (quindi = + t), si ha f(, ) f(, ) f( + t, ) f(, ) f(γ (t)) f(γ ()), qust ultimo è proprio la drivata dlla funzion f(γ (t)) = (f γ )(t) in t =. È chiaro ch analogamnt si ha, pr la drivata risptto ad, f(, ) f(, ) f(, + t) f(, ) f(γ (t)) f(γ ()), cioè la drivata dlla funzion f(γ (t)) = (f γ ) in t =. Possiamo vrificar il tutto su qualch smpio. Riprndndo la prima funzion dgli smpi prcdnti, cioè la f(, ) = +, nl punto (, ), pr la drivata parzial risptto ad considriamo la curva γ (t) = ( + t, ) la rstrizion f( + t, ) = + t. Tal funzion è drivabil in t = con drivata ugual ad. Pr la drivata parzial risptto ad considriamo invc la curva γ (t) = (, t) la rstrizion ch è drivabil in t = con drivata ugual ad. Pr la sconda funzion, cioè f(, t) = + t, f(, ) = ln, nl punto (, ), = pr la drivata parzial risptto ad considriamo la rstrizion di f alla curva γ (t) = ( + t, ), ch è f( + t, ) = ( + t) =, = da cui (, ) =. Pr la drivata parzial risptto ad considriamo la rstrizion di f alla curva γ (t) = (, + t), ch è f(, + t) = ln( + t), da cui (, ) =.

5 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 5 Infin, pr la trza funzion, cioè si ha invc f(, ) = +, nl punto (, ), f( + t, ) = t + = { t + s t t + s t < tal funzion non è drivabil in t =. Quindi f non è drivabil parzialmnt risptto ad. Risptto ad invc c è drivata parzial, dato ch la rstrizion alla curva (, + t) coincid con la funzion t + t, ch è crtamnt drivabil. Ancora un smpio. Pr la funzion f(, ) = +, nl punto (, ), l sam dlla drivabilità parzial risptto ad porta a considrar la rstrizion f(t, ) = t, ch non è drivabil in t =. L sam dlla drivabilità parzial risptto ad porta invc a considrar la rstrizion f(, t) = t = t, ch è drivabil in t =, con drivata nulla. Prtanto si ha (, ) =, mntr la (, ) non sist. Spndiamo ora du parol sull intrprtazion gomtrica dll drivat parziali. Tnndo conto di quanto sposto nll ultima ossrvazion, ch cioè l drivat parziali coincidono con l drivat (monodimnsionali) lungo opportun rstrizioni, si intuisc facilmnt ch, s la f è drivabil risptto ad nl punto (, ), allora nl piano di quazion = 5 vi è una (d una sola) rtta tangnt al grafico di f (vdi figura sotto a sinistra). La drivata parzial di f risptto ad è la pndnza (cofficint angolar) di tal rtta, indicata con r in figura. Analogamnt, s f è drivabil risptto ad in (, ), allora nl piano di quazion = vi è una (d una sola) rtta tangnt al grafico di f (figura sotto a dstra). La drivata parzial di f risptto ad è la pndnza di qusta rtta, indicata con r in figura. z z r r Esrcizio. Si calcolino l drivat parziali dll sgunti funzioni attravrso la dfinizion, cioè con il it dl rapporto incrmntal parzial. (a) f(, ) = nl punto (, ) (b) f(, ) = ( + ) nl punto (, ) (c) f(, ) = ln nl punto (, ) (d) f(, ) = + nl punto (, ) Rgol di drivazion Pr quanto riguarda il calcolo dll drivat, com avvin pr l funzioni di una sola variabil, la dfinizion (cioè il it dl rapporto incrmntal) si utilizza solamnt in casi particolari, com ad smpio l funzioni dfinit a tratti, o prché sprssamnt richista. 6 Pr il calcolo ci sono mtodi più comodi pr procdr, qulli ch vngono 5 Si tratta di un piano vrtical paralllo al piano, z ch contin il punto (, ). 6 Solitamnt pr capir s lo studnt ha studiato bn anch la toria.

6 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 6 comunmnt dtti rgol di drivazion. Si ottngono comod rgol di drivazion parzial smplicmnt tnndo conto dl fatto ch nlla drivazion risptto alla variabil i tutt l altr variabili sono da mantnrsi costanti: quindi l rgol di calcolo sono l consut rgol di drivazion dll funzioni di una sola variabil. 7 Esmpi Calcoliamo l drivat parziali dlla funzion f(, ) = 3. Drivando risptto ad, quindi con costant, si ha (, ) = 3. Drivando risptto ad, quindi con costant, si ha (, ) = 3. Con la funzion f(, ) =, drivando risptto ad si ha (, ) =. Drivando risptto ad si ha invc (, ) =. L drivat parziali dlla funzion f(, ) = sono: (, ) = + = + 3 (, ) = + = + 3. ( ) Con la funzion f(, ) = ln abbiamo ln ln (, ) = ln =. ( ln (, ) = ) ln = ln. Con la funzion f(,, 3 ) = + + 3, si ha (,, 3 ) = + +, 3 infin (,, 3 ) = 3 (,, 3 ) = Ossrvazion Faccio splicitamnt notar una cosa, ch risulta praltro vidnt dagli smpi appna visti. S f è una funzion di du variabili, allora in gnr l su drivat parziali sono anch ss funzioni di du variabili, in gnral, funzioni di n variabili hanno drivat parziali ch sono anch ss funzioni di n variabili. 7 Sarbb com drivar una funzion di una variabil ch dipnd anch da alcuni paramtri, i quali prò sono da ritnrsi costanti al momnto dlla drivazion.

7 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 7 Esrcizio. Si calcolino l drivat parziali dll sgunti funzioni con l rgol di drivazion. (a) ( + ) 3 4 (b) f(, ) = ln( + ) (c) f(, ) = (d) f(, ) = () f(, ) = + (f) f(, ) = / (g) f(, ) = + (h) f(, ) = + ln + ln 3 Drivabilità continuità È da mttr in vidnza il sgunt fatto: lo studnt ricordrà ch con l funzioni di una variabil la drivabilità in un punto implica la continuità nllo stsso punto. Qusto risultato non val più con funzioni di più variabili: ora la drivabilità di una funzion nl punto non garantisc la continuità dlla funzion in. In altr parol ci sono smpi di funzioni drivabili in un punto ma non continu in qul punto. Un smpio in mrito è fornito dalla funzion di du variabili { s = f(, ) = s. La funzion val sugli assi cartsiani val in tutti gli altri punti dl piano. L rstrizioni agli assi dlla funzion f sono funzioni idnticamnt null, quindi la funzion f è drivabil parzialmnt in (, ) = (, ) con drivat parziali ntramb null. Non c è prò continuità in (, ), dato ch il it nll origin non sist: infatti l rstrizioni lungo gli assi cartsiani hanno it, mntr la rstrizion ad una qualunqu altra rtta pr l origin ha it. Il motivo dl fatto ch in più variabili la drivabilità parzial in un punto non implica la continuità in è facilmnt intuibil: l sistnza dll drivat parziali dipnd dal comportamnto dlla funzion soltanto lungo l dirzioni paralll agli assi cartsiani, mntr la continuità coinvolg i valori in tutto un intorno dl punto. Quindi la drivabilità lungo l dirzioni fondamntali non dà sufficinti garanzi sul comportamnto dlla funzion lungo altr possibili dirzioni. Ossrvazion Sorg spontana a qusto punto una domanda: s la drivabilità parzial non è sufficint a garantir la continuità, quali proprità possono farlo? Qui mi ito a citar soltanto qusto risultato: s una funzion f ha drivat parziali in un insim A qust sono funzioni continu in A, allora f è continua in A. L funzioni ch hanno drivat parziali continu sono l cosiddtt funzioni di class C, com in R rano di class C l funzioni con drivata (prima) continua. 4 Diffrnziabilità Nll ossrvazion ch chiud la szion prcdnt ho citato una proprità ch garantisc la continuità. Un altra proprità di qusto tipo, molto important anch nll applicazioni, è la diffrnziabilità. Dfinizion Sia f : A R n R sia un punto intrno ad A. Diciamo ch f è diffrnziabil in s sist un vttor k R n tal ch valga la sgunt proprità: f() f( ) = k, + o ( ) pr. La funzion linar k, si chiama il diffrnzial di f in si indica con df( ). Ossrvazion L considrazioni ch si possono far su qusta dfinizion, la consgunt intrprtazion, non sono molto divrs da qull ch abbiamo fatto a suo tmpo riflttndo sul significato dl conctto di drivata. Qui la dfinizion dic ch la funzion è diffrnziabil s la sua variazion in prossimità dl punto è una funzion linar 8 8 Si tratta di una funzion linar dlla variazion. Si ricordi ch l funzioni linari (a valori rali) di n variabili si possono scrivr com prodotto intrno di un vttor costant pr il vttor dll variabili. Quindi è la funzion linar in qustion. k, = k ( ) kn(n n )

8 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 8 di (cioè dlla variazion dlla ), a mno di una quantità trascurabil risptto a. Il diffrnzial è appunto qusta funzion linar: ssa fornisc un approssimazion dlla variazion di valori di f. Ossrvazion Nl caso di una funzion di du variabili f(, ), la diffrnziabilità in un punto (, ) significa ch sistono du costanti k k (l componnti dl vttor k) tali ch valga ( ) f(, ) f(, ) = k ( ) + k ( ) + o ( ) + ( ) pr (, ) (, ). Si potrbb provar ch un intrprtazion gomtrica dlla diffrnziabilità pr l funzioni di du variabili è la sgunt: una funzion è diffrnziabil in un punto s solo s sist il piano tangnt al grafico dlla funzion in qul punto. Un important risultato gnral è ch una funzion diffrnziabil in un punto ha in qusto punto drivat parziali risulta k = f( ). Quindi ad smpio, nl caso di du variabili, l costanti k k sono l du drivat parziali dlla funzion nl punto (, ), cioè ( (k, k ) = f(, ) = (, ), ) (, ). Inoltr, com già anticipato, s una funzion è diffrnziabil in allora è anch continua in. Esmpio Scriviamo il diffrnzial dlla funzion f(, ) = + nl punto (, ) = (, ). Ci srvono intanto l du drivat parziali. Si ha (, ) = (, ) = (, ) = (, ) = 4. Prtanto il diffrnzial di f in (, ) è df(, ) = ( ) + 4( ) = ( ) + 4( ). Esrcizio 4. Si scriva il diffrnzial dll sgunti funzioni, nl punto indicato. (a) f(, ) = 3 in (, ) (b) f(, ) = ln( + ) in (, ) 5 Drivat scond torma di Schwarz Com avvin pr l funzioni di una variabil, pr l quali, dopo la drivata prima, possono ssr dfinit la drivata sconda tutt l altr, così analogamnt può avvnir pr l funzioni di più variabili. S f : A R n R s f è drivabil parzialmnt in A, com già ossrvato ogni drivata parzial i è una funzion dfinita in A a valori in R, ch associa ad ogni appartnnt ad A il numro ral i (). Tali funzioni possono quindi a loro volta ssr drivabili parzialmnt risptto all variabili,..., n. 9 Ciascuna può avr dunqu n drivat parziali; la drivata parzial di i risptto ad j vin indicata con il simbolo i i j, vin dtta drivata parzial sconda di f risptto ad i risptto a j. Pr una funzion di n variabili vi sono dunqu nl complsso n drivat parziali scond. Vi sono qull ottnut drivando du volt risptto alla stssa variabil, ch si indicano con,..., n qull ottnut invc drivando risptto a variabili divrs, cioè Qust ultim si chiamano drivat scond mist. i j, con i, j =,...,n i j. 9 S f è di du variabili, la drivata parzial di f risptto ad può ssr a sua volta drivata risptto ad o risptto ad, lo stsso pr la drivata parzial di f risptto ad.

9 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 9 Esmpi La funzion f(, ) = + 3 ha drivat parziali prim (, ) = (, ) = 3 drivat parziali scond (, ) =, f (, ) =, f (, ) =, f (, ) = 6. La funzion f(, ) = ha drivat parziali prim (, ) = (, ) = drivat parziali scond (, ) =, f (, ) =, (, ) =, (, ) = 3. La funzion f(, ) = ln( + ln ) ha drivat parziali prim drivat parziali scond (, ) = + ln (, ) = + ln (, ) = ( + ln ), (, ) = ( + ln ), (, ) = ( + ln ), (, ) = ( + ln ) + ( ) + ln. Lo studnt fors avrà notato ch in tutt l funzioni dgli smpi proposti l drivat scond mist sono uguali. Val infatti in proposito il sgunt important risultato. Torma (di Schwarz) Data la funzion f, dfinita nll aprto A R n qui drivabil parzialmnt du volt, s l drivat scond mist sono continu in A, allora ss sono uguali. i j j i Ossrvazion L funzioni di uso comun, cioè in pratica l funzioni ch si ottngono dall funzioni lmntari con oprazioni lmntari, hanno drivat (di ogni ordin) continu. Val quindi pr qust il torma di Schwarz. Abbiamo già dtto ch l funzioni con drivat prim continu si dicono di class C. Analogamnt, qull con drivat scond continu si dicono di class C, così via. Qull ch hanno drivat di ogni ordin continu si dicono di class C. L funzioni lmntari qull ch si ottngono da qust con oprazioni di somma, prodotto, quozint composizion sono quindi, ni punti intrni di rispttivi domini, funzioni di class C. Ossrvazion L drivat scond di una funzion dfinita in R n solitamnt si scrivono in una matric n n, dtta matric Hssiana o gradint scondo. Si scriv f =..... n... n..... n.

10 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Nl caso di una funzion f(, ) di du variabili il gradint scondo è la matric f =. Ossrvazion S la funzion soddisfa l ipotsi dl torma di Schwarz, quindi Hssiana è una matric simmtrica. = f, la sua matric Vdrmo nlla prossima dispnsa dl corso com l drivat parziali prim di una funzion (cioè il gradint) possano ssr utili nlla ricrca di punti di massimo di minimo com invc l drivat parziali scond (cioè la matric Hssiana) siano importanti pr studiar la convssità o concavità dlla funzion (sattamnt com accad pr l funzioni di una variabil). 6 Drivazion di funzioni dfinit attravrso un intgral Nlla szion prcdnt abbiamo parlato di funzioni dfinit attravrso un intgral dlla loro continuità. Vdiamo qui qualch risultato circa la loro drivabilità l rispttiv rgol di drivazion. Nl caso dlla funzion intgral sappiamo già tutto, dato ch il torma fondamntal dl calcolo intgral dic quando la funzion intgral è drivabil dic com drivarla. Ricordo ancora una volta ch, s f() = a g(t) dt, la drivabilità di f è garantita dalla continuità di g in qusto caso si ha f () = g(). Facciamo una piccola gnralizzazion: considriamo l funzioni f () = b() a g(t)dt f () = Si può ossrvar ch f è una funzion composta: si ha infatti f () = h(b()), b() a() g(t) dt. dov h() = a g(t)dt. Sulla drivabilità di f possiamo quindi dir ch, s l funzioni h b sono drivabili, allora f è drivabil (la drivabilità di h è garantita com smpr dalla continuità di g risulta h = g). Val quindi la formula Df () = h (b()) b () = g(b()) b (). Pr la funzion f non srv nulla di nuovo: basta infatti scrivr f () = b() a() g(t)dt = La formula di drivazion è allora a() g(t)dt + b() g(t)dt = b() Df () = g(b()) b () g(a()) a (). g(t)dt a() g(t) dt. Esmpio La drivata dlla funzion f() = 3 t dt è Df() = 3 3. La f è quindi composta, nll ordin, dlla funzion a scondo strmo di intgrazion dlla funzion intgral h. Si ricordi ch la proprità additiva dll intgral dic ch R b a f = R a f + R b f = R b f R a f.

11 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Considriamo ora l funzioni dl tipo f() = b a g(, t)dt, con g dfinita in I [a, b] f dfinita in I. Val il sgunt risultato: s g g sono continu in I [a, b], allora f è drivabil in I risulta Df() = b a g (, t)dt (dtta drivazion sotto il sgno di intgral) Esmpio Considriamo la funzion (già considrata nlla szion prcdnt) f() = t dt. La funzion g(, t) = t la sua drivata parzial g (, t) = tt sono crtamnt continu quindi la f è drivabil. La sua drivata è Df() = t t dt. Lo studnt può far qusto util srcizio: riprndr (szion prcdnt) l sprssion lmntar di f, ottnuta attravrso l intgrazion, farn la drivata vrificar ch qust ultima coincid con l sprssion lmntar di Df() = t dt, ch si ottin intgrando pr parti. Nl caso gnral (ch comprnd gli altri du) dll funzioni dl tipo f() = b() a() g(, t)dt val il risultato ch uno si asptta: s g g qusto caso risulta poi sono continu a b sono drivabili, allora f è drivabil. In Df() = b() a() g (, t)dt + g(, b() ) b () g (, a() ) a (). Esmpio Considriamo la funzion (vdi szion prcdnt) f() = ( + t)dt. S poniamo g(, t) = + t si ha g (, t) =. Quindi f è drivabil si ha Df() = dt + ( + ) ( + ) = 5. Lo studnt vrifichi ch qusta coincid con la drivata dll sprssion lmntar di f. Infin nl caso di funzioni dl tipo f(,..., n ) = si ha, ponndo pr comodità = (,..., n ), La scrittura (, t) vuol dir quindi (,..., n, t). b(,..., n) a(,..., n) g(,..., n, t)dt b() g () = (, t)dt + g (, b() ) b g (, a() ) a. i a() i i i

12 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica Anch qui un paio di smpi, in du in tr variabili. Esmpio Considriamo la funzion gnral dl tipo L drivat parziali sono: (, ) = (, ) = Esmpio Considriamo la funzion f(, ) = g(,, t)dt. g (,, t)dt + g(,, ) g(,, ) = g (,, t)dt g(,, ) g g (,, t)dt + g(,, ) g(,, ) = (,, t)dt + g(,, ). f(, ) = t dt, dfinita ad smpio nl crchio unitario B(, ) R. L su drivat parziali sono (, ) = t t dt ( ) (, ) = t t dt ( ). Esmpio Considriamo la funzion L su drivat parziali sono 3 f(,, 3 ) = 3 (a + b + c 3 + dt)dt. (,, 3 ) = a dt + (a + b + c 3 + d 3 ) (a + b + c 3 + d ) = a ( 3 ) (a + b + c 3 + d ) 3 (,, 3 ) = b dt + (a + b + c 3 + d 3 ) 3 (a + b + c 3 + d ) = b ( 3 ) + 3 (a + b + c 3 + d 3 ) (a + b + c 3 + d ) 3 (,, 3 ) = c dt + (a + b + c 3 + d 3 ) (a + b + c 3 + d ) 3 = c ( 3 ) + (a + b + c 3 + d ). Esrcizio 6. (a) f() = (c) f() = () f() = (g) f(, ) = Si calcolino l drivat (o drivat parziali) dll sgunti funzioni dfinit attravrso un intgral. dt (b) f() = + t t t dt (d) f() = +t (h) f(,,..., n ) = + dt (f) f() = + t ++t dt Q n i= i ln t + t dt t lntdt + + t dt t+p n... n i= i dt = t n dt

13 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 3 7 Soluzioni dgli srcizi Esrcizio. (a) Si ha f(, ) =. La drivata parzial risptto ad è La drivata parzial risptto ad è ( + t) + t =. +t t t = =. 3 (b) Si ha f(, ) = 3. La drivata parzial risptto ad è ( + t + ) +t 3 (3 + t) +t 3 3( t ) + t t = 4. La drivata parzial risptto ad è ( + + t) t 3 (3 + t) t 3 3( t ) + t t =. (c) Si ha f(, ) =. La drivata parzial risptto ad è La drivata parzial risptto ad è =. ln(+t) = ln( + t) =.4 (d) Si ha f(, ) =. La drivata parzial risptto ad è ( + t) + t + + La drivata parzial risptto ad è (t ) t + + t t + t + + ( t + + ) t + = t + t t + t =. Esrcizio. (a) Si ha = ( + ) = ( + ) 3 4 ( 4). 3 Si ricordi ch t = t + o(t), pr t. 4 Si ricordi ch ln( + t) = t + o(t), pr t. 5 Si ricordi ch ( + t) α = + αt + o(t), pr t. Quindi t + = ( + t) / = ( + t + o(t)) = t + o(t), pr t.

14 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 4 (b) Si ha (c) Si ha (d) Si ha () Si ha (f) Si ha (g) Si ha (h) Si ha = + = ln( + ) + = +. =. = = = ( + ) ( ) = ( ) = + + ( ) = ( ). = / + / ( ) = / ( ) = / + / = / ( ). = ( + ) = + ( + ) = ( + ). = + ln ( + ln ) ( + ln ) = ( + ln ) ( + ln ) ( + ln ). Esrcizio 4. (a) L du drivat parziali sono (, ) = 3 (, ) = 3 quindi (, ) = 6 (, ) =. Quindi il diffrnzial è df(, ) = 6( + ) + ( ). (b) L du drivat parziali sono (, ) = ln( + ) + Quindi il diffrnzial è df(, ) = +. + (, ) = + quindi (, ) = (, ) =.

15 UNIVR Facoltà di Economia Sd di Vicnza Corso di Matmatica 5 Esrcizio 6. (a) Si tratta di una funzion intgral. Dal torma fondamntal dl calcolo si ha quindi Df() = +. (b) Si ha (c) Si ha (d) Si ha () Si ha Df() = ln + ln = +. Df() = =. Df() = ln ln = 4 4. Df() = +t ( + + t ) +t ( + + t ) dt. (f) Si ha Df() = + + t dt = + + t dt (g) Si ha (h) Si ha = = ++t dt t dt Q n i= i = t+p n i= i dt + Q n i= i+p n i= i i n k. k i

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