Università di Firenze Corso di Laurea in Ingegneria per l'ambiente e il Territorio. Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI

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1 Univerità di Firenze Coro di Laurea in Ingegneria per l'ambiente e il Territorio Coro di TECNICA DELLE COSTRUZIONI APPUNTI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI ( prof. Gianno Bartoli e prof. Maurizio Orlando) Il cemento armato. Proprietà del calcetruzzo e dell acciaio. Stati limite nel cemento armato. Stato limite ultimo per tenioni normali. Stati limite nel cemento armato Il taglio nel c.a.

2 Il cemento armato Proprietà del calcetruzzo e dell acciaio Il cemento armato (c.a.) o come arebbe più corretto definirlo, il conglomerato cementizio armato (c.c.a.) è un materiale compoito formato da calcetruzzo e da acciaio. L acciaio è preente otto forma di barre a ezione circolare, che vengono dipote in poizioni ben precie all interno dell elemento trutturale prima di eeguire il getto del calcetruzzo interiormente alle caeforme. Il calcetruzzo (peo abbreviato con cl) è un conglomerato di cemento, abbia, ghiaia ed acqua in opportune proporzioni. Di eguito i riportano le quantità in cui i vari componenti entrano nella micela di un metro cubo di calcetruzzo di normale reitenza: ghiaia 0,8 mc/mc abbia 0,4 mc/mc acqua l/mc cemento 300 kg/mc Non deve tupire il fatto che la omma dei volumi ciolti dei vari componenti uperi il valore di 1 mc; la divera granulometria degli inerti e la preenza di acqua fanno ì che gli elementi di diametro più piccolo vadano a occupare i vuoti laciati dagli altri elementi di pezzatura più groa, definendo alla fine un volume minore di quello iniziale. Per queto motivo, le dimenioni degli inerti devono eere ditribuite in maniera adeguata, in modo da ottenere granuli di grandezza opportunamente aortita. La compoizione granulometrica viene definita dalle percentuali di materia che paano attravero vagli di una determinata erie (generalmente con diametri crecenti); la curva che i ottiene riportando in acia il diametro dei fori del vaglio ed in ordinata la percentuale di inerte paante al vaglio di quel diametro i chiama curva di granulazione o curva granulometrica, quale è riportato nella figura eguente. un eempio della percentuale materia vagliata abbia 40 ghiaia o petrico Ampiezza maglie vagli [mm] Eempio di curva granulometrica Il calcetruzzo ha una ottima reitenza a compreione, ma una baa, quai nulla, reitenza a trazione (pari a circa 1/10 di quella a compreione), pertanto un elemento di calcetruzzo oggetto a trazione i feura per valori dello forzo di trazione molto piccoli.

3 L idea di un materiale compoito formato da calcetruzzo e da barre di acciaio nace dall eigenza di opperire alla piccola reitenza a trazione del calcetruzzo mediante l introduzione delle barre metalliche. L accoppiamento tra i due materiali è garantito dai eguenti fattori: il calcetruzzo durante la prea erra le barre di acciaio e vi aderice, il calcetruzzo e l acciaio hanno lo teo coefficiente di dilatazione termica (10-5 C -1 ), per cui per effetto di una variazione di temperatura i due materiali i deformano allo teo modo, il calcetruzzo protegge le barre metalliche dall attacco degli agenti atmoferici, a differenza delle trutture in acciaio (meno fleibili dal punto di vita della forma) le trutture in c.a. i adattano a qualiai forma cotruttiva. Di eguito i decrivono le principali proprietà del calcetruzzo (freco e indurito) e dell acciaio utilizzati nella realizzazione delle opere di c.a. Proprietà del calcetruzzo freco Si premette alla decrizione delle proprietà del calcetruzzo indurito, quella delle proprietà del calcetruzzo freco, in quanto quete ultime influenzano in modo ignificativo la qualità del calcetruzzo indurito. Le due proprietà fondamentali del calcetruzzo freco ono la lavorabilità e l omogeneità. La lavorabilità rappreenta l attitudine alla mea in opera ed al ucceivo cotipamento del cl, mentre l omogeneità riguarda la ditribuzione uniforme dei vari componenti della micela affinché il materiale indurito preenti ovunque le tee proprietà fiico - meccaniche. Le due proprietà ono trettamente legate l una all altra, in quanto per ottenere un materiale omogeneo è neceario impatare adeguatamente la micela e queta operazione è tanto più efficace quanto più la micela tea è lavorabile. La lavorabilità di un impato viene valutata attravero la ua conitenza, che rappreenta la reitenza del calcetruzzo freco a cambiare forma, pertanto la conitenza è tanto minore quanto più il calcetruzzo è lavorabile. La conitenza viene determinata mediante una prova perimentale ( lump-tet ), che conite nel porre il calcetruzzo freco all interno di recipiente tronco-conico di dimenioni tandard (cono di Abram), aperto ia uperiormente che inferiormente, e nel miurare di quanto i abbaa il cl una volta che il recipiente viene filato uperiormente. L abbaamento viene aunto come indice della conitenza del cl. In funzione dei valori dell abbaamento al cono di Abram i può avere: a) conitenza aciutta, per valori dell abbaamento tra 5 e 50 mm, b) conitenza platica, per valori dell abbaamento tra 75 e 100 mm, c) conitenza fluida, per valori dell abbaamento tra 15 e 175 mm. La conitenza viene celta dal progettita in funzione di: ezione minima della truttura,

4 denità di armatura, itemi di compattazione diponibili, qualità della manodopera, tecniche di eecuzione, organizzazione del cantiere. Ad eempio quanto maggiore è la denità dei ferri di armatura e quanto più piccola è la ezione dell elemento trutturale da realizzare, tanto maggiore dovrà eere la lavorabilità del cl. Il parametro che condiziona più di tutti la lavorabilità di un impato di cl è il rapporto in peo acqua cemento (a/c): al crecere di a/c aumenta la lavorabilità, oia diminuice la conitenza. Occorre evitare pericoloe riaggiunte di acqua all interno dell impato per aumentare la lavorabilità, perché coì facendo i riducono le pretazioni meccaniche del materiale indurito. Per queto motivo eitono dei fluidificanti che vengono aggiunti all impato per migliorare la lavorabilità enza alterare il rapporto acqua/cemento. Proprietà del calcetruzzo indurito Reitenza a compreione emplice La proprietà fondamentale che caratterizza la qualità di un calcetruzzo, ad indurimento avvenuto, è la reitenza a compreione emplice. É pertanto neceario introdurre tutte le grandezze che la influenzano in modo ignificativo, tra le quali le più importanti ono: il rapporto in peo acqua/cemento, il doaggio di cemento (quantitativo di cemento in un mc di calcetruzzo), la clae di reitenza del cemento (reitenza del cemento tetata u una malta tandardizzata), la granulometria degli inerti. A quete i aggiungono inoltre: le condizioni di mea in opera, le condizioni ambientali, l età della mea in carico, la forma e le dimenioni del provino, il tipo di ollecitazione prevalente. Tra le grandezze opra elencate riulta deciivo, a parità di tutti gli altri parametri, il valore del rapporto (in peo) acqua-cemento, al diminuire del quale aumenta la reitenza del calcetruzzo, come indicato nella figura eguente, dove i valori della reitenza caratteritica al variare di a/c ono tati adimenionalizzati ripetto alla reitenza meccanica che i ottiene per a/c0.4. R ck /R ck (0,4) 100 % 85 % 68 % 0,0 0,40 0,50 0,70 a/c Oervazione: il rapporto a/c corriponde al rapporto techiometrico, oia alla quantità di acqua necearia perché poano avvenire le reazioni nel calcetruzzo; di coneguenza non è ovviamente poibile fare riferimento a valori inferiori a tale limite

5 Al di otto di un certo limite (a/c 0.) la reitenza diminuice, perché per inufficienza di acqua le reazioni chimiche non poono più viluppari completamente ed una parte del cemento rimane inerte. Il rapporto ottimale, quello che fornice cioè una buona reitenza permettendo al tempo teo la lavorabilità dell impato, è intorno a Altri due parametri di grande importanza ono rappreentati dal doaggio del cemento, cioè dal quantitativo di cemento che viene utilizzato per confezionare un mc di calcetruzzo, e dalla clae e tipo di cemento uato. La reitenza del calcetruzzo aumenta ia al crecere del doaggio di cemento ia al crecere della ua clae. Per clae del cemento i intende la reitenza meccanica di una malta tandardizzata preparata con il cemento dato. Secondo la claificazione data dalla normativa attuale eitono ben 150 diveri cementi, uddivii in cinque tipi contradditinti dalla igla CEM: CEM I Cemento Portland CEM II Cemento Portland di micela CEM III Cemento d altoforno CEM IV cemento pozzolanico CEM V cemento compoito Per ciacun tipo eitono quindi dei ottotipi, per un totale di 5 ottotipi, e per ciacun ottotipo, in funzione della finezza di macinazione, eitono 6 divere clai di reitenza. La vecchia claificazione prevedeva olo nove tipi di cemento: Portland, pozzolanico e d altoforno, ciacuno diponibile in tre clai di reitenza: 35, 45, 55. Tutte le norme definicono la reitenza alla compreione come quella che i ottiene ottoponendo a prove di compreione emplice, provini cubici o primatici di dimenioni tandard con tagionatura di 8 giorni. La figura eguente illutra una prova a compreione u un provino cilindrico. La norma italiana fa riferimento per il metodo delle tenioni ammiibili alla reitenza miurata u provini cubici, ed in particolare alla coiddetta reitenza caratteritica (indicata con il imbolo R ck (*) ), definita come il valore della reitenza che ha olo il 5 % di probabilità di eere minorato, o in modo equivalente al di otto della quale ci i attende di trovare olo il 5 % della popolazione di tutte le miure. La rottura di un provino cubico oggetto a compreione emplice può manifetari econdo due divere modalità: a) con leioni verticali, b) con leioni inclinate. a) b) a) rottura con leioni verticali b) rottura con leioni inclinate (il provino aume la tipica forma di due tronchi di piramide ovrappoti) (*) Nelle vecchie norme la reitenza caratteritica era indicata con il imbolo R bk (dove b tava per beton).

6 Nel cao b) le leioni a 45 i formano a caua delle forze di attrito che i viluppano tra le uperfici del provino e i piatti della prea, che impedicono la loro deformazione. Schematizzazione delle forze di attrito alla bae del provino Al variare delle dimenioni del provino, ed a parità di forma, i regitrano reitenze divere. Per trutture in cemento armato normale la normativa italiana (punto 5.. D.Min.LL.PP ) impone di ripettare le eguenti limitazioni: per trutture armate non è ammeo l impiego di conglomerati con R ck < 15 N/mm, nei calcoli tatici non i può coniderare una reitenza caratteritica uperiore a 55 N/mm, per R ck 40 N/mm ono richieti controlli tatitici ia preliminari ia in coro d impiego e calcoli accurati delle trutture. Per il metodo agli tati limite la norma italiana, coì come la normativa europea, fa invece riferimento alla reitenza miurata u provini cilindrici. Queti provini hanno un rapporto altezza diametro pari a (d 150 mm, h 300 mm), pertanto l effetto di attrito delle piatre della prea è molto piccolo nella zona centrale del provino e i miura un valore inferiore della reitenza ripetto ai provini cubici. La relazione tra la reitenza caratteritica miurata u provini cilindrici (f ck ) e quella miurata u provini primatici (R ck ) è pertanto pari a: f ck 0,83 R ck (**) Nelle normative di ultima generazione, il calcetruzzo viene peo indicato con una igla del tipo C0/5 (o analoghe) in cui i evidenzia ia la reitenza caratteritica cilindrica (primo numero) che quella cubica (econdo numero). Nel cao indicato i arebbe quindi in preenza di un calcetruzzo con reitenza cilindrica pari a 0 N/mm ed una corripondente reitenza cubica pari a 5 N/mm. La reitenza a compreione aumenta nel tempo: (**) A rigore il coefficiente di converione per paare da R ck a f ck varia con le dimenioni dei provini utilizzati; 0.83 può eere aunto come valore medio.

7 A oli tre giorni dal getto la reitenza a compreione è già pari al 50 % della reitenza caratteritica miurata a 8 giorni dal getto, mentre dopo una ettimana è pari a circa il % della R ck. Precrizioni normative per il controllo della reitenza caratteritica (Allegato al D.Min. LL.PP ) Controllo di accettazione: riguarda il controllo del calcetruzzo durante l eecuzione delle opere; ogni controllo di accettazione è rappreentato da tre prelievi, ognuno dei quali eeguito ogni 100 mc di getto; pertanto i ha un controllo di accettazione ogni 300 mc di getto (comunque va effettuato almeno un prelievo per ogni giorno di getto) Prelievo: conite nel prelevare dagli impati, al momento della poa in opera nei caeri, il calcetruzzo neceario per la confezione di un gruppo di due provini Reitenza di prelievo: media delle reitenze a compreione dei due provini di un prelievo Siano: R 1, R e R 3 le tre reitenze di prelievo, con R 1 R R 3, R m la reitenza media, R m (R 1 + R + R 3 ) / 3 R ck la reitenza caratteritica il controllo è poitivo e: R R + 3,5 R m ck N / mm 1 R ck 3,5 N / mm Nelle trutture con meno di 100 mc di getto, non è obbligatorio procedere al prelievo giornaliero, ma rimane quello di eeguire almeno tre prelievi. In una cotruzione con più di 1500 mc di getto, i può procedere ad un controllo di tipo tatitico ogni 1500 mc di getto. Si deve effettuare un prelievo per ogni giorno di getto e almeno 15 prelievi u 1500 mc. Indicato con lo carto quadratico medio delle reitenze di prelievo, il controllo riulta poitivo e: R m R ck + 1,4 R 1 R ck 3,5 N / mm Durabilità La durabilità del calcetruzzo rappreenta la capacità del materiale di durare nel tempo reitendo alle azioni aggreive dell ambiente eterno.

8 In modo analogo la durabilità di una truttura di cemento armato i definice come la capacità della truttura di durare nel tempo garantendo il ervizio per il quale è tata progettata. La durabilità del calcetruzzo è una condizione necearia per la durabilità di una truttura di c.a., ma non è da ola ufficiente. Difatti tra le caue di degrado delle trutture di c.a. occorre annoverare anche l inadeguato cotipamento del calcetruzzo all interno dei caeri, gli errori di progettazione e un divero utilizzo delle trutture ripetto a quanto previto in fae di progetto. La durabilità del calcetruzzo dipende per la maggior parte dalla permeabilità del materiale all acqua. Maggiore è la permeabilità, minore è il quantitativo di agenti aggreivi diciolti nell acqua che riecono a penetrare nel materiale. Pertanto un calcetruzzo è tanto più durevole quanto più impermeabile, oia quanto meno poroo. Infine eendo la poroità del cl trettamente legata al rapporto acqua-cemento (a bai valori di a/c corripondono bae poroità) e ne deduce che la durabilità di un cl è trettamente legata al valore del rapporto acqua-cemento: quanto minore è a/c, tanto più il calcetruzzo è durevole. Altre proprietà del calcetruzzo indurito Modulo di elaticità del calcetruzzo Per modulo di elaticità del calcetruzzo di intende quello tangente all origine della curva forzideformazioni che i ottiene da una prova di compreione emplice itantanea. All aumentare della reitenza del calcetruzzo, aumenta il valore del modulo di elaticità, cioè un calcetruzzo è tanto più rigido quanto più è reitente. La normativa italiana fia il eguente valore del modulo di elaticità all origine: Ec Ec 5700 R ck R ck (kg / cm ) (N / mm ) Si ricorda che il comportamento del calcetruzzo può riteneri con buona approimazione elatico lineare olo per valori degli forzi di compreione non uperiori al 30 % della reitenza a compreione del calcetruzzo. Il modulo di elaticità di un calcetruzzo aumenta nel tempo coì come la reitenza. Queto i piega con il continuo proceo di reazione tra l acqua ed il cemento. La figura eguente motra la variazione di E c nel tempo. Coefficiente di Poion Per il coefficiente di Poion di un calcetruzzo i aume un valore compreo tra 0 e 0., in funzione dello tato di ollecitazione (vedi punto.1.4 del D.Min. LL.PP ).

9 Lezione n. 18 pag. XVIII.8 Vicoità Si conideri un provino di calcetruzzo di altezza l ed area A, e lo i ottoponga ad un carico P di compreione ulla bae uperiore. Il provino ubice un accorciamento elatico itantaneo l el pari a: Pl lel εel l. AE Se il carico P viene rimoo ubito dopo aver regitrato l abbaamento, il provino riaume la configurazione originaria, recuperando per intero l accorciamento ubito. Si immagini ora di mantenere il carico P applicato ul provino nel tempo. In queto cao i oerva che alla deformazione itantanea verificatai al momento di applicazione del carico, egue una deformazione differita nel tempo, la cui intenità aumenta nel tempo. l el P C indef. C t0 l vic P C t a) b) a) C t0 configurazione deformata all itante t 0 di applicazione del carico b) C t configurazione deformata all itante t > t 0 Se i cotruice un diagramma riportando ull ae delle ordinate la deformazione del provino e ull ae delle acie il tempo, i ottiene una curva il cui andamento qualitativo è rappreentato nella figura eguente: ε εel ε el 0 t tempo La curva parte dal punto di coordinate (ε el, 0) corripondente alla deformazione elatica itantanea del provino all itante t0 di applicazione del carico, quindi perdurando il carico i oerva un graduale aumento della deformazione, che per t tende aintoticamente a un valore pari a circa il triplo della deformazione elatica iniziale. La differenza tra la deformazione totale al tempo t e la deformazione elatica iniziale al tempo t 0 rappreenta la deformazione vicoa che il provino ha ubìto nell intervallo t (t-t 0 ) a carico cotante. Ea è pari a circa due volte la deformazione elatica per t. In modo convenzionale, il comportamento del calcetruzzo otto carichi di lunga durata, che permangono cioè ulla truttura in c.a. per un periodo di tempo molto lungo o addirittura per tutta la vita della truttura, può eere rappreentato chematicamente con quello di un materiale avente un modulo di elaticità fittizio E pari a 1/3 di quello elatico.

10 Difatti, i ha: σ ε el E0 eendo ε 3εel σ ε E, i può crivere: ε σ E 3εel σ 3 E0, da cui E0 E. 3 Tondini di ferro Le barre di acciaio che i utilizzano nelle trutture in c.a. ono fornite in elementi della lunghezza maima di 1 m. I diametri diponibili ono invece comprei tra 5 e 30 mm (***). Ad ecluione del diametro 5, i diametri commerciali diponibili in Italia ono rappreentati da valori pari del diametro epreo in mm; i troverà ad eempio una barra di diametro 16 (φ16) ma non ono in commercio barre con diametro 17 (φ17). La normativa italiana prevede l utilizzo di due tipi di barre da cemento armato: - barre tonde lice: ono barre dalla uperficie licia, che non i utilizzano ormai più - barre ad aderenza migliorata: ono barre la cui uperficie è rea cabra da appoiti rialti o cotole, atte a migliorare le condizioni di aderenza al calcetruzzo; le barre ad aderenza migliorata ono caratterizzate dal diametro φ della barra tonda licia equipeante, calcolato nell ipotei che il peo pecifico dell acciaio ia pari a 78,50 kn/m 3. Eempio di cotole ulla uperficie di una barra ad aderenza migliorata La normativa prevede due tipi di acciaio per le barre tonde lice ed altri due tipi di acciaio per quelle ad aderenza migliorata. La eguente tabella riporta le proprietà precritte dalla normativa per le barre tonde lice e per quelle ad aderenza migliorata: tipo di barre barre tonde lice barre ad aderenza migliorata tipo di acciaio Fe B k Fe B 3 K Fe B 38 k Fe B 44 k tenione caratteritica di nervamento f y (N/mm ) tenione caratteritica di rottura f t (N/mm ) allungamento A5 (****) 4 % 3 % 14 % 1 % (***) L utilizzo di barre di acciaio FeB44k di diametro uperiore a 6 mm deve eere autorizzato dal Servizio Tecnico Centrale del Minitero dei Lavori Pubblici, entito il Coniglio Superiore dei Lavori Pubblici (punti..3 e..7 del D.Min.LL.PP ). (****) Allungamento A5: rappreenta l allungamento a rottura miurato u cinque provini.

11 Lezione n. 18 pag. XVIII.10 Gli acciai da cemento armato normale ono deignati con un numero che indica la loro tenione di nervamento in kg/mm. Gli acciai da carpenteria metallica ono invece deignati con un numero che indica la loro tenione di rottura in N/mm. Dalla tabella precedente riulta evidente come gli acciai delle barre lice iano meno reitenti di quelli delle barre ad aderenza migliorata, ma iano più duttili. Ad eempio, l acciaio FeBk ha una tenione di nervamento pari a olo il 50% di quella dell acciaio FeB44k, ma l allungamento a rottura è il doppio! Nella tabella ucceiva ono riportati i valori dell area e del peo per le barre in acciaio normalmente utilizzate (avendo coniderato un peo pecifico per l acciaio pari a 7850 kg/m 3 ) (*****). BARRE ACCIAIO DA C.A. diametro (mm) area (cm ) peo (kg/m) Normative di riferimento La verifica di una truttura in c.a. può eere eeguita con il metodo delle tenioni ammiibili o con il metodo degli tati limite. Per le verifiche con il metodo degli tati limite i applicano le eguenti norme: D.M. LL.PP. del 09/01/1996 Norme tecniche per il calcolo, l eecuzione ed il collaudo delle trutture in cemento armato, normale e precompreo e per le trutture metalliche ; Circolare Min. LL.PP. del 15/10/1996 n. 5 AA.GG./S.T.C. - Itruzioni per l applicazione delle Norme tecniche per il calcolo, l eecuzione ed il collaudo delle trutture in cemento armato, normale e precompreo e per le trutture metalliche di cui al Decreto Miniteriale 9 gennaio (*****) Nel calcolo del c.a. i aume un peo pecifico convenzionale pari a 500 kg/m 3 indipendentemente dall effettiva armatura dipota; il peo pecifico del olo conglomerato cementizio è aunto invece pari a 400 kg/m 3. La differenza (circa 100 kg/m 3 ) cotituice una valore medio dell incidenza delle armature ul peo totale.

12 Per le verifiche con il metodo delle tenioni ammiibili i applicano le eguenti norme: D.M. LL.PP. del 14/0/199 Norme tecniche per l eecuzione delle opere in cemento armato normale o precompreo e trutture metalliche ; Circolare Min. LL.PP. del 4/06/1993 n /STC Legge n Itruzioni per l applicazione delle Norme Tecniche per l eecuzione delle opere in cemento armato normale o precompreo e trutture metalliche di cui al Decreto Miniteriale 14 febbraio 199; alvo che per i materiali, i prodotti, il collaudo tatico e gli allegati, per i quali occorre fare riferimento al decreto ed alla circolare del 1996, già riportati opra per il metodo agli tati limite. Per entrambi i metodi di verifica occorre adottare i valori delle azioni riportati in: D.M. LL.PP. del 16/01/1996 Norme tecniche relative ai «Criteri generali per la verifica di icurezza delle cotruzioni e dei carichi e ovraccarichi» ; Circolare Min. LL.PP. del 04/07/1996 n. 156 AA.GG./S.T.C. - Itruzioni per l applicazione delle Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di icurezza delle cotruzioni e dei carichi e ovraccarichi di cui al Decreto Miniteriale 16 gennaio Occorre inoltre tenere preente la normativa per le cotruzioni in zona imica, nella quale ono anche riportate alcune regole pecifiche per le cotruzioni in c.a.: D.M. LL.PP. del 16/01/1996 Norme tecniche per le cotruzioni in zone imiche ; Circolare Min. LL.PP. del 10/04/1997 n. 65/AA.GG. - Itruzioni per l applicazione delle Norme tecniche per le cotruzioni in zone imiche di cui al Decreto Miniteriale 16 gennaio È infine da ricordare che, con l avvento di Normative unificate a livello Europeo (i coiddetti Eurocodici), è poibile ricorrere anche all utilizzo di tali precrizioni nel progetto delle trutture. In particolare, per quanto riguarda il cemento armato, i fa riferimento all Eurocodice (contradditinto dalla igla UNI ENV , peo citato emplicemente come EC), nella parte 1-1 (Regole generali e regole per gli edifici); il già citato D.M. LL.PP. del 09/01/1996 Norme tecniche per il calcolo, l eecuzione ed il collaudo delle trutture in cemento armato, normale e precompreo e per le trutture metalliche riporta (nella ezione III) una erie di precrizioni otitutive, integrative o oppreive ripetto a quanto riportato nell EC, alle quali è obbligatorio atteneri per le trutture da realizzari in Italia.

13 Stati limite nel cemento armato Analii del comportamento di una trave inflea Per introdurre la teoria tatica del cemento armato, i conideri una trave di olo calcetruzzo emplicemente appoggiata agli etremi e oggetta a due carichi concentrati P poti a ditanza a dagli appoggi. Per valori bai di P, la trave i comporta come e foe cotituita da materiale omogeneo, iotropo ed elatico. Al crecere del carico, eendo la reitenza a compreione del cl molto maggiore di quella a trazione, i verifica la rottura delle fibre inferiori della ezione di mezzeria (dove M è maimo) per cedimento del calcetruzzo teo, mentre il calcetruzzo compreo è ancora molto lontano dalla reitenza a compreione. P P a L-a a A feure B P L P P + taglio momento flettente -P Pa + In una trave di olo calcetruzzo non è pertanto poibile fruttare il calcetruzzo compreo fino alla ua reitenza maima a caua della rottura anticipata del calcetruzzo teo. Nace allora l idea di introdurre dei tondini di ferro nelle zone tee della trave, i quali aorbendo le tenioni di trazione, una volta che il calcetruzzo i è feurato, conentono alla trave di opportare valori di q uperiori a quello di feurazione, ed in funzione del quantitativo di armatura introdotto, fino al raggiungimento della reitenza a compreione del cl. Si voglia ora decrivere il comportamento della trave in preenza delle armature nella parte inferiore.

14 a P L a P a Α δ L/ L L/ Β P P Al crecere del carico P i regitri lo potamento verticale δ della ezione di mezzeria al variare di P e i riportino u un diagramma i valori di δ ull ae delle acie e quelli di P ull ae delle ordinate: P P P P u y cr I II III II conv. δ cr δ y δ u δ La curva riulta formata otanzialmente da tre rami, che definicono altrettante fai di comportamento della trave in c.a.: ramo I P P cr il calcetruzzo e l acciaio reitono entrambi a trazione e ono con buona approimazione in campo elatico lineare ramo II P cr P P y viene uperata la reitenza a trazione del calcetruzzo, che i feura (il pedice cr ta per cracking feurazione), e le trazioni ono aorbite olo dall acciaio ramo III P > P y i upera la tenione di nervamento dell acciaio che ubice notevoli allungamenti fino a giungere a rottura (può anche uccedere che i rompa il calcetruzzo compreo, e il quantitativo di armatura non è ufficientemente alto) Molto peo le fai I e II vengono approimate penando, a favore di icurezza, che il cemento armato i comporti, fin da valori molto piccoli del carico, come e foe già feurato, individuando quindi una fae che può eere denominata come fae II convenzionale (la retta che definice tale ramo è quindi parallela alla retta del ramo II ma parte dall origine). Le ragioni di tale modo di procedere (oltre alla maggiore facilità di calcolo, in quanto ad un diagramma bilineare, e quindi compleivamente non lineare, i otituice un legame caricopotamento di natura lineare) va ricercata nell oervazione che il calcetruzzo può comunque preentari già in condizioni feurate anche al momento dell applicazione del carico di progetto: queta circotanza è effettivamente molto peo vera, in quanto poono eerci preenti feure nel calcetruzzo a caua di altri effetti, quali ad eempio il ritiro (che accompagna empre il fenomeno

15 della prea del calcetruzzo) che generalmente conduce ad un itema di microfeure che ne compromettono, già per carichi eigui, la reitenza a trazione. La fae II convenzionale è quella uualmente impiegata nel calcolo econdo il metodo delle tenioni ammiibili e, come verrà illutrato nel eguito, anche nel controllo delle tenioni in eercizio. Per lo tudio del comportamento delle travi inflee e per la verifica delle ezioni in c.a. i utilizza il modello di comportamento in fae III (a rottura) ogni volta in cui i debba far riferimento a ituazioni ultime ; i modelli di comportamento in fae I + fae II (o, alternativamente, in fae II convenzionale) i utilizzano invece quando i faccia riferimento a condizioni di eercizio per la truttura in eame. Individuazione degli Stati Limite nel c.a. Nell ottica del metodo degli Stati Limite, i individuano, per il cemento armato, ituazioni divere che poono comportare la crii od il cattivo utilizzo in eercizio della truttura. Le attuali normative impongono di coneguenza il controllo della truttura e delle ezioni maggiormente ollecitate in corripondenza del raggiungimento delle eguenti condizioni: STATI LIMITE ULTIMI (SLU) verifica allo tato limite per tenioni normali: la verifica viene effettuata in termini di confronto tra enti ollecitanti valutato allo SLU e reitenza della ezione nella condizioni individuata di collao, limitando l attenzione alle ole ollecitazioni che producono tenioni normali (quindi forzo normale e fleione) verifica allo tato limite per ollecitazioni taglianti: i effettua la verifica attravero il confronto tra V du (taglio ollecitante allo SLU) e V rdu (taglio reitente della ezione) verifica allo tato limite per ollecitazioni torcenti: analogamente al cao vito in precedenza, i controlla che T du (momento torcente ollecitante allo SLU) riulti inferiore a T rdu (maimo momento torcente aorbibile dalla ezione) verifica allo tato limite ultimo per ollecitazioni compote: vengono prei in eame i cai in cui i abbia contemporaneamente torione, fleione e forzo normale, oppure nel cao in cui iano preenti ia ollecitazioni di taglio ia ollecitazioni di torione. STATI LIMITE DI ESERCIZIO (SLE) verifica allo tato limite per feurazione: i controlla che non i formino feure nel c.a. (verifica più gravoa) oppure che, e formatei, quete non uperino un valore di ampiezza pretabilito, in funzione della vulnerabilità della truttura e dell impiego della tea; verifica allo tato di limite delle tenioni di eercizio: i coniderano i valori delle tenioni nel calcetruzzo e nell acciaio nelle condizioni di eercizio della truttura, imponendo il non uperamento di limiti pretabiliti; verifica allo tato limite di deformazione: conite nel controllo delle deformazioni della truttura in condizioni di eercizio, in modo da verificare che ea ia compatibile con la funzionalità dell opera e che non comporti danni alle ovratrutture adiacenti. Legami cotitutivi allo Stato Limite Ultimo Allo SLU i ipotizza, eendo le condizioni proime a quelle di rottura, di analizzare il comportamento della ezione in fae III, oia con calcetruzzo teo interamente feurato, con il uperamento del limite elatico ia per il calcetruzzo compreo che per l acciaio teo. Superato il limite elatico, per entrambi i materiali i coniderano comportamenti di tipo platico oia in cui iano poibili incrementi di deformazioni anche in aenza di incrementi nello tato tenionale.

16 Calcetruzzo La definizione di un modello di comportamento per il calcetruzzo in condizioni proime a quelle di rottura può avvenire analizzando quello che accade in una prova di compreione emplice. La prova conite nel ottoporre un provino primatico o cilindrico di calcetruzzo ad uno forzo di compreione centrato; tale prova viene eeguita u provini di dimenioni tandard ad una prefiata velocità di deformazione. Se con A n i indica l area nominale del provino e con P lo forzo aiale applicato, i poono definire come per la prova di trazione le due eguenti grandezze: P l σ n ε A n l 0 che ono dette ripettivamente tenione nominale (σ n ) e deformazione convenzionale (ε). Se al crecere del carico i riportano i valori σ n ull ae delle ordinate e quelli delleε ull ae delle acie i ottiene una curva del tipo di quelle rappreentate nella figura eguente. In particolare per un calcetruzzo ad alta reitenza i ottiene la curva a, mentre per un calcetruzzo di normale reitenza i ha la curva b. Per convenzione la curva è tata tracciata aumendo poitive le tenioni e le deformazioni di compreione. In generale i nota: - un comportamento non lineare anche per livelli bai di tenione (oia anche per tenioni notevolmente inferiori ripetto a quelle che provocano la rottura del provino): il livello tenionale maimo al di otto del quale il comportamento del calcetruzzo compreo può riteneri elatico lineare è pari a circa il 30% della reitenza di picco; - il raggiungimento della tenione di picco per una deformazione pari a circa lo 0. % ( ), valore più o meno indipendente dalla reitenza del calcetruzzo; - la preenza di un comportamento coì detto di tipo oftening una volta raggiunta la tenione di picco: il materiale cioè non è in grado di aorbire deformazioni maggiori di quella di picco e non attravero una riduzione dello tato tenionale. Se ottopoto a trazione il calcetruzzo manifeta una rottura fragile per un valore molto bao dello forzo di trazione, pertanto nelle verifiche di reitenza, la reitenza a trazione del calcetruzzo viene tracurata. Il diagramma σ-ε è coì limitato alle ole tenioni e deformazioni di compreione. Nel calcolo agli Stati Limite, concentrando l attenzione alla valutazione della icurezza nei confronti dello Stato Limite Ultimo, il legame tenioni-deformazione convenzionale che viene adottato è riportato nella figura eguente.

17 σ c ε c Il diagramma ha un andamento parabolico fino alla deformazione del, preentando poi un andamento perfettamente platico fino alla deformazione a rottura fiata convenzionalmente al 3.5. Il diagramma è in otanziale accordo con i riultati perimentali, ed il valore aunto come maima contrazione riente della difficoltà nel definire correttamente, a caua del fatto che il materiale eibice una curva che a rottura tende ad abbaare la propria pendenza, il valore della deformazione corripondente alla rottura. Dai riultati perimentali i ricavano comunque valori nell intervallo , per cui il valore aunto riulta cautelativo. La maima tenione viene valutata a partire dalla reitenza cilindrica di progetto, quindi da fck 0.83 R ck fcd γ γ c c dove γ c, coefficiente parziale di icurezza allo SLU, viene aunto per il calcetruzzo pari a 1.6. In realtà il livello maimo riportato nel diagramma tiene conto del fatto che la tenione caratteritica di rottura rappreenta una tenione itantanea, in quanto ricavata da prove di chiacciamento u provini. Gli apetti non lineari initi nel comportamento del calcetruzzo uggericono di ridurre tale valore ad uno inferiore che può eere ritento accettabile anche a tempo infinito, oia un valore prudenziale che tenga conto dell invecchiamento del calcetruzzo. Di coneguenza i adotta una riduzione del 15% della tenione di progetto come valutata a partire da prove itantanee. La parabola che rappreenta il comportamento del calcetruzzo per deformazioni inferiori al è definita dalle eguenti tre proprietà: - paaggio dall origine del diagramma; - valore pari a 0.85 f cd in corripondenza della deformazione ε, nel eguito indicata per brevità con ε 0 ; - tangente orizzontale in corripondenza del valore ε 0. Quindi l equazione della parabola riulta eere: per ε 0 : f 0 c 0 f a ε + b ε + c per ε ε0 : f 0.85 fcd a ε0 + b ε fcd per ε ε0 : f ' 0 a ε0 + b 0 da cui 0.85 fcd 0.85 fcd a, b, c 0 ε ε 0 0 e quindi ε ε f 0.85 f cd ε0 ε0 La tangente all origine alla parabola (che corriponde al valore di b) intereca la maima ordinata 0.85 f cd al valore ε 0 /1. Nella eguente tabella ono riportati valori delle reitenze di progetto che i utilizzano nel calcolo a rottura dei calcetruzzi di uo più comune:

18 R ck [N/mm ] Denominaz. f ck [N/mm ] f cd [N/mm ] 0.85 f cd [N/mm ] 5 C0/ C5/ C30/ Acciaio Per l acciaio viene uualmente impiegato un legame cotitutivo elato-platico. Si uppone cioè che, uperato il limite elatico, i poa attribuire all acciaio un comportamento perfettamente platico, cioè iano poibili incrementi di deformazione a tenione cotante, fino al raggiungimento del limite convenzionale di deformazione a rottura. σ fyk fyk f γ 0.01 E 06kN/mm² 0.01 ε Il limite convenzionale di deformazione a rottura è fiato nella miura del 10 ; oervando i valori effettivi dell allungamento a rottura delle barre di acciaio i nota un limite enibilmente uperiore (di almeno 10 volte). L eigenza di limitare la deformazione maima a valori coì bai nace dalla neceità di mantenere l aderenza tra acciaio (oprattutto teo) e calcetruzzo, alla bae dei metodi di calcolo che verranno illutrati in eguito. Se infatti i attingee a deformazioni elevate nell acciaio, l effetto di contrazione traverale (o trizione, prodotto per valori enibili dell allungamento dal coefficiente di Poion) tenderebbe a ridurre l area dell acciaio, contraendolo, e quindi favorendone lo filamento dal calcetruzzo circotante. Il valore maimo nell ordinata del diagramma è offerto dalla tenione di progetto dell acciaio, f yk f γ dove γ, coefficiente parziale di icurezza allo SLU, viene aunto per l acciaio pari a Legami cotitutivi nelle verifiche agli Stati Limite di Eercizio In condizioni di eercizio i uppone, per entrambi i materiali, un comportamento in campo elatico lineare. A econda della verifiche che vengono effettuate, il calcolo procede con l analii dello viluppo del comportamento dalla fae I alla fae II oppure, in alcuni cai, coniderando oltanto la fae II convenzionale. In entrambi i cai, i aume per il calcetruzzo un comportamento elatico lineare con un valore del modulo elatico crecente in funzione della clae del materiale, convenzionalmente pari a E c 5700 R (N / mm ) E R (kg / cm ) ck Per l acciaio il valore del modulo elatico viene fiato in E N / mm ( MPa) 06 GPa c ck

19 In fae II (uperata quindi la reitenza a trazione del calcetruzzo) e in fae II convenzionale, il calcolo viene condotto introducendo il coefficiente di omogeneizzazione, indicato con la lettera n (o m in alcuni teti). Coefficiente di omogeneizzazione (n) Nel coiddetto metodo n (utilizzando anche e i operae con il metodo delle tenioni ammiibili) le verifiche di reitenza delle ezioni vengono eeguite con riferimento al olo calcetruzzo, riducendo le aree delle barre di acciaio ad aree di calcetruzzo equivalente attravero un opportuno coefficiente di omogeneizzazione, indicato con il imbolo n. Queto modo di procedere è giutificato dal fatto che, una volta tracurato il contributo del calcetruzzo teo, i ipotizza la perfetta aderenza tra le barre di acciaio ed il calcetruzzo circotante e la validità della legge di conervazione delle ezioni piane come per le travi di materiale omogeneo ed iotropo (ipotei di Bernoulli-Navier). Di coneguenza, avendo ipotizzato la validità della legge di Hooke per entrambi i materiali, valgono le eguenti relazioni: σa σ ε a ε c c Ea Ec inoltre per l ipotei di perfetta aderenza riulta: ε c ε a quindi otituendo in quet ultima relazione le due precedenti, i giunge alla eguente epreione σa σ c Ea Ec da cui E σ a a σc nσc Ec dove i è poto E n a Ec A parità di deformazione la tenione nell acciaio riulta n volte maggiore di quella nel calcetruzzo, dove il coefficiente n (peo, in alcuni teti, indicato anche con m) è detto coefficiente di omogeneizzazione ed è dato dal rapporto tra il modulo di elaticità dell acciaio e quello del calcetruzzo. Omogeneizzazione della ezione Si conideri un elemento verticale primatico in c.a., di ezione A c, contenente un olo tondino di area A a in poizione centrale.

20 Si applichi all elemento un carico aiale F diretto vero il bao. Si indichi con ε la deformazione unitaria in una ezione A-A ufficientemente lontana dalla ezione di applicazione del carico, in modo che in ea ia oddifatta l ipotei di conervazione delle ezioni piane. Queta deformazione è identica per il calcetruzzo e per l acciaio per l ipotei di perfetta aderenza dei due materiali. Ad ε corripondono una forza F c nel calcetruzzo e una forza F a nell acciaio Aa F Ac Fc Ac Ec Fa Aa Ea ε ε Ac Aa σ σ c a Aa n σc La omma delle due forze deve eere pari, per equilibrio, all azione eterna F applicata, per cui i ottiene F Fc + Fa Ac σc + Aa n σc σc ( A + n A ) c Alla luce di quanto detto, i può pertanto affermare che: ai fini della reitenza a compreione un area A a di acciaio è equivalente ad un area di calcetruzzo n volte più grande una ezione di c.a. può eere coniderata come una ezione omogenea in cl, di area equivalente ideale A ci pari alla omma dell area di calcetruzzo compreo e dell area di acciaio moltiplicata per n: A ci Ac + naa a Quanto vale n? Si voglia determinare il valore del coefficiente di omogeneizzazione n. Si upponga di avere un calcetruzzo di clae R ck 30; utilizzando la formula fornita dalla normativa il uo modulo di elaticità itantanea all origine è pari a: E 5700 R c ck 310 N / mm il modulo di elaticità dell acciaio è pari a N/mm, pertanto n aume il eguente valore: n Se il carico applicato ull elemento in c.a. è di lunga durata, da quanto epoto nei capitoli precedenti, riulta che eo induce deformazioni vicoe, la cui entità è circa il doppio della deformazione elatica iniziale. Pertanto nei confronti dei carichi di lunga durata, il calcetruzzo i comporta come e avee un modulo di elaticità fittizio pari a circa 1/3 di quello iniziale. Sempre con riferimento a un calcetruzzo con R ck 30 N/mm il coefficiente di omogeneizzazione per carichi di lunga durata è pari a: n Per n occorrerebbe adottare pertanto due valori diveri a econda che i coniderino carichi di breve o di lunga durata. Inoltre i valori di n cambiano in funzione della clae di reitenza del calcetruzzo, perché con ea cambia il modulo di elaticità del calcetruzzo.

21 Poiché ulle trutture in c.a. generalmente i ha la preenza contemporanea di carichi itantanei e di carichi permanenti, i preferice in genere definire un unico valore di n. Normalmente i utilizza un valore di n pari a 15, indipendentemente dalla clae di reitenza del cl, e rappreenta un valore intermedio tra quello per carichi itantanei e quello per carichi permanenti. La Normativa, nel paragrafo relativo alla verifica allo tato limite delle tenioni in eercizio (par del DM ), riporta che in via emplificativa i può aumere il comportamento elatico-lineare (per il calcetruzzo) e per le armature il coefficiente di omogeneizzazione con il valore convenzionale n15. Operando econdo il metodo delle tenioni ammiibili, empre la Normativa vigente indica che i può aumere come area della ezione reitente quella corripondente al conglomerato compreo ed alle aree metalliche tee e compree affette dal coefficiente convenzionale di omogeneizzazione n15 (p.to del DM 14..9). La reitenza a trazione del calcetruzzo Nel cao in cui la verifica venga effettuata coniderando anche la fae I nel comportamento della ezione in c.a., occorre definire una reitenza a trazione per il calcetruzzo. La Normativa individua due diveri valori per tale grandezza: il primo (indicato con f ct ) è riferito alla reitenza a trazione emplice, mentre il econdo fa riferimento alla reitenza a trazione per fleione ed è indicato con f cf, oia a tutte quelle condizioni in cui la trazione nel calcetruzzo è indotta dalla preenza di momenti flettenti. Convenzionalmente di individua il valore medio (pedice m) di f ct nella quantità f ctm R ck (N / mm ) 0.7 R /3 ck (N / mm Mentre i valori caratteritici corripondenti ai frattili 5% e 95% poono aumeri ripettivamente pari a 0.7 f tcm e 1.3 f ctm. Il valore a cui i fa riferimento nelle verifiche è di olito quello corripondente al frattile inferiore, oia f 0.7 ctk f ctm La reitenza a fleione è generalmente aunta pari a f 1. cfm f ctm Nella eguente tabella ono riportati valori delle reitenze a trazione che i utilizzano nel calcolo in fae I nei calcetruzzi di uo più comune: ) R ck f ctm [N/mm ] Denominaz. [N/mm ] [N/mm ] [N/mm ] f ck /f ctk 5 C0/ C5/ C30/ Come i può oervare, la reitenza a trazione del calcetruzzo è pari mediamente a circa 1/13 della reitenza a compreione. f ctk f cfk

22 Stati limite nel cemento armato Stato limite ultimo per tenioni normali Determinazione delle configurazioni di rottura per la ezione Una volta introdotti i legami cotitutivi, è poibile determinare le ituazioni per le quali una generica ezione in cemento armato raggiunge, in uno o in entrambi i componenti calcetruzzo e acciaio, le condizioni di rottura, oia le condizioni ultime. Le ipotei principali alla bae del calcolo (che i adottano, come verrà illutrato nel eguito) anche nel cao di calcolo con legami tenioni-deformazione di tipo lineare (ad eempio nella valutazione della icurezza nei confronti degli Stati Limite di Eercizio) ono le tre eguenti: 1. i tracura il contributo del calcetruzzo oggetto a trazione (che però interviene nella tramiione degli forzi di corrimento attravero il meccanimo a traliccio che verrà decritto nella lezione dedicata al taglio);. i ipotizza perfetta aderenza tra le barre di acciaio ed il calcetruzzo circotante (anche in ragione del fatto di avere limitato la maima deformazione dell acciaio al valore del 10 ); 3. i ipotizza la conervazione delle ezioni piane come per le travi di materiale omogeneo ed iotropo (ipotei di Bernoulli-Navier). Prima di illutrare il procedimento al calcolo è bene evidenziare alcuni apetti: - la rottura della ezione può giungere per il raggiungimento della deformazione limite nel calcetruzzo compreo (oia perché la fibra più eterna di calcetruzzo raggiunge la deformazione limite del 3.5 ) oppure per il raggiungimento della maima dilatazione nell acciaio teo (corripondente al valore di deformazione 10 ) - è evidente che non i può raggiungere una condizione di rottura per maima contrazione dell acciaio compreo, in quanto, eendo quet ultimo perfettamente aderente al calcetruzzo nella tea zona, non i potrà mai uperare il limite del 3.5 impoto alla fibra di cl - operando in campo elato-platico, occorre impotare il problema della determinazione delle ituazioni di rottura della ezione operando in termini di deformazioni e non di tenioni: riulta infatti chiaro che mentre ad un valore della deformazione corriponde un olo valore della tenione, non è vero il vicevera, a caua della preenza di un ramo platico - una volta individuata una configurazione di rottura (in termini di deformazioni) i rialirà al valore delle tenioni nel calcetruzzo e nell acciaio e quindi alle riultanti di compreione e trazione; infine, arà poibile eprimere la condizione di rottura in termine di coppia di valori di forzo normale e momento flettente (individuati nel eguito ripettivamente con N rdu e M rdu ) che cotituiranno la coppia di ollecitazioni che, e agenti contemporaneamente nella ezione, comportano la rottura della ezione - ad ogni configurazione di rottura corriponde un precio valore della rotazione della ezione e uite una corripondenza biunivoca tra le configurazioni di rottura e la profondità dell ae neutro, come riulta dalla figura eguente: fiata la poizione dell ae neutro, i determina univocamente la configurazione di rottura, in quanto ogni altra configurazione deformata della ezione comporterebbe il uperamento della maima deformazione ammiibile in uno dei due materiali che cotituicono la ezione

23 allungamenti accorciamenti 3.5 d ε h d zona comprea configurazione non di rottura b 10 configurazione di rottura configurazione non ammiibile: ε troppo elevato nel cl - nel cao di ezione uniformemente comprea (oia in cui le deformazioni ono cotanti u tutta la ezione) i aume convenzionalmente un valore maimo della deformazione per il calcetruzzo pari al ; per tutte le configurazioni di ezione interamente comprea (quindi con ae neutro eterno alla ezione e tenioni tutte di compreione) i indivia la rottura coniderando la deformazione maima del calcetruzzo compreo pari a 3.5 nel cao di fleione emplice e compota con ae neutro reale, e variabile dal valore predetto al quando l ae neutro, e- terno alla ezione, tende all infinito (p.to del DM ) Il dominio reitente della ezione L inieme delle coppie (N rdu, M rdu ) che cotituicono ituazioni di rottura per la ezione, rappreentano la frontiera di un dominio che, nel piano (N,M), delimita la zona icura di utilizzo della ezione (punti interni al dominio al maimo ul dominio) ripetto a punti in cui la ezione non riulterebbe verificata (punti eterni alla frontiera del dominio). Il dominio reitente viene quindi cotruito per punti, utilizzando quanto decritto nel paragrafo precedente, e coniderando la poibilità che la zona comprea ia nella parte uperiore della ezione (momento poitivo, econdo la convenzione che viene uualmente utilizzata) oppure nella parte inferiore della ezione (momento negativo). In termini di rappreentazione, il dominio reitente viene riportato in un piano carteiano in cui i individua ulle acie il valore dello forzo normale N (nel c.a. di olito rappreentato come poitivo e di compreione, quindi con egno oppoto ripetto all uuale convenzione della cienza delle cotruzioni) e ulle ordinate il valore del momento flettente M (come già detto, normalmente poitivo e riulta comprea la parte uperiore della ezione). Il dominio reitente è un dominio conveo, e queto a caua di alcune proprietà della uperficie di platicizzazione (che non verranno qui illutrate e per le quali i rimanda ad altra ede). Tra le varie definizioni di conveità che potrebbero eere utilizzate, in queta ede i ricorda oltanto che in una uperficie convea qualunque egmento che unice due punti interni o ulla frontiera della uperficie è completamente contenuto all interno della uperficie tea. Tale proprietà comporta alcuni vantaggi operativi non indifferenti: - il dominio potrebbe eere teoricamente cotruito con un numero infinito di punti, oia per tutte le poibili poizioni dell ae neutro variabili tra - (per le convenzioni adottate, ezione uni-

24 formemente tea) e + (ezione uniformemente comprea); e tuttavia tale dominio viene cotruito mediante un inieme finito di punti, anche abbatanza limitato, quello che i ottiene rappreenta icuramente un approimazione dalla parte della icurezza del dominio reale, in quanto tale nuovo dominio è enz altro contenuto all interno del precedente M dominio cotruito con punti dominio cotruito con 6 punti N - e i conoceero i punti del dominio caratterizzati da un valore nullo di una delle due caratteritiche di ollecitazione, il dominio potrebbe, a favore di icurezza, eere approimato con un quadrilatero irregolare che unice tali punti (come indicato al p.to B.5.1 della Circ a cui i farà riferimento in eguito) M N Nel grafico eguente (tratto dalla Circ. eplicativa al DM ) ono riportate tutte le poibili ituazioni di rottura per una ezione in calcetruzzo armato. Nel grafico i fa riferimento all altezza h della ezione (altezza geometrica della ezione) ed all altezza utile d; quet ultima grandezza rappreenta la ditanza del baricentro dell armatura dal lembo uperiore, e differice dall altezza effettiva per qualche centimetro (di olito h d 3 5 cm). Vale infatti la relazione: