CAPITOLO 4 Misurazioni nel dominio del tempo Pagina 46 CAPITOLO 4 MISURAZIONI NEL DOMINIO DEL TEMPO CON CONTATORE NUMERICO

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1 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 46 CAPIOLO 4 MISURAZIONI NEL DOMINIO DEL EMPO CON CONAORE NUMERICO Misurare il empo he inerorre ra due eveni signifia onfronare due inervalli di empo, quello soo misura e uno ampione, preso ome riferimeno. Selo un generaore di impulsi sabile in frequenza, la misurazione può avvenire oneggiando il numero di impulsi he si ripeono nell inervallo di empo da misurare. Analogamene, la misura della frequenza di un segnale periodio può avvenire oneggiando il numero di osillazioni del segnale he si verifiano in un inervallo di empo ampione. In queso aso, se l inervallo di empo di riferimeno è di duraa un seondo, il valore numerio rappresenaivo del oneggio effeuao esprime direamene la frequenza in herz, alrimeni oorre dividere il numero di ili onai per l inervallo selo ome riferimeno. Ad esempio, se per un ampione di empo =10ms sono oneggiai N=100 ili, allora la frequenza dl segnale inognio vale f =10kHz. Per poer effeuare ali misurazioni è neessario disporre di un inervallo di empo ampione, di isani di empo rappresenaivi del misurando e di uno srumeno he sia in grado di oneggiarli. Lo srumeno he risponde a ali requisii è il onaore numerio ed è lo srumeno prinipe per l analisi nel dominio del empo. Fondamenalmene il prinipio di funzionameno si basa sul oneggio del numero N di impulsi di periodo he si verifiano durane il empo di osservazione di duraa τ. Unià di oneggio N τ - figura Per un ale sisema vale la relazione: τ N (4.1)

2 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 47 per ui è possibile eseguire la misura del empo τ una vola noa la duraa e il numero di oneggi N e la misura è ano migliore quano più τ». Vieversa, la misura è riia per τ. Misura direa di frequenza Lo shema a blohi di uno srumeno di misura he permee di deerminare, mediane un operazione di oneggio, la frequenza del segnale è il seguene: ~ () Condizionameno del segnale Unià di oneggio Visualizzazione ~ lok () Condizionameno del segnale - figura dove: () è il segnale di frequenza inognia appliao in ingresso al sisema di misura. Il bloo di ondizionameno del segnale () modifia le araerisihe del segnale in ingresso per renderlo meglio raabile dall unià di oneggio. Esso genera un impulso di ensione al ermine di ogni ilo del segnale. La frequenza degli impulsi generai dal bloo di ondizionameno è, quindi, proprio la frequenza del segnale (). Il lok è un osillaore, ovvero un generaore in grado di fornire un segnale () he osilla ad una frequenza noa e molo sabile nel empo. Il bloo di ondizionameno del segnale () genera un segnale reangolare di duraa, deo anhe empo di gae o di pora, he è l inervallo di empo ampione. Il frone di salia e quello di disesa del segnale () sono uilizzai per generare rispeivamene il segnale di sar e quello di sop. Il segnale di sar abilia l inizio del oneggio, quello di sop lo disabilia.

3 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 48 L unià di oneggio effeua il oneggio del numero di impulsi in ingresso he si verifiano durane il empo di gae. La ifra viene poi resa disponibile all uene dal bloo di visualizzazione. Selo il empo di gae e oneggiai N impulsi, si ha = N, da ui: q f = q N (4.2) Il simbolo q sa ad indiare he l uguaglianza è vera nel senso della quanizzazione poihé il numero di ili di segnale onenui in può non essere un inero. Se, ad esempio, il empo di gae omprende un numero N di periodi del misurando più una frazione, a ui non è assoiao alun impulso, si verifia un errore di oneggio, he al più è pari a. Dalla relazione (4.2) si osserva he la frequenza viene espressa ome muliplo di una quanià elemenare, f=1/, he prende il nome di risoluzione in frequenza del onaore numerio per misure diree di frequenza. Per misurare la frequenza di 1Hz oorre segliere un empo di gae di duraa almeno un seondo, poihé la duraa del ilo del segnale è esaamene un seondo. Queso è il moivo per ui f rappresena la risoluzione: il ilo più grande he si riese a misurare on un empo di gae di un seondo è quello alla frequenza di 1Hz. Se, invee, la frequenza fosse di 0,5Hz il onaore non misurerebbe nulla perhé non vedrebbe l impulso assoiao alla fine del ilo. Per oenere una migliore risoluzione oorre aumenare il empo di gae. L inervallo ampione è, generalmene, pari ad 1s, ma sono possibili anhe alri valori. Gli osillaori naurali sono molo sabili in frequenza nell inorno dei MHz; per oenere un inervallo sabile di duraa un seondo, il bloo di ondizionameno del segnale () effeua una divisione in frequenza, e, per ale moivo, si onfigura ome un sisema apae di rasferire la sabilià nel empo. Se la frequenza di lok è, ad esempio, f =1/ =10MHz, per avere un empo di gae di un seondo bisogna effeuare una divisione in frequenza per N d =10 7. Per una misura direa di frequenza, la risoluzione relaiva è definia ome il rapporo f/f, per ui valgono le relazioni: f = = = f f N N (4.3)

4 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 49 Da ui si evine he la risoluzione relaiva migliora all aumenare del numero dei oneggi e, per un fissao valore di, al resere di f. Misura direa di periodo La misura direa di periodo è effeuaa mediane lo sesso prinipio usao per la misura direa di frequenza dove, funzionalmene, sono inverii i ruoli ra i segnali () e (): il segnale di ingresso () definise l inervallo di empo ampione menre gli impulsi da oneggiare sono generai dal lok, ome riporao in figura 4.3. () lok ~ Condizionameno del segnale Unià di oneggio Visualizzazione () ~ Condizionameno del segnale - figura Per ale sisema di misura vale la relazione: = N q (4.4) he prende il nome di relazione araerisia della misura direa di periodo on onaore numerio. - figura è espresso ome muliplo inero di e perano rappresena il massimo errore he si può ommeere nella valuazione del periodo. L inervallo ra due impulsi rappresena la minima quanià apprezzabile, ovvero la risoluzione assolua, e vale: =.

5 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 50 La risoluzione relaiva è definia ome il rapporo /, per ui valgono le relazioni: 1 = = = N N (4.5) Dove si noa he la risoluzione migliora all aumenare del numero di impulsi oneggiai e, per un fissao valore di, al resere di. empo di misura Si è già definio nel apiolo I il empo di misura ome il empo he uno srumeno impiega per effeuare una misurazione e presenare il valore misurao. Per un onaore numerio ideale, il empo di misura oinide on il empo di gae ed è pari o all inervallo ampione o al periodo del segnale inognio, a seonda he si rai rispeivamene di una misura direa di frequenza o di periodo. Si è anhe viso ome il sisema di misura vada in risi per valori del periodo degli impulsi da oneggiare prossimi al empo di osservazione. ale problema è sao risolo, nella misura direa di frequenza, uilizzando apposii divisori di frequenza in modo da aumenare il empo di gae. Nel aso della misura direa di periodo, invee, per segnali on periodo prossimo al periodo di lok, è possibile aumenare il empo di gae segliendolo pari ad M periodi del segnale inognio. In al aso si ha: M = N N q = q M (4.6) dove e M sono fissai in fase di onfigurazione dello srumeno e seli in funzione di quani ili del segnale si vuole onsiderare. La risoluzione è definia ome: = M (4.7) È evidene ome essa migliori on l aumenare di M. Il prezzo he si paga è il dover onsiderare più ili di segnale, il he vuol dire aendere più empo per oenere la misura.

6 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 51 Si osservi, infine, he, pur onservando la sessa espressione del aso on empo di gae pari a, la risoluzione relaiva risula migliore in quano il numero di oneggi N si riferise ad un empo maggiore di M vole il periodo : M 1 = = M N N (4.8) Si noi he enrambe le soluzioni vise sono uilizzae per migliorare la risoluzione di misura anhe quando la ondizione non è riia. Conaori reiproi Per un fissao valore della frequenza f =1/ del segnale di lok, e selo un valore m del empo di misura o di gae, è leio domandarsi quale delle due misurazioni, direa di periodo o di frequenza, è più onveniene effeuare per garanire una migliore risoluzione. Si onsiderino a ale sopo la risoluzione assolua e relaiva he araerizzano la misura direa di frequenza: f = 1 (4.9) f = = f f N m 1 (4.10) e la risoluzione assolua e relaiva he araerizzano la misura direa di periodo: = M (4.11) 1 = = N m 2 (4.12) Per una misura direa di frequenza e di periodo, valgono rispeivamene le relazioni: m = M f (4.13) = M m (4.14)

7 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 52 dove on M f ed M si è indiao il faore di divisione usao rispeivamene nella misura direa di frequenza e di periodo ed è un valore legao alla sela del empo di gae, sabilio dall operaore all inizio della misurazione; on N 1 ed N 2 si è indiao il numero di oneggi he si verifiano rispeivamene nella misura di frequenza e di periodo. Riporando sul grafio di figura 4.5 la risoluzione relaiva per enrambe le meodologie, è possibile noare he, per garanire la migliore risoluzione relaiva oorre effeuare misurazioni di periodo per frequenze inferiori a f, e misurazioni di frequenza per frequenze maggiori di f. log f, log f periodo f frequenza log f - figura Gli srumeni di misura he onsenono di effeuare enrambe le misurazioni, sia di periodo sia di frequenza, prendono il nome di onaori reiproi. Essi onano il numero di impulsi assoiai sia al segnale di ingresso (f ) sia al segnale di riferimeno (f ), he si verifiano durane un dao empo di misura, m. Inolre, indipendenemene dalla grandezza da misurare, il onaore reiproo deide per la misura a minima risoluzione a seguio del onfrono ra il numero di oneggi, N 1, he araerizzerebbero una misura direa di frequenza on quelli, N 2, peuliari ad una misura direa di periodo: se risula N 1 >N 2 viene operaa una misurazione di frequenza, alrimeni una misurazione di periodo, ome indiao dalle segueni relazioni: N > N f = 1 2 N1 < N2 = N2 N 1 N 1 m (4.15) Il onaore visualizza il valore della grandezza rihiesa, eseguendo evenualmene il reiproo del valore misurao. Se, ad esempio, il onaore effeua una misura di

8 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 53 frequenza, verrà visualizzao il valore misurao se è saa rihiesa una misura di frequenza, alrimeni verrà visualizzao il suo reiproo. Grafii universali Allo sopo di deerminare agevolmene la risoluzione relaiva per una daa misurazione, sia essa di periodo o di frequenza, i osruori fornisono dei grafii universali, he ne riporano l andameno in funzione del empo di misura. Il diagramma legao alla misurazione di frequenza (figura 4.6), ad esempio, ripora diversi empi di misura, da m1 a m4. Quando il empo di misura è un seondo allora il legame ra la f e la risoluzione relaiva ad essa assoiaa è di ipo direo, perhé vale proprio 1/f. Dallo sesso diagramma si può noare he all aumenare del empo di misura migliora la risoluzione perhé si possono onare più impulsi. log f f m1 =0,01s m2 =0,1s m3 =1s m4 =10s - figura log ( f ) Le urve a empo di misura osane (in sala logarimia sono delle ree) sono ipiamene paramerizzae per mulipli di 10. log M=1 M=2 M=3 log ( ) - figura 4.7 -

9 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 54 Alro grafio universale, legao quesa vola al periodo, è riporao in figura 4.7 dove le ree sono paramerizzae rispeo al numero M di periodi del segnale di riferimeno he sono sai seli per fissare il empo di misura. Anhe qui si può noare he all aumenare del numero di periodi migliora la risoluzione, in aordo on la onsiderazione he in un inervallo di misura maggiore sono preseni più oneggi e l errore relaivo, quindi, derese. Inerezze nelle misure eseguie on onaori L obieivo è di pervenire ad una inerezza sulla misura a parire dalle inerezze sul numero di oneggi N e sul periodo del segnale di lok. Seondo l approio deerminisio si suppone di onosere esaamene l inervallo δ in ui sono preseni i valori veri di N e di. Daa una relazione funzionale ra il misurando y ed n variabili (grandezze da ui y dipende) y = f ( 1, 2,, n ) (4.16) l approio deerminisio afferma he l inervallo δ si oiene mediane la seguene relazione: f f f δ y = δ + δ δn n (4.17) La somma (4.17) non è un inervallo on un livello di fiduia, ma è l insieme dei valori ra i quali è il misurando; il valore assoluo, pur ignorando il segno sulle singole inerezze, garanise di raare il aso peggiore. Appliando quesa legge alla f nella (4.2) si riava: δ f δ N N = + 2 δ (4.18) ed in ermini relaivi: δ f δ N 1 N δ δ N δ = + = + f f f N 2 (4.19) È possibile noare he l inerezza relaiva è daa dal onribuo di due ermini: quello dovuo all operazione di oneggio e alla sabilià del lok.

10 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 55 m a) N=9 m b) N=10 m ) N=9 - figura Si è già deo he il empo di gae m non è, in generale, un muliplo inero di, a ausa delle diverse ondizioni he si possono verifiare. La figura 4.8 ripora aluni dei asi di indeerminazione sul oneggio ed evidenzia he ques ulima è al più di una unià. Risula quindi: δ f 1 δ = + f N (4.20) Nel aso di singola misura, l inerezza da aribuire al misurando è quella relaiva a ±1 oneggi. Infai, se il valore leo è proprio il numero N di oneggi, ad esempio N=9, sapendo he al più si sbaglia di 1 oneggio, allora il misurando sarà ompreso ra N=8 ed N=9, oppure ra N=9 ed N=10. Per quano onerne il seondo onribuo i si affida alla sabilià del lok, he se non ermosaai, presenano valori dell ordine di ermosaai la loro sabilià si aesa inorno a , menre se Si osserva he non è uile aumenare la risoluzione di misura quando l inerezza assoiaa al oneggio ha lo sesso peso dell inerezza assoiaa al lok, he rappresena, in queso aso, il limie inferiore per la risoluzione.

11 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 56 Valuando l inerezza nella misurazione del periodo, si risonrano re onribui, due simili ai preedeni (errore di oneggio e sabilià del periodo ampione) più un erzo legao al rumore sul segnale di ingresso. Complessivamene si riava: δ 1 δ 2 = + + N e (4.21) dove si riorda he vale N M =. q In queso aso, m non è un muliplo di un inervallo generao da iruii dello srumeno di misura a parire da un segnale inerno, bensì un muliplo del periodo del segnale di ingresso. Quese ondizioni favorisono l insorgenza di inerezza perhé sul segnale di ingresso può essere presene un disurbo quale uno spike, ome in figura 4.9, he alera al orrea oorrenza degli impulsi he sandisono la fine di un periodo. e V in V n α P - figura Peggiore è il rapporo segnale rumore e maggiore è l inerezza sul prodoo. Analiiamene, l enià dell inerezza legaa alla presenza di rumore (figura 4.9) è daa da: = V ogα = e n Vn dv d in p (4.22) nell ipoesi he il passaggio per lo zero on pendenza posiiva sia sao selo ome eveno per la generazione degli impulsi. Il senso di ale onribuo legao al empo e deriva dalla possibilià he ommuazioni spurie legae al rumore aivino segnali di sar o di sop, alerando il numero di oneggi e pregiudiando la bonà della misura.

12 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 57 Si osserva he queso onribuo è minimo quando è massima la derivaa del segnale; quesa ondizione si verifia, per una sinusoide, in ui i puni in ui la forma d onda inonra l asse dei empi. Più in generale, il livello preselo, deo anhe di rigger, è quello he massimizza la derivaa e he permee, quindi, di ridurre il onribuo di e. L aleaorieà del rumore impedise di pensare ad una ompensazione delle inerezze legae ai segnali di sar e sop. Misura di un inervallo di empo Per misurare un inervallo di empo è neessario definire due ondizioni, o eveni, rappresenaivi dei due isani he ne sabilisono l inizio e la fine. Quese ondizioni sono sele in modo opporuno e in funzione delle grandezze fisihe he pareipano alla definizione dell inervallo di empo he si vuole misurare. Per misurare, ad esempio, il empo he oorre ad un segnale elerio per propagarsi lungo un avo di lunghezza L, è possibile segliere ome inizio dell inervallo di misura l isane in ui il segnale inizia a propagarsi (primo eveno) e ome fine dell inervallo l isane in ui il segnale ha raggiuno il puno a disanza L (seondo eveno). Per rionosere il verifiarsi di un eveno è neessario assoiare ad esso una o più informazioni, legae ra loro anhe da ondizioni logihe. Nel nosro esempio, è possibile assoiare ad enrambi gli eveni due informazioni: passaggio per un livello di ensione (ondizione A) on una era pendenza (ondizione B). Se si appliano due sensori, S 1 ed S 2, rispeivamene nei puni di asissa =0 ed =L, puni he individuano l inizio e la fine della propagazione, allora la misura inizierà quando si verifia l eveno C=(A and B) sul segnale presene su S 1 e erminerà ol verifiarsi di C su S 2. V 1 Condizionameno del segnale V 2 lok ~ Condizionameno del segnale Condizionameno del segnale di lok sar sop Conaore Display - figura

13 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 58 Lo shema a blohi di uno srumeno usao per misurare un inervallo di empo è riporao in figura 4.10 dove i due blohi di ondizionameno del segnale onsenono di definire le ondizioni per il verifiarsi dei due eveni, uno sul segnale V 1 e l alro sul segnale V 2. Il verifiarsi dell eveno sul V 1 deermina la generazione del segnale di sar dando inizio al oneggio degli impulsi di lok; il oneggio, e quindi la misura, proede fino a quando si verifia l eveno generao sul anale 2 he ne deermina la fine mediane il omando di sop. - figura L inervallo di empo misurao è: τ = q N (4.23) dove N è il numero di impulsi oneggiai e è il periodo del segnale del lok. La risoluzione assolua è dunque τ= menre quella relaiva è τ/τ= / τ. Dee δ, δn=1, e,sar = e,sop = e, rispeivamene le inerezze su, su N, sullo sar e sullo sop, l inerezza relaiva, nell ipoesi he non siano preseni alri onribui, risula pari a: δτ τ 1 δ 2e = + + N τ (4.24)

14 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 59 Per migliorare la risoluzione, esisono opporune soluzioni iruiali apai di prolungare di un faore noo l inervallo inognio da misurare. Si faia riferimeno, ad esempio, al iruio RC di figura 4.12, omprensivo di un inerruore he al omando di sar e di sop deermini rispeivamene la aria, on osane di empo R 1 C, e la saria, on osane di empo R 2 C, del ondensaore C, on R 2 =1000R 1. R 1 E B C s( sar ) E B s( sop ) R 2 - figura Supponendo il ondensaore inizialmene sario, le equazioni he desrivono la aria e la saria del ondensaore sono: RC 1 Varia, ( ) = EB 1 e per 0 τ τ RC saria, ( ) aria, ( τ) B B 2 ( ) V = V + E e E τ (4.25) (4.26) dove E B è l ampiezza di un segnale oninuo viso dal iruio RC. Dimensionando il iruio in modo he R 1 C»τ, le relazioni preedeni, per pioli valori di, si srivono: ( ) Varia, = EB RC 1 τ V ( ) = ( V ( τ ) + E ) 1 E RC saria, aria, B B 2 (4.27) (4.28) da ui, per =τ, si ha:

15 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 60 V aria, ( ) τ = τ EB RC 1 (4.29) τ V = 0 V E = 0 RC ( ) ( τ ) saria, aria, B 2 (4.30) da ui: RCE R = τ + τ = τ + τ = τ τ RCE R * 2 B 2 1 B 1 (4.31) V (τ) τ 1000τ * - figura La soluzione proposa è pariolarmene vanaggiosa quando aade he il valore di τ da misurare è più piolo di, e ioè quando si desidera misurare un inervallo di empo inferiore alla risoluzione disponibile. Il risulao finale è: 1000 τ = N q τ = N q 1000 (4.32) ed il vanaggio risiede nel migliorameno di mille vole della risoluzione preedene: /1000. Misura di sfasameno ra due segnali isofrequenziali La misura dello sfasameno ra due segnali isofrequenziali si effeua misurando l inervallo di empo, τ, he si verifia ra due passaggi per lo zero on le sesse pendenze e onseuivi. Noo il periodo dei due segnali, si applia la noa relazione: ϕ = 2π τ (4.33)

16 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 61 È evidene he per una ale misura oorrerà eseguire due operazioni: la misura del periodo e dell inervallo emporale τ. τ - figura In ermini di oneggi si può srivere: N N ϕ = 2π = 2π q M M (4.34) Nell ipoesi di sabilià dell osillaore è leio semplifiare nella (4.34) i due ermini, ovvero è neessario supporre he nel empo in ui si sono effeuae le misurazioni non sia variao il periodo del lok (sabilià a breve ermine). La risoluzione assolua è legaa sia alla variazione di N sia alla variazione di M, ma le informazioni non possono essere separae; esse saranno invee ollegae seondo la relazione: N ± 1 N ϕ = 2π M ± 1 M (4.35) Nel aso di ipoesi peggiore, ioè inremeno uniario al numeraore e deremeno uniario al denominaore, la risoluzione assolua si alola ome: N + 1 N M + N 1 1 MN ϕ = 2π = 2π 2π 2 = + = 2 M 1 M M M M N M M N = 2π + = ϕ + M M N M N (4.36)

17 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 62 La validià del penulimo passaggio nella (4.36) è affidaa alla ragionevole ipoesi he M»1, in quano in ogni periodo vengono onsiderai un numero elevao di oneggi. Si osserva he 1/M e 1/N sono le risoluzioni relaive delle misurazioni rispeivamene di τ e del periodo, perano la risoluzione assolua della misura di sfasameno è daa dal prodoo dello sfasameno per la somma delle risoluzioni relaive delle due misure. L inerezza relaiva assoiaa a quesa misura vale: ( ) 1 1 2e1 2e2 δ ϕ ϕ = N M τ (4.37) dove sono riporai i onribui delle inerezze relaive ai oneggi e al rumore presene sia durane la misurazione di τ, sia su quella di periodo. L inerezza assolua è riavaa molipliando l inerezza relaiva per ϕ, ed è pari a: δ ( ϕ ) = risoluzione assolua + ϕ τ e1 e2 (4.38) Ciruii presaler La frequenza del segnale di lok per la maggior pare degli srumeni di uso omune è dell ordine delle deine di megaherz, poihé per quese frequenze si rovano in naura osillaori molo sabili. Ciò osiuise un limie in frequenza per i segnali da analizzare giahé non è possibile misurare, senza alre soluzioni iruiali diverse da quelle già vise, una frequenza superiore a quella del segnale di lok. Un alro limie è osiuio dalla risoluzione: usare per una misura di periodo, ad esempio, un riferimeno di frequenza f =10MHz signifia aonenarsi di una risoluzione pari a =100ns, osa he non sempre può essere aeabile. Per segnali a frequenze molo ale si uilizzano apposii iruii dei presaler, he effeuano la divisione in frequenza del segnale di ingresso. Dea f la frequenza del segnale inognio, essi ripropongono in usia la sessa forma d onda del segnale in ingresso, ma on frequenza pari a f /M. Il nuovo segnale viene raao dai onaori nel modo già illusrao in preedenza ed il

18 CAPIOLO 4 Misurazioni nel dominio del empo Pagina 63 risulao, espresso in ermine di periodi, viene molipliao per M al fine di non perdere la ongruenza on il segnale originario. Per la misura di frequenza la divisione per M deermina una riduzione della risoluzione; per ovviare a queso problema si allunga il empo di misura proprio di M periodi: in queso modo sono oneggiai lo sesso numero di impulsi he sarebbero sai visi nella finesra emporale prima della divisione in frequenza.