Il problema didattico dei numeri reali.

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1 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Calo Machii Il oblea didattico dei ei eali. Ati delle lezioi di Didattica della Mateatica II e la Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio. Il etodo deli eleeti ideali. La Mateatica si è tovata sesso elle codizioi di cecae di isolvee oblei e di o avee steti idoei e alo, o solo, a di avee ache ovato che tali steti o otevao esistee. Richad Dedekid Volta a volta soo state tovate solzioi aziali e, di coseeza, itodotti ovi cocetti. Bisoa asettae la secoda età del XIX secolo Dedekid e avee iadaeto eeale. Il oblea che etta lce s ttta a seie di alte alicazioi è la deteiazioe del Massio Coe Divisoe M.C.D. i abieti aelli i ci o c'è. Dedekid si accoe che dati de eleeti ivece di cecae eleeto dell'aello che svole il olo di M.C.D. e che i ceti casi o esiste si ò sostae l'attezioe al "M.C.D." di de sottoisiei aticolai dell'aello che svoloo il olo di eleeti ideali, isetto al oblea idicato. A tali isiei viee isevato il oe di ideali. Ricodo la deiizioe di aello: è a sttta alebica deiita s isiee o voto A ediate l'idividazioe di de oeazioi biaie, deotate isettivaete co i siboli e, 'oeazioe aia, " " ed eleeto ivileiato, idicato co "0"; tali dati devoo soddisae oi le seeti codizioi ostlati: - L'oeazioe di addizioe è associativa:,y,z yz yz. - L'oeazioe di addizioe è cotativa:,y y y. - L'eleeto 0 è eto isetto all'addizioe: 0. - L'oeazioe oisce l'oosto: 0. - L'oeazioe di oltilicazioe è associativa:,y,z y z y z. - L'oeazioe di oltilicazioe è distibtiva a desta e a siista isetto all'addizioe:,y,z yz y z;,y,z y z zy z. Ci soo oi iotati classi di aelli: li aelli cotativi, cioè elli i ci ache l'oeazioe di oltilicazioe è cotativa, li aelli itai, cioè elli i ci esiste lteioe eleeto ivileiato, deotato solitaete co che è eleeto eto isetto alla oltilicazioe, cioè tale che. U'alta classe iotate è costitita dai doii d'iteità o doii iteali o alti teii aalohi, essi soo aelli i ci vale la lee di allaeto del odotto:,y y 0 0 y 0. No è i il loo e oie alti dettali. S alsiasi testo ivesitaio di Aleba si ossoo tovae esei di aelli delle vaie classi iteessati. Sia A aello. U sottoisiee H A si dice ideale bilateo se chiso e addizioe e stabile e oltilicazioe, cioè:,y H y H e A, y H y H y H. - -

2 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Ovviaete se eleeto dell'aello è il M.C.D. di de eleeti dati, esso eea l'ideale M.C.D. deli ideali eeati dai de eleeti. I esto ocedieto è eiato coe cootasi i vai casi i ci o è ossibile isolvee oblea: si sosta l'attezioe dal oblea ad isiee costito a atie da esso e, i sostaza, si adoea il oblea stesso coe solzioe del oblea. Pe eseliicae soeiaoci sl oblea dell'itodzioe dei ei itei a atie dai ei atali... Poblei isolbili co i ei atali. I ei atali hao a sttta assai colessa e icca che tttavia o è siciete e oie isoste a vai oblei, ad eseio la ossibilità di isolvee eazioi di io ado. Ua ate dei oblei isolbili ei ei atali si isolve cosideado i ei itei elativi, obabilete ati elle bottehe dei coeciati, iù che eli stdi dei ateatici. La colessità dei aoti ecooici ha ichiesto steti e distiee ta debito e cedito. Fose le cose o soo adate solo così. Nella Mateatica eca, la iù svilata del odo atico, o si tova eslicito ieieto a atità eative, azi sl testo di Eclide veoo isolte e via eoetica le eazioi di secodo ado distiedoe vai casi: a b c, a c b; a b c, ciasco dei ali ha etodo isoltivo oio e i ci i "coeicieti" soo ositivi eché soo, a eo, b a lhezza, c 'aea. Bisoa asettae li stdi deli aabi, a acoa iù elli deli alebisti italiai ta Medioevo e Riascieto, e tovae che i ei itei elativi veoo tattati alla stea di ei, ache se cootae coe ei atità eative e oi iazioali, iaiai ha icotato vai tii di diicoltà, coeso elle del vesate ilosoico. Attibie ali itei elativi la sostaza di ei ò siiicae divese cose. La ia, che è chiao cosa vol die essee eo, de che c'è citeio e decidee se ete è oe o è eo. Il eo idi asse il olo di a ova cateoia del esieo. Dato aello cotativo A sia a A. Si dice ideale iciale eeato da a l'isiee a {y a a y A }. Si diosta che si tatta di ideale. I tale caso a si dice eeatoe di a, a attezioe o stesso ideale iciale ò avee iù di eeatoe, ad eseio i, 3 e -3 eeao etabi 3. Se l'aello è itaio basta oe a {y a y A}. U aello cotativo si dice aello a ideali iciali, se oi so ideale è iciale. U eseio iotate è la sttta di aello s Z, co le odiaie oeazioi di addizioe e oltilicazioe. I oi aello è acile vedee che a b se e solo se b a, di i si dice ache che a b o che b è ltilo di a e esta teioloia viee estesa ad ideali ale, H,K, e ci H è ltilo di K se H K. Qidi dati de ideali H e K i ale aello H K H e ache H K K ed iolte oi ideale J tale che J H e J K, si ha J H K, e esto H K è detto.c..h,k. Si oe oi M.C.D.H,K coe il iù iccolo ideale, se esiste, che cotiee H e K. Esso è dato da {h yk,y h H k K} e si ova acilete che si tatta di ideale, ello che, i ceto seso, ò esasi aaloo all'ioe a ell'isiee deli ideali, dato che è ideale che cotiee sia H che K ed è coteto i oi ideale che cotiee sia H che K. I o i oi alto aello a ideali iciali, il.c..h,k e il M.C.D.H,K soo li ideali iciali eeati, isettivaete dal.c.. e dal M.C.D. dei eeatoi isettivi di H e K. - -

3 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio A e o islta che l'aalisi ilosoica del cocetto di eo abbia oito tale citeio alicabile ai ei itei elativi o alti ei. Il eo atecia alla cateoia della atità e idi i ei eativi, azioali, iazioali, iaiai edoo tale cootato. La secoda, che ivece di osi ia il oblea della loo ata, al cotaio si deiiscoo ta esti eti oeazioi e elazioi, i iea soiliaza co ato avviee co i ei atali. Solo a osteioi, visto che le oietà che valoo e le oeazioi ta ei atali valoo ache ta esti ovi eti, si estedeà il cocetto di eo ededo o elio estededo il cootato atitativo e coedee esti eti così itodotti. I eeale esto saà il citeio e decidee se le cose di ci si ala ossoo assee allo Hea Hakel stato di ei. Azi si estede ai ei itei elativi, e ato è ossibile, ttto ciò che si è detto e i ei atali Piciio di cosevazioe delle oietà oali, di Hakel. No c'è solo odo e itode i ei itei elativi, eché o è ico il oblea che esiede alla loo "ascita". La stada iù selice e itode i ei itei elativi è ella "eoetica" di esali coe i ei co il seo; si tatta cioè di coiee a sota di ilessioe seclae attoo allo 0, e associae ad oi eo ello che si ottiee col seo eativo " ". Di esto ocedieto di sietizzazioe è iasta taccia el atto che talvolta il eo ede il oe di sietico di. Si ò istiicae esta costzioe coe otteta olado la "seietta" dei ei atali ad a etta. Qesto ocedieto eò è ad hoc, seve solo e itode i ei itei elativi. Si vole avee ivece etodo eeale, alicabile ache ad alti cotesti, col ale aivae allo stesso isltato. U alto etodo è ello di cosideae sostaeti lo a etta oietata vettoi... Asetti eeali del etodo eleeti ideali. La stateia che si seià, iù ie e iù ateatica, è ella del cosiddetto etodo deli eleeti ideali. L'idea è selice. I Aitetica eleetae ed i alti cai ateatici ci soo oblei che si ossoo isolvee ed alti che è iossibile isolvee. Ad eseio, se Lii ha 5 atite e e ede 3, liee estao. Ma se lo stato italiao ha iliadi e sede iliadi, ati iliadi estao? Coe si vede esto oblea otà tovae solzioi olitiche, o ateatiche. U eseio diveso, che ota ad alto tio di solzioe, è coe dividee i ati eali ta 3 eedi 9 caelli. La Mateatica oteia i esiti co a tovata selice ed eicace: asse coe solzioe del oblea, che eò o ha solzioe, il oblea stesso. A esto to scatta la doada di - 3 -

4 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio coe ciò sia ossibile. I oblei o soo ei, aleo iché o si iescoo a coiee alce oeazioi eleetai si oblei. Ua volta atto ciò o si vede eché o sia ossibile assee il oblea stesso coe eo. Le codizioi eché il etodo deli eleeti ideali ossa oie isltati tili soo le seeti: Fissae tio ooeeo di oblei. Reiteetae li eleeti del cotesto di ateza, coe esei di oblei del tio issato. 3 Idetiicae i odo ooto, oblei dello stesso tio che avebbeo la stessa solzioe, aloa essa esistesse. Peciò bisoa esibie a elazioe di eivaleza. Qesta elazioe deve idetiicae i odo coetto ache i oblei di el tio che ivece hao la stessa solzioe. Le classi di eivaleza diveoo li eleeti ideali che si desideao otteee. Stttae coveieteete i oblei, elio le classi di oblei, cioè li eleeti ideali, co oeazioi e elazioi, se si volioo otteee dei ei, o, iù i eeale, co a sttta siile a ella che esiste el cotesto da ci i oblei soo esi. 5 Sceliee la sttta i odo tale che i oblei che el cotesto ecedete o avevao solzioe oa l'abbiao e che i oblei che avevao solzioe oa o e abbiao di ove. Ma bisoa che oblei dello stesso tio, el ovo cotesto, abbiao see solzioe. 6 Dae ioità, i teie tecico 'estesioe, ta il cotesto da ci il oblea è soto e ello otteto co l'aita deli eleeti ideali. Qesto etodo è tilizzato aiaete i Mateatica. Ad eseio seve e tovae - solzioi di eazioi alebiche che o siao isolbili, - i ti di icoto delle ette aallele, - i liiti di sccessioi che o hao liite, - il assio coe divisoe di eleeti o è detto ei, ado esto o c'è ed è esta la vea oiie del etodo ed alti acoa.. I ei itei elativi col etodo deli eleeti ideali. - -

5 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio.. I oblei di sottazioe. Pe otteee i ei itei elativi a atie dai ei atali, si alica esto oaa alla classe di oblei di sottazioe ei ei atali. - Il to è sbito soddisatto: la classe dei oblei è ella che ichiede di calcolae la dieeza ta e, o i alte aole, di sottae a, oe ato bisoa aiee a e otteee, o acoa, di isolvee l'eazioe, dove, soo ei atali e saee che l eazioe o ha solzioe i. U odo abbeviato e aesetae il oblea è scivee i dati. Ma, attezioe, è bee issae odie, i ato o è lo stesso calcolae la dieeza ta e e calcolae la dieeza ta e. Pe ae ciò soo disoibili le coie odiate. Il oblea si ò scheatizzae co la coia odiata, che è eleeto eale di, a che el seito saà tattato coe eo ideale. Il esto del oblea è sottiteso. Fose la esetazioe del oblea coe coia odiata di ei atali a esse eo scettici slla iscita del oaa idicato. Iatti tali coie odiate hao asetto iù ailiae e coceto, iù attiete al cotesto eico, aleo iù di ato o lo siao le aole "calcolae" "dieeza", che eò soo le stesse e ttti i oblei del tio issato. Attezioe, se la solzioe del oblea è il oblea stesso, alloa dalla deiizioe di dieeza si ha,, elazioe esta baalete soddisatta ado la dieeza ta e si ò eseie, a che accettiao teoaeaete, ache se del ttto iva di seso, dato che o è detto cosa sia la soa di eo atale e di oblea. - Il to chiede di associae ad oi eo atale oblea. Ciò è sbito atto associado al eo atale il oblea,0, i ci si chiede di calcolae la dieeza - 0, che è. Qesto odo è olto eiciete, a o è l'ico e otteee lo scoo, ad eseio si otteebbe lo stesso isltato idetiicado co,, co abitaio... La elazioe di eivaleza. Pe soddisae il to 3, si itodce a elazioe di eivaleza. Si cosideio de oblei:,,,. Se essi osseo isolbili, alloa esisteebbeo h, k tali che h e k. De si ò scivee, alaete, a i odo sestivo,, h,, k, oe,,,. Qesto tio di scitta si estede ache ai oblei che o hao solzioe. I esso c'è a evidete scoettezza: l'addizioe saebbe ossibile solo se osse ià oto che li eleeti ideali soo ei, o al iù che è ossibile deiie l'addizioe, idi si ossoo soae ai ei ià oti

6 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Ttta esta aoetazioe è aioaeto eistico, o a diostazioe: si a ita che ciò che si sta cecado sia disoibile e se e stdiao le oietà, co la seaza che este cosideazioi otio oi ad aeazioi che escidao dali eleeti ideali. Qado de oblei hao la stessa solzioe, ache se o esiste, si ha,,. Pesa oa l'ealiaza, e soado ad etabe i ebi si ottiee,,,,, de, a eo delle oietà associativa e cotativa della addizioe. Si oti che est'ltia esessioe o a iteveie eslicitaete le solzioi dei oblei, aesso che esistao, a solo i dati dei oblei asseati, idi el osto caso, ei atali, oeazioi l'addizioe ta ei atali e l'ealiaza dei ei atali. A be adae esta elazioe, el seito idicata co è la elazioe di eivaleza cecata. - Essa è ilessiva: dato eeico oblea,, si ha,,, i ato e la oietà ilessiva dell'ealiaza,. - Essa è sietica: se h,,, alloa h, a e la oietà sietica dell'ealiaza, h, cioè, h,. - Iie è tasitiva: sia,,, h,k ciò siiica k h. Soado ad etabi i ebi della ia ealiaza il eo atale k, si ha k k. Il secodo ebo, i base alla secoda ealiaza, si ò scivee k h. De k h da ci e la lee di cacellazioe dell'addizioe, k h. Ciò eivale a, h,k. Avedo a elazioe di eivaleza, si cosidea l'isiee oziete, cioè l'isiee delle classi di eivaleza / che si deota co il sibolo. Gli eleeti di soo le classi [,]. La elazioe di ealiaza e le classi è dedotta da ella di eivaleza el seso che [,] [,k] sse,,k sse k. La scitta delle classi, i esto caso seciico o è olto cooda é sata el seito, e ci si eeisce lavoae si sioli oblei. Resta da ovae che cosa cooti la elazioe di eivaleza si oblei associati ai ei atali:,0,0 se e solo se 0 0, cioè : l'eivaleza si idce i tal caso all'idetità, eciò o "coode" i ei atali, o elio i oblei ad essi associati. Se oi,,k e soo ei atali tali che esistao - e k - e siao eali, alloa da - k -, soado ad etabi i ebi, si ha k, ato, k,..3. Stttazioe aitetica dei oblei di sottazioe. Il to ichiede di deiie la sttta si oblei. Ciò siiica seliceete che si deiiscoo le oeazioi e le elazioi - 6 -

7 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio che ià soo eseti el cotesto di ateza, i ei atali. Ache i si istiica l'itodzioe, co aioaeti eistici, teedo coto che si vole che i oblei si cootio coe ei e idi si ossao cosideae oeazioi ta essi e i "vecchi" ei atali..3.. Addizioe. Pe l'addizioe, si cosideio i oblei h, e,; la loo soa è oblea, che e il oeto si idica co h,, di ci si coosce solo che soado ad esso, si ha: h,, h,, h. Petato il oblea h,, è ello dato asseado h e, vale a die h,, h,. Qesto seieto è stato tovato acedo so, è bee ossevalo, delle oietà cotative ed associative dell'addizioe che o è acoa deiita. Peché eò esso ossa essee eettivaete eicace si devoo cotollae, azi diostae, alce cose. La ia, odaetale: visto che o iteessa il siolo oblea, a la classe di oblei eivaleti, bisoa che la deiizioe data sia ella di 'addizioe slla classe dei oblei, o si sioli oblei; vale a die se h, k,,,s, cioè h k s, alloa h,, k,,s. Ciò siiica h, k, s. Ma si ha h s h s k k. Riadado il io e l'ltio ebo della catea di ealiaze, si diosta h, k, s e, si oti, seza sae li eleeti ideali. Povato ciò, si vede acilete che l'oeazioe di addizioe è cotativa: h,, h, h,, h,. I odo aaloo si ova l'associatività: h,, k,s h, k,s h k, s h k, s, h k,, h, k,s. La coia odiata 0,0, ella associata atalete al eo atale 0, è l'eleeto eto isetto all'addizioe:, 0,0 0, 0,..3.. Moltilicazioe. Pe la oltilicazioe le cose soo oco iù colesse. Dati i oblei,s e,, il loo odotto saà oblea, e il oeto idicato co,s,. Da s,s,, oltilicado etabi i ii ebi ta loo ed i secodi ebi ta loo, si ha: s s,,s,s,. Soado ad etabi i ebi di est'ltia ealiaza il odotto s, si ha: s, s s,s,s, s,s,. Qidi il oblea,s, soato a s dà il eo atale s. Tali cosideazioi eistiche seiscoo di deiie,s, s, s. E' da ovae che la deiizioe di oltilicazioe o diede dali - 7 -

8 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio seciici oblei scelti, a che essa vale e oblei eivaleti. Se,s h,k e,,, si ova che,s, h,k,, vale a die s, s h k,h k. Si tatta di ostae che s h k h k s. Ovviaete si sttao le iotesi,s h,k e,, che oiscoo k h s. Moltilicado ta loo, isettivaete, i ii ed i secodi ebi di este ealiaze si ha k h s, da ci, co selici calcoli, k k h s h s, idi k h s h s k, da ci h k s h s k. Soado ad etabi i ebi di est'ltia ealiaza k s si ottiee, doo alche assaio aitetico, h k s h k s s k. Ma il io ebo della si scive coe h k s h k s h s k s k s h k s k. Il secodo ebo della si ò scivee coe h k s s k h k s s k. Ealiado le esessioi tovate del io ebo e del secodo ebo della si ha, s h k s k h k s s k, da ci, e cacellazioe dell'addizioe, s h k h k s, idi s, s h k,h k coe ichiesto. Coe si vede la deiizioe dell'addizioe è olto iù selice di ella della oltilicazioe, a ciò è dovto alla ata del oblea sato e itode i ei itei elativi. Si devoo ostae le cosiddette oietà oali. Pe la cotativa si ha,s,h s h, h s h s, s h,h,s. L'associativa è iù colicata:,s,h, s h, h s, s h h s, s h h s h s s, h h s,s h, h,s,h,. La coia odiata,0, il oblea associato al eo atale, è l'eleeto eto isetto alla oltilicazioe:,,0 0, 0,. La coia 0,0 è eleeto assobete isetto alla oltilicazioe:, 0,0 0 0, 0 0 0,0. Vale oi la oietà distibtiva della oltilicazioe isetto all'addizioe:,s, k,,s k, k s, k s k s k, k s k k s, k s k, k,s k,, k,. Vale la lee dell allaeto del odotto: [,] [h,] [0,0] sse [,] [0,0] [h,] [0,0]. Si asse e iotesi 0,0, h,. Ma, h, h, h, - 8 -

9 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio idi da 0,0 h, h da ci si ottiee 0 h h 0, cioè h h. Soo ossibili de casi:, vale a die [,] [0,0], oe, vale a die che [,] [0,0]. Nel io si è ià coclsa la lee di allaeto del odotto. Nel secodo,, si ha: < oe <. Nel io caso, <, si ò scivee k, co k 0. Sostitedo ell'ealiaza ecedete si ha h k h k, da ci sttado le oietà distibtiva cotativa, associativa delle oeazioi eseti, si icava h h k h k. Usado le lei di cacellazioe dell'addizioe e della oltilicazioe si ottiee h, cioè [h,] [0,0]. I odo aaloo si ie alla stessa coclsioe el caso <. Vicevesa se [,] [0,0] [h,] [0,0], alloa, data l'ivaiaza della oltilicazioe isetto alle classi, sia ha i caso 0,0 h, 0 h 0,0 0 0,0 ed aaloaete ell'alto. La lee del odotto itaio vale co a odiica: [,] [h,] [,0] sse [,] [,0] [h,] [,0], oe [,] [0,] [h,] [0,]. Pe iotesi si asse,0, h,. Ma, h, h, h, idi da,0 h, h si ottiee h h 0, da ci h h. Pe la lee di allaeto del si ha [,] [0,0], codizioe che si ò esiee scivedo. Soo ossibili de casi: < <. Nel io, <, si ò scivee k, e ooto k 0. Sostitedo ell'ealiaza ecedete si ha h k h k, da ci sttado le oietà distibtiva cotativa, associativa delle oeazioi eseti, si icava h h k h k. Usado le lei di cacellazioe dell'addizioe si ha h k k. See e la lee del odotto llo, si ha [h,] [0,0] idi h, e ci h < < h. Se osse h <, alloa h, e ooto 0, idi da h k k si ha h k h k k, da ci e la lee di cacellazioe dell'addizioe, k. Ma il odotto di ei atali è se e solo etabi soo, e ci si ha k, idi e h. Qeste ltie ealiaze esioo, i alti teii, le ealiaze [,] [0,] e [h,] [0,]. L'alto caso, < h, coota h, e ooto 0, a da h k k si ha k k k. See e la lee di cacellazioe dell'addizioe, k 0 e da i assdo, dato che e la lee della soa lla si ha 0 k 0. Qidi sotto l'iotesi < è ossibile avee solo h <. Il caso < è del ttto aaloo, a ate lo scabio della ia cooete co la secoda, e co esta iotesi si ha < h e [,] [,0] e [h,] [,0]

10 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio.3.3. Relazioe d odie. Ta i atali è deiita la elazioe, che ha alce iotati oietà. La ia che e oi si ha see <. Poi si tatta di odie lieae o totale, vale a die e oi,y si ha < y oe y oe y <. Iolte l'odie è disceto cioè e oi,y se y, si ha y oe y. Qesta elazioe deve avee 'aaloa ta i oblei. Aeae che,, vol die che la dieeza ta e, se ci osse, saebbe ioe della dieeza ta e. Ma se ad etabi i ebi della disaliaza si aie, si ottiee,,, da ci, codizioe i ci o coaioo li eleeti ideali. Pe avee aazie di ave scelto la ista codizioe, si ova che o diede dai oblei, a dalle classi di eivaleza. Se s,, h,k,, vale a die s h k, ed è s, h,k, alloa s k h. Soado ad etabi i ebi della disaliaza, si ha s k h. Il io ebo si svila coe s k s k h h. Si ha alloa h h. Di i, e la ootoia dell'addizioe,, vale a die,,. E' abbastaza selice diostae oa che la elazioe così deiita è d'odie: è ilessiva s, s, dato che s s ; è atisietica a eo di eivaleza: se,s,,,s, alloa s s, da ci s, cioè,s,; è tasitiva: se,,, k,s, alloa s k, soado ta loo i ii ebi ed i secodi ebi, si ha s k da ci, see e la ootoia dell'addizioe, s k. La elazioe d'odie è lieae: date le coie odiate s, e,, cosideate le soe s e, si ha s oe s, de s,, oe, s,. E' iteessate ossevae che e oi,, si ha 0, 0,0,0. Se oi,, da, si ha 0 0, idi,0,0, iotteedo così l'odie si atali. Di i si deiisce oi la elazioe d'odie stetto oedo s, < h,k, se s k < h. E' acile ossevae che s, < h,k se e solo se s, h,k e le coie o soo eivaleti. Co este ichieste si ha s, < s,,0, i ato s,,0 s,0 s, e s < s e le oietà di ootoia dell'addizioe i. Di i si ottiee che o c'è il assio, dato che è see ossibile deteiae eleeto aioe. Si ossevi iolte che s, 0,,0 s,,0 s, s,, idi s, < s,, idi o esiste ee il iio

11 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Pe ovae che l'odie è disceto, date le de coie odiate, e s, se si ha, s,,, si ha e s. Ma l'odie s è disceto, idi s oe s, vale a die, s, oe s,,... Risolzioe dei oblei isolbili. Il to 5 ichiede che si debba tovae solzioe ache e i ovi oblei dello stesso tio, i ci iteveao i ovi eleeti. Pe il caso che iteessa, dati de oblei k,s e,h si deve ote "sottae" il secodo al io. Ma esto è a sa volta oblea idicato co la scitta k,s -,h. Pe il oeto o lo si sa isolvee, tttavia aloa abbia solzioe, essa sia tale che k,s,h k,s -,h. Soado ad etabi i ebi s h, si ha k,s s h,h k,s -,h s h; di i si ò scivee k h s k,s -,h. Il seieto è che k,s -,h k h, s. I esto odo si ha,h k h, s k h,h s k,s, coeado i tal odo la scelta della dieeza, tilizzado eò i odo esseziale l'eivaleza. Iolte la coia k h, s ò essee scitta coe a soa: k h, s k,s h,. I esta scitta iteviee ovo "esoaio", la coia odiata h, otteta da,h scabiado le coodiate. Essa eita oe aoiato: veà detta l'oosto di,h e deotata co,h, che si ottiee scabiado le coodiate. L'aticolo deteiativo è istiicato ache dal atto che se,h,, alloa si ha h, idi è e h, vale a die h,,. De la scelta dell'oosto o diede dal oblea, a dalla classe di oblei. L'oosto ha la oietà seete:,h h, h,h 0,0. La eseza dell'oosto ha il ade vataio di ae scoaie il oblea iiziale. Iatti e isolvee oblei di dieeza, avedo a disosizioe l'oosto, la dieeza di de oblei è la soa del io co l'oosto del secodo: k,s -,h k,s,h, idi la dieeza è icodotta all'addizioe. Si ha oi: 0,0 0,0,,0 0, e 0,,0. Pe ato detto soa o c'è bisoo di ovae che la dieeza o diede dai oblei scelti, a dalle classi di oblei coivolte, i ato soo idiedeti dalle classi sia l'addizioe che l'oosto. Pe coletae il to 5 bisoa ovae che se si cosideao de ei,, tali che esista la dieeza -, la dieeza ta i oblei ad essi associati oisce lo stesso isltato. Ma,0 -,0,0,0,0 0, 0, 0, -,0. Se ivece i de ei atali soo tali che il oblea di dieeza o ha solzioe i, alloa,0 -,0 - -

12 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio,0,0,0 0, 0, 0,, idi il oblea stesso è la sa solzioe..5. Iesie di i. Nel to 6 si chiede che la zioe, idicata co : che associa ad oi eo atale la classe [,0], cioè [,0], cosevi le elazioi e le oeazioi che si ossoo eseie si atali ed i loo isltati. Più eslicitaete si vole che a sse ; b 0 [0,0]; c [,0]; d ; e ; sse. La ia i ate è baale: se alloa, visto che è a zioe. Vicevesa se, alloa,0 ~,0, idi 0 0, cioè, vale a die è iiettiva. Le sccessive de ichieste soo baali, dalle deiizioi. Pe la ata si ha [,0] [,0] [,0 0] [,0]. Si ha oi [,0] [,0] [ 0 0, 0 0] [,0]. Pe la sesta, se, alloa si è visto che,0,0, idi [,0] [,0], cioè. Vicevesa se, alloa [,0] [,0], idi,0,0, da ci 0 0, cioè. I oi classe di coie odiate [,] esiste a ica coia odiata i ci aleo a delle de coodiate è 0, cioè della oa,0 oe della oa 0,, co evetalete llo e i esto odo si deteia i oi classe di eivaleza aesetate ivileiato. Iatti e la lieaità della elazioe d'odie si ei atali, si ha oe. Il io caso si tadce i, e ooto, vale a die 0, cioè, 0,; el secodo caso esiste tale che, cioè 0, idi,,0. Si ossevi oi che 0, el seso che 0,0,0, dato che Idetiicazioe dei ei atali coe ei itei Il seo -. Pe seliicae le otazioi, e oi eo atale, si oe e,0 e e 0,, l'oosto del eo atale coodedo così co ed idetiicado coe sottoisiee di. Si sao le deoiazioi di ositivi e i ei itei elativi aioi di 0, eativi elli ioi di 0. Da ato detto soa ci si ò ide a cosideae i ei scitti i esta oa. Si itoa così alla cosideazioe dei ei itei elativi coe ei co il seo. - -

13 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio La sttta che si ottiee avete e sosteo è aello cotativo itaio, azi, valedo la lee di allaeto del odotto, doiio di iteità. Dal to di vista dell'odie co il cosiddetto odie atale, è isiee totalete o lieaete odiato, ivo di iio, di assio e disceto, cioè e oi, e oi y, se y, alloa y y..5.. Cadialità di. Dal to di vista della cadialità dell'isiee, si ha che è iiito cotiee o elio a "coia" di ; a oedo,y y y y 3 y y y si deteia a zioe :. Si ova che si tatta di a biezioe. A tale scoo si cosidei a zioe h: otteta oedo h k k k a. La zioe h è deiita i odo coetto i ato l'isiee che coae ella deiizioe è isiee di ei atali seioete liitato, eciò ha assio; dalla deiizioe si ha che < h h h h. Se si oe oa e oi, h h e h -,, si ottiee : e si ha h -, 3 h h h h h h h h h h h h h h h. D'alta ate < y y y y y y y, i ato 3 y y y y y y < 3 y y y y y, sicché h,y y e,y,y -,,, y y y y y y y y y h y h y. Si ha idi

14 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio ',y h,y -,y -,y,,y -,y y - y,y,y. Si ova così che è a biezioe e è la biezioe ivesa, etato l'isiee e l'isiee hao la stessa cadialità. Poiché iolte /~ è 'iaie di, la sa cadialità o ò seae ella di. Qidi e il teoea di Cato-Schöde-Bestei, e hao la stessa cadialità. I alto odo, ose iù selice, si ò costie a biezioe ta e associado a 0, 0, ad oi eo iteo ositivo, il eo atale e ad oi eo iteo eativo k, k -. Ad eseio il coisodete di 7 è, il coisodete di è - 3. La veiica che si tatti di a biezioe è baale. 3. I ei azioali. Ua sitazioe del ttto aaloa a ella ecedete si ealizza ado si vole costie l'isiee dei ei azioali a atie dall'isiee dei ei itei elativi. Pe otteee i ei azioali si devoo soddisae le ecedeti codizioi I oblei di divisioe e aaloia co i oblei di sottazioe. La ichiesta è ella di issae il tio di oblei, cosa atta cosideado i oblei di divisioe ta ei itei elativi. Si scheatizzao i oblei acoa co le coie odiate, il oblea,k ha e solzioe ato,k, dove esto eleeto ideale deve essee tale che k,k. Co esta osizioe è il dividedo e k il divisoe. Coae idi la oltilicazioe al osto dell'addizioe. Pe ote iotteee bisoa eò che k 0, altieti e otee cosevae la lee del odotto llo, il odotto di k co l'eleeto ideale oisce solo 0. Si deliita etato la classe dei oblei cosideado le coie,k *. La ichiesta si soddisa idetiicado i ei itei elativi co i oblei che hao secoda coodiata il divisoe dato da. La selice sostitzioe della oltilicazioe al osto della addizioe oisce la ova elazioe di eivaleza, ichiesta dal to 3 delle codizioi dette el caitolo ecedete. Si ha così a elazioe di eivaleza deiita oedo,k,h se e solo se h k. Ttte le veiiche ecessaie e ovae che si tatta di a elazioe di eivaleza soo la ietizioe di elle aotate e i ei itei elativi. Qesta tecica di sostitie l'addizioe co la oltilicazioe si tilizzeà i seito ache i vai teoei. Qi si evitao le veiiche, oio eché soo selice esecizio e iete di iù. No si ietoo ee le "istiicazioi" della scelta delle elazioi e delle oeazioi, ecessaie e soddisae il to - -

15 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio, eché soo assai siili a elle sli itei elativi, co oote odiiche. I ei azioali, vale a die le classi di eivaleza delle coie odiate isetto alla elazioe si aesetao co la scitta k che viee detta eo azioale o azioe, ci i eo osto "soa" la ia coodiata della coia odiata ede il oe di eatoe, ello osto "sotto" la secoda coodiata della coia odiata viee detto deoiatoe. Si ha cioè [,k] k. Si oti la dieeza ta i oblei e le azioi, che oi è la stessa ta coie e classi di eivaleza: si ha,3 8,7 a 8. L'isiee dei ei azioali viee deotato 3 7 co il sibolo. La elazioe di ealiaza i è dedotta da ella di eivaleza: sse h k. k h 3.. Sttta aietica dei oblei di divisioe. Si oti iolte che e oi coia, * esiste a coia,s * tale che, ~,s, i ato,,, dato che e. Si deiiscoo oi a l'oosto di, deotato co, è il eo azioale k k ; k h k b la soa di e, idicata co, è il eo azioale k h k h h k c l'eleeto eto dell'addizioe, idicato co 0, è il eo azioale 0 ; d il odotto di e, idicato co, è il eo azioale ; k h k h h k e l'eleeto eto della oltilicazioe, idicato co, è il eo azioale ; la elazioe d'odie atale, k h, si oe ado h k. ; Si ò tovae 'esessioe iù "ecooica" della soa di de ei azioali acedo iteveie il cocetto di iio coe ltilo, la scitta eò ede i tasaeza. Il eo azioale, vale a die la classe di eivaleza è coe la stessa

16 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Si ha oi a oietà di icodcibilità a, cioè e oi eo azioale esiste see w *, ad eseio, il deoiatoe, a ache 5, tale che w. Coe si vede i esto cotesto la deiizioe della oltilicazioe è olto iù selice di ella dell'addizioe, a ciò è dovto alla ata del oblea sato e itode i ei azioali. Co este deiizioi si ostao le oietà sostittive della ealiaza e della disaliaza, le alte oietà oali. Cotiao a valee la lee del odotto llo, ete cade la lee del odotto itaio, coe coseeza di ato detto doo. L'ica avveteza veaete iotate è che i ei che si cosideao coe dati del oblea da ci "asce" l'eleeto ideale o è la eeica coia odiata di ei itei elativi. Ciò eché o ha seso sddividee eo i 0 ati eali. Si tatta di escldee esto caso isesato. Ciò si a cosideado le coie di * o ache di *, coe detto ia. Pe ato iada l'odie, le se oietà valide i veoo cosevate, tae la oietà che sia disceto, ci si sostitisce il atto che l'odie è deso. Si ova iatti che l'odie atale è a elazioe ilessiva, atisietica e tasitiva. Pe a vedee ciò si lavoa di eeeza slle coie odiate di * e idi si oe h,k,s se h s k. Co esta deiizioe si ova baalete la oietà ilessiva, la oietà atisietica si ova a eo di eivaleza: se h, k,s e k,s h,, alloa h s k e k h s, idi e la oietà atisietica dell'odie i, h s k, vale a die h,s k,. Iolte e oi h,k,,s,, * se h,k,s e,s,, alloa h s k e s. Moltilicado la ia disaliaza e e la secoda e k, essedo,k, si ha h s k e k s k, idi e la oietà tasitiva, h s s k e di i e la lee di cacellazioe, h k, vale a die h,k,. L'odie è lieae o totale, iatti dati, e s,h, si cosideao h e s ; l'odie i è lieae idi si ha h s oe s h, idi, s,h oe s,h,. No ci soo é iio, é assio ell'odie. Iatti si ha e oi coia odiata, *, -, <, <,. Si ova iolte che l'odie è deso: se,,,s * e, <,s, vale a die s <, alloa s ; s * e, < s ; s <,s. Iatti si ha s s s s < s s. I odo aaloo si ova che s - 6 -

17 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio ; s <,s, dato che s s < s s s. Tali oietà dell'odie si tasotao oi alle azioi. Pe ato iada il to 5, si osta coe è ossibile eseie see la divisioe ta ei azioali, azi, coe atto e li itei elativi, viee ia itodotto il cocetto di ecioco di, ché 0, idicato co k k k, coe il eo azioale e esto ota k alla "scoasa" del oblea di divisioe i ato la divisioe di de ei azioali diveta la oltilicazioe del dividedo e il ecioco del divisoe, il ecioco che si ò ae se il eo dato o è llo Iesioe ed idetiicazioe di i. Il to 6 si iottiee da ato detto ia e i ei itei elativi, co la sostitzioe dell'addizioe co la oltilicazioe idi i assai i ci iteviee la zioe iaoo li stessi, ache se il siiicato della zioe è diveso. Si seciica l'iclsioe di i associado ad oi eo iteo elativo, il eo azioale. Si tatta di 'iiezioe che coseva le oeazioi, i ato ; ;. Pò stie che o coaia 0, a si accia attezioe che l'iclsioe dei atali eli itei si eetta associado ad eo atale la coia odiata co il eo coe ia coodiata e l'eleeto eto dell'oeazioe di addizioe, 0 ato coe secoda coodiata. Il assaio dalla sttta additiva alla sttta oltilicativa coota alloa l'so di, coe secoda coodiata, i ato è l'eleeto eto della oltilicazioe. Pe cocldee si osseva che i oi classe di eivaleza di oblei si ha see aesetate, i ceto seso, seciale, vale a die a coia odiata i ci la secoda coodiata sia eo atale e tale che la ia e la secoda coodiata siao ei itei elativi ii ta loo, cioè, coe si dice, che siao idotte ai iii teii. Ciasc eo azioale si ò esae coe il odotto di eo iteo elativo e il ecioco di eo atale. Si sa taloa la scitta e idicae il ecioco del eo atale, istiicado così la scitta eeale. La eola iaata alla scola eivesitaia che esee la soa di de azioi calcolado ia il iio coe deoiatoe è istiicata dal - 7 -

18 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio atto che alicata a azioi idotte ai iii teii i eeale oisce, coe soa, azioi idotte ai iii teii. 3. Aocci alteativi ai ei azioali. I aita alla cosideazioi ecedeti si ò ossevae che se ivece di atie dai ei itei elativi si ooo oblei di divisioe ta ei atali, tali oblei, i eeale, o soo isolbili. Col etodo deli eleeti ideali si ottiee isiee, idicato co 0, detto l'isiee dei azioali assolti. I ei azioali assolti, o elio, i ei azioali assolti divesi da 0 deivao dalla tadizioe eca, coe aoti di adezze. Pitaoa, che iteeva il eo atale 0 esclso coe iciio io del coso, tovava Pitaoa VI sec. a.c. el aoto di adezze isate co ei atali, la istiicazioe dell'aoia. La scoeta dell'esisteza di seeti icoesabili, ha scadiato esta visioe. Pe esto ella ateatica eca si è eeito alae di adezze e di aoti di adezze, viste coe alcosa di iù coceto ed aidabile, ittosto che di ei azioali o o. La esetazioe dei sistei eici i esto testo o see l'evolzioe stoica dei cocetti, a è isiata ittosto al to di vista dello stttaliso. Nell'isiee 0 dei ei azioali assolti si deiisce la sttta coe soa idicato acedo sì che i oblei di divisioe tovio see solzioe. Riaoo isolti i oblei di sottazioe. Alicado il etodo deli eleeti ideali all'isiee 0, così coe atto e otteee li itei elativi, si ottiee di ovo isiee isooo a. Qidi soo ossibili iù costzioi divese e otteee la stessa sttta. Ma olte a esti aocci e soo ossibili alti assai divesi. Ad eseio elle scole eivesitaie tova taloa sazio il cosiddetto etodo deli oeatoi, isiato ad idee di Meay ed i seito iese e svilate da Peao, eseliicato ediate l'so abbodate di tote e ette di tota, a che dal to di vista Chales Meay alebico è assai iù colesso. Riae ache iù colicato deiie l'addizioe di oeatoi, ete la oltilicazioe è Gisee Peao l'oeazioe che tadce la coosizioe deli oeatoi. No ci si soea olte s esti aoeti. Pee ossevae la o ivocità di aoccio a istiicae il atto che i ato see si sosta a livello deiitoio a ate diostabile i base al tio di itodzioe scelto. La sttta otteta s è ella di aello cotativo itaio, di iù, doiio di iteità, iù acoa, di cao itededo co esta dizioe aello cotativo itaio i ci oi - 8 -

19 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio eleeto diveso da 0 aette iveso. Soo idi isolbili i le eazioi di io ado della oa a b 0, co a,b Poietà di Q. Se si oe attezioe alle oietà della elazioe d'odie è isiee lieaete o totalete odiato da, ivo di assio e di iio e deso, cioè tale che e oi coia,y tali che < y esiste z tale che < z < y. Qello visto i i è tile coe istiicazioe della itodzioe dei ei itei elativi e azioali, itodzioe che ò essee esetata i a volta sola e etabi i sistei eici. Pe ato iada la cadialità di si ossoo ietee le cosideazioi svolte e la deteiazioe della cadialità di. Etabi li isiei soo eabili cioè eioteti a. Ciò ò diedee ache dal atto che ciasc oblea che seve e costie li isiei eici detti si ola sado solo eo iito de di eleeti del sistea eico ecedete.. Poblei isolbili ell'isiee dei ei azioali. Nei de caitoli ecedeti o si soo idicate eslicitaete vaie classi di oblei i e i eché sostazialete eivaleti i odo ovvio. Qesta la eseliicazioe vole essee essaio didattico: o itode btalete le costzioi isieistiche di e, sesso esetate ache ella scola, a ostae le oiii obleatica obleatizzazioe. Pe esto, ose iù iotate che vedee a odalità di costzioe di odello e i ei eali, e oi talascialo eché lavoae co tali cocetti è assai ieativo, è elio soeasi si oblei che si ossoo oe i, e ostae che o si ossoo isolvee. La ata divesa di tali oblei ed il iacolo che atedo da ti di vista dieeti si ottea coe la sttta dei ei eali, otebbe essee didatticaete iù eicace... I boi odii di. Iizio da oblea che o ichiede, a si oe ià i. L'odie atale s ode di 'iotate oietà, è bo odie, vale a die: oi sottoisiee o voto di ha iio. Attezioe, esta è a caatteistica di, elio dell'odie atale s, dato che, isetto all'odie atale o è bee odiato, ad eseio l'isiee stesso o ha iio

20 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio La oietà di, ota col oe di Piciio di iio, è alla base di vaie alte oietà, i Hei Poicaé 85-9 aticolae alla ossibilità delle deiizioi e icsioe e del Piciio di idzioe, steto iotate e le diostazioi i Mateatica, azi secodo Poicaé o dei icii odaetali desto dalla itizioe sitetica a ioi del teo. Si dice de che l'isiee è bee odiato dall'odie atale. L'odie atale eò o è l'ico bo odie ossibile s. Se ad eseio si deiisce s ioedo che la estizioe di slle coie di ei ai oe slle coie di ei disai sia la stessa elazioe di odie atale, ete oi eo ai ecede oi eo disai, la elazioe è acoa odie lieae ed è bo odie s, be diveso da. U alto tio di bo odie si ottiee attibedo a 0 il olo di assio di e lasciado ialteato l'odie si estati. I esto caso viee ad avee iio e assio, idi be dieete da ciò che accade isetto a. Il oblea che si oe i esto cotesto è ello di deteiae le oietà dell'isiee dei boi odii s. La isosta, soedete, se si vole, è che l'isiee di tali boi odii è. Qesto aoccio è seito i ate ella teoia deli odiali e dalla teoia alteativa deli isiei di P. Voka La eseza delle lace i. Toiao eò ai oblei di. Stoicaete il io oblea che si è osto i è di tio alebico ed è elativo all'icoesabilità della diaoale e del lato di o stesso adato. Esso è stata ose la casa della ia ooda cisi della coosceza ateatica ai tei dei Geci. I coseeza ad essa la Mateatica eca si è svilata iù i abito eoetico che i abito alebico, ediliedo le adezze alle atità. Die che o esiste eo azioale il ci adato Achita da Taato a.c. sia oi o soede iù. Il atto che il odotto di eo e se stesso oisca eo azioale o è siciete e cocldee che il eo di ateza sia azioale. Vediaoe la diostazioe che si ò tovae s olti testi di liceo, e si icota ache i Aistotele. Aistotele 38-3 a.c. TEOREMA di Achita. No esiste eo azioale tale che. DIMOSTRAZIONE. Si osta e assdo. Ci si ò liitae alla cosideazioe di ei azioali ositivi, dato che. Se esiste tale che, esistoo, * tali che. La coia di tali ei o è ivocaete deteiata. Peò ta ttte le coie se e ò idetiicae a, ella i ci - 0 -

21 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio M.C.D.,. Se ciò o accade e i valoi e basta cosideae, M. C. D.,. M. C. D., ' Pe essi si ha M.C.D.,. D'alta ate - M.C.D., - M.C.D., -. Seza ' iotae li aici, si ò de scivee, co M.C.D.,. Da si ha ottiee oltilicado etabi i ebi e, ; di i si. L'ealiaza di ateza ta ei azioali è icodotta ad a ealiaza ta ei atali. Essedo eo io, da, si ha, idi esiste tale che. Sostitedo si tova, cioè, oltilicado etabi i ebi e -,. Si ò ietee la stessa aoetazioe e si tova s e ooto s. Ma di i M.C.D., M.C.D., s M.C.D.,s, idi M.C.D.,, e ci M.C.D., M.C.D.,s, si ha alla ie, il che è assdo. Ua oietà soedete dell'odie atale i, che oe oblea isolbile è il atto che ete i oi sottoisiee o voto ieioete liitato isetto all'odie atale ha iio, ciò o avviee iù i, azi o vale ee ideboledo la ichiesta del iio e sostitedola co l'esteo ieioe. Lo stesso vale e i sottoisiei di o voti e seioete liitati. La scoeta di esta caatteistica eativa di assa attaveso la scoeta dell'icoesabilità. TEOREMA delle lace. Esiste sottoisiee o voto di ieioete liitato che o ha iio é esteo ieioe. DIMOSTRAZIONE. Si cosidei l'isiee a { }. L'isiee a è ieioete liitato, dato che e oi a, 0 < ; a è o voto dato che 3 a, i ato 3 9 >. Iolte l'isiee a, i ato a, dato che <. Il eo azioale è idi ioate di a. Se e assdo l'isiee a ha esteo ieioe i, sia ia e, si ha, idi. Si hao de casi: a a. Nel io si ha. Si ò escldee, e il Teoea di Achita, che, idi <. Alicado a ola deivata dal etodo delle taeti di Newto, e il calcolo delle adici aossiate, si cosidea il eo azioale. Esso è otteto co soa, odotti e divisioe di ei azioali o lli, idi è eo azioale. Si ha > 0, dato che il eatoe è ositivo, idi <. Iolte 8 > 0, da ci Isaac Newto 6-77 <. Si ha etato a, a coteoaeaete <, idi o ò essee ia. Ovviaete l'isiee a o ha ee iio eché altieti esso, e saebbe ache il assio ioate, idi l'esteo ieioe. - -

22 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Nel secodo caso a, si ha <. I tal caso si ocede isiadosi al etodo delle secati o di R. Cotes e si cosidea il eo azioale ositivo Si ha , i ato il deoiatoe è ositivo eché soa di de ei azioali ositivi ed il eatoe 3 è ositivo eché, e l'iotesi del caso, <. Peciò < 3. Si ha oi , etato <. Ma ciò casa assdo: e oi a, si ha <. Di i si ò aeae che 3 3 è ioate di a. Peciò o è il assio 3 ioate di a, o è cioè l'esteo ieioe di a. Ache i esto caso si coclde assdo, ovado così la eseza di a laca i, cioè di isiee o voto di ei azioali ieioete liitato ivo di esteo ieioe. L'eseio otato è "caoico" el seso che lo si ò tovae s divesi testi. E' ose il iù selice ed è leato ad oblea stoicaete ed eisteoloicaete siiicativo. Didatticaete ò essee eicace a atto che o si seisca co esso, ilicitaete o eslicitaete, che si assa ai ei eali aiedo a le adici adate di ei azioali ositivi se o addiitta deli itei. E' de boa cosa distiee. Qi si è esetato oblea alebico, la deteiazioe della adice adata di e, ediate esso oblea colleato all'odie di, la eseza di lace. La distizioe è ilevate eché il oblea alebico del calcolo delle adici ha solzioi be divese, taite esso o si ottiee, a cao iteedio ta e, il cao dei ei eali alebici che è eabile..3. Il eo e. L'aoccio che Weiestass e Soschio e i ei eali è ello delle scitte deciali e idi asce acoa da oblea aitetico. U alto oblea è leato alla sttta di sazio etico di. Esso ichiede l'itodzioe delle sccessioi, del citeio di Cachy e sccessioi e la ozioe di sazio etico coleto. Qesta esetazioe dei ei eali è dovta a Cato. I esto abito si ò oie eseio iù colesso, a esteaete iotate i Mateatica e elle alicazioi. Ricodo che dato isiee a o voto, si dice distaza o etica s a a zioe d: a a 0 tale che e oi,y,z a, d,y 0 se e solo se y; d,y dy,; d,y d,z dz,y disaliaza tiaolae. La coia odiata a,d viee detta sazio etico, se d è a etica s a. U eseio di sazio etico è dato dall'isiee co la zioe d deiita oedo e oi,y, d,y - y etica atale. Ache o co la "stessa" etica soo sazi etici. - -

23 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio TEOREMA della seie esoeziale. La seie h covee al eo e li h! che o è eo azioale. Kal T. Weiestass Aostio L. Cachy Geo Cato DIMOSTRAZIONE. La sccessioe che coae ell'eciato ed il ci liite è e, si ò idicae co E: deiita e oi * da E e coletado la deiizioe a oedo E0 0. La sccessioe E è cescete e e oi * si ha E, idi E E. Da, si ha E E. Di i, E e idzioe si ova che la sccessioe è cescete. Pe isltato slle sccessioi cesceti, si ha che se la sccessioe è seioete liitata, alloa è coveete. Mtado aoccio si ò cosideae la seie otteta atedo da a sccessioe : deiita e oi da!. Da esta esessioe si icava che oi teie è ositivo e che, idi decescete. La seie esoeziale è la seie associata a, e costzioe, è cescete. La seie esoeziale covee i vitù della coletezza di e del citeio del aoto: e oi, si ha 0. Si ha iolte e oi, 3 e e oi *, E. Ciò eette di cocldee che la sccessioe E covee e la seie covee ad valoe o ioe di e. Si ha 0,, così, e oi *,, dato che essedo la seie a teii ositivi, la sccessioe è ootoa cescete. Ache la sccessioe E è cescete. Si ha iolte e oi *, E h 0 h! 3, i ci la secoda soatoia che coae si ò è scitta coe la soa h h 0 di a oessioe eoetica di aioe. Pe diostae le de disaliaza soa idicate, si ova e idzioe che!. Si ha iatti 0!; oi!!!. Da esta disaliaza see, e ale sia k * - 3 -

24 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio - - k k!. Acoa e idzioe si ha h h h h 0 0!. Ciò è baalete ovato e 0, i ato !! h h h h. Si asse oa coe iotesi idttiva h h h h 0 0! e si ova !!! s s h h h h h h h0 h!. Iolte E h h 0!...!... 3!!. Qesto assaio va ovato e idzioe, ichiede la ola del bioio di Newto e il calcolo della oteza di bioio. I tale odo si è otteto che e oi *, E. Ciò eette di cocldee che la seie covee ad valoe o ioe di e. Si ova iolte che e abitaio, a issato *, e oi co, E......!...!... 3!!...!...!. Passado al liite e etabi i ebi della disaliaza, seciicado che i esto caso si cosidea isso, idi al tedee di all'iiito, e si ottiee e!... 3!!. Qesto ova acoa che la soa della seie esoeziale deve essee ioe o eale ad e, idi l'asseto. Il calcolo e,78888 si ò svolee i odi divesi. Pò essee iteessate vedee che ediate la seie si otteoo aossiazioi "boe" i odo "veloce". Fissato abitaiaete, e oi k si ha k!! k, tilizzado l'idzioe s k. Iatti 0!! 0. Sosto l'asseto e k si ha k! k! k k!! k! k. Si ha etato!! k k k k, vale a die k k. Si ha così e oi, e - 0 k k s s s s!!!. Ciò esie l'aossiazioe che si ottiee ha cosideado coe valoe di e la soa 65 6,7083; tale valoe dieisce dal valoe di e eo di 96! 0,006. Pe coto E,065. Già 0 oisce di e valoe aossiato a eo di 0 7 di e.

25 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio La stia dell'eoe seve ache e ovae l'iazioalità del eo e, ovado che e. Se iatti e osse azioale si otebbe scivee coe e. Si avebbe alloa 0 < e - <, da ci 0 < e -! <!. Ma divide!, idi e! è eo atale; si ò esiee coe azioe i ci il deoiatoe è ato!, idi ache! è eo atale. I tal odo il odotto e Σ! è eo atale coeso ta 0 e <. Ciò è assdo. La diostazioe che il eo e o è alebico, vale a die o si ò esiee ediate eo iito di oeazioi ediate ei azioali e adicali, è assai iù colessa... La eseza dell iiito. Ciasco dei oblei esetati ha a caatteistica ovità isetto ai oblei cosideati e costie li isiei eici e: ichiede eti iiiti dati i atto. Pe evitae esto tio di iiito, che dà oiie ai aadossi di Zeoe, la ateatica eca ha elaboato, azie a Edosso di Cido la teoia delle adezze che costitisce il V libo di Eclide. Si ò die che tale teoia zioa "bee" ache oi, esetata co liaio adeato all iostazioe odiea. La dieeza sostaziale ta la teoia delle adezze ed i ei eali coe veoo esetati ai osti ioi sta ella cosideazioe di isiei iiiti i atto, che è tiica della ateatica da Cato i oi. Poio i coseeza al atto che i oblei osti ichiedoo iiiti dati, la cadialità dell'isiee che si ottiee è iù che eabile. E' stato oio Cato a ooe a selice diostazioe, la ci tecica diaoale è stata alicata oi i olti alti cotesti, e ovae che l'isiee dei ei eali o ò essee osto i coisodeza co l'isiee dei ei atali. Si è esso i lce o, ose il iù iotate, dei oblei didattici leati all'itodzioe dei ei eali: o è ossibile ooe a coetta e coesibile itodzioe a chi o ha ailiaizzato co l'iiito elle se divese accezioi. Sesso la ateatica scolastica escide dall'iiito e e dal iito. Si tatta di de cocetti o baali e o iediataete otteibili o dall'alto ediate eazioe iito o iiito, iiito o iito. Ne è iova il a eo di deiizioi di isiee iito o ta loo eivaleti, a eo di oti iotesi isieistiche. No ossoo aitae le cateoie di liitato ed illiitato eché è acile ostae che, isettivaete, o soo adeate a elle di iito e iiito. Date este colicazioi, 'aalisi del iito e dell'iiito, viee solitaete oessa dalla esetazioe scolastica

26 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Si aalizzao oa vai aocci e ostae coe oi oblea ichieda l'iiito i atto. Se si ala del bo odie s, è ovvio che bisoa cosideae la totalità di ttti i sottoisiei o voti di, idi iiiti isiei, ache iiiti, dati i atto..5. Classi cotie. Se si cosideao le lace di, ci soo de odi e idividale: o è dato dalle classi cotie. Ua coia odiata H,K di sottoisiei o voti di, costitisce a coia di classi cotie se e oi H e e oi y K, < y; e oi, esistoo H, y K tali che y -. La ozioe di coie di classi cotie è dovta a Caelli e Cato. Ua coia di classi cotie idivida a laca se H o ha esteo seioe e K o ha esteo ieioe. U eseio di laca è ostato i teoea ecedete. Si ossevi che li isiei H e K soo isiei iiiti, dato che esi ad abitio H e y K, si ha y -. Posto 0 y -, sia 0. Pe la codizioe esistoo H, y K, tali che y -. Baalete si ha oe y y o ache veiicate etabe, dato che y - < 0 y -. Rietedo esta costzioe e oi si tovao H e y K tali che y - 0 e oe y y. La ossibilità di iteae esta costzioe coota che li isiei H e K soo iiiti. La loo iiità è ovata i via oteziale, a la cosideazioe della coia odiata H,K ichiede di cosideae coe ete ico tali collezioi iiite e idi l'iiità i atto e esto avviee acoa di iù ato si assa alla classe di eivaleza di coie di classi cotie..6 Sezioi di Dedekid. Ua secoda stateia e idividae a laca di è dato dalle sezioi di Dedekid. Secodo Datzi, Dedekid itodce le sezioi coe odello del esete, attio idividato dal assato e dal to. Ua coia odiata H,K di sottoisiei o voti di si dice a sezioe se: H K ; H K ; 3 e oi H e e oi y, se y, alloa y H; H o ha assio. Ua sezioe di Dedekid H,K idivida a laca se K o ha iio

27 C. Machii - Ati di Didattica della Mateatica II/ - Scola di Secializzazioe e l'iseaeto Secodaio Nella ozioe di sezioe si vede che il olo dei de sottoisiei è dissietico, dato che la codizioe 3 si alica a H e o tilizza K. E' eò acile ovae tilizzado, e 3 che se H,K è a sezioe di Dedekid, alloa e oi K, e oi y, se y, alloa y K, idi l'aaloa codizioe e K. Ua vaiate di esta esetazioe è dovta a Pasch e Rssell: sottoisiee H o voto è detto a seietta di Rssell se soddisa le ecedeti codizioi 3 e ed iolte - H. Ua seietta di Rssell idivida a laca se è iva di esteo seioe. Da a seietta di Rssell, H, si ottiee a sezioe di Dedekid: H,-H; vicevesa la ia cooete di a sezioe è a seietta di Rssell. Coe si osta i seito si ò assae da classi cotie a sezioi di Dedekid e vicevesa. Ci si ò chiedee alloa e ale otivo esetae etabi i cocetti. La isosta sta el tio di iiito. La esetazioe ediate le classi cotie si avvale dell'iiito oteziale eché sesso le classi cotie, coe eli esei esetati i di seito, veoo date ediate le aossiazioi e dietto e e eccesso di eo eale, idi ediate sccessioi di ei azioali. Le sezioi di Dedekid e le seiette di Rssell soo ivece isiei iiiti i atto. Oi sezioe di Dedekid è a coia di classi cotie. Iatti se a coia odiata H,K è a sezioe di Dedekid, li isiei soo o voti. Iolte se H e y K, alloa o ò essee y, eché dalla codizioe 3 si avebbe y H, idi y H K, i cotasto co la, sicché < y. Siao iolte H, y K; e ato ovato ia y -. Pe oi, e il iciio di Edosso-Achiede, esiste tale che y -. Si cosidei oa a { H}. L'isiee a è sottoisiee di, e deiizioe. Iolte dato che y -, si ha y. Di coseeza H, altieti si avebbe e la 3, che y H, coto ato detto i. Ma ciò ova che l'isiee a o è voto. Pe il iciio di iio esiste ia. Aeae che è il iio di a, coota a, idi H, da ci K. No ò essee 0, altieti H e H, etato 0. Esiste alloa edecessoe di, vale a die. Ma dato che è iio di a e <, a, idi H e si ha -. Si soo così tovati de eleeti z H, t K tali che t - z. Si ova i tal odo che oi sezioe di Dedekid è a coia di classi cotie. E' ossibile ivetie esta sitazioe: data a coia di classi cotie, esiste a sezioe di Dedekid ad essa associata. Sia H,K a coia di classi cotie. Si devoo tattae de casi: - 7 -

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