Si presentano qui alcune nozioni sugli anelli, sia come modello di. strutture con due operazioni binarie, sia per l importanza di queste strutture in

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1 NOZIONI ELEMENTARI SUGLI ANELLI Si presetao qui alcue ozioi sugli aelli, sia come modello di strutture co due operazioi biarie, sia per l importaza di queste strutture i tutte le sezioi della Matematica pura. Co u piccolo abuso di liguaggio e come è cosuetudie quado o vi siao ambiguità, gli aelli sarao idetificati mediate i loro sostegi; ossia, u aello ( A, +, ",1 A ) sarà sovete deotato solo co A. Prerequisiti 1 : isiemi, fuzioi, relazioi d equivaleza, operazioi e loro proprietà, strutture algebriche, isiemi umerici e calcolo combiatorio, gruppi. Coteuto: 1 Aelli: esempi, proprietà elemetari, caratteristica, domiii d itegrità, campi, esempi. Sottoaelli: proprietà, sottoaello fodametale. Prodotto diretto di aelli. 2 Ideali bilateri, proprietà, ideali pricipali, ideali di Z, ideali di u campo. Cogrueze i u aello e ideali, aello quoziete. Omomorfismi di aelli, omomorfismi ed ideali, il teorema fodametale di omomorfismo.. Ideali massimali di u aello commutativo. Ideali di u prodotto diretto di aelli. 3 Divisibilità i u aello commutativo, elemeti associati, elemeti irriducibili, elemeti primi. Divisibilità ed ideali pricipali. Massimo comue divisore e miimo comue multiplo. Aelli euclidei. 4 L aello R[x] dei poliomi a coefficieti reali, pricipio d idetità, radici, teorema del resto, molteplicità delle radici e derivata. Poliomi a coefficieti razioali. Il campo complesso come quoziete di R[x]. Poliomi el campo complesso, pricipio d idetità, radici, il teorema fodametale; cosegueze sulla fattorizzazioe i R[x]. Radici -esime. 5 Aelli di poliomi a coefficieti i u domiio d itegrità: esisteza ed isomorfismo. Il campo dei quozieti. 1 Per ciascuo dei prerequisiti si veda il capitolo apposito. 1

2 1 ANELLI ASSOCIATIVI UNITARI U aello (geerale) è ua struttura algebrica biarie, dove ( A, + ) ( A, +, ") co due operazioi è u gruppo abeliao e valgoo le due proprietà distributive (destra e siistra) di. rispetto a +, ossia: % ' a $ b + c "a, b, c # A, & (' ( ) = a $ b + a $ c ( a + b) $ c = a $ c + b $ c Se la moltiplicazioe ha la proprietà associativa, l aello si dice associativo;. se ha l elemeto eutro 1 A, l aello si dice uitario. Gli aelli che cosidereremo el seguito sarao associativi ed uitari. Li chiameremo aelli, seza ulteriori aggettivi. U aello ( A, +, ",1 A ) è quidi per oi u gruppo abeliao rispetto all addizioe, u mooide rispetto alla moltiplicazioe e valgoo le due proprietà distributive, destra e siistra, della moltiplicazioe rispetto all addizioe. Se la moltiplicazioe. è commutativa l'aello si dice commutativo. ( Z, +, ",1) è u esempio di aello commutativo. Altri aelli commutativi soo ( Q, +, ",1) ed ( R, +, ",1). Vediamo altri esempi di aelli. ESEMPI A. Aelli di fuzioi. Siao X u isieme ed ( A, +, ",1 A ) u aello. Nell'isieme A X costituito dalle fuzioi da X ad A defiiamo le segueti operazioi, dette operazioi puto per puto: &( f + g)(x) = f(x) + g(x) "f, g # A X (, "x # X, ' ( f $ g)(x) = f(x) $ g(x). ( )( (%f )(x) = %f(x) 2

3 Cosideriamo ioltre le due fuzioi costati 0 ed 1 tali che "x # X, 0 : x a 0 A ed 1 : x a 1 A. Si prova facilmete che co queste operazioi A X è u aello i cui 0 è l'elemeto eutro di + e 1 quello di.. Se l'aello A è commutativo lo è ache l'aello delle fuzioi. Di questo tipo soo gli aelli di fuzioi studiate i Aalisi Matematica, i cui X è u sottoisieme o vuoto di R ed A = R. 1.1.B. - Aelli di successioi. Sia A u aello commutativo. Cosideriamo l'isieme A N delle successioi, cioè delle fuzioi da N ad A. Oltre all aello costruito come ell esempio precedete, sullo stesso gruppo additivo defiiamo la seguete moltiplicazioe (detta covoluzioe): f " g : a % f( # j) $ g( j). j=0 Questa operazioe è associativa. Ifatti, siao f,g,h A N. Per ogi N si ha: f " g " h j % = % f( # j) $ % g( j # i) $ h ( i ) = j=0 j= i= prop. distributiva ( ) ( ) = f( # j) $ ( g " h) ( j) j = $ $ f ( " j) # g( j " i) # h ( i ) = $ $ f " j j=0 i=0 i=0 j=i ( ) # g( j " i) # h ( i ) Questo perché i ogi caso si ha 0 i j. Ora poiamo quidi sostituiamo ed otteiamo: % "i $ $ f ( " j) # g( j" i) #h( i) = ' $ $ f " i " k ' i=0 j=i i=0 & k=0 ( ) # g( k) ( * * #h i ) k = j " i. Allora, $ ) #h i i=0 ( ) = f + g " i " j = ( " i) " k, ( ) = ( f + g) + h( i) L elemeto eutro è la fuzioe 1 tale che " 1 : a # 1 A se = 0. $ 0 A se > 0 # Idichiamo poi co + l'addizioe puto per puto: allora A N & %, +, ",1( è u aello $ ' ed è commutativo. La proprietà commutativa è immediata: % = % f ( & ) $ g( # &) j=0 &= posto &=#k ( f " g) ( ) = f( # j) $ g( j) 3 = ( g " f) ( ) Circa la proprietà distributiva della covoluzioe rispetto alla addizioe si ha:

4 % = % f # j j=0 j=0 f " ( g + h) ( ) = f( # j) $ ( g + h) ( j) = $ ( f( " j) # g( j) + f ( " j) # h( j) ) = $ f " j j=0 j=0 ( ) = ( ) $ g( j) + h( j) ( ) # g( j) + $ f( " j) # h( j) = ( f % g + f % h) ( ) e la commutatività rede superfluo verificare la distributività a siistra. j=0 Per esempio, sia A = R. La tabella mostra u po di valori di due successioi f, g isieme co quelli di di f+g ed f g. Si ha: f ( ) = 2, g ( ) = 2 +1, ( f + g) ( ) = = ( +1) 2, metre ( ) = f " g f g f+g f g C. - Gli aelli Z m. Sia m " N, m > 0. Ricordiamo che, i Z, co mod(x,m) abbiamo deotato il resto della divisioe di x per m. Nell isieme Z m = {0, 1,..., m-1} abbiamo posto x + m y = mod x + y, m ( ), otteedo u gruppo ciclico. I questo isieme defiiamo ache la seguete moltiplicazioe: ( ) x " m y = mod x " y, m. Come vedremo più oltre, co u opportua rielaborazioe del quoziete Z/mZ, si ha che questa moltiplicazioe è associativa, commutativa e distributiva rispetto al +. L'elemeto eutro di dimostrare che + m è 0, quello di ( Z m, + m, " m,1) " m è 1; l'opposto di x è m-x. Si può è u aello commutativo. Nel seguito, per comodità, le operazioi i quest'aello sarao deotate spesso co i simboli usuali + e come i Z. Vediamo qui le tavole di addizioe e moltiplicazioe di Z 7. Si ota subito che ogi elemeto diverso da 0 è ivertibile e che quidi si ha " Z 7 = Z7 \ { 0}. Si tratta di ua proprietà che si ritrova ell aello razioale Q ma o i Z. 4

5 " PROPOSIZIONE 1.2. Sia ( A, +, ",1 A ) u aello. Allora: a) per ogi x A, x " 0 A = 0 A " x = 0 A b) Se 0 A = 1 A, allora A = { 0 A } è l aello baale. c) L isieme A " & = x # A $x %1 ) ' # A* è u gruppo rispetto alla ( + moltiplicazioe (detto gruppo delle uità dell aello A). d) Ogi a A determia due edomorfismi del gruppo ( A, + ), rispettivamete " a : A # A, " a ( x ) = a $ x, " a : A # A, " a ( x ) = x $ a. Se a " A # etrambi automorfismi. Dimostrazioe. a) "x # A, x $ 0 A = x $ ( 0 A + 0 A ) = x $ 0 A + x $ 0 A % x $ 0 A = 0 A. Aalogamete si prova che 0 A " x = 0 A. soo b) Se 0 A = 1 A, allora "x # A, x = x $1 A = x $ 0 A = 0 A. "1 c) Si ha 1 A = 1A # 1 A $ A %. Per ogi Ifie, per ogi a " A # si ha: a, b " A #, ( a $ b) %1 = b %1 $ a %1 & a $ b " A #. # a "1 & "1 % ( = a ) a "1 * A +. Poiché la moltiplicazioe è $ ' $ associativa, allora abbiamo dimostrato che A " ' &, #) è u gruppo. % ( d) Per la proprietà distributiva di rispetto a +, per ogi x,y A si ha: " a ( x + y) = a # ( x + y ) = a # x + a # y = " a ( x ) + " a ( y ) quidi " a è u edomorfismo di (A, +). Allo stesso modo si dimostra che lo è ache " a. Sia ora a " A #, allora esiste a "1 e si ha: "x # A, $ a %1 o $ a ( x ) = $ a %1( a & x) = a %1 ' & ( a & x) = ) a %1 & a quidi " a #1 o " a = id A. Aalogamete, ( *, & x = 1 + A & x = x, " a o " a #1 = id A e duque " a è ivertibile e di cosegueza è u automorfismo di (A, +). 5

6 U aello si dice itegro se vale la legge di aullameto del prodotto: Per esempio, 3 " 6 2 = mod 3 "2, 6 ( Z, +, ",1) x " y = 0 A # x = 0 A oppure y = 0 A. è itegro, metre ( Z 6, +, ",1) o lo è, i quato ( ) = 0. U domiio d'itegrità è u aello commutativo itegro. Circa il gruppo delle uità di u aello elemeti uitari soo 1 e -1. Nel caso di Q e di ( A, +, ",1 A ), el caso di Z gli Z 7, gli elemeti uitari soo tutti gli elemeti o ulli. Quado ciò accade i u aello commutativo, l aello prede il ome di campo. Soo quidi campi Q, R e Z 7. Vediamo altri esempi. ESEMPI A. - Sia dato l aello Z m, m > 1. U elemeto a Z m è ivertibile se e solo se MCD(a,m) = 1. Ifatti, MCD(a,m) = 1 u,v Z tali che au+mv = 1. Dividiamo u per m, otteedo u = mq+r, co 0 < r < m, quidi 1 = au+mv = ar+(aq+v)m 1 = mod(ar,m) = a " m r ed a è ivertibile ed ha r per iverso. Iversamete, se a ha per iverso r si ha: 1 = a " m r = mod(ar,m), ossia esiste q tale che ar+mq = 1 e ciò implica MCD(a,m) = 1. Pertato, { } ha ϕ(m) elemeti, dove ϕ è la fuzioe di Z " m = a # Zm MCD( a,m) =1 Eulero. Ne segue che primo. Z m è u campo Z " m = Zm \{ 0} ϕ(m) = m-1 m è Si osservi che se m è composto, ossia m = pq, co p, q miori di m, si ha p " m q = mod( pq,m) = mod( m,m) = 0, quidi Z m o è u domiio d itegrità. 1.3.B. - Ampliameto quadratico di u campo. Sia K u campo. Prediamo u elemeto u K che o sia il quadrato di altri elemeti di K e cosideriamo *# l isieme F = a b "u & - + % ( a,b ) K.. Rispetto alle usuali operazioi co le matrici, si, $ b a ' / vede facilmete che F è u aello co uità e commutativo. Di più, poiché il determiate è " = a 2 # u $ b 2 ed u o è u quadrato i K, allora solo la matrice 6

7 ulla è o ivertibile. Escluso questo caso, si ha # a % $ b b " u& )1 ( = 1 # a )bu& % ( + F. a ' * $ )b a ' Pertato, F è u campo. Si oti che il sottoisieme delle matrici scalari )" a 0%, * $ ' a ( K- forma a sua volta u campo, idetificabile co K. + # 0 a&. " a 0% " Idetifichiamo cioè l elemeto a K co la matrice $ '. Posto i = 0 u % $ ', si ha # 0 a& # 1 0& i 2 " = u 0 % $ ' ( u, quidi el campo F l elemeto u è ora u quadrato. Ifie, si ha: # 0 u& # a b "u& # % ( = a 0 & # % ( + 0 u & # % () b 0 & % (, che possiamo riscrivere come a+ib. $ b a ' $ 0 a' $ 1 0' $ 0 b' Co questa costruzioe, a partire dal campo Z 3, i cui 2 o è u quadrato, possiamo costruire u campo di ordie 9. A partire dal campo reale R, posto u = 1, si ottiee u campo che el seguito chiameremo campo complesso C. PROPOSIZIONE 1.4. a) Ogi campo ( K, +, ",1 K ) è u domiio d itegrità b) Ogi domiio d itegrità fiito ( A, +, ",1 A ) è u campo. Dimostrazioe. a) Siao a, b K, tali che Altrimeti, esiste l iverso a "1 di a, perciò: b) Sia a A, y si ha " a x ( ) a " b = 0 K. Se a = a " b = 0 K # a $1 " a " b = a $1 " K # b = 0 K % = ' a $1 ( =0 "a *"b=b K & ) a " 0 A. Cosideriamo la fuzioe ( ) = " a ( y ) # a $ x = a $ y # a $ ( x % y) = 0 A, e poiché 0 K siamo a posto. " a : A # A, " a ( x ) = a $ x. Per ogi x, a " 0 A ed A è u 1#1 domiio d itegrità, allora x " y = 0 A # x = y. Duque, " a : A $ $ $ % A. Ma A è fiito, quidi ogi fuzioe iiettiva da A a se stesso è ache suriettiva. Quidi, ( ) i particolare, 1 A " Im # a. Esiste cioè u elemeto x tale che a " x = # a x ( ) = 1 A, ossia a è ivertibile. Duque, A " = A \ 0 A { } ed A è u campo. I u aello ( A, +, ",1 A ) il periodo di 1 A el gruppo additivo (A, +) si chiama caratteristica di A. Per esempio Z ha caratteristica ifiita (e però si usa 7

8 dire che ha caratteristica zero), metre Z m e l'aello Z m X delle fuzioi da u isieme qualuque X ø a Z m hao caratteristica m. Vediamo ora il caso dei domiii d itegrità e dei campi. TEOREMA 1.5. Sia A u aello. a) Se la caratteristica di A è fiita, ogi elemeto ha el gruppo additivo il periodo divisore della caratteristica. b) Se A è u domiio d itegrità, ogi elemeto o ullo ha el gruppo additivo il periodo uguale alla caratteristica. c) Se l'aello A è u domiio d'itegrità allora la caratteristica o è zero oppure è u umero primo p. d) Se A è u domiio d itegrità di caratteristica p, allora (A, +) è u p- gruppo abeliao elemetare. Dimostrazioe. a) Per ogi a A e per ogi N, si ha ( ) ( ) " a. a = a a Ka 3 = A " a +1 A " a + K1 A " a = A + K +1 A " a = 1 A Duque se è il periodo di 1 A allora 1 A = 0 A " a = 0 A " multiplo di a. b) Se a " 0 A, essedo A u domiio d itegrità si ha 0 A = a = ( 1 A ) " a # 1 A = 0 A, quidi a ed 1 A hao lo stesso periodo. c) Sia la caratteristica di A, e sia 0. Sia o primo, = rs, co r ed s divisori propri di. Allora, per la proprietà distributiva, si ha: ( ) ( ) 0 A = 1 A = rs1 A = A + K A = 1 A + K +1 A " 1 A + K +1 A = r1 A " s1 A rs r s ed essedo A u domiio d itegrità, si ha r1 A = 0 A oppure s1 A = 0 A, cotro la miimalità di come periodo di 1 A. Pertato, è primo. d) Segue da b) e da c). Dato u aello ( A, +, ",1 A ), u sottoaello è costituito da u sottoisieme B chiuso rispetto alla somma, allo zero, agli opposti, al prodotto ed all uità di A, ed è a sua volta u aello. I particolare, (B, +) è u sottogruppo di (A, +) e ( B, ",1 A ) è u sottomooide di ( A, ",1 A ). Ne segue che ache per i sottoaelli vale 8

9 il teorema di Lagrage, ossia el caso fiito l ordie di u sottoaello è u divisore dell ordie delll aello. Come el caso dei sottogruppi, ache l itersezioe di ua famiglia di sottoaelli è u sottoaello. Il sottoaello geerato da u sottoisieme è l itersezioe di tutti i sottoaelli che lo cotegoo. L itersezioe di tutti i sottoaelli prede il ome di sottoaello fodametale dell aello. Per caratterizzarlo, dato u aello A ed u elemeto a A, deotiamo el seguito co Za l isieme dei suoi multipli iteri, ossia il sottogruppo di (A, +) geerato da a. PROPOSIZIONE 1.6. Sia A u aello. Allora il sottoaello fodametale coicide col sottogruppo Z1 A. Dimostrazioe. Basta dimostrare che Z1 A è chiuso rispetto alla moltiplicazioe. Siao m1 A, 1 A due multipli di 1 A. Se uo dei due è ullo, è ovvio. Siao m, positivi, allora per la proprietà distributiva si ha: ( ) ( ) m1 A "1 A = A +K A 3 " 1 A 4 +K A3 =1 1 A 4 "1 4 A 4 +K A 4 "1 3 A = m1 A m m Ioltre, essedo (-m) 1 A = -(m1 A ) e, per ogi a, b A, "( a # b) = ("a) # b = a #("b), allora l uguagliaza m1 A "1 A = ( m)1 A vale ache per m, iteri. Siao dati due aelli A e B. Sul prodotto diretto (A "B,+) dei loro gruppi additivi defiiamo la seguete moltiplicazioe: per ogi a 1, a 2 A, b 1, b 2 B, (a 1, b 1 ). (a 2, b 2 ) = (a. 1 a2, b. 1 b2 ). La moltiplicazioe appea defiita è distributiva rispetto al +, è associativa ed ha elemeto eutro 1 A"B = ( 1 A,1 B ). La struttura ( A " B,+,#,1 A"B ) è quidi u aello, detto prodotto diretto estero dei due aelli dati. Se i due aelli soo commutativi, ache il prodotto diretto lo è, e viceversa. Le dimostrazioi soo lasciate per esercizio. ESEMPI A. - Il prodotto diretto di due aelli o baali A e B o è mai u domiio d itegrità. Ifatti, ( 1 A,0 B ) " ( 0 A,0 B ) " ( 0 A,1 B ), ma I particolare, il prodotto diretto di due campi o è u campo. ( 1 A,0 B ) "( 0 A,1 B ) = ( 0 A,0 B ) = 0 A#B 9

10 1.7.B. - Mediate gli aelli Z m si possoo costruire aelli fiiti come loro prodotti diretti. La caratteristica di Z m Z è mcm(m,), dato che è il periodo dell uità el gruppo additivo, che sappiamo essere il prodotto diretto dei due gruppi ciclici additivi di Z m e Z (si veda il 1 degli apputi sui gruppi). Per esempio, vediamo l aello Z 2 Z 2. Ha 4 elemeti, ha caratteristica 2 e la moltiplicazioe ha l idempoteza, ossia ogi elemeto è il quadrato di se stesso. U simile aello è detto booleao. + ( 0,0) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 0,1) ( 0,0) ( 0,0) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 0,1) ( 1,1 ) ( 1,1 ) ( 0,0) ( 0,1) ( 1,0) ( 1,0) ( 1,0) ( 0,1) ( 0,0) ( 1,1 ) ( 0,1) ( 0,1) ( 1,0) ( 1,1 ) ( 0,0) " ( 0,0) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 0,1) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 0,0) ( 1,1 ) ( 0,0) ( 1,1 ) ( 1,0) ( 1,0) ( 1,0) ( 0,0) ( 1,0) ( 1,0) ( 0,0) ( 0,1) ( 0,0) ( 0,1) ( 0,0) ( 0,1) OSSERVAZIONE 1.8. Nei gruppi si dimostra che se G = H K allora i due sottoisiemi H = {( h,1 K ) h " H} e {( ) k " K} soo sottogruppi isomorfi K = 1 H,k ad H e K rispettivamete (ricordiamo che i otazioe additiva si ha H = {( h,0 K ) h " H}, {( ) k " K} ). K = 0 H,k Nel prodotto diretto di due aelli A e B, i due sottoisiemi A = {( a,0 B ) a " A}, { } soo quidi sottogruppi di B = ( 0 A,k) b " B ( A " B,+ ), soo chiusi rispetto alla moltiplicazioe di A B, soo aelli perché hao ache l uità, rispettivamete ( 1 A,0 B ) e ( 0 A,1 B ), ma o soo sottoaelli di A B, perché o cotegoo l uità ( 1 A,1 B ) di A B. Sia dato u campo F. U sottocampo è u sottoaello che cotiee gli iversi dei propri elemeti o ulli. L itersezioe di sottocampi è u sottocampo a sua volta, e la dimostrazioe è lasciata per esercizio. L itersezioe di tutti i sottocampi è u campo, detto sottocampo primo di F. Poiché i campi soo particolari aelli, il sottocampo primo deve coteere il sottoaello fodametale di K. Se quest ultimo è u campo, allora coicide col sottocampo primo, altrimeti è più piccolo. Se X è u sottoisieme di K, il sottocampo geerato da X è l itersezioe di tutti i sottocampi che lo cotegoo. Il sottocampo primo è geerato da X = { 1 K }. Nel caso del campo razioale Q, o ci soo sottocampi propri, perciò il sottocampo primo di Q è Q stesso, metre il suo sottoaello fodametale è Z. Poiché Q è u campo icluso i R, ache per R il sottocampo primo è Q ed il sottoaello fodametale è Z. 10

11 2 IDEALI, OMOMORFISMI E CONGRUENZE Riprediamo il caso dell aello Z degli iteri. No ha sottoaelli propri, i quato 1 geera tutto Z. E i umeri pari allora che cosa costituiscoo? Formao il sottogruppo 2Z di (Z, +), ed il prodotto di umeri pari è pari. Ma, i più, hao la proprietà di assorbire il prodotto: se i u prodotto c è u umero pari, il prodotto è pari. Questa proprietà dell isieme 2Z è aaloga a quella dello zero di assorbire il prodotto. Ma ache mz ha la stessa proprietà: è u sottogruppo rispetto a + e se i u prodotto c è u multiplo di m, il prodotto è multiplo di m a sua volta. Simili sottogruppi del gruppo additivo soo detti ideali dell aello. Più precisamete: Sia ( A,+,",1 A ) u aello. U suo sottoisieme I prede il ome di ideale (bilatero) se è u sottogruppo del gruppo additivo ed ioltre, per ogi i I, per ogi a A i prodotti a i ed i a appartegoo ad I. Ogi aello A ha come ideali almeo { 0 A } e se stesso. Tali ideali soo detti rispettivamete ideale ullo e improprio, e talora soo detti ideali baali. Come al solito, si dimostra facilmete che l itersezioe di ua famiglia I di ideali è sempre u ideale. Di cosegueza, ogi sottoisieme X di A geera u ideale, come itersezioe della famiglia di ideali che cotegoo X. Lo deoteremo co ( X), riservado la scrittura X al sottoaello geerato da X. Chiaramete, U ideale di A si dice pricipale se è geerato da u solo elemeto. { 0 A } = 0 A ( ) è pricipale, ma ache A lo è; ifatti per ogi a A si ha a = a "1 A # ( 1 A ) $ A = ( 1 A ). Vediamo umerosi esempi, ma prima alcue proprietà. PROPOSIZIONE 2.1. Sia A u aello. a) Se u ideale I di A cotiee u elemeto ivertibile, allora I = A b) Se A è u campo, allora i soli ideali di A soo { 0 A } ed A. Dimostrazioe. a) Sia I u ideale e sia u I, ivertibile, allora quidi per ogi a A, a = a "1 A # I $ A % I, ossia I = A. 1 A = u "1 # u{ $ I, $I 11

12 b) Se I o è l ideale baale, allora cotiee u elemeto o ullo, quidi ivertibile, ed allora per a) si ha I = A. PROPOSIZIONE 2.2. Sia A u aello commutativo. a) Per ogi a A si ha ( a) = { a " x x # A} b) A è u campo se e solo se gli uici ideali di A soo { 0 A } ed A. Dimostrazioe. a) Si tratta di dimostrare che l isieme I = { a " x x # A} coicide co l ideale ( a) geerato da a, ossia che vale la doppia iclusioe. L iclusioe I " ( a) è immediata, perché a " ( a) # $x " A, a % x " a ( ) per defiizioe di ideale. L altra iclusioe si dimostra i maiera idiretta: poiché ( a) è l itersezioe della famiglia I degli ideali che cotegoo a, se dimostriamo che I è u ideale che cotiee a, ossia che I I, automaticamete I coterrà ( a). Ora, I cotiee a perché a = a "1 A. Ioltre, poiché la fuzioe " a : A # A, " a ( x) = a $ x, è u edomorfismo del gruppo additivo (A, +) avete I per immagie, allora per il teorema fodametale di omomorfismo per i gruppi, I è u sottogruppo di (A, +) (ma si può ache verificare direttamete, per esercizio provado che I è chiuso rispetto al + e cotiee lo zero e gli opposti dei suoi elemeti). Ifie, teedo presete che A è commutativo, per ogi y a, per ogi i = a x I si ha: y i = i y = (a x) y = a (x y) I e quidi I è u ideale coteete a. Duque, per quato detto, valedo la doppia iclusioe, si ha ( a) = I. ( a) " I ed allora, b) Abbiamo già visto che u campo ha solo gli ideali baali. Iversamete, sia A u aello commutativo el quale i soli ideali siao quelli baali. Sia a u qualuque elemeto o ullo, allora l ideale ( a) = { a " x x # A} o è l ideale ullo, perciò coicide co tutto A. Ne segue che 1 A " ( a), quidi esiste x " A tale che a " x =1 A. Ma allora a è ivertibile, quidi A è u campo. ESEMPI A. Troviamo gli ideali dell aello Z. Iazi tutto, poiché soo sottogruppi di (Z,+) devoo essere della forma mz. Basta provare che questi soo tutti ideali. Ma questo è immediato: per ogi x Z, per ogi mk mz si ha x(mk) = m(kx) mz. Perciò tutti i sottogruppi di (Z,+) soo ideali dell aello. 12

13 2.3.B. Abbiamo visto che el prodotto diretto di due aelli A e B, i due sottoisiemi A = {( a, 0 B ) a " A}, B = {( 0 A,k) b " B} soo sottogruppi di ( A " B,+ ), soo chiusi rispetto alla moltiplicazioe di A B, ma o soo sottoaelli di A B, perché o cotegoo l uità ogi ( x, y) " A # B, per ogi ( 1 A,1 B ) di A B. Soo ivece ideali. Ifatti, per ( a, 0 B ) " A si ha A è u ideale. Aalogamete, lo è B. $ &( x, y) " a, 0 B % '& ( a, 0 B ) " x, y ( ) = ( x " a, 0 B ) # A ( ) = ( a " x, 0 B ) # A, quidi C è u aalogia tra ideali di u aello e sottogruppi ormali di u gruppo, ed è costituita dalle cogrueze. Ua cogrueza ~ di u aello A è ua cogrueza del gruppo additivo (A, +) compatibile ache co la moltiplicazioe: per ogi a, b, a', b' A, dall'essere a~a', b~b' segue a. b~a'. b'. Nel gruppo quoziete (A/~,+) costituito dalle classi di equivaleza defiiamo ache la seguete moltiplicazioe: per ogi a,ba, [a] ~ [b] ~ = [a b] ~. Essa risulta associativa, distributiva rispetto al + ed ha per elemeto eutro la classe [ 1 A ]. Otteiamo così u uovo aello (A/~, +,, 1 ~ A [ ] ~ ), l aello quoziete di A rispetto alla cogrueza ~. Se l aello A è commutativo, lo è ache il quoziete. Ioltre, se a A ha iverso a "1 allora la classe [a] ~ ha per simmetrica la classe [ a "1 ] ~. PROPOSIZIONE 2.4. Sia dato u aello ( A, +, ",1 A ) a) Sia I u ideale. La relazioe x ~ I y " x-y I è ua cogrueza i A, ella quale [0 A ] ~ = I e le altre classi soo i suoi laterali. b) Data ua cogrueza ~ i A, posto I = [0 A ] ~, I è u ideale e si ha ~ = ~ I. Dimostrazioe. a) Poiché (A,+) è abeliao, allora (I,+) è u sottogruppo ormale e la relazioe ~ I è ua cogrueza rispetto al +. Proviamoe la compatibilità co 13

14 la moltiplicazioe. Siao a ~ I a', b ~ I b', ossia esistoo i, j I tali che # a " = a + i $, % b " = b + j allora a " # b " = ( a + i) # ( b + j) = a # b + ' a # j $I4 4 8 % ( { + i { # b + i { # j * ' * & $I $I $I ) + a " # b " ~ I a # b. b) Iversamete, sia ~ ua cogrueza e sia I = [0 A ] ~. Allora I è u sottogruppo di (A,+) e le altre classi soo i suoi laterali I+a, ossia ~ = ~ I. Resta da dimostrare che I è u ideale. $ a ~ a "a # A, "i # I, % & i ~ 0 A ' a ( i ~ a ( 0 A = 0 A ' a ( i # I. Aalogamete si prova che i a I. Quidi, I è u ideale di A. Pertato, le cogrueze egli aelli soo completamete descritte dagli ideali. L'aello quoziete di A rispetto alla cogrueza associata all'ideale I si deota co A/I. ESEMPIO 2.5. Le cogrueze dell aello Z soo duque tutte e sole quelle associate agli ideali mz, perciò soo le cogrueze mod m, m 0. Gli aelli quoziete soo duque gli Z/mZ. La moltiplicazioe quoziete associa a due classi [ r], s m [ ] la classe rs m [ ], rappresetata caoicamete dal resto della m divisioe di rs per m, ossia da r " m s = mod( rs, m). Allora i defiitiva ache i gruppi ( Z m,+) soo davvero aelli rispetto alla moltiplicazioe " m, come affermato i 1.1.C. Si osservi che ache se u aello è itegro, o è detto che u suo aello quoziete lo sia. Per esempio, l'aello Z è itegro ma, se m o è primo, Z m o lo è. Per altro, se m è primo, è be oto che Z m è addirittura u campo. Ua struttura algebrica si dice semplice se le sole cogrueze che possiede soo quelle baali, ossia l'idetità, ella quale ogi elemeto è i relazioe solo co se stesso, ed il prodotto cartesiao, el quale ogi elemeto è i relazioe co ogi altro. Come già detto per i gruppi, la determiazioe delle strutture semplici è solitamete u problema assai complesso e di grade importaza. 14

15 Nel caso dei u aello A, l'essere semplice equivale a o possedere altri ideali all'ifuori di {0 A } e A stesso. Abbiamo dimostrato che i soli aelli commutativi semplici soo i campi. Altri esempi soo gli aelli di matrici quadrate d ordie ad elemeti i u campo. Date due strutture algebriche (X, ) e (Y, ), si chiama omomorfismo ua fuzioe f : X " Y tale che per ogi coppia a, b di elemeti di X sia ( ) = f ( a ) # f ( b ). f a " b Se le operazioi soo più di ua, come el caso degli aelli, occorre che la fuzioe f sia omomorfismo rispetto a tutte le operazioi. Le operazioi da cosiderare, però, o soo solo il + ed il, ma ache gli elemeti eutri, gli opposti, ecc. Nel caso dei gruppi ua fuzioe che sia omomorfismo rispetto all'operazioe biaria lo è automaticamete rispetto all elemeto eutro e agli opposti, come visto el capitolo dei gruppi. Nel caso dei mooidi, ivece, u omomorfismo rispetto all'operazioe biaria o porta ecessariamete l'elemeto eutro del domiio ell'elemeto eutro del codomiio. U omomorfismo tra due mooidi ( M, ",1 M ) ed ( H, ",1 H ) è di cosegueza ua fuzioe &"x, y # M, f(x $ y) = f(x) % f(y) f : M " H tale che '. ( f(1 M ) = 1 H U aello è la sovrapposizioe del gruppo additivo e del mooide moltiplicativo, pertato u omomorfismo f:a B tra gli aelli A e B deve soddisfare le codizioi sui gruppi e sui mooidi: % ("x, y # A, & ( ' f(1 A ) = 1 B % f(x + y) = f(x) + f(y) & ' f(x $ y) = f(x) $ f(y) Così come per i gruppi, u omomorfismo biiettivo si chiama isomorfismo. I tal caso, ache l'iversa f -1 di f è u isomorfismo e i due aelli differiscoo solo per il ome degli oggetti ed i simboli usati per descriverli, ma soo essezialmete coicideti. U omomorfismo suriettivo si chiama epimorfismo e i tal caso si dice che B è immagie omomorfa di A. U omomorfismo iiettivo si chiama moomorfismo o immersioe di A i B, e B si chiama estesioe di A. ESEMPI A. Sia A u aello. Sia f:z A u omomorfismo. Allora f ( 1 ) = 1 A, quidi per ogi Z si ha f ( ) = 1 A. Questo è ache omomorfismo di aelli, perché per 15

16 ogi m, Z si ha ( ) = m f m ( )1 A = ( m1 A ) " ( 1 A ) = f m prop. distrib. ( ) " f ( ). Allora questo è il solo omomorfismo tra i due aelli, e la sua immagie è il sottoaello fodametale di A. Se A ha caratteristica 0 allora im(f) è ifiito, quidi f è u moomorfismo, ed il sottoaello fodametale è isomorfo a Z. 2.6.B. - Sia ~ ua cogrueza ell aello A e sia I = [ 0 A ], che sappiamo essere ~ u ideale. Deotiamo co A/I l aello quoziete. La fuzioe π:a A/I, defiita da ( ) = x " x [ ] = x + I, è u epimorfismo, detto epimorfismo caoico. Ifatti, è u ~ omomorfismo di gruppi, essedo ioltre "( x # y) = [ x # y] = x ~ [ ] # y ~ [ ] = " x ~ ( ) # " ( y ) e La suriettività è ovvia. "( x + y) = [ x + y] = x ~ [ ] + y ~ [ ] = " x ~ ( ) + " ( y ), ed "( 1 A ) = [ 1 A ] = 1 ~ A / I. 2.6.C. - Il mooide degli edomorfismi ed il gruppo degli automorfismi. Gli omomorfismi tra u aello e se stesso si chiamao edomorfismi, e formao il mooide (Ed(A),, id A ). Gli isomorfismi tra l aello A e se stessa si chiamao automorfismi, formao il gruppo Aut(A) e viee detto automorfo di A. I particolare, metre Aut(Z, +) possiede due elemeti: l'idetità e la fuzioe che ad ogi x associa l'opposto x, ivece, Aut(Z, +,., 1) è costituito solo dall'idetità, dato che l elemeto uità 1 deve adare i D - Ache il campo reale ha solo l automorfismo baale. Ifatti, se f è u automorfismo del # m & m % ( campo R, allora f(1) = 1, quidi per ogi m " N si ha f(m) = f " 1 % ( = " f(1) = m )1 = m. $ i=1 ' i=1 Ma allora si ha ache f(-m) = -m e, i defiitiva, per ogi umero razioale " f m % $ ' # = f(m) & f() = m x = y 2, quidi e quidi f iduce l idetità sui razioali. Ioltre, " ( ) = f $ y 2 f x # % ' = f(y) & m si ha "x > 0 # $y % R tale che ( ) 2 ( f(x) > 0. Pertato, f coserva l ordiameto di R. Ne viee che, essedo Q deso i R, allora f è l idetità ache su R. Duque, Aut(R) = {id}. 16

17 C'è ua coessioe tra omomorfismi e cogrueze, come prova il seguete teorema, detto teorema fodametale d'omomorfismo, ella versioe per gli aelli. Chiamiamo ucleo Ker f dell omomorfismo f:a B l isieme degli elemeti di A che f porta ello zero di B. TEOREMA 2.7. Siao A e B due aelli ed f u omomorfismo tra di essi. Sia poi I = Ker f = { x " A f(x) = 0 B } il ucleo di f. a) l'immagie Im f è u sottoaello di B; b) I è u ideale di A; c) A/I è isomorfo ad Im f. (L'isomorfismo è defiito da: F : x + I a f(x)). d) f è u moomorfismo se e solo se I = Ker f = {0 G }. Dimostrazioe. a) Iazi tutto, b 1, b 2 " Im f esistoo a 1, a 2 " A tali che $ & b 1 + b 2 = f a 1 % '& b 1 # b 2 = f a 1 0 B = f( 0 A ) " Im f, 1 B = f 1 A ( ) = b 1 ( ) = b 2 " $ f a 1 # % $ f a 2, allora ( ) + f( a 2 ) = f ( a 1 + a 2 ) " Im f ( ) # f( a 2 ) = f ( a 1 # a 2 ) " Im f ( ) " Im f. Per ogi e quidi Im f è u sottoaello di B. b) Per comiciare, 0 A " I perché f( 0 A ) = 0 B. Per ogi x 1, x 2 " I, ( ) = f ( x 1 ) + f( x 2 ) = 0 B + 0 B = 0 B " x 1 + x 2 # I. Ioltre, per ogi y A, ( ) = f ( x 1 ) " f ( y ) = 0 B " f ( y ) = 0 B # x 1 " y $ I. Aalogamete, f x 1 + x 2 f x 1 " y I è u ideale. y " x 1 # I. Pertato, c) La fuzioe F : x + I a f(x) è be defiita, perché per ogi x tale che x +I = x+i si ha x = x+i, i I, allora f(x ) = f(x+i) = f(x)+f(i) = f(x), perché f(i) è ullo, duque F(x+I) = F(x +I). E ache iiettiva, perché si ha: F(x + I) = F( x " + I) # f x ( ) = f ( x ") # f( x $ x ") = 0 B # x $ " aelli. Ifatti, per ogi x+i, y+i apparteeti ad A/I si ha: x % I # x + I = x " + I Ha per immagie Im f, per come è costruita, ed ioltre è u omomorfismo di (( ) + ( y + I) ) = F ( x + y ) + I F ( x + I) " ( y + I) ( ) + I ( ) = f x + y ( ) = F ( x " y ) = f x " y F x + I ( ) = f ( x ) + f ( y ) = F( x + I) + F( y + I), ( ) = f ( x ) " f ( y ) = F( x + I) " F y + I ( ), 17

18 F( 1 A + I) = f ( 1 A ) = 1 B d) f è iiettiva se e solo se per ogi y Im f esiste u solo x 0 tale che f( x 0 ) = y, ossia se e solo se, solo se I = { 0 A }. f "1 y { } = x 0 + I = x 0 ( ) = x # A f ( x ) = y { }, e ciò è possibile se e U ideale I di u aello A è detto massimale se per ogi ideale J di A tale che I J A segue J = I oppure J = A. ESEMPIO 2.8. Troviamo gli ideali massimali dell aello Z. Sappiamo che gli ideali o baali soo tutti della forma mz, co m 2. U ideale I = mz è icluso i u ideale J = Z se e solo se m J, ossia se e solo se m è multiplo di. Allora, I è u ideale massimale se e solo se m o ha divisori propri, ossia se e solo se m è u umero primo. I tal caso, l aello quoziete Z/mZ è u campo, come già sappiamo. Se ivece m è composto, allora mz o è massimale e sappiamo che Z/mZ o è u campo. Sarà sempre così i tutti gli aelli? TEOREMA 2.9. Sia A u aello commutativo. U suo ideale I è massimale se e solo se A/I è u campo. Dimostrazioe. Sia I u ideale massimale di A. Per dimostrare che A/I è u campo dimostriamo che ogi suo elemeto o ullo a ha l iverso rispetto alla moltiplicazioe quoziete. L essere a " I = 0 A /I implica che esiste a A, a I, tale che a = a + I. Sia J A, J = { ax + i x " A, i " I}. Dimostriamo che J è u ideale di A che cotiee propriamete I. Iazi tutto, "i # I, i = a $0 A + i # J % I & J. I particolare, 0 A " J. Ioltre, siao j 1 = a " x 1 + i 1, j 2 = a " x 2 + i 2 due elemeti di J. Allora, ( ) + a " x 2 + i 2 % j 1 + j 2 = a " x 1 + i ' 1 & ( ' $j 1 = a " $x 1 ( ) + ( $i 1 ) # J ( ) = a "( x 1 + x 2 ) ( i + i ) # J #A #I, quidi (J, +) è u sottogruppo di (A, +). Ifie, "j = a # x + i $ J, "y $ A, si ha: ( ) ( ) y " j = j" y = a " x " y i 2 " 3 y # J #A #I e quidi J è u ideale. Poiché a = a "1 A + 0 A # J ma o ad I, allora I è icluso propriamete i J. Ora, per l ipotesi, I è ideale massimale di A, perciò J = A. Ne 18

19 segue che 1 A " J, quidi esistoo x 0 " A, i 0 " I tali che 1 A = a " x 0 + i 0. Allora, i ( ) "( x 0 + I) = a " x 0, ossia A/I si ha: 1 A /I =1 A + I = a " x 0 + i 0 + I 12 3 = a " x 0 + I = a + I a ha =I l iverso. Pertato, A/I è u campo. Viceversa, suppoiamo che A/I sia u campo. Per dimostrare che I è massimale, sia J u ideale di A coteete propriamete I, e dimostriamo che J = A. Poiché J cotiee propriamete I, esiste a J\I. Nel quoziete A/I, allora, a = a + I è ivertibile, ossia esiste b = b + I tale che 1 A + I =1 A /I = a " b = a " b + I. Ne segue che esiste i I tale che 1 A = a " b + i. Ma a J a b J, i I J, quidi 1 A = a " b + i J. Pertato, J = A ed I è massimale i A. Il teorema precedete ha vaste applicazioi, ed alcue le vedremo i seguito. Si osservi che avedo dimostrato che gli ideali di Z soo tutti e soli quelli della forma pz, p primo, ritroviamo, per questa via, che Z/pZ è u campo. Cocludiamo il capitolo co lo studio degli ideali di u prodotto diretto. TEOREMA Siao A e B due aelli e sia A B il loro prodotto diretto. a) Siao I u ideale di A e J u ideale di B, allora U = I J è u ideale di A B b) Sia U u ideale di A B, allora esistoo u ideale I di A ed u ideale J di B tali che U = I J. Dimostrazioe. a) U = I " J = {( i,j) i # I, j # J}. Dimostriamo che è u ideale di A B. Per comiciare, 0 A"B = ( 0 A,0 B ) # I " J. Poi, "( i,j), i #, j # ( ) $ U, ( i,j) + ( i #, j #) = ( i + i #,j+ j #) $ U, ( ) = "i,"j " i,j soo ideali, ( ) # U, quidi (U,+) è u sottogruppo di (A B,+). Ifie, dato che I e J "( i,j) # U," a,b ( ) # A $ B, & ( i,j ' )( a,b Allora I è u ideale di A. Ifatti, Poiché ( ) %( a,b) = ( i %a,j% b) # U ( ) %( i,j) = ( a %i,b % j) # U b) Iversamete, sia U u ideale di A B. Sia, quidi U è u ideale. I " A, I = { i # A $b # B, ( i,b) # U}. ( 0 A,0 B ) = 0 A"B # U, allora 0 A " I. Ioltre, per ogi i, i I esistoo b, b B tali che (i, b) U, (i, b ) U, quidi essedo (i+i, b+b ) = (i, b)+(i, b ) U, allora i+i I. Aalogamete, (-i, -b) = -(i, b) U, segue -i I. Pertato, (I, +) è u sottogruppo di (A, +). Ifie, per ogi a A si ha: ( ) ( a "i,0 B ) = ( a,0 B ) 123 " i,b # U, quidi a i I, ed aalogamete, i a I, quidi I è u ideale { #A$B #U 19

20 di A. Allo stesso modo si dimostra che J " B, J = { j # B $a # a, ( a,j) # U} è u ideale di B. Dimostriamo che U = I J. Per questo osserviamo che per ogi i I, dal fatto che per u opportuo b B si abbia (i,b) U segue che ache ( i,0 B ) = ( 1 A,0 B ) "( i,b) # U. Allo stesso modo si prova che per ogi j J, si ha ( 0 A,j) " U. Allora, "i # I, "j # J, ( i,j) = ( i,0 B ) + ( 0 A,j) # U $ I % J & U. Iversamete, per ogi u " U, u = ( a,b), dall essere b B segue a I, e dall essere a A segue b J, quidi ( ) " I # J $ U % I # J. Pertato, U = I J. u = a,b ESEMPIO Cosideriamo il prodotto diretto del campo Z 2 per se stesso. Gli ideali di Z 2 soo solo quelli baali {0} e Z 2. Pertato, l aello Z 2 " Z 2 ha i tutto quattro ideali: { }, { 0} "{ 0} = ( 0,0) { 0} " Z 2 = { ( 0,0), ( 0,1) }, Z 2 " 0 { ( ),( 1,0) }, { } = 0,0 Z 2 " Z 2 Si osservi che il gruppo additivo dell aello Z 2 " Z 2, oltre a questi quattro sottogruppi, ha u ulteriore sottogruppo d ordie 2, {( 0,0 ),( 1,1 )}, che o è u ideale, ma costituisce il sottoaello fodametale, i quato è il sottogruppo geerato da (1,1), che è l uità del prodotto diretto. 20

21 3 DIVISIBILITA Ricordiamo che, dati a, b N, si dice che a divide b (o che b è multiplo di a) se esiste q N tale che b = aq. Si usa talvolta scrivere a b. L'uità 1 di N divide ogi altro umero aturale, metre lo zero è multiplo di ogi altro umero aturale. Ogi umero aturale è ioltre divisore di se stesso. Per estedere questa defiizioe ad altri cotesti algebrici occorroo u isieme X ø ed ua operazioe. su X, ossia u gruppoide (X,. ). La defiizioe è allora trasferibile così com'è: per ogi a, b X, a b se esiste q X tale che b = a. q Perché o pretedere ivece: a b se esiste q X tale che b = q. a? Se l'operazioe. o è commutativa, ovviamete le cose si complicao. Perciò: PRIMA RIDUZIONE: (X,. ) gruppoide commutativo. Se (X,. ) è u gruppo, per ogi a, b X esiste sempre q X tale che b = aq e si ha quidi a b per ogi a, b X. Perciò: SECONDA RIDUZIONE: (X,. ) gruppoide commutativo ma o u gruppo. La relazioe "divide" ha i N varie be ote proprietà, sia algebriche sia "relazioali". Vediamo alcue proprietà "relazioali". Siao a, b, c N: i. Riflessiva: a a ii. Atisimmetrica: se a b e b a allora a = b iii. Trasitiva: se a b e b c allora a c I altre parole, la relazioe "divide" è ua relazioe d'ordie i N, cioè (N, ) è u isieme ordiato. Poiché esistoo coppie di umeri essuo dei quali divide l'altro allora tale ordie o è totale. L'uità 1 è il miimo e lo zero è il massimo di (N, ). 21

22 Osservazioe. L'aaloga defiizioe "additiva": per ogi a, b N, a b se esiste d N tale che b = a+d produce ivece u ordie totale i N. I esso, 0 è il miimo e o c'è il massimo. Vediamo quali proprietà deve avere il gruppoide commutativo (X,. ) perché la relazioe abbia qui proprietà simili a quelle della relazioe "divide" i N. I) L'elemeto eutro 1 X assicura la proprietà riflessiva: a = a. 1 X a a II) La proprietà associativa assicura la proprietà trasitiva di, ifatti b = a. q, c = b. p c = (a. q). p = a. (q. p) TERZA RIDUZIONE: (X,., 1 X ) mooide commutativo (ma o u gruppo). Per quato riguarda la proprietà atisimmetrica, vediamo come esprimerla: a b e b a esistoo p, q X tali che a = b. p e b = a. q, quidi a = a. (q. p). Teedo presete che si ha ache a = a. 1 X, allora: III) Se a è cacellabile, da a = b. p e b = a. q segue p. q = 1 X e quidi p e q soo ivertibili. QUARTA RIDUZIONE: (X,. ) mooide commutativo (ma o u gruppo) i cui ogi elemeto sia cacellabile, escluso al più l'evetuale elemeto assorbete. Nella maggior parte dei casi, le codizioi poste o bastao ad assicurare la atisimmetria della relazioe. Per esempio, i (Z,., 1) si ha: -3 3 e 3 (-3). Si può osservare, a questo puto che: IV) La proprietà atisimmetrica vale se e solo se il gruppo delle uità del mooide cotiee solo 1 X. Quest'ultima codizioe, tuttavia, o è verificata egli esempi cosueti, come visto per (Z,., 1). Lo è ivece i (N,., 1) (e ache i (N, +, 0)). Dove o è 22

23 verificata possiamo defiire associati due elemeti a, b se a b e b a. La relazioe "essere associati" è di equivaleza el mooide, come è immediato verificare. Chiaramete, questa relazioe è compatibile co la relazioe, el seso che se a b e a', b' soo associati ad a e b rispettivamete, allora a' b'. Ne segue la possibilità di defiire la relazioe fra le classi d'equivaleza di elemeti associati e allora l'isieme quoziete risulta u isieme ordiato. Vediamo ora alcue proprietà "algebriche": siao a, b, c N: iv. Uicità del quoziete: se b = a. c ed (a, b) (0, 0) allora c è l'uico umero che moltiplicato per a dia b. v. Se a b e a c allora a (b+c) ed a (bc). La iv) è verificata ache el mooide (X,., 1 X ) i cui ora lavoriamo dopo la quarta riduzioe. La v) implica la preseza i X di u'altra operazioe, +, rispetto alla quale l'operazioe. sia distributiva. Ma allora: QUINTA RIDUZIONE: (X, +,., 1 X ) domiio d'itegrità. Certamete (N, +,., 1 X ) o lo è, ma possiamo simmetrizzarlo aggiugedo i segi ed otteere (Z, +,., 1), che lo è. Sappiamo dalla sezioe precedete che ogi domiio d'itegrità fiito (X, +,., 1 X ) è u campo. I u campo, la moltiplicazioe. forma u gruppo sugli elemeti o ulli, quidi rede o iteressate, come già rilevato, il ostro studio. Pertato: SESTA ED ULTIMA RIDUZIONE. (X, +,., 1 X ) domiio d'itegrità ifiito e o campo. I questo ambiete si sviluppa quidi ua teoria della divisibilità, che matiee le proprietà elemetari valide i N, a parte l'atisimmetria della relazioe "divide". Per quest'ultima si ha: 23

24 PROPOSIZIONE 3.1. I ogi domiio d'itegrità (X, +,., 1 X ), per ogi a, b X, o etrambi ulli, si ha: a e b soo associati esiste u elemeto ivertibile u tale che b = a. u. Dimostrazioe. Se b = a. u, co u ivertibile (rispetto al prodotto), allora a = b. u -1 e quidi a e b soo associati. Iversamete, suppoiamo che a e b siao associati. Allora, se a = 0 X allora b = 0 X e viceversa. Se a 0 X, allora a è cacellabile e quidi, come già osservato, e segue b = a. q, co q ivertibile. E' iteressate quidi sapere chi siao gli elemeti ivertibili dell'aello. Nel caso di Z soo solo 1 e -1. Talora è possibile effettuare ua scelta "caoica" dei rappresetati delle classi di elemeti associati: el caso di Z, fra due umeri a e -a si sceglie quello positivo. Sia dato u domiio d'itegrità (X, +,., 1 X ) e siao a, b X. U elemeto d X si dice massimo comue divisore di a e b se: i. è u divisore di a e di b (divisore comue) ii. è multiplo di ogi altro divisore comue (massimo) U elemeto m X si dice miimo comue multiplo di a e b se: i. è u multiplo di a e di b (multiplo comue) ii. è divisore di ogi altro multiplo comue (miimo) I N per ogi a, b esistoo etrambi e soo uici, per cui si scrive d = MCD( a, b), ( ) m = mcm a, b e queste due, MCD e mcm, soo operazioi i N, le quali possiededoo varie proprietà, che elechiamo riviado la dimostrazioe agli esercizi. PROPOSIZIONE 3.2. Siao a, b, c N. Allora valgoo le segueti proprietà a) associativa: MCD(MCD(a, b),c) = MCD(a, MCD(b, c)), mcm(mcm(a, b),c) = mcm(a, mcm(b, c)) b) commutativa: 24

25 MCD(a, b) = MCD(b, a), mcm(a, b) = mcm(b, a) c) idempoteza: MCD(a, a) = a = mcm(a, a) d) assorbimeto: MCD(mcm(a, b),a) = a = mcm(mcd(a, b),a) e) distributività reciproca: MCD(mcm(a, b),c) = mcm(mcd(a, c), MCD(b, c)) mcm(mcd(a, b),c) = MCD(mcm(a, c), mcm(b, c)) f) elemeti eutri/assorbeti: MCD(a, 0) = a = mcm(a, 1) MCD(a, 1) = 1, mcm(a, 0) = 0 La struttura algebrica (N, mcm, MCD) così otteuta è u reticolo. Si oti che, rispetto alla relazioe d'ordie "divide", si ha: " MCD(a, b) = if{a, b} # $ mcm(a, b) = sup{a, b} Ioltre, 1 e 0 soo, rispettivamete, il miimo ed il massimo di (N, ). Pertato, il reticolo così otteuto su N è distributivo ed ha miimo e massimo. Se ci poiamo ora i u domiio d'itegrità qualsiasi (X, +,., 1 X ), o è detto che ogi coppia di elemeti a, b X possieda u massimo comue divisore o u miimo comue multiplo. Ioltre, se d' è associato a d e d è u massimo comue divisore di a e b, ache d' lo è. Ioltre, d è massimo comue divisore ache di a', b', se a' e b' soo associati rispettivamete ad a e b. Lo stesso dicasi per il miimo comue multiplo. Pertato, l'uicità o è assicurata, ma lo è a meo di elemeti associati. Scriveremo perciò d = MCD(a, b) (o ache d = (a, b)) e m = mcm(a, b) ache se ciò o sarebbe del tutto corretto. Si poe quidi il problema di trovare codizioi che assicurio l'esisteza di MCD ed mcm. 25

26 ESEMPIO Vediamo i N come si trova il MCD di due umeri. 3.3.A. - I N sovete si defiisce MCD(a, b) come "il più grade" dei divisori comui di a e b, dove l'espressioe "il più grade" o si riferisce all'ordie parziale ma a quello totale. Quest'ultimo è legato all'altro dal fatto che, per ogi a, b N\{0}, a b implica a b. Pertato, ogi divisore comue di a e b è d. Ne segue che basta determiare l'isieme D(a) dei divisori di a e quello, D(b), dei divisori di b, etrambi fiiti, fare l'itersezioe D(a) D(b) e predere il massimo: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, D(a) D(b) = {1, 2, 3, 6} MCD(12, 18) = 6. Si ha ioltre: mcm(12, 18) = /6 = 36, come si può verificare. I modo simile, il miimo comue multiplo mcm(a,b) è il miimo dei multipli comui. Come sopra, si cosiderao l isieme dei multipli di a e quello dei multipli di b, se e fa l itersezioe e si prede il miimo. I questo caso, però, i multipli di a e b soo ifiiti e o si possoo scrivere tutti, ma poiché tra di essi c è il prodotto a b, che è u multiplo comue, allora basta cosiderare per etrambi i multipli miori o uguali al prodotto. Il vataggio di questo approccio è che la dimostrazioe delle proprietà di MCD e mcmc è facile, perché è ricodotta alle proprietà dell itersezioe di isiemi. Ma tutto ciò è esportabile al massimo i Z, i cui c'è l'ordie totale come i N, ma o per esempio fra i poliomi. 3.3.B. - Il procedimeto euclideo delle divisioi successive: sappiamo che i N si può eseguire la divisioe col resto: per ogi a, b N, b 0, esistoo e soo uici q N (quoziete) ed r N (resto) tali che a = b. q + r, 0 r < b. Sappiamo che si ha: a) Ogi divisore comue di a e b è ache divisore comue di b ed r, e viceversa. b) MCD(a, b) = MCD(b, r) Ne segue il seguete algoritmo: supposto a b e posto d = MCD(a, b), a = b. q 1 + r 1, 0 r 1 < b: se r 1 = 0 allora d = b b = r 1. q2 + r 2, 0 r 2 < r 1 : se r 2 = 0 allora d = r 1 r 1 = r 2. q3 + r 3, 0 r 3 < r 2 : se r 3 = 0 allora d = r 2 26

27 Il procedimeto termia dopo u umero fiito di passi, poiché i resti decrescoo ad ogi passo. Per esempio: 18 = = MCD(18, 12) = 6 Per trovare poi mcm(a, b) si usa il fatto che mcm(a,b). MCD(a,b) = a. b. Per esempio, mcm(18,12) = /6 = 36. Ache i alcui domiii d'itegrità è defiita ua fuzioe a valori reali o egativi, detta modulo, e si può eseguire la divisioe col resto, col modulo del resto miore del modulo del divisore, idividuati a meo di elemeti associati. Per esempio, i Z, posto x = valore assoluto di x, per ogi a, b, b 0, esistoo e soo uici q, r Z tali che a = b. q + r, 0 r < b. Essi soo detti aelli euclidei. Co l'aalogo algoritmo si trovao quidi MCD ed mcm ache i questi aelli. I geerale, tuttavia, i u domiio d'itegrità o c è questa possibilità. 3.3.C. - La scomposizioe i fattori irriducibili. I N si defiisce primo o irriducibile u umero p maggiore di 1 e divisibile solo per 1 e per se stesso. Ua sua proprietà rilevate, e che lo caratterizza, è: per ogi a, b N, p a. b p a oppure p b. Esistoo ifiiti umeri primi, come ha dimostrato Euclide. Ioltre, vale il: Teorema fodametale dell'aritmetica: ogi umero aturale > 1 si può scrivere i uo ed u solo modo come prodotto di fattori primi, a parte l'ordie dei fattori stessi. Sia Π l'isieme dei umeri primi. Per ogi a N, a 0, accorpado co l'uso delle poteze i fattori primi uguali e poedo = 0 gli espoeti dei primi macati ella sua scomposizioe, possiamo rappresetare a ella forma: a = p#$ dove gli espoeti soo ulli per tutti i primi p trae u umero fiito. % p " p Ciò posto, se b = p " p %, si ha: p#$ 27

28 b a se e solo se per ogi p Π, β p α p. Questa proprietà è ota come criterio geerale di divisibilità, e dipede dalle proprietà delle poteze: posto θ p = α p -β p e q = p " p %, segue a = b. q. Il viceversa p#$ è immediato. Ne segue la regola che usualmete si isega ella scuola secodaria: per ogi a, b o ulli, scritti come prodotto di primi, si ha: MCD a, b { } ( ) = p mi " p,# p &, mcm a, b p$% { } ( ) = p max " p,# p &. p$% Per esempio: 12 = = , 18 = = MCD(12, 18) = = 6, mcm(12, 18) = = 36 Questo procedimeto, co qualche variate, fuzioa ache i altri aelli. Iazitutto, i u aello ogi elemeto è multiplo di tutti gli elemeti ivertibili e di tutti i suoi associati; lo diremo irriducibile (o idecompoibile) se questi soo i soli suoi divisori. Per esempio, -3 i Z ha come divisori 1, -1, 3, -3, quidi è irriducibile; o avremo quidi l'uicità della fattorizzazioe, ma solo ua uicità esseziale, cioè a meo di elemeti associati, oltre che dell'ordie dei fattori: 12 = = (-2). 2. (-3) = (-2). (-2). 3 Ioltre, la proprietà dei umeri primi di dividere ecessariamete u fattore tutte le volte che dividoo u prodotto o è sempre vera i ogi domiio d itegrità. U elemeto p di u dato domiio (A, +,., 1 A ), o ullo e o ivertibile, si dice primo se per ogi a, b X, p a. b p a oppure p b. Si vede facilmete che se p è primo i A è ache irriducibile: se p = m, allora p ovviamete divide il prodotto m, quidi divide m oppure ; ma questi soo suoi divisori, quidi se per esempio p, allora p ed soo associati ed m è ivertibile; ossia, p è irriducibile. Esistoo però domiii d itegrità co elemeti irriducibili che o soo primi. U domiio d'itegrità (A, +,., 1 A ) si dice fattoriale se ogi a A, o ullo e o ivertibile, è esprimibile come prodotto di fattori irriducibili ed i modo essezialmete uico, cioè se vale i esso il teorema fodametale 28

29 dell'aritmetica. Chiaramete, i u tal domiio ogi coppia di elemeti possiede MCD ed mcm. Ioltre, ogi irriducibile è primo. Ifatti, se p è irriducibile e divide il prodotto a. b, allora esiste q tale che: a. b = p q. I due membri soo uguali, p è irriducibile e compare ella fattorizzazioe del II membro, quidi deve comparire ache ella fattorizzazioe del I membro, o fra i fattori di a (ed allora p divide a) o fra quelli di b (ed allora p divide b) o i etrambi. A questo puto, i u domiio fattoriale si pogoo due problemi: a) Classificare gli elemeti irriducibili (= primi) b) Scomporre u dato elemeto i u prodotto di irriducibili. I N etrambi i problemi soo aperti e soo tuttora oggetto di ricerche, a causa delle applicazioi alla crittografia e quidi alla tutela della segretezza ella trasmissioe di iformazioi bacarie, militari, politiche. Si hao umerosi criteri di primalità e di divisibilità, alcui dei quali soo be oti ed elemetari, ma ce e soo di be più sofisticati, alcui dei quali soo implemetati sui programmi matematici più comui (Mathematica, Maple, Derive,...) Vedremo ella prossima sezioe quel che accade co i poliomi sui campi reale, complesso e razioale. 3.3.D. - C'è ifie u ulteriore aspetto algebrico da cosiderare, che lega i u certo seso addizioe e MCD: l idetità di Bézout: se d = MCD(a, b) i Z, esistoo u, v Z tali che au + bv = d. Per esempio, 6 = MCD(12, 18) = No i tutti i domiii fattoriali vale questa idetità. Essa è legata alla ozioe di ideale pricipale di u aello: i u aello commutativo u ideale I si dice pricipale se esiste m I tale che I = {m. a a A}, cioè è costituito dai multipli di m. I tal caso I si dice geerato da m. Si usa scrivere I = ( m ). La ozioe di divisore si traduce i termii di ideali osservado che, per ogi m, A si ha: m se e solo se ( ) ( m ). U domiio d'itegrità i cui ideali siao tutti pricipali è detto domiio ad ideali pricipali (P.I.D.). U esempio è costituito dagli aelli euclidei: se I è u ideale o ullo, esso ha elemeti o ulli di modulo miimo: se m è uo di essi, ogi altro suo elemeto x, diviso per m dà x = mq+r, co 0 r < m, ma 29

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