Facoltà di Ingegneria Civile. Relazione di Fine Tirocinio

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1 Facoltà di Ingegneria Civile Relazione di Fine Tirocinio La MS Laboratorio Modellazione e Simulazione Prof. Luciano Teresi Studente: Di Carlo Mirko A.A

2 Introduzione.1 CAPITOLO 1 PROVE DI TRAZIONE SU PROVINO PARALLELEPIPEDO VINCOLO DI INCASTRO VINCOLO DI GLIFO VISUALIZZAZIONE GRAFICA DEI RISULTATI PROVA DI TRAZIONE CON CONTROLLO DI SPOSTAMENTO 14 CAPITOLO 2 PROVINO PARALLELEPIPEDO SOTTOPOSTO A DISTORSIONI CAMPO DI DISTORSIONE NECESSARIO PER PROVOCARE LA FLESSIONE DEL PROVINO.17 CAPITOLO 3 - MODELLAZIONE DI TRAVI IN CAMPO ELASTICO LINEARE GEOMETRIA DEFINIZIONE DEI MATERIALI PROBLEMA DI ELASTICITA LINEARE DEFINIZIONE DEI CARICHI MESCH (griglia) DEFINIZIONE STUDI SULLA TRAVE ANALISI SUL MODELLO FISICO DEFINITO SIMULAZIONE CON IL TAGLIO ULTERIORI ANALISI GRAFICO DEGLI SFORZI PRINCIPALI SIMULAZIONE CON IL MOMENTO TORCENTE SIMULAZIONE CON IL MOMENTO FLETTENTE..44 CAPITOLO 4 - MODELLAZIONE TRAVI NON STAZIONARIA DOMINIO FATTORI CHE INFLUENZANO LA VELOCITA DI UN FENOMENO MODELLAZIONE DEL PROBLEMA CON IL SOFTWARE COMSOL MULTIPHYSICS GEOMETRIA E DEFINIZIONE DELLE CARATTERISTICHE DEL MODELLO STUDI SUL MODELLO NON STAZIONARIO CASO FUNZIONE RETTANGOLARE FORZANTE ARMONICA 66

3 CAPITOLO 5 - MODELLAZIONE DI UNA PIASTRA E ANALISI DEGLI EFFETTI DI VARIAZIONE DELLO SPESSORE..68 Conclusioni....95

4 UTILIZZO DEL SOFTWARE COMSOL PER IL CALCOLO STRUTTURALE Introduzione L attività di tirocinio si è svolta nel periodo compreso tra il 07/11/2014 e il 09/12/2014 presso il LaMS - Laboratorio Modellazione e Simulazione dell Università di Roma Tre con durata complessiva di 1 mese circa nel quale è stata svolta un intensa attività di modellazione strutturale attraverso l utilizzo del programma Comsol Multiphysics. Il totale delle ore, considerando la presenza in sede dalle ore 9 alle ore 18, dal lunedì al venerdì, ammonta a 150 cui corrispondono 6 CFU. L obiettivo del tirocinio svolto è quello di acquisire la conoscenza di base per l utilizzo del software Comsol Multiphysics ai fini dell utilizzo nel calcolo strutturale. In particolare COMSOL Multiphysics è l ambiente software scientifico di modellazione e simulazione di sistemi fisici complessi. Il suo punto di forza è la capacità di modellare e simulare fenomeni multifisici. I moduli opzionali ne permettono il potenziamento mediante strumenti specifici per le diverse discipline come acustica, batterie e celle a combustibile, ingegneria chimica, scienze della terra, elettromagnetismo, fluidodinamica, trasporto di calore, MEMS, plasmi, ottimizzazione e meccanica strutturale. Nel caso in esame l attività è volta prettamente alla modellazione fisica di fenomeni riguardanti il calcolo strutturale quali ad esempio lo studio di piastre con spessore variabile, modellazione di travi in campo elastico lineare ed infine la realizzazione di prove di trazione su provini realizzati con materiale non isotropo al fine di studiarne il diverso comportamento a trazione e compressione. Prima di procedere alla trattazione dei suddetti problemi più complessi occorre familiarizzare col programma acquisendone i rudimenti di base. Per poter implementare una qualunque modellazione fisica con il programma Comsol sarà innanzitutto necessario analizzare singolarmente i seguenti punti: 1. Spazio Ambiente 2. Variabili di Stato 3. Corpo 4. Bilancio 1

5 CAPITOLO 1 PROVE DI TRAZIONE SU PROVINO PARALLELEPIPEDO Durante il periodo di tirocinio svolto una parte del tempo è stata impiegata per la modellazione di provini tridimensionali soggetti a trazione e caratterizzati da diversi tipi e gradi di vincolo. Prima di passare alla trattazione vera e propria del problema occorre definire il modello fisico sul quale si andrà a lavorare. Lo spazio ambiente scelto è quello 3D nella sezione iniziale Select Space Dimension, il passaggio successivo è la scelta del tipo di FISICA con la quale si formalizzerà il PLV e quella scelta è la forma debole Weak Form PDE nella sezione Add Physics > Mathematics. Nella parte inferiore della sezione in Add Physics si definiscono le VARIABILI DI STATO (DEPENDENDENT VARIABLES), in questo caso l INCOGNITA è il CAMPO DI SPOSTAMENTO ed essendo un problema di tipo elastico lineare si avranno tre componenti dello spostamento. 2

6 A questo punto viene richiesto di indicare il tipo di esperimento da effettuare sulla struttura nella sezione Select Study Type La simulazione numerica è un esperimento che va progettato attraverso l uso di 3 NODI (3 contenitori) rappresentati da: Modello, Studio e Risultati. Inoltre ciascun contenitore può essere caratterizzato al suo interno da altri contenitori che si possono mettere anche in relazione tra di loro. A questo punto disegno il corpo che sarà il Dominio di tutte le equazioni (Bilancio, Congruenza, Costitutiva) che caratterizzano il modello di Elasticità Lineare. Solitamente, se il corpo è complesso nella geometria, si disegna in Cad e poi con il comando Import si importa nel programma. Per costruire il corpo, bisogna cliccare con il tasto destro sul primo contenitore (Nome File presente in Model Builder) e scegliere Add New Model Geometry Block, per creare il parallelepipedo sul quale si vuole effettuare una PROVA di TRAZIONE. Si assegnano a Width, Depth ed Height dei parametri arbitrari che per comodità linguistica Italiana facciamo corrispondere esattamente a Lunghezza (Lenght), Larghezza (Width) e Altezza (Height) definite nel modo seguente: Inoltre si sceglie un sistema di riferimento centrato nel parallelepipedo Position Center. Inizialmente indica proprietà geometriche in rosso perché non né conosce il valore. Per poter assegnare i valori dei parametri che definiscono le proprietà del corpo vado nella sezione Model 3

7 Builder nel nodo Global Definitions Add Parameters perché Global Definitions è il contenitore nel quale vengono definite le proprietà del corpo. Si noti come l unità di misura è assegnata accanto al numero adottando delle parentesi quadre. Premendo il pulsante Built lui mi crea l oggetto. EQUAZIONI DI BILANCIO: Come detto nella parte introduttiva per la corretta definizione del problema fisico occorre anche ricavare le equazioni di bilancio che caratterizzano il dominio scelto. La prima equazione che viene definita è il Bilancio ossia il PLV come segue: 0 = ( S u B + f u )dv + t u da t B Dove entrambi gli integrandi rappresentano la Weak Contribution ossia il termine che bisognerà fornire al programma mentre per quanto riguarda gli integrali sono assunti automaticamente nei calcoli dal programma. Il primo però indica cosa c è dentro mentre il secondo cosa c è al bordo. I nomi per S, f e t vengono scelti mentre quelli per lo spostamento derivano dalle variabili di stato già scelte pari a u 1, u 2, u 3. Tale principio di bilancio va scritto per componenti, sulla base delle 3 variabili di stato (componenti dello spostamento) precedentemente scelte (u1, u2, u3), funzione di (x,y,z,t). La nomenclatura da utilizzare nel programma è la seguente: u1x = u 1 x ; u1xx = 2 u 1 x 2 ; u1t = u 1 t ; u Mentre per calcolare lo spostamento virtuale u, si utilizza l operatore test in questo modo: u = test(u1) 4

8 A questo punto scrivo l integrando: S11 test(u1x) S12 test(u1y) S13 test(u1z) + f1 test(u1) Questa è la prima riga della matrice scritta per componenti, la relazione sarà analoga per le altre righe. Se prendiamo l equazione di bilancio osserviamo come lo 0 è uno scalare dunque quella è un unica equazione di bilancio per cui nella (1) dovrei continuare ancora a sommare le componenti derivanti da seconda e terza riga. Detta così sarebbe una cosa molto lunga ma il programma ci consente di scrivere separatamente le 3 righe che poi andrà ad unire in un unica equazione. Allora andando in Weak Form Weak Form PDE 1, la prima richiesta del programma è a quale dominio riferirsi; in questo caso a tutto il corpo. Poi mi chiede di definire l integrando e dato che ho tre variabili di stato mi fornisce tre righe. Come si nota in Weak Expression si ritrovano esattamente le tre righe degli integrandi scritti per componenti, già compilate. L attenzione particolare va sul fatto che le espressioni scritte dal programma sono quelle riferite al problema più semplice ossia quello di studio del CALORE (rappresentativo del LAPLACIANO). Infatti, il programma scrive già la seguente relazione: test(u1x) u1x Dove il primo termine rappresenta proprio il gradiente dello spostamento virtuale, mentre il secondo indica il Laplaciano ossia il termine del problema semplice di studio del calore. Allora per riportare tutto al caso specifico si devono sostituire i termini del Laplaciano con (S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32, S33), nel rispetto della simmetria della matrice S e tenendo conto che S è simmetrico. Ovvero il campo Tensoriale è una matrice 3x3 è semplicemente il gradiente dello spostamento, ma in questo caso non ha senso perché la tensione non è il gradiente dello spostamento ma la tensione dipende dalla deformazione. Ed inoltre il programma aggiunge il termine dei carichi che è il secondo termine nella relazione seguente che vale 1 ovunque. 5

9 u u + 1 u Una volta apportate le modifiche il programma mi dà la scritta in giallo infatti non conosce le componenti di S. Inoltre vuole anche le dimensioni della variabile indipendente (di default posta adimensionale) che, essendo uno spostamento saranno pari a [m]. La sorgente per questi tipi di problemi prende il nome di carico Source Term Quantity. In questo modo è stato definito il primo integrando, bisogna assegnare nella sezione Weak Form PDE Zero Flux il Flusso di carico al bordo t. Siccome si sta valutando il provino sottoposto a trazione, la sorgente in questo caso è una forza di trazione su una delle facce del parallelepipedo. (1) t u da t B Per poter assegnare la condizione al bordo (simbolo con bordino viola indica le condizioni al contorno mentre il bordino pieno indica condizioni di volume) bisogna introdurre nel contenitore Weak Form una Weak Contribution. Devo scrivere il termine (1) per il mio problema quindi cliccando col destro sul nodo Weak Form richiamo il Weak Contribution infatti mi serve di imporre delle cose al bordo. Nuovamente la prima richiesta è quella di determinare il dominio sul quale agirà questa forza di trazione. Si sceglie selezionando il corpo la faccia sulla quale si impone la condizione di trazione (faccia 6). Un generico campo di forze sarà pari a: t1 test(u1) + t2 test(u2) + t3 test(u3) Siccome nel caso in questione si considera una sorgente di tipo orizzontale, spariscono i termini t 2 e t 3. E possibile valutare quanto detto nell immagine seguente: 6

10 Nel principio dei lavori virtuali per definizione la risultante delle forze e del momento delle forze deve essere nulla. Quindi il problema come formulato non ha senso, non ha soluzioni perché la risultante non è zero. Per renderlo sensato possiamo mettere una forza uguale e opposta alla sorgente (campo di forze) ma è una soluzione complicata dunque in maniera più semplice posso andare a mettere dei vincoli, e le reazioni vincolari aggiustano il bilancio delle forze. 1.2 VINCOLO DI INCASTRO. La prima analisi svolta sulla fisica precedentemente definita prevede di vincolare il provino con un vincolo di incastro e il problema è a questo punto definito nella maniera corretta. Quindi assegniamo il vincolo di incastro al nostro corpo all interno del contenitore Weak Form PDE Weak Constraint, all interno del quale la prima richiesta è sempre quella di definire il dominio, ovvero dove dare le condizioni di vincolo, e in questo caso seleziono la faccia opposta a quella sulla quale è applicata la sorgente (faccia 1). Quindi l impostazione del problema è quella che devo trovare u in maniera tale che: u = u in u B, che corrisponde alla faccia 1 ; 0 = ( S u B + f u )dv + t u da t B u dove t B corrisponde alla faccia 6. Ricordandoci che l elasticità lineare è basata su 3 equazioni (Costitutiva, Congruenza e di Bilancio), dobbiamo definire la relazione di Congruenza e la relazione Costitutiva, ovvero dobbiamo definire come è fatta la tensione e come è fatta la deformazione. Congruenza E = sym u 7

11 Costitutiva S = CE e = Riscritte per componenti: y υ y 1 + y Ee + (1 + υ)(1 2υ) tr(ee )I E11 = u1x (spostamento 1 derivato rispetto a x) E12 = (u1y + u2x)/2 Bisogna scrivere quindi sei espressioni, e per scrivere la relazione costitutiva ho bisogno di quantificare i due parametri di Poisson e Young. Per semplicità questi li considero come parametri, dando un valore arbitrario al modulo di Young, (in questo caso pari a 1) e dando un valore al modulo di Poisson facendo attenzione a non ottenere una forma indeterminata dal rapporto. Inoltre per semplificare l espressione posso utilizzare i parametri di Lamè ovvero pongo: υ y (1 + υ)(1 2υ) = λ e y 1 + y = µ che per evitare di non poter usare il metodo parametrico verranno chiamati rispettivamente µy (in realtà sarebbe 2 µy), µ in funzione di y, e λy, ovvero λ in funzione di y. All interno del contenitore Model 1 Definitions Variables posso inserire un numero elevato di dati, e il primo nodo che posso aggiungere si chiama Nodo delle Variabili (Variables), all interno delle quali posso definire delle funzioni. La prima richiesta è sempre di specificare il dominio. 8

12 All (ovunque) Demain ( è l interno delimitato dai bordi) Boundery (bordo) A questo punto devo definire chi è E ed E 0, inserendo tutte le componenti nel programma (E11,E22,E33,E12 ). Dunque: E 11 = U 1X E 22 = U 2X TERMINI SULLA DIAGONALE E 33 = U 3X E 12 = (U 1Y + U 2X )/2 E 13 = (U 1Y + U 3X )/2 TERMINI AL DI FUORI DELLA DIAGONALE E 23 = (U 2Y + U 3X )/2 SI RICORDA CHE E E UNA MATRICE SIMMETRICA. Tr(E) è importante sia perché mi dice QUANTO E VARIATO IL VOLUME DEL CORPO e sia perchè compatta l espressione. Poi scrivo la relazione costitutiva : S11 = mye11 + λytr(ee) S12 = mye12 9

13 S13 = mye13 A questo punto manca E0 ovvero la DISTORSIONE, ovvero E e = E E 0 dove: E è un campo e in genere varierà da punto a punto; E 0 è un dato del problema sono io che l assegno. Se è costante la metto nei Parametres, altrimenti se è un campo la metto tra le Variables. Nel nostro caso la consideriamo un parametro e la poniamo uguale a zero. A questo punto ho chiamato la forza t1(x,y,z) ma non ho detto quanto vale. Per assegnare tale valore carico un altra variabile, considerando che la forza è un campo che definisco solamente sulla faccia 6 dove è applicata. t1 (x,y,z) Definisco quindi tra i parametri anche la funzione tiro (ovvero la forza orizzontale) che è una funzione qualsiasi. Per semplificare lo considero un parametro e lo pongo pari a 1. Il comando da usare è: Geometrical level Boundary Selection Normal È un PROBLEMA LINEARE per cui a prescindere dall input comunque restituisce un output E DUNQUE E SEMPRE RISOLVIBILE. Resta, però, il fatto che mettendo come valore del carico 1 la soluzione ottenuta non ha senso. A questo punto posso procedere con il comando Compute, nella sezione Study1 andando ad analizzare i risultati dentro il contenitore Results. In particolare, nella sezione Data set è possibile visualizzare tutti i calcoli effettuati dal programma. All interno del contenitore Result è possibile, inoltre, graficare il corpo, e agendo sul nodo Surface vado a colorare la superficie del mio blocco in funzione della componente di spostamento ossia in base alla deformazione causata dalla forza orizzontale. Il comando Scale Factor fa sì che la deformazioni sia visibile all interno della finestra del programma. Infatti il programma non sa che tipo di problema stiamo risolvendo. Il grafico mi fornisce un raffronto tra il corpo non deformato e quello deformato. In una prima analisi la soluzione ottenuta è tale per cui la base non si è deformata e il campo di spostamenti è quello orizzontale. All incastro lo spostamento è zero mentre il punto estremo non vincolato si è spostato di 2 metri. L oggetto era lungo 2 m quindi il risultato ottenuto non ha alcun senso per il modello che stiamo usando che è un modello lineare che funziona solamente in presenza di spostamenti piccoli. Gli spostamenti trasversali sono proprio legati al modulo di Poisson. Supponiamo di voler fare una prova di trazione, bloccando il corpo da una parte e tirandolo dall altra, allungandolo piano piano, devo risolvere una sequenza di problemi, per un carico zero, carico piccolo, carico un po più grande e così via. 10

14 E posso fare questa cosa tramite Step 1, che definisce il tipo di problema che sto risolvendo, e in questo caso sto considerando un problema stazionario. Entro nell ultima sezione del Step 1 ossia Study Extension e spunto Continuation in modo tale che la soluzione i il programma la cerca a partire dalla soluzione i-1 e questo quando ci sono dei carichi incrementali è molto utile perché il dominio di calcolo è sempre lo stesso, e con il continuation diamo dei carichi che crescono paino piano. Devo scegliere il parametro da far variare e in questo caso prendo il carico di trazione ossia tiro1 per cui il primo carico è pari a zero e quindi la soluzione è identica al corpo disegnato, il secondo carico è piccolo e quindi la soluzione è vicina a quella precedente; il terzo carico è più grande quindi lui cerca la soluzione sulla base di tutte le informazioni ottenute dalla soluzione precedente. Se vogliamo fare delle analisi parametriche, variando un parametro, dobbiamo definire questo parametro, come per esempio la lunghezza (posso fare la stessa analisi su oggetti che hanno dimensioni diverse). Risolto il problema viene aggiornato il Data Set la deformazione che esce fuori è realistica. La deformazione ottenuta ora è una deformazione che ha senso per l ipotesi di elasticità lineare. Per capire quanto vale la deformazione considero la componente più importante ossia quella longitudinale ovvero E11. La deformazione massima è 6/7% che per un problema lineare è comunque elevata. La deformazione grande sta all incastro, sugli spigoli. Infatti la faccia vorrebbe restringersi ma non lo può fare quindi ci sono delle deformazioni molto grandi. Comsol permette anche di graficare l andamento della tensione e della deformazione, σ ε. Si ricorda che il diagramma è riferito a tensione-deformazione nello stesso punto. Per fare questo diagramma devo fare un Data Set che contiene solamente quel punto. Considero in Data Set il nodo Cut point 3D 1 e prendo un punto che sta alla fine considerando che l origine coincide con il baricentro del corpo e dunque se voglio considerare un punto che sta alla fine lo prendo a Lenght/2 di distanza dall origine. Inoltre voglio il punto al centro della faccia e dunque pongo x = 0 e y = 0. Ora il Data Set ha due contenitori: Solution: contiene i risultati riferiti a tutti i punti 11

15 Cut point 3D 1: contiene i risultati relativi al singolo punto considerato. Per graficare Grafico 1D->Cut Point 3D, expression E11, unit 1 e ottengo: Essendo un problema lineare tanto tiro tanto allungo. Il grafico lo voglio con i parametri invertiti per cui scrivo Parametro ascissa (tiro) e in ordinata E11. Il grafico è lo stesso con gli assi invertiti e la pendenza rappresenta il modulo elastico. 1.3 VINCOLO DI GLIFO Nei paragrafi precedenti abbiamo considerato il nostro oggetto incastrato ad un estremo e dunque abbiamo visto che si allungava nella direzione del tiro senza modificare le altre due dimensioni: LA SEZIONE BASE RIMANE NELLE DIMENSIONI DI PARTENZA. In questa parte si vuole lasciare libera la contrazione laterale e dunque se si allunga in una direzione si accorcia nelle altre due: LA SEZIONE BASE DIVENTA PIU PICCOLA. Blocco la traslazione dello spigolo con una cerniera mentre lungo la parte verticale metto una specie di glifo che non blocca il movimento. Per modificare il vincolo apro il nodo Weak Form e il nodo Constraint 1 in cui avevamo un vincolo sulla faccia 1 per cui si imponevano nulle le 3 componenti del campo si spostamento. DEVO RIMUOVERE QUESTO VINCOLO IMPONENDO L ANNULLAMENTO DELLA COMPONENTE DI SPOSTAMENTO (ossia il vicolo) NORMALE ALLA FACCIA (u1 = 0) LASCIANDO LIBERE LE ALTRE DUE COMPONENTI (u2 e u3). I risultati ottenuti saranno diversi dal caso precedente in quanto in questo caso il provino si schiaccia anche nelle direzioni ortogonali rispetto alla direzione della forza in corrispondenza del vincolo. LA DEFORMAZIONE CHE VEDO E PROPRIO DOVUTA ALL EFFETTO DI POISSON. 1.4 VISUALIZZAZIONE GRAFICA DEI RISULTATI Premendo il pulsante Plot si grafica uno dei tre problemi. A questo punto è possibile settare le opzioni del grafico per visualizzarlo a seconda delle nostre esigenze. Tutte queste opzioni si trovano sotto il nodo Surface 1. In particolare si imposti: 12

16 Al posto di Color Table Uniform per vedere l effetto di Poisson. Siccome il punto in basso è vincolato e dunque la traslazione non avviene l effetto di Poisson si sfoga sugli altri due lati: Se ripetessi gli stessi passi nel caso di un provino vincolato con un incastro all estremità otterrei qualcosa di molto più strano simile a una carta di caramella: I punti sopra vanno a finire sotto e viceversa e si evidenzia una zona in cui lo spessore è molto sottile tendente ad annullarsi. 13

17 1.5 PROVA DI TRAZIONE CON CONTROLLO DI SPOSTAMENTO In questo caso anzicchè imporre la condizione sul tiro ed effettuare una prova di trazione vado ad imporre, anche a sinistra, una condizione sullo spostamento. Devo incastrare una faccia dunque uso la stringa: Weak Form tasto destro Constraint seleziono la faccia e impongo la componente u1- u pari a zero A questo punto dovrò definire il valore di u tra i parametri. Per decidere quanto vale u devo valutare l entità del modulo di Young infatti se il carico è 10 volte minore di Y la fisica del problema ha senso altrimenti le deformazioni risulteranno molto elevate e non si può più fare l ipotesi di elasticità lineare. Ad esempio se prendo u = 1m e l oggetto è lungo 2m la fisica del problema non ha senso. LE DEFORMAZIONI DOVRANNO ESSERE NELL ORDINE DEL 2-4 %. A questo punto vado su Study1 Step1:Stacionary Study extension e spunto il Continuation per non avere più l analisi parametrica. 14

18 La soluzione è simile a quella di prima ma ora il controllo è sullo spostamento: Posso fare, però, la stessa cosa anche parametricamente usando come parametro non il tiro ma u e lascio gli stessi valori utilizzati precedentemente per il carico. Anche in questo caso, se utilizzo un alto valore di spostamento, si verifica un inversione dei punti. Da notare come, essendoci un controllo sullo spostamento e non sulla forza non è cresciuta la dimensione della faccia in destra. CAPITOLO 2 PROVINO PARALLELEPIPEDO SOTTOPOSTO A DISTORSIONI Sottopongo il provino a distorsioni per vedere come l oggetto si comporta. Per accendere le distorsioni vado in Global definition Parameters e cambio i valori alle distorsioni per esempio quelle sulla diagonale: E 11 E 22 E 33. Devo capire quali valori utilizzare. Le distorsioni sono delle deformazioni. Si ricordi infatti che la deformazione elastica è data dalla differenza tra la deformazione e la distorsione: E e = E E 0 La distorsione la impongo io mentre E = Sym u E=0 (10-2 ) con questa scrittura voglio dire che la deformazione è nell ordine di 10-2 Dunque per avere risultati sensati la distorsione dovrà avere gli stessi ordini di grandezza. A tal proposito si considera: E 0 =

19 IMPONENDO GLI STESSI VALORI A TUTTI GLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE STO CONSIDERANDO UNA DISTORSIONE SFERICA ossia una distorsione che è la stessa in tutte le direzioni. E come se ho una palla che mantiene la forma pur aumentando o diminuendo il volume. Se vado a graficare la soluzione vedo che qualcosa è cambiato ossia che è un po più grande ma il risultato non è ben scalato. Dunque vado nel nodo che gestisce il grafico e, in particolare in Surface1 Deformation Scale factor e cambio il fattore di scala passando da 1 a 10. In questo modo andrò a visualizzare molto meglio la deformazione infatti sto amplificando di 10 volte lo spostamento. Sta succedendo che la distorsione è la deformazione che il corpo vorrebbe realizzare ossia esiste una E = E 0 tale che E e = 0. IN QUESTO PROBLEMA L INGRESSO E E 0 MENTRE L INCOGNITA E LO SPOSTAMENTO U. Dunque assegno una distorsione e cerco di capire se posso realizzarla. Se può realizzare la deformazione la tensione nel corpo è nulla così come l energia elastica del corpo stesso. Per vedere che cosa succede all interno del mio provino considero il nodo 3D Plot Groups 2 e selezioniamo il nodo Slice 1. Cliccando su tale nodo gli dico di mettere 5 fette nel piano zx (fette longitudinali). VOGLIO INFINE COLORARE OGNI FETTA CON LA COMPONENTE 11 DELLA TENSIONE E VOGLIO VEDERNE LA DEFORMAZIONE. Si ricorda che, per visualizzare correttamente la deformazione occorre aumentare il fatto di scala da 1 (valore di default) a

20 La tensione è zero dappertutto tranne che nella zona di sinistra dove ho imposto il vincolo dunque l oggetto si è deformato ma la sua ENERGIA ELASTICA E LA STESSA. Nelle zone in cui ho una tensione diversa da zero la distorsione che voglio non è realizzabile infatti non esiste nessun campo di spostamento u per cui u = E0. Infatti ho vincolato u sulla faccia di sinistra. Ho assegnato un campo di distorsione uniforme per cui in ogni punto x ogni elemento di volume del corpo vorrebbe essere un po più grande ma essendo una deformazione sferica un punto rimane un punto e gli elementi di volume a destra lo possono fare senza problemi mentre quelli a sinistra hanno la faccia vincolata e non possono farlo. Dunque quello che vedo sono dei cubi elementari che non rimangono cubi. NELLA ZONA DI DESTRA LA DEFORMAZIONE E UGUALE ALLA DISTORSIONE DUNQUE Ee=0. NELLA ZONA DI SINISTRA LA DEFORMAZIONE E DIVERSA DALLA DISTORSIONE E DUNQUE Ee 0. QUESTO CAMPO DI SOLLECITAZIONE E DETTO COAZIONE infatti è il campo stesso che induce uno stato tensionale sul provino IN ASSENZA DI CARICHI ESTERNI. E il caso delle distorsioni termiche che generano sollecitazioni molto elevate per questo in fase di progettazione di un opera bisogna tenerne conto. 2.1 CAMPO DI DISTORSIONE NECESSARIO PER PROVOCARE LA FLESSIONE DEL PROVINO 17

21 E il fenomeno che accade quando abbiamo un oggetto esposto al sole. Infatti per passare da una configurazione A alla configurazione B l elemento di volume dovrà crescere sotto e rimpiccolirsi sopra proprio come avviene in un oggetto sotto il sole per cui alcune fibre si scaldano e si allungano mentre altre sono più fredde e si accorciano. Se considero una distorsione fatta così: E 0 11 = α z Sto allungando il corpo solo nella direzione 1. Ho un coefficiente che mi dice quanto vale l allungamento. Inoltre ho bisogno di un campo perché voglio allungare sotto, accorciare sopra e non fare nulla in mezzo. IN QUESTO CASO NEL PROGRAMMA LA DISTORSIONE LA METTO TRA LE VARIABILI E NON TRA I PARAMENTRI PERCHE, come abbiamo detto, E UN CAMPO E DUNQUE NON E COSTANTE. IN PARTICOLARE DEFINISCO UNA DISTORSIONE SFERICA COME INDICATO IN FIGURA: Dunque se considero un CUBO ELEMENTARE esso vuole diventare più grande o più piccolo ma, essendo la distorsione un campo, lo farà in modo diverso. Infatti quelli che stanno sull asse hanno una configurazione che si mantiene invariata mentre quelli che stanno sopra e sotto si distorgono tanto ma con distorsioni con segno opposto. Devo poi definire il parametro α. Dunque in Parameters aggiungo α =

22 Una volta definito il campo di distorsione si ottiene il risultato graficato: Può essere ad esempio un pezzo di metallo scaldato sopra dal sole. La temperatura può avere dei profili del genere se la distorsione è proporzionale alla temperatura e la temperatura è lineare. Ho ottenuto questo profilo perché α e z sono positivi e dunque gli elementi di volume che stanno sopra crescono mentre quelli che stanno sotto diventano più piccoli. 19

23 CAPITOLO 3 - MODELLAZIONE DI TRAVI IN CAMPO ELASTICO LINEARE Dopo aver terminato lo studio su un singolo provino il tirocinio è proseguito implementando sul programma il modello fisico di una trave per la quale sono valide le ipotesi della teoria lineare. Per poter correttamente definire il dominio, i vincoli e la geometria della trave si è proceduto come segue: La prima cosa da fare per poter intraprendere la modellazione di travi è sicuramente quella di definire lo SPAZIO IN CUI STO LAVORANDO. Dunque in: Select Space Dimension seleziono: 3D Poi devo aggiungere la FISICA del problema dunque: Add Physics Structural Mechanics Solid Mechanics (solid) A questo punto definisco il TIPO DI STUDI che voglio effettuare dunque: Select Study Type Stacionary Inizializzato il modello la prima cosa che facciamo è introdurre dei parametri: Tasto destro Global Definitions Parameters Load from file dunque inseriamo i parametri preparati in un file.txt Si riporta un immagine dei parametri inseriti: 20

24 Vediamo alcuni parametri tra cui quelli di rigidezza e peso definiti con riferimento a due materiali diversi: Quercia rossa americana (american red oak) Acciaio strutturale (Structural Steel) 3.1 GEOMETRIA Per creare la geometria si apre il nodo Model1 Geometry1 tasto destro per creare un parallelepipedo Block1. Inserisco in: Width Len3ht Depth Width Height Height Otteniamo così il parallelepipedo in figura. In Position posso scegliere la posizione dell ORIGINE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO. Scelgo Center in modo tale che il sistema di riferimento sia posizionato nel baricentro del parallelepipedo. A questo punto creo un secondo parallelepipedo Block1 uguale al precedente in termini di Lenght ma ha una Width che abbiamo chiamato Width_top (larghezza soletta trave) e una Heigh che è una height_top (altezza soletta trave). 21

25 Anche in questo caso definisco come posizione del sistema di riferimento Center. Così facendo però la soletta viene messa in prossimità del baricentro del Block1 : Devo portare la soletta verso l alto di una quantità pari a: Height 2 + Height top 2 Infatti salgo prima di metà altezza del Block 1 e poi di metà della soletta. IN QUESTO MODO LA SOLETTA POGGIA PRECISAMENTE SULLA TRAVE. HO DEFINITO LA PRIMA TRAVE COMPOSTA DA ANIMA E SOLETTA. VADO A MODIFICARE ULTERIORMENTE LA TRAVE: Tasto destro su Geometry 1 Cylinder 1 ossia definisco un cilindro con Raggio pari al raggio che abbiamo inserito nei parametri: R_Cylinder e lo posiziono con una direttrice verso l asse y. Dunque in Axis Axis type y-axis. Inoltre siccome posiziono il cilindro lungo la y verrà largo quanto la larghezza dell anima e dunque in Height metto Width. Siccome il sistema di riferimento è centrale se disegno il cilindro viene posizionato dal programma con la base che sta nella mezzeria della soletta. Dunque, come vediamo in figura vado a traslare indietro il cilindro di una lunghezza pari a -Width/2. In questo modo il CILINDRO E PERFETTAMENTE CONTENUTO ALL INTERNO DELL ANIMA (come si nota dall immagine grande sovrastante). 22

26 A questo punto voglio formare altri cilindri ma senza perdere tempo vado a utilizzare la funzione Array: Tasto destro su Geiometry1 Trasforms Array Vuole come IMPUT: UNITA CHE VOGLIO CHE SIA RIPETUTA (Seleziono col cursore il cilindro e con il + lo aggiungo nel riquadro Imput objects ). Inoltre vuole sapere che tipo di Array vogliamo fare: in questo caso voglio posizionare i cilindri lungo una retta dunque scelgo: Size Array type Linear E Size metto 5 che è il numero dei cilindri e dunque la dimensione del vettore. Ogni unità delle 5 la sposto in avanti rispetto all originale di un valore pari ad 1/10 della lunghezza della trave. Dunque in Displacement avrò: In questo modo crea 5 cilindri, compreso l originale, in avanti: A questo punto facciamo la stessa cosa all indietro: Senza creare un altro Arrey faccio: Tasto destro Array Duplicate e mi crea un Arrey2 analogo. Ovviamente per fare la stessa cosa del passo precedente basterà inserire un - nell equazione della x in Displacement. Alla fine ottengo una trave con 10 cilindri così fatta: 23

27 In questo modo la trave è rimasta la stessa. Infatti ho solo posizionato i cilindri. A QUESTO PUNTO VOGLIO BUCARE L ANIMA in corrispondenza dei cilindri. Per fare questo faccio: Tasto destro Geometry1 Boolean operation Difference Implemento gli oggetti da aggiungere (objects to add) Soletta+anima e quelli da sottrarre (object to subtract) Cilindri : Una volta selezionati tutti gli oggetti coinvolti nella differenza vado a graficare la geometria impostata col comando Build Selected : La geometria non è del tutto completa in quanto ora voglio creare un altra trave identica a quella impostata ora ma senza i 10 fori. Per farlo: Tasto destro Block 1-2 Copy A questo punto li traslo di 2 Height lungo z per evitare che si sovrappongano a quelli esistenti 24

28 Questo in entrambi i blocchi appena creati. Position z 2*Height IN QUESTO MODO HO DEFINITO COMPLETAMENTE LA GEOMETRIA OTTENENDO DUE TRAVI SEPARATE UGUALI A MENO DEI 10 FORI PRESENTI NELLA TRAVE PIU IN BASSO: 3.2 DEFINIZIONE DEI MATERIALI Per definire i materiali si sfrutta la libreria dei materiali di Comsol. Dunque andiamo in Tasto destro Materials Open Material Browser In questa sezione possiamo ricercare i materiali che vogliamo utilizzare scrivendo in Search In questo caso, come accennato nei parametri, si vanno ad utilizzare i seguenti materiali: Quercia rossa americana (american red oak) Acciaio strutturale (Structural Steel) Per caricare ciascun materiale dopo averlo ricercato e individuato vado ad aggiungerli al mio modello usando il + (in alto) appare Add material to model. Una volta aggiunto in Material contents il programma mi dà una serie di caratteristiche circa il materiale (modulo di Young, di Poisson, ecc.). IN QUESTO MODO SOTTO IL NODO MATERIALS SI CREANO DUE NODI RELATIVI AI DUE MATERIALI SCELTI: 25

29 A QUESTO PUNTO DEVO DIRE AL PROGRAMMA DI CHE MATERIALE SONO FATTI I VARI COMPONENTI DELLA TRAVE. Per farlo clicco su ciascuno dei due materiali e in Selection al posto di All domain (impostato di default) introduco i numeri relativi ai domini fatti del materiale selezionato (sempre cliccando sul pulsante + dopo aver selezionato il dominio che ci interessa aggiungere). Dunque: AMARICAN RED OAK STRUCTURAL STEEL 3-4 (le due anime) 1-2 (le due solette) Inoltre all interno di ogni nodo relativo al materiale è presente anche una sezione Appearence nella quale è possibile impostare il colore del materiale al fine di distinguere il materiale di composizione dei vari elementi senza necessariamente aprire il nodo dedicato. ABBIAMO DEFINITO I PARAMETRI DEL MODELLO, LA GEOMETRIA E I MATERIALI. 3.3 PROBLEMA DI ELASTICITA LINEARE A QUESTO PUNTO POSSO INIZIARE A PARLARE DI ELASTICITA LINEARE. All inizio abbiamo aperto il nodo Solid Mechanics (solid) che è stato applicato a tutti i domini infatti in Domain selection Selection All domain. Inoltre in alto nella schermata dove visualizzo la lista dei nodi è presente il pulsante (Show) che mi permette di abilitare funzioni in più del programma come ad esempio Equation view che permette di visualizzare le equazioni. Se dopo aver attivato questa funzione apro il nodo Linear elastic material 1 è presente un sottonodo Equation view che mi fa vedere il nome delle variabili del modello con la descrizione e l espressione. Inoltre mi fa vedere in Equation tutte quelle che sono le equazioni della elasticità lineare: L analisi che andiamo a fare è tutta in ELASTICITA LINEARE dunque non dobbiamo richiamare funzioni aggiuntive. 26

30 Si noti come nel nodo Linear Elastic material il programma prende di default le caratteristiche dei vari materiali. Questo perché è stata utilizzata la libreria dei materiali per definire la composizione della trave. La lettera D scritta in alto a sinistra sui simboli che definiscono i vari nodi indica che sono NODI DI DEFAULT DELLA FISICA e non possono essere tolti ma sono sempre presenti. Vediamo che di default è presente anche un nodo Initial Values1 che nel caso di un analisi stazionaria non è importante. Diventa fondamentale quando si fa un analisi nel transitorio. Il nodo Free1 sta ad indicare che TUTTO IL CONTORNO DELLE NOSTRE TRAVI E LIBERO. Infatti non è applicata nessuna forza ne vincolo sugli spostamenti. Iniziamo ad AGGIUNGERE DEI VINCOLI: Tasto destro Solid Mechanics (solid) Fixed constraint In questo modo prende i gdl del modello, che sono le 3 componenti scalari del vettore spostamento, e li uguaglia a 0. In questo caso scegliamo di bloccare le travi sulle superfici laterali di sinistra (comprese della soletta). Aggiungo le superfici da vincolare sempre con il pulsante +. Dovrei visualizzare il simbolo dei vincoli. Qualora non visualizzassi il vincolo appena inserito dovrei effettuare la seguente procedura: option Preference Graphics Show physics symbol In questo modo guardando il disegno so dove sono posizionati i vincoli e le forza. Infatti, come vediamo, compaiono nell immagina le superfici vincolate. 3.4 DEFINIZIONE DEI CARICHI A questo punto posso definire i carichi agenti sul modello differenziandoli come segue: PESO DELLE TRAVI: In Solid mechanics (solid) vado a definire i carichi da applicare alle mie travi che inizialmente sono scariche e pertanto non ha senso farne un analisi elastica lineare. Un carico che mettiamo quasi di default è il CARICO PER UNITA DI VOLUME (ossia il PESO DELLE TRAVI) che inserisco così: Tasto desto Solid mechanics (solid) Body Load 27

31 Ad esempio sappiamo che le anime le ho fatte di quercia rossa e dunque applico il primo Body Load1 ad esse evidenziandole e aggiungendole con il comando +. Nella sezione dove mi chiede che tipo di carico sto inserendo Force Load Type Load defined as force per unit of volume (di default e lo lascio). Dunque quando in Body Load mi chiede di inserire la forza(fv), siccome l accelerazione di gravità va verso z in z inserisco -Weight_aok (peso quercia definito nei parametri già come peso per accelerazione di gravità ossia già definito come F/V). In questo modo applica a ogni punto interno alle anime una densità specifica che è pari a - Weight_aok. Faccio la stessa cosa sull acciaio definendo un altro Body Load2 e applicandolo sulle solette e inserendo gli in z il peso dell acciaio. CARICO A TAGLIO: A questo punto posso caricare la trave nelle due FACCIE DI ESTREMITA DESTRA con un CARICO DI TAGLIO. Per farlo: Tasto desto Solid mechanics (solid) Boundary Load Seleziono le facce libere di destra e col pulsante + le aggiungo (comprensive delle solette). Il programma ci mette dei simboli che sono quelli di una forza: In questo caso definisco la forza così: In z metto una forza pari a: Force Load Type Total Force [kg*g] Il programma facendo il rapporto tra la forza definita e l area applica un carico distribuito su tutti i punti delle facce interessate. MOMENTI: 28

32 Per applicare i momenti la situazione è più complicata perché il modello è 3D e dunque NON HO DEI gdl DI ROTAZIONE. Infatti in un modello 3D gli unici gdl sono le 3 traslazioni ossia i 3 spostamenti mentre nel modello 1D come gdl ho lo spostamento assiale, quello flessionale e la rotazione delle sezioni. NEL MODELLO 3D LE ROTAZIONI SONO GIA DETERMINATE DAGLI SPOSTAMENTI e non c è bisogno di definirle. Questo dal punto di vista computazionale è un problema ma sappiamo che un MOMENTO su una superficie si può descrivere come una DISTRIBUZIONE DI SFORZI SU UNA SUPERFICIE e dunque quello che facciamo è andare a prendere la sezione e se vogliamo un momento torcente applichiamo una distribuzione di sforzi fatta così: Il programma la vede sempre come un boundary load ma sappiamo che questa distribuzione di sforzi mi dà uno sforzo di taglio nullo infatti è una distribuzione dispari e dunque il suo integrale è nullo. Mentre l integrale sull area della distribuzione moltiplicato per il braccio (y) mi dà un momento diverso da 0. Dunque applichiamo un momento così: M = p y dθ A Tasto desto Solid mechanics (solid) Body Load Evidenzio le superfici dove voglio applicare il momento torcente, che sono le stesse sulle quali ho definito il carico a taglio. Per quanto riguarda la forza da definire vado a definire sempre una forza totale Total force ma per applicare un momento torcente applico una forza diretta lungo l asse z pari a: [ kg ] g y m In questo modo ancora una volta ho che le dimensioni della forza sono [N]. Ovviamente questi carichi posso applicarli tutti insieme oppure abilitarne solo alcuni. DOPO AVER DEFINITO GEOMETRIA, MATERIALI E FISICA SI PUO PASSARE ALLA MESCH. 3.5 MESCH (griglia) 29

33 Siccome la geometria non è semplicissima è opportuno far fare al programma la mesch. A tal proposito si usa il comando: Tasto desto Mesch Size Notiamo subito come vi siano, in questa geometria, due domini a coppie molto diversi ossia le due anime che sono dei parallelepipedi omogenei (ossia non vi sono dimensioni molto più piccole di altre) e le due solette che hanno dimensione lungo l asse z molto più piccola delle altre due. Dunque se proviamo a fare una griglia omogenea (dimensione uguale nelle 3 direzioni) avrei dei problemi sulle solette infatti il programma proverà a mettere un elemento lungo lo spessore e diversi elementi lungo il piano. Dunque in Element Size definisco una dimensione molto piccola Extra fine e poi gli faccio fare una Mesch libera tetragonale: Dunque sto utilizzando elementi a 4 nodi. Tasto desto Size Free Tetrahedral Per definire questa Mesch devo definire dove farla (in questo caso nel dominio selezionato manualmente Selection Manual ) e dunque seleziono le due solette (TOP). Essendo due domini identici è lecito utilizzare le stesse impostazioni e dunque creo due Free Tetrahedral e li chiamo Free Tetrahedral TOP and TOP1 : L unico accorgimento da adottare è che siccome la dimensione lungo l asse z è molto più piccola vado a scalarla in direzione z: Scale geometry z-direction scale 20 Questo significa che la dimensione dell elemento di griglia lungo la direzione z sarà 20 volte più grande della dimensione caratteristica dell elemento nel piano. Infatti osservandolo da vicino avrò: 30

34 Se guardiamo la griglia nel piano vediamo tanti triangolino con direzione precisa e omogenea invece lungo lo spessore abbiamo clementini molto più piccoli ossia la dimensione è 20 volte più piccola. Questo è buono farlo perché potrei trovarmi con un solo elemento lungo lo spessore che non mi consente di avere una buona soluzione numerica. A questo punto passiamo alla MESCH DELLE ANIME dunque andiamo a definire un altro nodo Size: Tasto desto Mesch Size2 Essendo geometrie più omogenee anzicchè extra in Element size definisco Fine. Anche in questo caso faccio una mesch tetragonale: Tasto desto Size Free Tetrahedral E di default lui ha impostato di applicarla sul dominio rimanente infatti: Domain Selection Geometric entity level Remaining In questo caso non c è bisogno di scalare per quanto detto prima circa l omogeneità dell anima. Graficando la Mesch appena definita si ottiene: SI NOTI COME NELLA TRAVE SUPERIORE LA DISTRIBUZIONE DEGLI ELEMENTI E ABBASTANZA OMOGENEA E ANCHE GRANDE RISPETTO ALLA TRAVE SOTTOSTANTE. Infatti Comsol ha un misuratore di reticolo che va a misurare automaticamente la curvatura della geometria. Dunque in corrispondenza dei fori si accorge che c è una curvatura molto 31

35 alta rispetto al resto della geometria e dunque decide automaticamente di andare a rimpiccolire la taglia del reticolo. Questo aumenta molto i gdl: ELEMENTI 3D TRAVE SUPERIORE: ELEMENTI 3D TRAVE INFERIORE: Anche se la griglia è stata generata in due step diversi comunque il programma quando genera la griglia nella soletta la fa interfacciare con quella nell anima infatti i nodi di confine corrispondono. 3.6 DEFINIZIONE STUDI SULLA TRAVE Nella sezione Study1 dico al programma qual è il tipo di studio che voglio fare. All inizio della modellazione è stato scelto un tipo di studio stazionario, infatti è stato creato il nodo Step1:Stacionary. Dunque abbiamo due travi con carichi definiti fatte dei due materiali suddetti che vengono studiate con la teoria dell elasticità lineare. Dopo aver meschato i diversi domini vogliamo fare UNO STUDIO STAZIONARIO. Le impostazioni di default contenute nel suddetto nodo vengono mantenute invariate. L unica cosa che si può fare in più è: Tasto desto Study1 Show Default Solver In questo modo il programma mi fa vedere delle opzioni in più del SOLUTORE STAZIONARIO. Una di queste funzioni è il Complile Equations. Facendo: Tasto desto Compile Equations Statistics Il programma mi dice quanti sono i gdl del mio problema. Prima abbiamo visto che la mesch nella trave forata si compone di elementi tridimensionali, in questa sezione scopriamo che essi corrispondono a gdl. Dunque il programma dovrà invertire una matrice di rigidezza X Inoltre abbiamo un nodo in più: Stacionary Solver dove abbiamo la possibilità di intervenire nel dettaglio sul solutore. Nel nostro caso, essendo il problema molto semplice non andiamo a sfruttare tale funzione. Qualora i problemi siano più complessi possiamo aver bisogno di intervenire anche in questa sezione. 3.7 ANALISI SUL MODELLO FISICO DEFINITO SIMULAZIONE CON IL TAGLIO Innanzitutto disabilitiamo il carico momento torcente dunque: e andiamo su: Otteniamo il seguente risultato: Tasto desto Boundary Load Momento Torcente Disable Study1 cicca su Compute (in alto nella schermata centrale) 32

36 Il risultato ha senso in quanto abbiamo applicato dei carichi di volume verso il basso: Body Load 1-2 e delle forze di taglio verso il basso. Dunque quello che si ottiene è una flessione delle due travi verso il basso. Si noti come la trave sottostante si flette un po di più di quella sovrastante ed in particolare come in corrispondenza dei buchi ci sono delle intensificazioni degli sforzi. Dunque, come era lecito aspettarsi, LA TRAVE PIU FORTE E QUELLA SENZA BUCHI. N.B. I COLORI NELLA FIGURA CORRISPONDONO AGLI SFORZI DI VON MISES. Di default ha aumentato gli spostamenti di 5 volte infatti nella schermata del nodo Deformation in Scale di default c è un Scale factor 5. (vedi figura sopra). Vado a rendere unitario tale fattore di scala ottendendo: 33

37 In questo modo vediamo una flessione molto più simile a una flessione reale. Come si nota non si è quasi deformata la trave. Questo controllo è positivo e va fatto perché avendo fatto un analisi lineare sto implicitamente assumendo che gli spostamenti e le deformazioni siano piccoli. Dunque qualora con il fattore di scala reale graficassi deformazioni grandi verrebbe meno il modello lineare. In questo caso, siccome la trave non si è deformata molto, sembra abbastanza sensato fare un analisi con le EQUAZIONI DELLA ELASTICITA LINEARE. Il programma di default ha creato un nodo Stress (solid) (grafico 3D) e un sottonodo Surface ossia ha creato un grafico di superficie e un ulteriore sottonodo Deformation per graficare la deformazione (ossia graficare lo spostamento di ogni singolo punto). Il programma di default nella schermata relativa a questo grafico, in particolare in surface in Expression ha inserito Solid.mises. Posso cambiarlo con il tasto di cambio: Cliccando sul pulsante nel cerchio rosso vado in: Solid Mechanics Stress von Mises stress (solid.mises) In questa schermata comsol mi dice come il programma chiama quella grandezza e cosa indica quella grandezza. Tutt queste grandezze sono quelle convolte nelle equazioni viste prima col comando Equation view : 34

38 Gli sforzi di Von Mises si basano sul criterio di Von mises che afferma: LA ROTTURA AVVIENE CON IL RAGGIUNGIMENTO DEL MASSIMO DELL ENERGIA DISTORSIONALE. W = S de Nell analisi fatta da noi che è un analisi elastica lineare avremo: Dunque S = C E W = 1 2 C E E = 1 S E 2 Partiamo da due tensori ed arriviamo ad uno scalare: l energia. A questo punto si ricorda che è possibile decomporre qualsiasi tensore del 2 ordine in una parte sferica e una deviatorica. Siccome S ed E sono due tensori del 2 ordine avremo: S = S s + S d E = E s + E d Come noto: LO SPAZIO DEI TENSORI SFERICI E ORTOGONALE A QUELLO DEI TENSORI DEVIATORICI OSSIA: S d S s = 0. Dunque: Dunque: 1 2 S E = 1 2 (S s + S d ) (E s + E d ) W d = 1 2 (S d E d ) 35

39 Anche L ENERGIA SI PUO DECOMPORRE IN UNA PARTE SFERICA E UNA DEVIATORICA. La PARTE SFERICA è quella legata alla pressione ossia legata a una DILATAZIONE O COMPRESSIONE DEL CORPO. La PARTE DEVIATORICA è invece legata ad una DISTORSIONE O TAGLIO. VON MISES MI DICE CHE VADO A ROTTURA QUANDO W d RAGGIUNGE IL MASSIMO. Considero la componente scalare dell energia: W d = 1 2 (S d E d ) Considero la relazione derivante dall elasticità lineare e, in particolare, dalle relazioni costitutive: S d = 2 G E d Con: G = E 2(1+ν) è il modulo di taglio Dunque: S d = 1 4 S d S d Quindi applicare il CRITERIO DI VON MISES vuol dire affermare che all energia distorsionale corrisponde un certo sforzo rappresentativo σ rap tale per cui quando questa energia è massima il valore alla quale questa è massima è appunto σ rap. Nel caso di tensione uniassiale si ha che: σ rap = S d S d Dunque posso parlare o di energia o di σ rep perché c è una corrispondenza biunivoca. NEL CASO DI TENSIONE UNIASSIALE SECONDO VON MISES AVRO : σ VM = 3 2 S d S d 36

40 Dunque quando Comsol plotta gli sforzi di Von Mises (Solid.mises) fa esattamente quanto descritto precedentemente. Ossia calcola per ogni punto il prodotto scalare della parte deviatorica del tensore degli sforzi di Couchy per se stesso, lo moltiplica per 3/2 e né fa la radice. La cosa importante è che ABBIAMO RIDOTTO UNA GRANDEZZA TENSORIALE DEL 2 ORDINE A 6 COMPONENTI AD UNA GRANDEZZA SCALARE. SEMPLICEMENTE OSSERVANDO IL VALORE DI UNA GRANDEZZA SCALARE CAPIAMO SE STIAMO A ROTTURA O MENO. DEFINIRE DELLE LINEE PER CAPIRE COME VARIANO DELLE GRANDEZZE SU DI ESSE: Se vogliamo vedere come variano determinate grandezze su determinate rette vado a definire una linea di interesse come segue: Tasto desto Data Set Cut Line 3D Ossia definisco un segmento con determinate caratteristiche lungo il quale andrò a fare un grafico. Con questo comando faccio due segmenti: CUT LINE 3D VERTICAL: Definisco due punti come segue: Sono posizionati entrambi nel punto x = 0 e y = 0 e, essendo il sistema di riferimento centrale, questo indica che siamo in mezzeria. Dunque stiamo facendo un segmento lungo l asse z (per questo detto vertical) con coordinate: Point2 Point1 Height 2 2Height + Height 2 + Height top In questo modo ottengo la retta rossa verticale riportata nella figura. 37

41 CUT LINE 3D TRANSVERSAL: definisco due punti come segue: Sono posizionati entrambi nel punto x = 0 e, essendo il sistema di riferimento centrale, questo indica che siamo in mezzeria. Inoltre, siccome stiamo facendo una retta lungo la y andiamo a bloccare le coordinate lungo z definendo sia al punto 1 che al punto 2 la stessa z: 2Height + Height 2 + Height top 2.Dunque stiamo facendo un segmento lungo l asse y (per questo detto transversal) con coordinate: Point1 Point2 Width 2 Width 2 In questo modo ottengo la retta rossa verticale riportata nella figura. A questo punto sfrutto le linee appena definite per capire come variano alcune grandezze lungo di esse. Quindi andiamo su: Tasto desto Result 1D Plot Group Nel Data set gli faccio prendere la soluzione lungo la linea verticale Cut Line Vertical. Dunque il programma valuta i vari sforzi e deformazioni lungo tale linea. Dentro 1D Plot Group gli faccio fare una linea. Dunque: Tasto desto 1D Plot Group Line Graph Col pulsante che mi consente la scelta seleziono la componente S11 di cui voglio conoscere l andamento lungo la linea verticale. Per rintracciare tale componente si fa riferimento all immagine seguente: 38

42 Per capire meglio quello che sta succedendo lungo la linea verticale vado a invertire l ascissa con l ordinata. Dunque metto in Y-axis z mentre in X-axis S11. Per capire meglio si fa riferimento alla seguente scheramata: Dal grafico ottenuto notiamo due regioni vuote: Quella più bassa è vuota perché capita in corrispondenza del foro e dunque non è definito niente. La regione vuota centrale è la distanza tra le due travi. S11 per come abbiamo definito il sistema di riferimento è lo sforzo che possiamo vedere se tagliamo la trave con un piano verticale e applico la componente del tensore di Couchy E11. Si noti come tale andamento sulla retta è lineare ma nella trave di sopra la pendenza cambia repentinamente e il punto di cambio di pendenza è il punto di passaggio dall anima alla soletta. Infatti tra anima e soletta abbiamo un cambio di materiale dunque cambiano il modulo di Young, il coefficiente di Poisson e quindi istantaneamente cambiano le caratteristiche del materiale e dunque anche la pendenza della curva degli sforzi. Un altra cosa importante è che la pendenza all interno 39

43 della soletta è molto più piccola della pendenza all interno dell anima. Questo perché la soletta è fatta di acciaio e dunque, essendo più resistente riesce a gestire molto meglio gli sforzi. Nella trave sottostante si noti come avvicinandosi al foro i gradienti degli sforzi aumentano. Posso fare lo stesso procedimento per la componente S13. Se sovrappongo i due andamenti ottengo il grafico seguente: ULTERIORI ANALISI A questo punto posso graficare qualche risultato. Per farlo dopo aver risolto il modello col comando Compute presente in Study1 devo: Tasto desto Result 3D Plot Group All interno di 3D Plot Group posso scegliere il tipo di grafico da fare. Se scelgo il grafico di superficie il programma mi colora la superficie a seconda di una certa grandezza. Facendo: Tasto desto Surface Deformation GRAFICO DI DUE COMPONENTI DEL TENSORE DEGLI SFORZI: S11 S13 A questo punto creiamo un nodo 3D plot Group come abbiamo visto prima e con: Tasto desto 3D Plot Group Slice Vado così a definire delle fette sulle quali fare un certo tipo di grafico sempre a colori. Nella prima slice vado a fare il plot della componente S11. Dunque vado a selezionarla così: 40

44 Devo poi definire come fare le SLICE: La Slice 11 la definisco come una serie di piani lungo la mezzeria della trave zx-planes e faccio un piano. Né risulta una fetta per ogni trave sulla quale è riportato il grafico a colori della componente 11. All interno dello stesso plot inserisco un'altra Slice 13 nella quale si vuole graficare l andamento di S13. Per definire cosa mettere in Expression si va ad effettuare lo stesso procedimento di prima scegliendo, nell ultimo menù, la componente 13. In questo caso andiamo a definire fette ortogonali a quelle definite per la componente S11 quindi sono piani yz-planes e invece di dirgli quanti piani fare gli so le coordinate delle fette dunque in: Entry method Coordinates (-Lenght/4,0, Lenght/4) Dunque lui andrà a mettere 3 fette in 3 diverse posizioni (quelle indicate fra parentesi) lungo la x. Dunque posso vedere lungo la x come varia la componente sulle 3 diverse Slice. Si ricorda che selezionando il nodo Interactive è possibile spostare le 3 slice e vedere velocemente come varia S13 lungo la trave. Si noti come, quando nella trave sotto le slice passano vicino ai fori, le componenti degli sforzi variano molto velocemente in quanto si ha un cambio repentino della curvatura. Il grafico finale che né risulta viene riportato qui di seguito: 41

45 GRAFICO DEGLI SFORZI PRINCIPALI Definisco sempre un nuovo 3D Plot Group come abbiamo visto in precedenza. Andiamo dunque a graficare gli sforzi e le direzioni principali. Siccome le direzioni principali sono delle direzioni allora vado a fare: Tasto desto 3D Plot Group Arrow Volume 1 In questo caso voglio graficare la PRIMA DIREZIONE PRINCIPALE. Di ogni vettore che lui andrà a plottare devo definire le 3 componenti. La procedura per utilizzare la prima direzione principale è riportata nell immagine seguente: Una volta definita la direzione da plottare nel menù dedicato posso effettuare altre scelte come, ad esempio, dove far plottare le frecce. In questo caso: Dove: 0.6 è il passo Ossia rimango in mezzeria. X Grid Point Coordinates range (-5.7,0.6,5.5) Y Grid Point Coordinates 0 Z Grid Point Coordinates 0 2*Height 42

46 Una volta definite le impostazioni per la prima direzione principale, vado a fare un altro Arrow Volume della 3 direzione principale, individuando la 3 direzione da plottare come fatto prima per la prima. Per distinguere le frecce nei due casi in questo caso vado in: Coloring and Stile Color Blue Devo sempre definire le coordinate che saranno le stesse. Alla fine ottengo un grafico delle due direzioni così fatto: Si noti come le frecce della 1 direzione principale, essendo un problema di flessione, apparte quello che succede vicino gli incastri, sono contenute nel piano di mezzeria ossia nel piano xz. Infatti non c è motivo per cui gli sforzi principali escano da questo piano. Nel caso della 3 direzione principale, invece, le frecce sono ortogonali a quelle della 1. Le frecce disegnate hanno un verso che non ha senso, dunque ci preoccupiamo solo della direzione. Eventualmente con le stesse modalità potrei andare a graficare la 2 direzione principale SIMULAZIONE CON IL MOMENTO TORCENTE A questo punto DISABILITO LO SFORZO DI TAGLIO E ABILITO IL MOMENTO TORCENTE. A questo punto rifaccio lo studio col comando Compute e ottengo una deformata molto diversa da prima e anche delle direzioni principali molto diverse: 43

47 dall immagine si nota bene la torsione e si evidenzia che, anche in questo caso, la trave sotto soffre di più perché ha meno materiale. Ovviamente analizzando le direzioni principali si nota come esse escono fuori da piano. Questa è una situazione diversa da quella precedente in cui avevo una flessione retta. In questo caso ho una torsione e per questo le direzioni principali escono fuori da piano. Ovviamente anche in questo caso è possibile realizzare i grafici impostati precedentemente come quelli che rappresentavano le componenti S11 e S13 sulle Slice e quelli relativi alle stesse componenti sulle Cut line vertical e transversal SIMULAZIONE CON IL MOMENTO FLETTENTE Una cosa interessante può essere quella di applicare un momento flettente al posto del momento torcente precedentemente definito e utilizzato. Ad esempio faccio la stessa cosa fatta per applicare un 44

48 momento torcente ma per applicare il momento flettente devo considerare degli sforzi che escono dal piano del foglio σ xx. Per capire meglio di che sforzi si tratta si fa riferimento alla seguente figura: In questo caso lo sforzo deve essere diretto lungo la x per dare un momento flettente e dunque: Boundary Load momento torcente Force Come si nota mentre per il momento torcente il braccio era Y in questo caso il braccio è Z. Inoltre si ricorda che se voglio fare una flessione retta devo avere uno sforzo nullo nel baricentro. L origine del sistema di riferimento è il centro della trave e dunque la distanza tra lembo superiore e inferiore dell anima è Height/2. Se applico una distribuzione fatta così: σ xx = A (z) E considero che σ xx = 0 nel baricentro devo considerare che per z = 0 nella relazione precedente non sono nel vìbaricentro e dunque oltre al momento flettente vado ad applicare anche una forza di trazione. Dunque si va a calcolare il baricentro della sezione e poi applicare una distribuzione del tipo: Dove: σ xx = A (z z G ) z G è la coordinata del baricentro. In questo modo quando z = z G, ossia quando sto nel baricentro, lo sforzo sarà nullo. Il baricentro lo posso calcolare a mano con la relazione: z G = 1 A z A da Oppure posso far fare il calcolo al programma calcolando prima l area: Geometry Tasto destro Measurements Object Boundary In questo modo ricavo l area (riportata anche nell immagine seguente): 45

49 Per calcolare il baricentro, nota l area, vado in: Result Derived Values Tasto destro Integration Surface integration A questo punto selezioniamo l area su cui integrare e ovviamente selezioniamo le due superfici laterali non vincolate della trave forata (59-61). Su tali superfici vado a fare l integrale: Expression z/area(=0.25) Come si nota anche dalla figura la misura del baricentro che otteniamo è pari a: z G = [m] A questo punto ritorno nella definizione del momento ossia in Boundary Load momento torcente e, considerando il valore di z G ottenuto, definiamo la forza totale lungo x come: 1 e 7 [ kg ] g (z 0.055) m Abbiamo definito la distribuzione riportata nell immagine della trave precedente. In questa distribuzione: Se z >0 σ >0 46

50 Se z <0 σ <0 Dunque il momento flettente provocherà una flessione verso il basso. Disabilitiamo i carichi per unità di volume e andiamo a risolvere di nuovo il problema con il solito tasto Compute. Il risultato circa le tensioni lungo la trave è il seguente: Si consideri la trave sottostante che ha una flessione nella giusta direzione. Se andiamo a vedere la distribuzione degli sforzi S11 lungo la z otteniamo proprio l andamento che ci si aspetta: Avendo una flessione uniforme gli sforzi sono lineari lungo la z. La particolarità è che non essendo il materiale omogeneo, nella relazione classica per il calcolo degli sforzi σ xx = M yz I y, interviene il modulo di Young e dunque la relazione andrebbe generalizzata. Questa relazione indica il coefficiente 47

51 angolare della retta e dunque, intervenendo il modulo di Young, ho un cambio di coefficiente angolare e, di conseguenza, un cambio di pendenza. Siccome l acciaio è più rigido del legno resiste meglio e la pendenza è diversa. Abbiamo inserito molte volte dei momenti come distribuzione di Sforzi. Per capire se l abbiamo inserita bene, possiamo fare un grafico così: 3D Plot group Arrow Surface Sempre con il tato di scelta vado a prendere il carico attraverso la seguente procedura: Il programma mi crea delle frecce tramite le quali posso valutare se ho inserito bene gli sforzi: QUESTO E UN ALTRO MODO PER SFRUTTARE IL NODO RESULTS DI COMSOL OSSIA INVECE DI SFRUTTARLO PER CAPIRE QUAL E LA SOLUZIONE LO SFRUTTO PER CAPIRE SE HO INSERITO CORRETTAMENTE IL CARICO. In questo caso ho posizionato correttamente i carichi infatti gli sforzi sono positivi al di sopra del baricentro e negativi sotto. 48

52 CAPITOLO 4 - MODELLAZIONE TRAVI NON STAZIONARIA Dopo aver risolto il problema della trave in campo elastico lineare, la terza parte del mio tirocinio si è concentrata sulla risoluzione di modelli di travi non stazionarie. Infatti se fin ora abbiamo risolto equazioni di questo tipo : div C E(u) + f = 0[1] Sn = t In questo capitolo affronteremo il caso in cui, come si vede dalle relazioni, le forze d inerzia sono nulle (equazione di bilancio omogenea). Dunque si cerca di considerare la presenza delle forze d inerzia nella trave attraverso l utilizzo del programma. Se l'equazione [1] la riscrivo come : ρϋ = div C sym u + f [2] Sn = t in t B U = Ū in U B Come vediamo la [2] diventa un equazione differenziale del 2 ordine dunque ho bisogno di imporre due condizioni iniziali del questo tipo: U = U o Ů = V 0 Se la equazione [2] la riscrivo nel caso semplice, per esempio il caso di VIBRAZIONI LONGITUDINALI diventa un'equazioni di questo tipo : ρϋ = KU + f [3] Questa è l'equazione che andremo a risolvere con Comsol; equazione che si è trasformata in un'equazione 1D. 4.1 DOMINIO Il dominio assume la forma riportata in figura dove U è lo spostamento dal punto. Pertanto avremo a che fare con MOTI LONGITUDINALI. Con questa equazione possiamo studiare quello che succede se si colpisce la trave da destra a sinistra, oppure se c'è una deformazione concentrata e quella poi viene liberata e viaggia a destra e a sinistra. 0 X L La stessa equazione descrive anche il moto di una corda in cui lo SPOSTAMENTO è TRASVERSALE. Abbiamo a che fare con una corda perché non sopporta i momenti flettenti, infatti l'equazione non presenta derivate quarte e dunque la struttura non ha rigidezza flessionale. U 0 L 49

53 Infatti quando visualizzo il campo di spostamento U è comodo visualizzarlo su un dominio come quello riportato in figura. Pertanto andrò a fare grafici in cui in cui si riporta il dominio e lo spostamento. Se pensiamo alla corda quello è proprio lo spostamento che vediamo sulla corda che pulsa. Se penso alla trave U rappresenterà lo spostamento trasversale. Siccome devo risolvere un problema definito nel tempo e nello spazio dovrò discretizzare sia il tempo che lo spazio costruendo un RETICOLO COMPUTAZIONALE costituito da punti detti NODI COMPUTAZIONALI e da maglie di ampiezza Δx X Δt. Dunque Δx è la taglia del reticolo. Inoltre voglio capire cosa succede nei suddetti punti al variare del tempo discretizzato (ossia per successivi istanti di tempo). Δx è detta RISOLUZIONE SPAZIALE in quanto col modello creato riesco a vedere solamente delle cose che variano più lentamente di Δx. Se ad esempio avessi a che fare con un fenomeno avente lunghezza d'onda troppo piccola, dunque per esempio tra i due nodi avessi un andamento caratterizzato da due picchi, non riuscirei ad apprezzare il complicato andamento del fenomeno. Δt è detta RISOLUZIONE TEMPORALE : se avvenisse qualcosa di molto veloce tra un istante e un altro non riusciremmo a vederlo. Risulta pertanto fondamentale avere un'idea di quale sia la risoluzione spaziale e temporale ottimale e quale sia la velocità con cui viaggiano le perturbazioni. Supponendo di avere un disturbo (vedi figura) ad un certo istante iniziale e in una certa posizione, lo stesso disturbo, trascorso un certo tempo Δt si troverà in un'altra posizione ossia avrà percorso una distanza Δx. DUNQUE IL DISTURBO SI E PROPAGATO. 50

54 L'angolo α è proporzionale alla VELOCITA DI DISTURBO, quindi un ANDAMENTO QUASI VERTICALE è rappresentativo di un FENOMENO MOLTO LENTO perché ci mette tanto tempo per passare da una posizione all altra. Invece un ANDAMENTO QUASI ORIZZZONTALE è rappresentativo di un FENOMENO MOLTO VELOCE perché cambia rapidamente la posizione. Un ANDAMENTO PERFETTAMENTE VERTICALE rappresenta un FENOMENO STAZIONARIO quindi vediamo sempre la stessa cosa al passare del tempo. Un ANDAMENTO PERFETTAMENTE ORIZZONTALE rappresenta un FENOMENO CON VELOCITA INFINITA FATTORI CHE INFLUENZANO LA VELOCITA DI UN FENOMENO Prima di poter affrontare la modellazione occorre introdurre il concetto di VELOCITA DI PROPAGAZIONE DEI SEGNALI: Dove: C 0 = K ρ k è la RIGIDEZZA (in questo caso proprio pari al modulo di Young). ρ è la DENSITA. 4.2 MODELLAZIONE DEL PROBLEMA CON IL SOFTWARE COMSOL MULTIPHYSICS La prima cosa da fare per poter intraprendere la modellazione di travi non stazionaria è sicuramente quella di definire lo SPAZIO IN CUI STO LAVORANDO. Dunque in: Select Space Dimension seleziono: 1D Infatti voglio fare modellare un corpo monodimensionale. Successivamente devo aggiungere la fisica al problema dunque siccome voglio scrivere le cose in forma debole ossia voglio usare il PLV vado a caricare la Weak Form PDE (w). Poi vado a caricare anche Coefficient Form PDE. In quest'ultima per comodità cambiamo il nome della variabile in v. Per caricare entrambe le fisiche ed aggiungerle al nostro modello vado ad utilizzare il tasto +. In particolare nella sezione riguardante le fisiche selezionate Selected physics evidenziando ciascuna fisica è possibile individuare il nome delle variabili di stato. Per quanto riguarda la fisica 51

55 Coefficient Form PDE la variabile di stato U2 viene sostituita con v. Per fare questa operazione vado nel campo Field name. Andando avanti (col pulsante ) devo scegliere il tipo di studio da effettuare: Select Study Type Time Dipendent Clicchiamo in fine sulla bandierina per terminare il modello iniziale GEOMETRIA E DEFINIZIONE DELLE CARATTERISTICHE DEL MODELLO In questo caso, come visto in precedenza, la geometria è molto semplice perché devo disegnare una curva dunque: Lasciamo i valori impostati di default: Tasto destro Geometry 1 Interval 52

56 Poi lo disegniamo cliccando su Build Selected ottenendo il dominio monodimensionale oggetto della modellazione: Adesso devo scrivere le equazioni delle onde dunque vado in: Weak Form PDE (w) Weak Form PDE1 Weak Expressions che assume la forma : ρϋ = KU + f ρϋ Ŭ = S ℇ + f Ŭ Dove: S = y ℇ è la Relazione Costitutiva ; ℇ = U = U x ; Per inserire questa equazione in Comsol la scrivo rendendola uguale a zero infatti il programma pone pari a zero tutto ciò che scriviamo. Dunque: ρϋ Ŭ S ℇ + f Ŭ = 0 Implemento sul programma questa equazione ricordando che su Comsol invece della tilde abbiamo l'operato test: Dove utt indica la derivate seconda nel tempo. A questo punto vado a definire i PARAMETRI e dunque: 53

57 E definisco: Global Definitions Parameters rho = 1 Young = 1 E poi devo definire la tensione G, quindi gli devo dare la relazione costitutiva che non posso mettere tra i parametri perché questa è una funziona ma la devo mettere tra le variabili. Dunque; Definisco: Model1 Definitions Tasto Destro Variables G = Young Ux Per cui l'equazione di bilancio nel dominio(scritta in Weak Form PDE1) è definita. Adesso devo dare le CONDIZIONI AL BORDO DINAMICHE (per assegnare dei carichi) nel nodo Zero Flux 1, che in termini meccanici indica che è libero a destra e a sinistra. Questo per il mio problema non va bene dunque vado a vincolarla. Dunque: Definisco: Tasto destro Weak Form PDE Constraint Selection All boundaries Constraint R U ossia gli dico che U deve essere uguale a zero. In questo modo blocco il bordo a destra e a sinistra ossia definisco CONDIZIONI AL BORDO CINEMATICHE. A questo punto assegno anche dei valori iniziali che vado a inserire nel nodo: Initial Values 1 (condizioni iniziali) e compaiono due caselle perché devo definire la configurazione iniziale e la velocità iniziale. In questo nodo definisco le CONDIZIONI INIZIALI. Dunque assegno: CONFIGURAZIONE INIZIALE (Initial value for v) U (x,0) al tempo zero VELOCITA INIZIALE (Initial time derivative of v) Se pensiamo alla corda questa è proprio una corda pizzicata al centro, se pensiamo alla barra abbiamo una barra dove ho uno spostamento al centro di questo tipo, che rappresenta un profilo morbido. 0 U (x,0) 1 54

58 La funzione che lo rappresenta è derivabile. Questo è di fondamentale importanza infatti questa condizione iniziale si prende due derivate nello spazio quindi all'istante zero devo avere una forma derivabile due volte nello spazio. Questa forma la definisco in Comsol in questo modo: Global Definitions Functions Gaussian Pulse Lo definisco a metà del dominio come segue: Per ottenere il giusto andamento occorre settare opportunamente il valore della DEVIAZIONE STANDARD (Standard Deviation). Al ridursi di tale valore la forma sarà sempre più piccata. In questo caso si considera una Standar deviation pari a Questa funzione si chiama gp1. Quindi dentro Initial Values inserisco : La A mi serve per regolare l'ampiezza. In realtà, essendo un problema lineare, qualunque numero consideriamo otteniamo comunque una soluzione. Se volessimo ottenere qualcosa di sensato dovremmo controllare il valore di A. Infatti potrei ottenere una soluzione per cui la funzione è alta 8 e, considerando che la trave è lunga 1 metro, otterrei una soluzione priva di significato fisico. Quindi dentro i parametri definiamo: A = 0.01 che corrisponde a una funzione alta 8 centimetri, che sono comunque tanti in quanto corrispondono a una deformazione dell'8%. Per quanto riguarda il reticolo computazionale si costruisce lasciando le impostazioni di default contenute nel nodo Mesh 1. 55

59 Col comando Build All vado a costruire il reticolo e mi accorgo che è costituito da pochi punti. Con un reticolo così fatto la gaussiana iniziale era intercettata da soli 3 punti in quanto è larga circa 0.2 e se mi metto al centro in 0.5 ho un punto e poi a destra e a sinistra ho due punti. Dunque stiamo modellando il problema con un reticolo troppo rado. Quindi in Element size Extra fine e vado ad affinare il reticolo. Posso fare la stessa cosa anche in termini parametrici: Mesh1 Mesh Settings Sequence type Physics controller mesh Dunque seleziono il reticolo controllato dalla fisica e questo è comodo perché se uno deve fare dei problemi multi-fisica (Per esempio scambio di calore come il caso di un fluido caldo che passa su una struttura e la riscalda), Comsol fa un reticolo adattato al tipo di problema che uno sta risolvendo. In questo caso non serve perché il problema è semplice. Dunque vado ad usare un reticolo controllato dall utente: Mesh1 Mesh Settings Sequence type User - controlled mesh A questo punto compare un nodo Size in cui posso scegliere Custom (Personalizzato) e definisco la taglia del reticolo (in questo caso prendiamo 2 cm). Un nome molto usato per definire le dimensioni del reticolo è h_mesh. Vado a definire quest ultimo parametro in Parameters e ricostruisco il reticolo. 4.3 STUDI SUL MODELLO NON STAZIONARIO A questo punto andiamo ad effettuare degli studi sul modello appena definito. Pertanto andiamo su: Study 1 Step 1: Time Dipendent In questo nodo controlliamo quello che stiamo risolvendo. Siccome abbiamo definito due fisiche avrò su entrambe il flag verde che mi indica che le sto risolvendo entrambe. Siccome abbiamo definito bene solo la Weak Form PDE e non abbiamo ancora definito la Coefficient Form PDE vado a disattivare quest ultima: 56

60 Sempre in Study Settings, come vediamo dall immagine, il programma mi chiede l intervallo di Tempo. Dunque dobbiamo quindi scegliere l'intervallo di tempo da utilizzare per seguire il fenomeno. Si consideri la relazione della VELOCITA DI PROPAGAZIONE DEI SEGNALI: C 0 = K ρ Devo capire quanto tempo impiega l onda ad arrivare alla fine. Abbiamo posto K = 1 ρ = 1 Quindi la velocità è pari a: 1, ovvero la velocità e 1 m/s e, considerando che deve compiere uno spostamento di 0.5 m, quindi impiegherà 0.5 secondi. Noto il tempo totale devo decidere in 0.5 secondi quanti fotogrammi (istanti) voglio vedere. Nel programma è già impostato un intervallo di tempo che va da 0 a 1, con un passo temporale di 0.1 ossia 11 fotogrammi. Questo intervallo è un po' troppo grande. Impostiamo dunque un intervallo così fatto: (0,0.05,1) e analizziamo il risultato; Study1 Compute Dentro Study era impostata la realizzazione di un grafico standard e di un grafico di convergenza, quindi in modo automatico il programma ha creato il nodo 1D Plot Group. 57

61 Sempre in maniera automatica ha fatto anche la CONVERGENZA visualizzabile nel grafico Convergence Plot 1-2. Il programma per risolvere il problema risolve iterativamente le equazioni 180 volte (Iteration number), partendo da un'approssimazione e trovando (in questo caso) la soluzione esatta subito, infatti le rette nelle prime iterazioni sono quasi verticali. In ordinata notiamo appunto l'errore, infatti il programma parte da una stima della soluzione la cerca, e come detto nel nostro caso la trova subito. Nel grafico di sinistra troviamo i passi temporali (Time step). Si noti come ha fatto circa 80 passi temporali e in ordinata non abbiamo l'ampiezza del passo temporale ma l'inverso quindi più è grande questo numero e più è piccolo il passo temporale. Spostandomi sul nodo Line Graph 1 mi fa vedere lo spostamento sull'asse delle y e sull'asse delle x ho proprio la coordinata delle x. Inoltre posso decidere a che istante vedere la soluzione in: 1D Plot Group 1 Time Selection From list 58

62 Notiamo che succede proprio quello che gli avevamo dato in input. 0 s 0.2 s Possiamo anche variare il Times e vedere come si modifica il grafico. Per esempio a 0.2 abbiamo due segnali che stanno viaggiando uno a destra e uno a sinistra. Quindi tutta l'energia elastica concentrata nel picco della figura sovrastante, si separa in due parti uguali, metà va a destra e metà va a sinistra: la parte al centro tra le due curve, che presenta un andamento irregolare, è un RUMORE NUMERICO che indica che il passo temporale e il passo spaziale sono troppo grandi. Infatti all'aumentare del tempo i segnali arrivano al bordo e, siccome il bordo è rigido infatti la trave è incastrata, rimbalzano e tornano indietro. Lo vediamo mettendo per esempio come Times 0.75: 59

63 Si noti come tornando indietro si inverte il segno. In questo caso il bordo viene raggiunto in 0.5 secondi. Dopo 1 secondo i due pacchetti in cui si è spacchettata la curva arrivano contemporaneamente al bordo, rimbalzano entrambi e si rincontrano al centro, però negative. Quindi dopo un secondo vedo una cosa molto simile a quella iniziale ma negativa. Cliccando sul tasto "Player" vedo l'animazione di queste onde. Adesso voglio vedere cosa succede nel piano x t (riportato in figura) che rappresenta proprio il dominio sul quale è definita l'equazione ρϋ = KU + f : t perché la variabile U è definita sull'intervallo (0,L) e sull'intervallo temporale (0,1), quindi questo rappresenta proprio il DOMINIO DI DEFINIZIONE. Dunque posso colorare i punti di questo dominio con il valore della funzione. Per fare questo devo andare su: Data Sets Solution 1 All'interno di tale nodo c'è tutta la soluzione, ovvero il valore di U ad ogni x e t. Devo aggiungere un altro Data Sets perché per visualizzare la soluzione in questo dominio devo mettere insieme tante fotografie ai vari tempi. Dunque alla fine devo ottenere una sovrapposizione di tante fotografie. Dunque per estrarre questi fotogrammi uso il comando: Tasto Destro Data Sets More Data Sets Parametric Extrusion 1D In questo nodo chiede quali fotogrammi voglio estrarre: x 60

64 Time selection All Essendo un nodo Parametric è utile per estrarre qualunque informazione parametrica tutte le volte in cui abbiamo la soluzione definita sul dominio e poi un parametro che varia. In questo caso il parametro importante è il parametro fisico: "Tempo". Con Separate levels mi indica il fotogramma che sto estraendo, ovvero fa un grafico in cui appaiono le righe di separazione tra i due istanti. Questa funzione è comoda se ho pochi intervalli. Nel nostro caso togliamo il flag su Separate levels in quanto, avendo tanti intervalli, otterremo un grafico tutto nero. Altra cosa importante che notiamo è il FATTORE DI SCALA (Level Scale factor). Noi vogliamo vedere un grafico come quello rappresentato nel dominio visto in precedenza. Dunque sullo schermo apparirà una finestra x t. Dobbiamo assegnare al programma per ciascun metro e ciascun secondo i pixel corrispondenti sullo schermo. Se usassi la stessa scala mi verrebbe un rettangolo enormemente lungo. Levando il flag il programma aggiusta automaticamente le scale. Quindi ora possiamo fare un grafico bidimensionale: "Tasto Destro Results" "2D Results" "2D Plot Group 2" Automaticamente seleziona il Data Sets Parametric Extrusion 1D perché questo è l'unico Data Set bidimensionale. Su questo nodo vogliamo vedere una superficie quindi facciamo: Tasto Destro "2D Plot Group 2" "Surface1" Siccome vogliamo vedere lo spostamento imposto: Expression U Coloring and Style Color table 61

65 Facendo il plot si ottiene: LA ZONA ROSSO ACCESO NEL CENTRO rappresenta il DISTURBO INIZIALE che si divide in due parti che vanno a destra e a sinistra, rimbalzano e tornano indietro. NELLA ZONA BLU ACCESO NEL CENTRO abbiamo la stessa cosa da cui siamo partiti ma con il segno cambiato. Il fatto che il grafico è un po' sfuocato è dovuto al problema del RUMORE NUMERICO. Se aumentiamo l intervallo di tempo da 1 sec a 2 sec ossia in: 62

66 Study 1 Step 1: Time Dipendent Study Settings Metto un intervallo così fatto: (0,0.05,2) e analizziamo il risultato; Study1 Compute Ritornando nel 2D Plot Group 2 vediamo un segnale molto veloce che continua a rimbalzare. Si noti come man mano che rimbalza, la soluzione si deteriora infatti ci sono un sacco di OSCILLAZIONI SPURIE (vedi ingrandimento). Quelli evidenziati nell ingrandimento sono tutti segnali spuri, quindi rappresenta il rumore che però sta viaggiando, come il segnale reale. La velocità con cui viaggia il segnale è data dal rapporto spazio tempo individuati rispettivamente sulla orizzontale e verticale: CASO FUNZIONE RETTANGOLARE La velocità deve venire 0.5 m/s ma con questo tipo di grafico non riusciamo a visualizzarla correttamente dunque facciamo un esperimento importante: Mettiamo un'altra funzione, mettiamo il rettangolo Tasto Destro "Global Definitions" "Functions" "Rectangle" Volendo anche in questo caso un rettangolo di ampiezza pari alla gaussiana vista in precedenza vado a impostare i limiti come segue: Lower limit Upper limit 0.15 dove In questo modo ho regolato i limiti destro e sinistro. Inoltre voglio anche molto ripido quindi spunto: 63

67 Smoothing Size of transition zone 0.01 In questo modo ho aumentato la ripidità della rampa. Otteniamo un grafico di questo tipo : La gaussiana è molto più morbida pur essendo sempre larga circa 0.2. Adesso nel nodo Initial Values 1 al posto della gaussiana ci vado a mettere il rettangolo. Il rettangolo impostato è centrato nell origine infatti i limiti destro e sinistro hanno valori uguali e opposti. Per ottenere il rettangolo che mi interessa ai fini della modellazione lo devo traslare dunque in Initial Values for U "rect1(x 0.5)" In questo modo ottengo un rettangolo centrato in 0.5. Rifacciamo l'analisi: Study1 Compute 64

68 Come vediamo dal grafico le cose peggiorano rispetto al caso in cui utilizzavamo la Gaussiana perché il reticolo è troppo grande e ci sono delle oscillazioni che non riusciamo a cogliere. Infatti abbiamo molto più rumore del caso precedente. Facendo il film "Player", si vede lo stesso comportamento di prima, ma in questo caso, l'onda è molto rumorosa. Osservando il 2D Plot Group si apprezza di più questa rumorosità (vedi grafico precedente). A questo punto si vuole inserire uno SMORZAMENTO. Lo smorzamento è un fenomeno reale infatti se si assegna un impulso alla trave quest ultima dopo un certo tempo smetterà di vibrare. Quindi ci si aspetta di vedere dei segnali che man mano diventano più piccoli fino a sparire. Si ricordi che nello smorzatore le azioni elastiche sono pari a k x mentre quelle viscose a c x quindi lo SMORZAMENTO E PROPORZIONALE ALLA VELOCITA. Dunque bisogna assegnare a COMSOL quanto appena detto. Si ricordi che la tensione S = y ε allora il termine dello smorzamento da aggiungere alla tensione deve avere la seguente struttura: µ ε. 65

69 Quindi si rientra in "Weak Form PDE" e in Expression si aggiunge lo smorzamento che viene chiamato Gm. In questo modo la tensione è fatta di due parti, la prima elastica (G) e la seconda in cui è presente ε = u xt (derivata di u rispetto a x e t). Ovviamente il parametro Gm va definito tra le variabili mentre nei parametri bisogna definire µ. Sviluppando nuovamente la simulazione, si ottiene una SOLUZIONE MOLTO PIU MORBIDA infatti non oscilla quasi per niente. La soluzione in ingresso è rimasta sempre la funzione rettangolo che prima dava molti problemi. Quanto detto è possibile vederlo nel seguente grafico (1D a sinistra) in cui il segnale non oscilla quasi per niente. Mentre si noti nel grafico di destra 2D il minor rumore numerico (Pendenze più dolci). Si noti come le pendenze sono più dolci e in particolare viene prima smorzato il rumore alle alte frequenze con una lunghezza d onda piccola e poi quelle con lunghezza d onda grande. 66

70 Se rimettiamo in Initial Values 1 la gaussiana gp1 e faccciamo "Study 1" Compute" Vedo un risultato con meno rumore ancora (andamento molto più liscio). Andando ad infittire il reticolo si ottiene un ulteriore riduzione dei disturbi. Nel disegno leggiamo sempre 0.1, infatti sta scalando il disegno in modo da renderlo più quadrato possibile e renderlo leggibile. Solo che abbiamo a che fare con m e secondi e dunque deve scalare. Il fatto che sta scalando di 0.5 lo si vede in Parametric Extrusion 1. Infatti come abbiamo detto prima la velocità dovrebbe essere 1 ma qui non sembra FORZANTE ARMONICA In ultima analisi si vuole applicare ad uno dei due bordi una forzante armonica, ossia si avrà una trave incastrata da un lato e soggetta ad una forza assiale dall altro. La forza assiale N = Asin(ωt) è una FORZA VIBRANTE che si propaga fino all incastro, rimbalza e torna indietro, rincontrando la forza assiale entrante: Quindi le onde viaggiano sempre sia verso destra sia verso sinistra, tutte alla stessa velocità. Tolgo il vincolo dal nodo Constraint 1 sul nodo 1 lasciando vincolato solo il nodo 2. Per eliminare i vincoli basterà selezionare il punto 1 e cliccare sul comando - presente nell apposita schermata. A questo punto per assegnare questa forzante al programma si entra nel nodo: "Weak Form PDE" "FLux/Source" si assegna al bordo 1 e nella sorgente g (in giallo in figura) si inserisce A sin (om t) 67

71 Devo definire opportunamente ω. Se la considero unitaria ho una forzante lenta rispetto alla velocità del fenomeno. Dunque definisco om = 6 all interno dei parametri. Inoltre per avviare la simulazione va eliminata la condizione in "Initial Values1" sulla gaussiana al centro della trave, quindi viene posto pari a zero. (in particolare moltiplico per 0 la gaussiana in modo tale che comunque posso riutilizzarla per altri tipi di simulazioni e non la cancello del tutto). Guardando il film dell 1D Plot Group, si noti come la forza sta eccitando il sistema. Infatti, il segnale (vibrazione) entra, in un certo istante arriva al bordo incastrato, rimbalza e torna indietro interagendo con le forze assiali entranti. Invece nel seguente 2D Plot Group si vede proprio che la pulsazione (omega) è ancora troppo lenta, infatti, si può osserva un solo periodo. Aumentando omega a 10 e mettendo un tempo più lungo di 4 secondi e un reticolo ancora più piccolo, h_mesh = 0.01 (RICORDA: bisogna aggiornare il reticolo andando su Size Build All. Dalla nuova simulazione si osserva che il segnale è molto più veloce e il tempo è anche maggiore. Si noti nuovamente nel grafico 2D come le onde rimbalzando tornano indietro e incontrano quelle che vengono quindi dopo un certo tempo tutta la trave è piena di queste oscillazioni (alternanza di positivo e negativo). 68

72 CAPITOLO 5 - MODELLAZIONE DI UNA PIASTRA E ANALISI DEGLI EFFETTI DI VARIAZIONE DELLO SPESSORE L Ultima parte del tirocinio nel laboratorio LaMS ha riguardato la modellazione delle piastre elementi aventi le due dimensioni principali preponderanti rispetto alla terza: lo spessore. In particolare il problema risolto è un problema tridimensionale e analizzare cosa succede nel blocco assottigliando la dimensione dello spessore. Dunque faccio un modello scegliendo le seguenti opzioni: 3D Solid Mechanics (solid) Studio: Stationary A questo punto andiamo in Global definition e definisco l altezza del blocco in forma parametrica ossia in Parameters. Si procede poi alla definizione della geometria dunque: E lo impostiamo come segue: Tasto destro Geometry1 Block 1 69

73 Come vediamo è stata impostata l altezza in funzione del parametro Height definito prima. Successivamente in Position sono state impostate le coordinate del centro Center. Andiamo ora ad assegnare un materiale dal browser dei materiali dunque: Tasto destro Materials Open material browser Built-in American red oak Per aggiungere il materiale si utilizza il tasto + (add material to model). Abbiamo dunque definito un blocco di quercia rossa sul quale è stato caricato un blocco di meccanica strutturale (Solid Mechanics (Solid)). In Linear Elastic Material 1 possiamo notare come il materiale definito abbia caratteristiche Isotropiche e la matrice di rigidezza venga definita a partire dalle caratteristiche del materiale di Modulo elastico, di Poisson e densità. Tali valori possono si trovano cliccando sul nodo dedicato al materiale, in questo caso American red oak (mat1) Material Contents. A questo punto vogliamo vincolare il nostro oggetto dunque andiamo in: 70

74 Tasto destro Solid Mechanics (solid) appaiono tutte le equazioni definibili in una gerarchia che va da quelle 3D più in altro passando per quelle 2D (simbolo bianco e rosso) e arrivando alle equazioni definibili in un unico punto. In questo caso definiamo un vincolo di incastro: Fixed Costraint 1. Tale vincolo, osservando la direzione di z, verrà posto su tutto il mantello: Facce Successivamente si va ad assegnare un carico sulla faccia superiore. Essendo sempre un assegnazione di bordo, ricercherò l equazione tra quelle 2D. In particolare andrò a definire un Boundary Load : Faccia 4. L entità del carico da assegnare dovrà essere stimata considerando il modulo di Young del materiale scelto per la nostra prova. In particolare, essendo il modulo di young della quercia rossa nell ordine di 10 9 Pa, un carico 100 volte minore risulta più che idoneo. Dunque in: Boundary Load Force Load User Defined Imposto: Z = -f_plus (f = forza, plus infatti sta sulla faccia superiore) Dove il segno negativo sta ad indicare la direzione del carico verso il basso dato che z è preso positivo verso l alto. Ovviamente non essendo nota la f_plus andremo a definirla nei parametri con il seguente valore: f_plus = 1e7[N/m^2] A questo punto andiamo a DEFINIRE IL RETICOLO (Mesch 1). Di default il programma imposta il reticolo governato dalla fisica: Phisics-controlled mesch. Essendo la fisica una meccanica dei solidi il programma va a dividere il dominio in tanti tertraedri cercando la massima regolarità della forma. In questo caso però vogliamo analizzare in particolare cosa accade lungo l asse z dunque imposto un reticolo User-controlled mesch. Andiamo a cancellare i tetdraedri che il programma definiva di default e successivamente definiamo nuove forme: Tasto destro Mesch More operation Mapped A questo punto selezioniamo la faccia 4 (superiore) e la aggiungiamo con il tasto +. Con Build Selected disegnamo la mesch sulla faccia selezionata e la visualizziamo: 71

75 La mesch che visualizziamo è di tipo cartesiano. Anche se la geometria non fosse così regolare andremo comunque a visualizzare una mesch fatta da quadrati regolari. Vogliamo ora fare una estrusione del reticolo: Tasto desto Mesch Swept A questo punto il programma richiede la definizione della faccia sorgente del reticolo e della faccia destinazione dello stesso. Dunque definiamo in: Source faces Face 4 Destination faces Face 3 A questo punto il programma prende la mappa sulla faccia 4 e la porta sulla faccia 3 con una serie di piani intermedi che possiamo definire aggiungendo una distribuzione come segue: Tasto desto Swept 1 Distribution Number of element 10 A questo punto con il tasto Built selected otteniamo la mappatura di tutto il dominio: 72

76 Come vediamo il reticolo è fatto da cubi tutti uguali. Per visualizzare la statistica facciamo: Tasto desto Mesch Statistics A questo punto abbiamo definito tutto dunque possiamo fare lo studio attraverso il nodo Study 1. Di default è impostato sia un grafico dei risultati che un grafico di convergenza dei risultati. Col tasto Compute procediamo allo studio. Il programma crea automaticamente il nodo dedicato ai grafici. Si può impostare a piacere nelle preferenze di opzioni che il programma non vada a graficare automaticamente i risultati ottenuti dallo studio. In particolare in questo caso non ci avvaliamo di tale opzione che comunque può essere trovata nella seguente schermata: 73

77 I risultati ottenuti sono riportati nel grafico seguente: Questa è la vista dall alto del nostro dominio. Come vediamo nella parte alta il dominio risulta un po incavato mentre nella parte sottostante non ha subito grandi variazioni. Il programma lo ha anche deformato con una scala di 259 volte in automatico. Tale valore può essere modificato in: Stress Surface Deformation Scale Factor Andiamo ad impostare lo Scale Factor pari a 1 e visualizziamo il risultato col comando Plot: Come vediamo mantenendo la deformazione non scalata non riusciamo ad apprezzarla. Ma questa situazione è quella che vedrebbe l occhio umano nella realtà. 74

78 A questo punto vogliamo vedere cosa succede internamente al dominio. Dunque col destro su Result creiamo un altro nodo 3D Plot Group 2. A questo punto andiamo a definire delle slice che sezionano orizzontalmente il dominio ossia nel piano XY-Planes. In particolare scegliamo di sezionare il dominio con un'unica Slice. Stiamo visualizzando il campo di spostamento. Vogliamo vedere altre cose dunque andiamo nella lista delle cose che possiamo vedere nel nodo Expression cliccando sul pulsante. Andiamo in 75

79 La tensione in direzione S11 viene visualizzata nel grafico seguente: Quello che possiamo fare è analizzare cosa accade lungo lo spessore spuntando il tasto Interactive che ci consente di controllare una traslazione lungo lo spessore della Slice che abbiamo precedentemente definito in modo tale da apprezzare come varia la tensione S11 con z. 76

80 In questo modo il programma va ad utilizzare una scala di colori che possa andar bene per tutto il cubo. Per questo il risultato sulle varie altezze è sempre omogeneamente blu eccetto che nella zona più vicina al carico dove le deformazioni sono notevolmente più grandi e pertanto si colorano diversamente. Possiamo notare come nello spessore la S11 varia poco. Ci rimettiamo nel centro e analizziamo cosa accade nel piano yz. Stiamo analizzando la stessa componente della tensione in un piano diverso rispetto a quanto fatto pocanzi. A questo punto vogliamo analizzare attraverso grafici 1D cosa accade nel corpo. Per farlo devo creare un Data Set : Tasto desto DataSet Cut line 3D Definiamo le coordinate come segue: 77

81 Otteniamo così una linea come quella in figura attraverso la quale andiamo a fare dei grafici 1D: In Result andiamo a definire un grafico 1D ed in particolare un Line Graph in cui impostiamo come Data Set la linea precedentemente definita ossia Cut Line 3D. In Expression andiamo a definire ancora una volta la S11 e osserviamo il seguente risultato: 78

82 Questo è l andamento della S11. In particolare in ascisse troviamo il valore dello spessore e in ordinate il valore della sollecitazione. Come è ovvio che sia preferiamo vedere lo spessore nella direzione verticale e dunque andiamo a definire in In questo modo otteniamo: Expression in y-axis z Expression in x-axis Expression S11 Si ricorda che il piano medio è posto in corrispondenza di z = 0. Come vediamo la S11 è sempre negativa e i valori sono molto grandi in prossimità della faccia di sommità e molto più piccoli nelle vicinanze della faccia sottostante. Facendo l integrale sullo spessore la risultante sarebbe negativa. Il momento risultante risulta essere un momento flettente. Duplichiamo quest ultimo nodo (Line graph 1) in modo tale da poter conservare il risultato precedente e graficare la tensione S12 confrontandola con la S11. Il risultato ottenuto è il seguente: 79

83 La S12 è quella verde dunque è sempre nulla. La S22 viene esattamente pari alla S11 infatti è tutto simmetrico. Mettiamo sullo stesso grafico anche una componente di taglio S13 sempre duplicando il nodo come fatto prima: La curva blu è rossa perché rappresenta la S22 che sta esattamente sopra alla S11. La curva verde è celeste perché la S13 è nulla esattamente come la S12. La cosa interessante è l analisi della componente S33: La S33 è quella viola ed è diversa da zero. Era un risultato atteso infatti in corrispondenza del bordo la S33 è proprio il carico assiale. 80

84 Il valore nullo delle S12-S13 è poco attendibile dunque andiamo a verificare che siano effettivamente nulle spostandoci rispetto al punto medio considerato fin ora. Si ricorda infatti che la Cut line era stata definita nel punto medio. Quello che possiamo fare per raggiungere il suddetto obiettivo è considerare nella sclice la componente S13 e tramite il comando Interactive analizzare come varia tale componente nello spessore sezionandolo con piani yz: In questo caso se ci avviciniamo alle estremità abbiamo valori di S13 diversi da zero mentre nel punto medio possiamo constatare proprio il valore nullo di tale componente. Questo è quello che ci aspettavamo in quanto la componente S13 sulle facce laterali è proprio la reazione vincolare esplicata dal vincolo di incastro presente sul mantello. Allontanandoci dalla faccia noteremo che l effetto del bordo sparisce e che nel centro tale componente avrà valore nullo ossia non si risente dell effetto di bordo. Ora vogliao disegnare un campo vettoriale dunque: Tasto destro 3D Plot Group 2 Arrow volumes Voglio disegnare un campo vettoriale proporzionale a S11 per analizzare come varia tale componente lungo lo spessore. Devo dunque definire opportunamente x-y-z. A noi serve il paino y-z che ha normale In particolare andiamo a definire le componenti come segue: 81

85 Il campo vettoriale ottenuto è riportato nell immagine seguente: Il programma definisce un campo vettoriale nel volume considerando vari punti ai quali associa un vettore. In realtà lungo la x vogliamo solamente 1 punto che corrisponde proprio al piano in cui è definita la Slice. Lungo la z invece impostiamo 21 punti in modo da apprezzare meglio il campo vettoriale definito. Otteniamo il seguente risultato: 82

86 Guardando questo grafico capiamo la variazione lungo lo spessore della componente S11 (variazione del modulo dei vettori). Lo zero indica il piano medio dunque il momento risultante che si genera dalla distribuzione riportata in figura sarà antiorario. Allo stesso modo possiamo vedere le altre componenti, ad esempio per la S13 si ottiene: Per ottenere questo grafico dobbiamo impostare la componente S13 sia in Arrow volume che in Slice1. 83

87 Se vogliamo vedere come sono fatte le forze di taglio il Solid.sl13 in arrow volume dobbiamo metterlo in z e impostare x = 0. In questo modo otteniamo: Vediamo come le forze di taglio sono tutte quante tangenti e variano sia lungo lo spessore che nella direzione trasversale. La risultante sarà una forza verticale verso il basso. Ovviamente la risultante rispetto al piano medio sarà nulla perché tutte le forze sono tangenti e dunque hanno braccio nullo. Vogliamo a questo punto fare un altro grafico simile al 3D Plot Group 2 fatto prima pertanto lo duplico. Si crea un nodo 3D Plot Group 4 in cui gestiamo il grafico duplicato. In questo caso siamo interessati a conoscere la deformazione dunque in espression attraverso il pulsante deformazione: vado a scegliere la 84

88 Per ora andiamo a disabilitare il nodo relativo al campo vettoriale Arrow volume 1. In questo modo otteniamo la distribuzione della componente E11 della deformazione. Tramite il nodo interactive possiamo verificare come al variare del piano interessato non si registrano variazioni circa l entità delle deformazioni. La situazione su tutti i piani è quella presentata nella seguente figura: Anche analizzando la seconda componente (E12) si ottengono gli stessi risultati della prima ossia non si riscontrano variazioni di rilievo al variare del piano. Se analizziamo la E13, nei piani vicino ai bordi si registra qualche variazione rispetto a quelli centrali: 85

89 Andiamo ad impostare un altro grafico 1D prendendo come data set sempre la Cut line 3D 1. Con tasto destro su 1D plot Group 5 andiamo a definire una Line Graph per analizzare bene la deformazione. Per impostare il grafico inseriamo in y z e in x solid.el11. Otteniamo il seguente risultato: Questo è l andamento della componente E11 nello spessore. Me vediamo risulta essere simile a quello che fa la corrispondente componente della tensione (S11). Facciamo un grafico di confronto tra le due: Per fare questo grafico andiamo a definire un secondo Line graf nel Plot Group 5 e impostiamo l espressione della S11 solid.sl11/1e10 x e z y. Infatti la componente di tensione è 10 ordini di grandezza più grande della deformazione e senza scalarle non riuscirei a visualizzarle. Come ci aspettiamo la S11 sente molto la E11. Infatti i due andamenti sono simili. 86

90 Facciamo la stessa cosa con un blocco 10 volte più sottile. Per definire il dominio vado in Parameters e in Height 0.1[m]. dunque abbiamo a che fare con un blocco alto10 cm e non più 1m: Come vediamo il blocco ha mantenuto stessa larghezza e profondità. Avendo un rapporto tra lato e spessore di 10 non è sottile come un foglio di carta. Se osserviamo la Mesch facendola costruire al programma con Build all noteremo che al contrario del caso precedente sulla faccia laterale non abbiamo una Mesch fatta di cubi regolari: Sono sempre 10 cubi ma con la base pari a quella precedente e lo spessore schiacciato. Analizzando le statistiche della Mesch noteremo come l istogramma si sposta verso la qualità peggiore rispetto al caso precedente. Possiamo ad esempio aggiungere un altro reticolo (Mesch) sul quale non definiamo alcuna impostazione e lasciamo il programma libero di definirla. Per aggiungere un reticolo: Tasto destro Model 1 Mesch In questo caso il programma andrà a definire una Mesch composta da tetraedri con faccia verticale e orizzontale uguali: 87

91 Se analizziamo la statistica avremo elementi di dimensioni diverse con diversi rapporti tra le dimensioni delle faccie in orizzontale e verticale. Nella complessità la maggior parte dei tetraedri si concentrano nella zona di qualità alta: A questo punto avendo definito due Mesch posso scegliere quale utilizzare nella risoluzione del modello: Study 1 Step 1:Stacionary Mesch Selection In questo caso lasciamo la Mesch 1 che è quella con tutti cubi schiacciati e tramite compute risolviamo il modello: 88

92 In questo caso analizzando i messaggi forniti dal programma relativi alla risoluzione notiamo come il numero di gradi di libertà e il tempo di risoluzione rimangono gli stessi ma la qualità degli elementi finiti è molto peggiore del caso precedente. Se andiamo ad analizzare la deformazione avremo il seguente risultato: Bisogna dire che questa è una deformazione con un fattore di scala 10 ossia è amplificata di 10 volte rispetto a quella che vedremmo ad occhio nudo. Infatti ad occhio nudo non riusciremmo a percepire la deformazione. A questo punto analizziamo i grafici relativi alle Slice cosservando al componente 11 ossia impostando sia in Slice che in Arrow volume la componente S11: Otteniamo il seguente risultato: 89

93 Abbiamo ottenuto un risultato interessante infatti abbiamo ottenuto un classico andamento delle tensioni lineari lungo la trave. Dunque avendo lo stesso blocco del caso precedente, ma con uno spessore più sottile, il campo della tensione passa da una configurazione complicata a un campo lineare. La risultante è zero ed il momento risultante è una coppia antioraria. Anche analizzando i oplot 1D emerge la linearità del campo: La componente S11 e la S22 sono lineari e presentano lo stesso andamento mentre la S12 è complicata: 90

94 Si consideri che comunque l ordine di grandezza è molto piccolo (10-6 ) mentre nella S11 e S22 avevamo un ordine di grandezza di Pertanto queste sono le componenti che contano infatti la S12 è 14 ordini di grandezza più piccola. Se osserviamo la S13 di nuovo emerge l analogia con la teoria della trave infatti abbiamo un andamento a parabola nullo agli estremi e massimo al centro: Anche la S33 è presente infatti ha un ordine di grandezza di 10 7 ma non è ne lineare ne quadratica infatti ha due flessi: 91

95 Passiamo ora ad analizzare la deformazione: E11-E22 92

96 Come la S11 risulta avere un andamento lineare. E12 Come vediamo è praticamente nulla infatti l ordine di grandezza è E13 Come nel caso della S13 l andamento è parabolico. 93

97 E33 Al contrario della S33 ha un andamento lineare. A questo punto andiamo ad assottigliare ancora di più il dominio definendo in parameters un Height pari a 0.01 [m] ossia 1 cm: Come vediamo tale dominio è veramente sottile. Andiamo a rifare il reticolo e in particolare analizziamo la statistica. Come emerge dall istogramma la qualità degli elementi della mìmesch1 è pessima. Pertanto andiamo a definire un reticolo automatico sfruttando la Mesch2. In questo modo otteniamo una Mesch come segue: 94