Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com

Transcript

1 Analisi 2 - funzioni di più variabili Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com January 28, 2011

2 Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non totale correttezza) quindi se per caso trovate un errore se me le segnalate mi fate un favore. Buono studio Andrea 1

3 Chapter 1 Introduzione Consideriamo R n := R R R = (x 1, x 2,, x n ) x i R funzioni reali di n-variabili con m = 1 f : D R n R m f : D R n R (x 1, x 2,, x n ) f(x 1, x 2,, x n ) = y funzioni vettoriali con m > 1 f è funzione vettoriale: f (f 1, f 2,, f n ) } {{ } componenti 1 j m; f j = f j (x 1,, x n ) R caso particolare n = 2, m = 1 definisce i grafici in tre dimenzioni 1 Curve di livello f : D R 2 R Grafico(f) = {(x, y, z) R 3, z = f(x, y), (x, y) D(f)} c = f(x, y), c = cost sono le curve sul piano x,y che risolvono l equazione. 2

4 Chapter 2 Limiti 1 Definizione Sia (X, d) uno spazio metrico {x n } n=1 (X, d) diciamo che x n x per n con n=m=1 definizione del limite sfruttando la metrica lim f(x) = l f(x) l x x 0 } {{ } d(f(x),l) in generale f : (X, d x ) (Y, d y ) definizione metrica di limite. 2 Proprietà 0, per x x 0 0 } {{ } d(x,x 0) lim f(x) = y d y (f(x), y) 0 se d x (x, x 0 ) 0 x x 0 Proposizione Sia f : R n R m Allora lim x x0 f(x) = y {x n } R n tale che x n x 0 si ha f(x n ) y, n Osservazione tutte le proprietà dei limiti in n = m = 1 si trasportano al caso di più variabili, in particolare il teorema di Weierstrass ovvero: Tesi Weierstrass f continuo su un chiuso e limitato ammette massimo e minimo (assoluti). Definizione limitato E R n è limitato se B R palla di raggio R ovvero B R = {x R n x n = d n (x, 0) < R} tale che B R > E Definizione aperto A R n è aperto se x 0 A B ɛ (x 0 ) ovvero B ɛ (x 0 ) = {x R n d(x ɛ, x 0 ) < ɛ} tale che B ɛ (x 0 ) A Definizione chiuso C R n è chiuso se C C è aperto 3

5 Chapter 3 Funzioni continue 1 Th. Weisestrass f C 0 (x) f ammette massimi e minimi assoluti in X x chiuso e limitato 2 Th. Zeri f continua in E R n ( e connesso) siano x, y E tale che f(x) > 0, f(y) < 0 3 Th. x E f(z) = 0 Le applicazioni continue preservano gli insiemi aperti 4 Proprietà f y continua [ A y aperto f 1(A) è aperto in X ] Oss. Il teorema 3 può essere preso come definizione di continuità Definizione connesso E è un insieme connesso se non può essere espresso come unione disgiunta E = E 1 E 2 E 1 E 2 = E 1, E 2 aperti non vuoti Corollario Th 3 1. Sia f continua in R n a valori in R Allora: {x R n f(x) > 0} è aperto f 1 (0, + ) aperto in R 2. f continua f 1 (C) con C chiuso è chiuso {x R n f(x) 0} è chiuso f 1 [0, + ) chiuso in R Definizione frontiera E R n, x 0 R n è di frontiera per E se comunque preso un intorno contenente x 0, I(x 0 ) si ha che I(x 0 ) contiene punti di E (interni) e punti di E C (esterni) E = insieme dei punti di frontiera per E 4

6 Proposizione - chiusura di E Se E R n è chiuso E Ē := E E Corollario Sia x n n N E chiuso se x n x E per n 5

7 Chapter 4 Derivate parziali N=1 f : R R f f(x 0 h) f(x 0 ) (x 0 ) := lim n 0 } {{ h } finito è derivabile in x 0 f è continua in x 0 f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) +o( x x 0 ), x x 0 } {{ } approssimazione lineare N=2 In R 2 ci sono -direzioni lungo cui considerare rapporti incrementali. Tuttavia le direzioni parallele agli assi sono privilegiate e definiamo Definizione f : D(f) R 2 R, (x 0, y 0 ) D(f) Definiamo derivate parziali risepetto a x: f x (x f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim h 0 h y: Se esistono i limiti precedenti e sono finiti f ammette derivate parziali in x 0, y 0 f y (x f(x 0, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) := lim k 0 h Dire che f ammette derivata parziale rispetto ad x in (x 0, y 0 ) g(x) sia derivabile in x 0 non fornisce nè un approssimazione lineare nè garantisce che la fun- Osservazione Se f zione sia continua x, f y Osservazione Il piano per (x 0, y 0 ) generato da f x (x 0, y 0 ), f y (x 0, y 0 ) ha equazione: z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y 0 y) Imponiamo che tale piano approssimi linearmente f(x, y) in (x 0, y 0 ) (incremento di z = f(x, y) = incremento lungo il piano + errore lineare) ( ) f(x 0 +h, y 0 +k) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) (x 0 x) + f ( ) } {{ } x (x 0, y 0 ) (y 0 y) + o (x x0 ) } {{ } 2 + (y y 0 ) 2 } {{ } h k errore lineare 6

8 1 Definizione differenziale f si dice differenziabile in (x 0, y 0 ) se vale ( ) Osservazioni 1. f differenziabile approssimabile linearmente (per costruzione) 2. f differenziabile f è continua in (x 0, y 0 ) Per funzioni f : D(f) R N R cambia solo la notazione f è differenziabile in x D(f), x = (x 1, x 2,..., x N ) se esiste a R N tale che f( x + h) f( x) = a h + o( h ), h 0, h = (h }{{} 1,..., h N ) } {{ } incremento lineare errore lineare Se f `differenziabile allora: [ f a = f( x) := ( x), f ] f ( x),..., ( x) x 1 x 2 x N } {{ } vettore gradiente Si chiama differenziale di f in ( x): df( x) : h f( x)h f( x)h: indica l incremento di f sul piano tangente Analogamente al caso N=2 si definisce per una funzione f : R N R differenziabile in x D(f), l iperpiano tangente in x: N f z = f( x) + ( x)(x i x i ) x i=1 1 } {{ } f( x)h 2 Teorema differenziabilità Sia f : D(f) R N R tale che esistono f x i ( x), i = 1,..., N dove x D(f) e sono continue in x f è differenziabile in x Osservazione Se le derivate parziali sono continue in un aperto A D(f) scriviamo f C 1 (A) ( f differenziabile in A) Osservazione Il teorema è un criterio solo sufficiente per la differenziabilità 3 Derivate direzionali Definizione Sia v = (v 1, v 2,..., v N ) R N versore, v N = 1 allora v è detta direzione D v f( x) := lim h 0 f( x + h v) f( x) h N, h = (h 1, h 2,..., h N ) Nel caso N=2: D (v1,v 2)f(x 0, y 0 ) = f(x 0 + h 1 v 1, y 0 + h 2 v 2 ) f(x 0, y 0 ) lim (h 1,h 2) (0,0) h h 2 2 Se f è differenziabile in x allora: ( ) D v f( x) = f( x) v viene chiamata formula del gradiente 7

9 Dimostrazione Per ipotesi f(x + h) f(x) = f( x)h + o( h ), h 0 Consideriamo h = tv =, t R f( x + tv) f( x) = f( x)tv + o( tv ), tv 0 Allora per t 0 Conseguenza di ( ) f( x + tv) f( x) t f : massima variazione di f. La direzione di massima variazione è data da = f( x)v + o t t D vf = f v f v = f f f Osservazione La ( ) è valida solo se f è differenziabile e se v = 1 4 Regole di calcolo Osservazione Le regole di calcolo delle derivate parziali valgono come nel caso ordinario 1. (αf + βg) = α f + β g 2. (f g) = ( f) g + f ( g) 3. ( f g ) = ( f) g f ( g) g 2 Proposizione (derivazione funzioni composte) i) Consideriamo: f : D(f) R N R g : I(g) R R h( x) = g(f( x)) : D(f) R Se f è differenziabile in x e g è derivabile in f( x) allora h è differenziabile in x e vale h( x) = g (f( x)) f( x) ii) Secondo caso, consideriamo: r : I R R N f : R n R Sia r derivabile in t 0 e f differenziabile nel punto r(t 0 ) allora g(t) = f(r(t)) è dervabile in t 0 e vale: g (t 0 ) = f(r(t 0 )) r (t 0 ) 8

10 Chapter 5 Ottimizzazione Definizione f : D(f) R N R x m è punto di minimo per f se f(x) f(x m ), x B r (x m ) x M è punto di massimo per f se f(x) f(x M ), x B r (x M ) (B r palla di raggio r) ovvero il segno di minimo f(x + r) f(x) massimo cambia segno sella Definizione Sia f : D(f) R N R tale che f(x 0 ), x 0 D(f) Allora x 0 è punto critico (o punto stazionario per f se 1 Teorema (Fermat) f(x 0 ) = 0 Sia f tale che f(x 0 ) se x 0 è punto di massimo, minimo, sella per f(x 0 ) = 0 Dimostrazione Consideriamo g(t) = f(x 0 + tv), v R N direzione fissata Per il teorema di derivazione della funzione composta g è derivabile in t = 0. Inoltre la natura del punto t = 0 per g è la stessa di x 0 per f.per il teorema di Femat (N = 1) g (0) = 0 g (t) = f(x 0 + tv) v t=0 = 0 v R N f(x 0 ) = 0 2 Insieme delle derivate di ordine k Sia f C k in x 0 D(f) se esistono tutte le derivate parziali di ordine k in x 0 e sono continue. Chiamiamo multindice α, (α 1, α 2,..., α N ) R N, α i N la cui lungheza α := α 1 + α α N Sia α = k α f 3 Teorema di Schwarz Sia f : D R N R e supponiamo che D α f := x α N N... x α2 2 xα1 1 D α f = insieme di tutte le derivate di ordine k = α 2 f x i x j, 2 f x i x j = 2 f x j x i 2 f x j x i esistono e sono continue. Allora 9

11 corollario Sia f C 2 (A), A aperto R N le derivate seconde miste coincidono osservazione Il Teorema di Schwarz è solo un criterio sufficiente 4 Differenziale secondo Definizione Sia f C 2 (A), A aperto R N e x 0 A. Chiamiamo differenziale secondo di f in x 0 : 5 Teorema (Taylor) h = (h 1, h 2,.., h N ) Sia f C 2 (A) Allora x 0 A vale la formula: f(x 0 + h) f(x 0 ) = N i=1 6 Matrice Heissiana d 2 f(x 0 ) : R N R f x i (x 0 )h i N N i=1 j=1 N i,j=1 2 f x i x j (x 0 )h i h j 2 f x j x i (x 0 )h i h j + o( h 2 ), h 0 La matrice Heissiana è definita come segue ( fxx f Hessf(x, y) = xy f yx f yy ) det(hess(x 0, y 0 )) > 0 e tr(hess(x 0, y 0 )) > 0 punto di minimo det(hess(x 0, y 0 )) > 0 e tr(hess(x 0, y 0 )) < 0 punto di massimo det(hess(x 0, y 0 )) < 0 punto sella 7 Riassumendo, criteri Criteri per stabilire la natura di punti critici Sia (x 0 R n f(x 0 ) = 0) 7.1 Punti critici liberi 1. via definizione i.e. studiando il segno di (f(x f(x 0 )) unico strumento in dimensione n 3 se l Hessiana è semidefinita 2. Metodo di monotinia in n = 2 z = f(x, y) i.r. { f x 0 e f y 0} 3. Criterio dell Hessiana: in n 3 H è definita positiva deth k > 0, k 1 H è definita negativa ( 1) k deth k > 0, k 1 H è semidefinita positiva deth k 0 H è semidefinita positiva ( 1) k deth k 0 H è indefinita in tutti gli altri casi 7.2 Punti critici vincolati 1. Metodo delle restrizioni, in n = 2 quando il vincolo è facilmente esplicitabile 2. Lagrange: sempre 10

12 Chapter 6 Integrali doppi Consideriamo I kj quadrato infinitesimale nell area R [a, b] [c, d] = R R 2 H kj = max (x,y) Ikj f(x, y) h kj = min (x,y) Ikj f(x, y) V (n, m) = Se f C 0 ([a, b] [c, d] ) allora: } {{ } R lim m,n n k=0 j=0 V (m, n) = lim 1 Principio del Cavalieri Se f C 0 (R) e sia f( x, y) = A(y) allora: integrali iterati 2 Integrali iterati 2.1 Teorema f C 0 ([a, b] [c, d] ) } {{ } D D f(x, y)dxdy = 2.2 Osservazione d b c a R m I kj H kj v(n, m) = n k=0 j=0 m I kj h kj V (m, n) =: f(x, y)dxdy m,n R f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy = d c b a [ ] d A(y)dy dx c [ ] b f(x, y)dx dy = a b a [ c Sia R 2 dominio (connesso) limitato e pertanto R rettangolo tale che R d ] f(x, y)dy dx 2.3 Definizione sia f(x, y) := R 11 f(x, y)dxdy

13 Con f(x, y) = { f(x, y), (x, y) 0, (x, y) R \ 2.4 Teorema Sia f : [a, b] [c, d] R limitata e continua a meno di insiemi di misure nulla. Allora: f è integrabile e valgono le formule di iterazione per il calcolo di f(x, y)dxdy R 3 Insiemi di misura nulla 3.1 Definizione Diciamo che un insieme R è misurabile se f(x, y) 1 è integrabile su e in tal caso := 1dxdy Proposizione (caratterizzazione degli insiemi di misura nulla) R 2 limitato è misurabile ed ha misura nulla se e solo se incluso R n, dove R, si ha che 3.2 Esempi grafici di funzioni continue insiemi finiti di punti m n=1 E n, E n n = 1,..., m ha misura nulla (se -regolare) 4 x-semplice, y-semplice 4.1 Definizione A n 0, n + R 2 è detto x-semplice su h 1, h 2 [c, d] R continue tale che: Analogamente è detto y-semplice se 4.2 Definizione omega-regolare = { (x, y) R 2 y [c, d] e h 1 (y) x h 2 (y) } = { (x, y) R 2 x [a, b] e g 1 (x) y g 2 (x) } è detto regolare se è unione di un numero finito di domini semplici (x-semplice o y-semplice) Osservazione Nel corso ci occuperemo solo di fdxdy, -regolare 5 Proprietà dell integrale doppio 1. lineare (αf + βy)dxdy = α fdxdy + β gdxdy 2. oss. dxdy = insieme di 12

14 3. f 0 f(x, y)dxdy 0 4. f(x, y)dxdy 5. e f(x, y) 0 f(x, y)dxdy f(x, y) dxdy sup (x,y) f(x, y) f(x, y)dxdy 6. se 1 2 = f(x, y)dxdy = 1 2 f(x, y)dxdy = 1 f(x, y)dxdy 2 7. = 0 allora fdxdy = 0 > 0 e f 0 allora: inf f 8. Se f(x, y) = h 1 (x)h 2 (y) = 0 allora b d a c f(x, y)dxdy = 0 f 0 f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy sup f d c h 1 (x)dx b a h 2 (y)dy 13

15 Chapter 7 Integrali tripli Analogamente al caso 2-dimenzionale si definisce (con f continua) f(x, y, z)dxdydz, R 3 dominio limitato Dato R definiamo f (x, y, z) = 1 Metodi di calcolo 1.1 Integrazione per fili Sia R 3 un dominio limitato dove g 1, g 2 : D R continue, allora: 1.2 Integrazione per strati Sia R 3 un dominio limitato { f(x, y, z) (x, y, z) 0 (x, y, z) R = { (x, y, z) R 3 g 1 (x, y) z g 2 (x, y), (x, y) D } f(x, y, z)dxdydz = D [ ] g2(x,y) f(x, y, z)dz dxdy g 1(x,y) = { (x, y, z) R 3 h 1 z h 2, (x, y) (z) } dove allora (z) = {(x, y, z) z = z 0 } f(x, y, z)dxdydz = h2 h 1 [ ] f(x, y, z)dxdy dz (z) 14

16 Chapter 8 Integrali curvilinei Problema Data una curva γ R 3 definire e calcolare la lunghezza di γ. Sia r : [a, b] R n una parametrizzazione di un arco di curva γ. Sia P = {a = t 0, t 1,..., t n = b} una partizione di [a, b] l(p) := lunghezza della poligonale sottesa da γ n r(t j ) r(t j 1 ) k=1 osservazione definizione l(p) approssima per difetto la lunghezza di γ γ si dice rettificabile se sup P l(p) < e l(γ) definisce la lunghezza di γ 1 Teorema (Calcolo della lunghezza) Sia r : [a, b] R n parametrizzazione di γ regolare (r C 1 [a, b], r (t) 0 [a, b]). Allora γ è rettificabile e vale: 2 Parametro arco l(γ) = b a r (t) dt Il parametro arco s è privilegiato in quanto ha il significato intrinseco di lunghezza dell arco di curva tra 0 e s ed è definito da: s(t) := t t 0 r (τ) dτ 2.1 Versore tangente definito da: e T := r (s) r (s) = 1 3 Cambiamento di parametrizzazione Sia r(t) : [a, b] R curva e pensiamo di cambiare parametrizzazione mediante t = f(u); f : [c, d] [a, b] (f C 1 [c, d] e invertibile ( monotona )) allora: r(t) = r(f(u)) 15

17 é una nuova parametrizzazione della stessa curva, (percorsa nello stesso verso se f > 0, o nel verso opposto se f < 0). Se f é crescente diciamo che le due parametrizzazioni sono equivalenti (se f < 0 la curva cambia orientamento) 16

18 Chapter 9 Campi vettoriali Sia F : R n R n F = (F 1,.., F n ) 1 i n : F i : R funzioni (campi) scalari Per n = 3: F può rappresentare un campo di velocità, campo di forze,... 1 Definizione Dato F : R 3 R 3, F C 1 (), definiamo linea di flusso una curva regolare che sia tangente al campo F in ogni punto. Ovvero se r(t) = (x)t, y(t), z(t)) è parametrizzazione di una linea di flusso Linee di r (t) F r (t) = λ(t) F (r(t)) flusso sono le soluzioni di sistema di eq. differenziali di 1 ordine Osservazione x (t) = λ(t)f 1 (x(t), y(t), z(t)) y (t) = λ(t)f 2 (x(t), y(t), z(t)) z (t) = λ(t)f 3 (x(t), y(t), z(t)) Se F : R 2 R è campo scalare, F C 1 (R 2 ) allora ( F F = x, F ) : R 2 R 2 y è campo vettoriale e le linee di flusso sono parallele a F curve di livello di F 2 Operatori differenziali 2.1 Gradiente := x i + y j + z k : C1 (R 3 ) C 0 (R 3 ) 2.2 Laplaciano 2.3 Divergenza := 2 x y z 2 : C 1 (R 3 ) C 0 (R 3 ) divf := F 1 x + F 2 y + F 3 z div F : C 1 (R 3 ) C 0 (R 3 ) 17

19 2.4 Rotore rotf := i j k x y z F 1 F 2 F 3 rot F : C 1 (R 3 ) C 0 (R 3 ) 3 Lavoro Sia F un campo di forze allora: dl γ ( F ) = γ F d r = b a F ( r(t)) r (t)dt è il lavoro compiuto da F lungo γ 4 Campi conservativi 4.1 Definizione F : R 3 R 3, F C 1 () si dice conservativo in se U : R (funzione scalare), U C 2 () tale che: U è detto potenziale 4.2 Teorema 1 F = U Sia F un campo conservativo: R 3 e γ una curva regolare parametrizzata da r(t), t [a, b]. Allora b L γ ( F ) = F dr = F ( r(t)) r (t)dt = U(b) U(a) γ a Osservazione un potenziale Il potenziale associato a un campo conservativo F non è unico, U +cost è ovunque 4.3 Teorema 2 Le seguenti sono equivalenti 1. il campo F è conservativo 2. γ F d r = 0, γ regolare CHIUSA ( r(a) = r(b)) 3. γ 1 F d r = γ 2 F d r, γ1, γ 2 che congiungono A,B osservazioni R 3 è connesso La 2. è utilizzata per mostrare che un campo non è conservativo. 4.4 Proposizione Sia F conservativo. Allora rot F = 0, si dice F è irrotazionale 4.5 Semplicemente connesso è semplicemente connesso se non contiene buchi. Es R 2 è semplicemente connesso, R 2 \{0} non è semplicemente connesso perchè bucato in 0 18

20 4.6 Teorema 3 Sia F irrotazionale in semplicemente connesso. Allora F è conservativo 5 Osservazioni finali Se F è irrotazionale ma su NON semplicemente connesso allora NON possiamo dedurre che F è conservativo. (Bisogna esibire un potenziale o usare il teorema 2) γ F d r = γ F d r con γ chiuse, i.e ( r(b) = r(a)) 19

21 Chapter 10 Equazioni differenziali Sia F : R n+2 R e consideriamo F (t, y(t), y (t),.., y (n) (t)) = 0 t I R equazione differenziale di ordine n dove l incognita è la funzione y(t) (incluso il suo dominio) 1 Equazioni differenziali del I ordine l equazione si dice in forma normale se F (t, y(t), y (t)) = 0 t I R y (t) = f(t, y) f C 0 (), R 2 per soluzione intendiamo y(t), t I R che soddisfi l equazione. Cauchy Chiamiamo codizione di Cauchy l ulteriore informazione y(t 0 ) = y 0 (condizione iniziale) 1.1 Teorema di esistenza e unicità locale Sia f C 1 (), (t 0, y 0 ) allora esiste ed è unica la soluzione del problema di Cauchy in I(t 0 ) { y (t) = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 2 Equazioni differenziali lineari del I ordine Forma normale: y (t) = a(t)y(t) + b(t) 2.1 Teorema di struttura delle soluzioni Le soluzioni dell queazione sono tutte e solo le funzioni del tipo y(t) = y h (t) + y p (t) dove y h (t) è l integrale dell omogenea (b 0) e y p (t) è una soluzione particolare 20

22 2.2 Soluzione omogenea Data l equazione Sia A(t) una primitiva di a(t) quindi y (t) = a(t)y(t) + b(t) y h (t) = Ce A(t) 2.3 Soluzione particolare: formula di variazione delle costanti Data l equazione y (t) = a(t)y(t) + b(t) Si può trovare la soluzione particolare utilizzando la formula di variazione delle costanti y p (t) = e A(t) b(t)e A(t) dt 3 Equazioni differenziali lineari del II ordine L y := a 2 (t)y (t) + a 1 (t)y (t) + a 0 (t)y(t) = f(t) dove a i (t), i = 0, 1, 2 e f(t) sono funzioni continue in I R Osservazione è applicazione lineare Problema di cauchy L : C 2 (I) C 0 (I) y L y L(αy 1 + βy 2 ) = αl(y 1 ) + βl(y 2 ) y (t) + a(t)y (t) + b(t)y(t) = g(t) y(t 0 ) = y 0 y (t 1 ) = y Teorema di esistenza e unicità locale Esiste ed ùnica la soluzione del problema di Cauchy. In particolare linearità in grande y C 2 (I), {t 0 } I Osservazione Non esiste in generale una formula risolutiva per eq. di II grado lineari a coefficenti non costanti. Esiste tuttavia un metodo per le eq. di II ordine lineari a coef. costanti 3.2 Teorema: formula risolutiva per eq. di II lineari a coef. costanti. Caso omogeneo y + ay + by = 0; a, b R Polinomio caratteristico Distinguiamo i 3 casi λ 2 + aλ + b = 0 Due soluzioni reali la soluzione è data da y(t) = C 1 e λ1t + C 2 e λ2t con λ 1,2 soluzioni del polinomio caratteristico 21

23 Una soluzione coincidente la soluzione è data da con λ 1,2 soluzioni del polinomio caratteristico Due soluzioni complesse la soluzione è data da y(t) = C 1 e λt + C 2 te λt y(t) = e αt (C 1 cos(βt) + C 2 sin(βt)) con α parte reale della soluzione del polinomio caratteristico, β parte immaginaria 3.3 Teorema: formula risolutiva per eq. di II lineari a coef. costanti. Ricerca soluzione particolare Metodo di somiglianza Se la forzante è della forma P m e αt cos(βt) (oppure sin(βt)) Se α + iβ non è soluzione del polinomio caratteristico. Allora la soluzione particolare è data da: y p (t) = Q m (t)e αt sin(βt) + R m (t)e αt cos(βt) Se α + iβ è soluzione del polinomio caratteristico. Allora la soluzione particolare è data da: y p (t) = [ Q m (t)e αt sin(βt) + R m (t)e αt cos(βt) ] t ρ 4 Sistemi di eq. differenziali lineari 4.1 Trasformazione in sistema di eq. differenziale lineare di grado n Data l equazione nella forma Siano y (n) = a 1 (t)y (n 1) a n y + b(t) z 1 (t) := y(t), z 2 (t) := z 1(t) = y (t) z 3 (t) := z 2(t) = y (t)... z n := z n 1 = y (n 1) Si ottiene il sistema z 1 = z 2 z 2 = z 3... z n 1 = z n z n = y (n) Sostituendo nella y (n) gli z 1,.., z n In forma matricale si ha: z 1... z n 1 z n = 4.2 Soluzione omogenea z (t) = A(t)z(t) + b(t) a n (t) a n 1 (t)... a 1 (t) b(t) La soluzione omogena di un sistema lineare di eq. differenziali è dato da: y(t) = C 1 v 1 e λ1t + C 2 v 2 e λ2t C n v n e λnt con v 1,..., v n autovettori della matrice A(t), e λ 1,..., λ n autovalori della matrice A(t) 22

24 4.3 Calcolo della matrice esponenziale Definiamo S: S := [ v 1 v 2... v n ] con v 1,..., v n autovettori della matrice A(t) Siano λ 1,.., λ n autovalori della matrice A(t) quindi la matrice esponenziale viene definita: e A(x) = S eλ1x S e λnx 4.4 Soluzione particolare La soluzione particolare è data da: z p (t) = t 0 e A(t s) b(s)ds 5 Equazione differenziale di eulero Le queazioni differenziali di eulero sono le equazioni della forma: x n y (n) + a 1 x n 1 y (n 1) a n 1 y + a n y = f(x) Per trovare la soluzione omogena di questa equazione si applica la sostituzione: { e t x > 0 x = e t x < 0 da scegliere in base alle condizioni iniziali. Nell equazione si applicano le seguenti sostituzioni (per x > 0) z(t) = y(e t ) z (t) = y (e t )e t z (t) = y (e t )e 2t + y (e t )e t = y (e t )e 2t + z (t) si ottiene così un equazione che è possibile trattare con gli strumenti classici 6 Osservazioni qualitative sulle equazioni differenziali 6.1 Controllare l unicità locale si ha unicità locale se f(x, y) è derivabile su I... f(x,y) y esiste ed è continua 6.2 Esistenza in grande È verificata se esiste una k che per una striscia sul dominio x [a, b] maggiora la funzione f(x, y) 6.3 studio delle simmetrie Studiare se la funzione presenta simmetrie. 23

25 Osservazione y è simmetrica rispetto a y = 0 (asse x) con y(x) = z(x) se { y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 e { z = f(x, z) z(x 0 ) = y Soluzioni particolari osservare se ci sono soluzioni immediate (costanti) dell equazione 6.5 Monotonie studiare la derivata prima per capire l andamento della funzione 6.6 Concavità studio della derivata seconda 6.7 Limiti all infinito accertarsi che l equazione non esploda 24