INTERI L insieme Z degli interi positivi viene definito da

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1 ALGEBRA I Meegazzo & Pablo ma ache (f(gh(t = f(g(h(t INTERI L isieme Z degli iteri positivi viee defiito da Z := (N N/ ove (a, b (c, d a + d = b + c Scegliedo come rappresetati le coppie i cui almeo uo dei due elemeti è 0, N N viee ripartito i tre classi: {[(, 0] N}, iteri positivi, {[(0, ] N}, iteri egativi, e {[(0, 0]}, lo zero. L isieme degli iteri dotato dell operazioe di somma tra classi a = (m, e b = (p, q è u gruppo commutativo: a + b := [(m +, p + q] a + b = b + a a, b Z; a + (b + c = (a + b + c a, b, c Z; Esiste 0 Z tale che a + 0 = 0 + a = a; Esiste a Z tale che a + a = 0 per ogi a Z. Lo stesso isieme dotato dell operazioe di prodotto tra classi a = (m, e b = (p, q a b := (mp + q, mq + p è u aello commutativo co uità: a b = b a a, b Z; a (b c = (a b c a, b, c Z; Esiste 1 Z tale che 1 a = a 1 = a per ogi a Z. I modo più geerale dato u isieme K si può defiire ua operazioe chiusa i K co ua fuzioe : K K K (a, b a b Ua struttura (K, ove ha la sola proprietà di essere u operazioe chiusa viee detto magma. Dalle proprietà assiomatiche di (Z, +, si possoo ricavare tutta ua serie di corollari: 1. L elemeto eutro per la somma è uico; 2. Se a + c = b + c allora a = c (legge di cacellazioe; 3. L opposto per la somma è uico per ogi a Z. Fuzioi Dati due isiemi A che fuga da domiio e B che fuga da codomiio ua fuzioe f : A B è u certo sottoisieme del prodotto cartesiao A B. Suppoiamo A B = X. L isieme delle fuzioi da X i X si può dotare di ua operazioe (la composizioe che è associativa, ma i geere o commutativa. Vedere che vale f (g h = (f g h è facile: per ogi t X vale che ((fgh(t = (fgh(t = f(g(h(t g X X f f g X La struttura (X X, è duque u aello co uità: l elemeto eutro è ifatti la fuzioe 1: X X che mada x X i x. E facile vedere che f 1 = 1 f = f per ogi f X X. f B A si dice iiettiva se x y implica che f(x f(y; f B A si dice suriettiva se dato comuque b B esiste a A tale che f(a = b. f B A si dice biiettiva se è iiettiva e suriettiva. Osservazioe. Se f B A è biiettiva, per ogi b B esiste uico a A tale che f(a = b. E cioè possibile defiire ua g A B g(y = l uica xtale che f(x = y Così costruita, gè tale che f(g(y = y, cioè f g = 1. I tal seso f è u elemeto ivertibile di B A, e g si dice iversa (destra di f. DEFINIZIONE (Gruppo Simmetrico. S(X := {f X X f è biiettiva} Osservazioe. La struttura (S, è u gruppo, cioè l operazioe di composizioe tra gli elemeti di S(X ha le segueti proprietà: f (g h = (f g h per ogi f, g, h S(X; Esiste u S(X tale che u f = f u = f per ogi f S(X; Esiste f 1 S(X tale che f f 1 = f 1 f = 1 per ogi f S(X. COROLLARIO. L elemeto eutro è uico per ogi f S(X. COROLLARIO. L opposto è uico e cambia a secoda di f S(X. DEFINIZIONE. Se #X = < il gruppo S(X si dice gruppo delle permutazioi di X e #S(X =!. Nell isieme Z degli iteri se ab = 0 possiamo dire che o a = 0 o b = 0 (legge di aullameto del prodotto, ma ciò o è vero i qualuque aello: ad esempio i (R R, +,, dove somme e prodotto soo defiiti da (f + g(x := f(x + g(x (fg(x := f(xg(x prese le due fuzioi { 0 se x 0 f = x se x > 0 g = { x se x 0 0 se x > 0 si ha (fg(x = 0 per ogi x R, ache se é f é g soo la fuzioe ulla. 1

2 DEFINIZIONE (Domiio di Itegrità. U aello co uità i cui vale la legge di aullameto, che cioè è privo di divisori dello zero, si dice domiio di itegrità. Nell isieme Z vale ache ua relazioe d ordie, mutuata dalla relazioe d ordie i N, che gode delle segueti proprietà: a b oppure b a per ogi a, b Z, e valgoo etrambe sse a = b Se a b e c Z allora a + c b + c per ogi a, b, c Z Se a b e c 0 allora ac bc 1 Operazioi tra Isiemi Sia fissato u isieme X che faccia da uiverso. A, B siao due suoi sottoisiemi propri. Defiiamo A B := {x X x A e x B} A B := {x X x A o x B} A \ B := {x A x / B} Defiiamo poi il complemetare dell isieme A X come A := {x X x / A} Ifie, l isieme poteza o isieme delle parti di A X è P(A := {J X J A} Osservazioe. La complemetazioe è u operazioe uaria : P(X P(X. E biiettiva (lo mostreremo i seguito. Pricipio di Iduzioe L assioma di iduzioe compare ella costruzioe dei umeri aturali proposta da Peao. Esso afferma quato segue Sia S N u isieme co le proprietà che 0 S e che k S = σ(k S, ove σ: N N è la fuzioe successore di k. Allora S N. Il pricipio di iduzioe coivolge ivece proposizioi che hao come variabili umeri aturali, ed è ad u tempo ua tecica di dimostrazioe e la base di certe defiizioi: euciamolo. PROPOSIZIONE (Pricipio di Iduzioe. Sia data ua famiglia di proposizioi (P( N. Suppoiamo P( 0 vera per u certo idice 0 N e suppoiamo ache che la verità di P(k implichi la verità di P(σ(k = P(k + 1. Allora l isieme S := { N P( è vera} cotiee tutti gli 0. Osservazioe. Ua formulazioe (logicamete equivalete al pricipio di iduzioe è il pricipio del miimo: esso afferma che ogi sottoisieme S o vuoto di umeri aturali ammette u elemeto miimo, cioè u elemeto 0 tale che 0 < per ogi altro S. 1 Defiitioe i defiitu igredi o debet, ma basta ricordare come soo defiiti gli iteri. I positivi soo i rappresetati delle classi [(, 0] co N. Facciamo qualche esempio: PROPOSIZIONE. Se X è u isieme di elemeti, allora #P(X = 2. Dimostrazioe. Per iduzioe: se P( è la ostra proposizioe, otiamo che P(0 è vera (base dell iduzioe, si fa la verifica praticamete sempre a mao. Notiamo poi che la verità di P( implica la verità di P( + 1. Ifatti se #X = + 1, scelto a X l isieme X \ {a} possiede elemeti, e duque per ipotesi iduttiva #P(X \ {a} = 2. Suppoiamo di idiciare tali isiemi co Y 1, Y 2,..., Y 2, Y 2 Tutti i sottoisiemi che cotegoo a (e tali isiemi soo tutti e soli quelli che cotegoo a sarao duque del tipo Y j {a} co j = 1,...,2. Essi soo allora altri 2 sottoisiemi. Facedo la somma dei due, quelli che cotegoo a e quelli che o lo cotegoo, si ha #P(X = = 2 2 = 2 +1 U esempio sul pricipio del miimo: PROPOSIZIONE. No esistoo iteri compresi tra 0 e 1. Dimostrazioe. Per assurdo, sia S = {x Z 0 < x < 1} Se S o è vuoto ammette miimo m: 0 < m < 1 e m s per ogi s S. Ma allora si avrebbe 0 m < m m < 1 m cioè m 2 S e m 2 < m, cotraddicedoe la miimalità. Assurdo: allora S è vuoto. Altri Esercizi sull Iduzioe Mostrare per iduzioe (su i segueti asserti: k=0 k( k = 2 1 ( k=0 k x k y k = (x + y k=0 ( 1k k 2 = (+1 2 ( 2 ( k=0 k = 2 Se a := allora a = ( 1 k=0 a k divide a 2 1 se a è u umero dispari positivo. Esercizi su Fuzioi e Relazioi Siao X e Y due isiemi. Mostrare i segueti fatti: 1. f : X Y è iiettiva [suriettiva] sse ammette iversa siistra [destra]. 2. f : X Y è biiettiva sse esistoo ua h che sia iversa destra e ua g che sia iversa siistra di f. 3. Se f : X X è tale che f f = 1 allora f è biiettiva. 4. La fuzioe di complemetazioe : P(X P(X è biiettiva. 2

3 5. La fuzioe differeza simmetrica Y : P(X P(X che mada l isieme A i (A Y \ (A Y, fissato Y P(X, è biiettiva. 1. Suppoiamo f iiettiva, e sia tildex X fissato. Defiiamo g(y come quell x X tale che f(x = y, oppure se tale x o esiste defiiamo g(y := x. g è be defiita, ifatti se y = f(x 1 = f(x 2 allora x 1 = x 2 e ioltre g(f(x = x. Viceversa se g : Y X è tale che g f = 1 assumiamo che f(x 1 = y = f(x 2 per qualche x 1, x 2 X. Allora x 1 = g(f(x 1 = g(y = g(f(x 2 = x 2 Assumedo che esista u iversa destra per f, vediamo che è suriettiva. Ifatti dato y si ha y = f(g(y, e duque se x := g(y si ha f(x = y, dato comuque y Y. Viceversa se f è suriettiva defiiamo la sua iversa destra: dato y Y esiste x tale che f(x = y. Se g(y := quell uico x tale che f(x = y allora f g = 1 per costruzioe. 2. Facile oto (1. Se f è iiettiva [suriettiva] ha iversa siistra [destra]. 3. Noto (2, se f 2 = 1 possiamo usare g = f = h. 4. Resta da mostrare (come ifatti è che ( (A = A e che ( (A = A per ogi A P(X. Osservazioe. E importate otare che la codizioe f f = 1 è solo sufficiete e o ecessaria! Esistoo fuzioi che soo biiettive ache seza che f 2 = 1. Farsi u esempio, e se o ci si riesce seguire: PROPOSIZIONE. La fuzioe caratteristica X : P(X {0, 1} che mada A X ella sua fuzioe caratteristica χ A : X {0, 1} che vale 1 se x A e 0 altrimeti, è biiettiva. Dimostrazioe. E facile far vedere che X è iiettiva e suriettiva. COROLLARIO. Da ciò (la preseza di ua biiezioe tra due isiemi garatisce che essi abbiao idetica cardialità discede che #P(X = #2 X = 2 #X e duque che #P(X = 2 se X ha elemeti. Siao : P(X P(X P(X la differeza simmetrica e : P(X P(X P(X la ormale itersezioe tra isiemi. Mostrare che (P(X, è u gruppo commutativo e che (P(X, è u aello co uità che o è u domiio di itegrità. Relazioi Sia A u isieme. Ua fuzioe ρ sottoisieme del prodotto cartesiao A A si dice relazioe di equivaleza se gode delle tre proprietà Riflessiva: (a, a ρ per ogi a A Simmetrica: (a, b ρ (b, a ρ Trasitiva: Se (a, b ρ e (b, c ρ allora ache (a, c ρ Qualche esempio: 1. Se A = Z (Z \ {0} e (a, bρ(c, d ad = bc allora ρ è equivaleza su A. 2. Fissato m Z, se A = Z e aρb b a = hm per qualche h Z allora ρ è equivaleza su Z. DEFINIZIONE (Classe di Equivaleza. Sia ρ ua relazioe su u isieme A. Defiiamo [a] ρ := {x A xρa} [a] è u sottoisieme di A che si dice classe di equivaleza modulo la relazioe ρ. E u sottoisieme che raccoglie tutti gli elemeti resi idistiguibili dalla relazioe ρ, che ha l effetto di smembrare A i u umero (a volte fiito, a volte o di classi. L elemeto a viee detto rappresetate della classe: la classe è ivariate per cambi di rappresetate. DEFINIZIONE (Isieme Quoziete. L isieme di tutte le classi di equivaleza modulo ρ si chiama isieme quoziete: dati X e ρ X/ρ = {[a] ρ a X} Qualche esempio (riferito a prima: 1. Z (Z \ {0}/ρ = Q 2. Scelto m Z, Z/ρ = Z/mZ, cioè l aello delle classi di resto modulo m secodo la divisioe euclidea. Altre proprietà delle relazioi di equivaleza: Dato A isieme e ρ relazioe su A allora l isieme quoziete è u partizioe di A. Ciò sigifica che a A [a] = A e che [a] [b] implica che aρb cioè [a] [b]. Defiiamo la relazioe xρ f y f(x = f(y. Essa è ua equivaleza (facile vederlo. Ogi relazioe di equivaleza si può ricodurre ad ua di questo tipo. Sia ifatti ua equivaleza su X. La mappa π : X X/ che mada a i [a] è tale che aρ π b implica π(a = π(b, ma ciò accade sse [a] = [b], e duque sse a b. I tal seso ρ π coicide co. La mappa pı che mada a ella sua classe di equivaleza modulo si dice proiezioe caoica sul quoziete X/. Divisibilità Nell isieme degli iteri (ma vale i u qualuque aello (A, si di ce che a divide b se esiste c A tale che b = ac. Si idica co a b. LEMMA (Bèzout. Se c a e c b allora c as + bt per ogi s, t A Dimostrazioe. Abbiamo a = hc e b = kc. Ma allora sa + tb = (sh + tkc. DEFINIZIONE (Uità. u A si dice ivertibile (oppure ua uità se esiste v A tale che uv = 1. 3

4 DEFINIZIONE (Associati. Sia A u aello commutativo co uità, che sia domiio di itegrità. Due elemeti si dicoo associati se a b e b a. Si ha b = ha e a = kb, cioè a = kha, a(1 kh = 0, cioè kh = 1 dato che A è domiio di itegrità. a e b soo associati se si uguagliao a meo di ua uità. DEFINIZIONE (Irriducibile. Sia A u aello commutativo co uità, che sia domiio di itegrità. a A, a 0 si dice irriducibile se a = bc implica che b o c è ua uità. (ogi volta che si fattorizza, a è associato ad uo dei fattori DEFINIZIONE (Primo. Sia A u aello commutativo co uità, che sia domiio di itegrità. a A, a 0si dice primo se a bc implica che a b oppure a c. Osservazioe. I Z le due ultime codizioi soo equivaleti, cioè ogi elemeto irriducibile è primo e viceversa. Lo vedremo poi. PROPOSIZIONE. Deotado co A l isieme degli elemeti ivertibili di A (aello commutativo co uità, si ha che (A, è gruppo. Dimostrazioe. Se u 1, u 2 A allora u 1 v 1 = 1 = u 2 v 2. Ma allora (u 1 u 2 (v 2 v 1 = u 1 (u 2 v 2 v 1 = u 1 v 1 = 1. 1 A, evidetemete. Se u A allora vi sta ache il suo iverso (che è ivertibile co u come iverso. Mostriamo allora ua implicazioe del coteuto dell ultima osservazioe: suppoiamo a A primo, o ullo. a = bc, ciò vuol dire che (per esempio b a. Il fatto che a sia primo implica però ache che a bo a c. Suppoiamo wlog a b. Ma a b, b aimplica che b = au ove u è ua uità. Ora, a = auc sse a(1 uc = 0. Ciò implica che uc = 1, cioè che c è ivertibile. Partedo da a c si ottiee di coverso che b è ivertibile. Divisoe Euclidea Ci occupiamo ora (E per u po esclusivamete di Z. Molti dei risultati che qui otteiamo si possoo però estedere ache all aello dei poliomi a coefficieti i u campo. Dati a, b Z, b 0, esistoo uici q, r Z tali che a = bq + r co 0 r < b Dimostrazioe. (Esisteza Dividiamo la dimostrazioe i vari casi: a = 0: vero, dato 0 = 0 b + 0 b Z a 0: per iduzioe su a, suppoiamo la teso vera per ogi 0 < k < a. Se poi 0 a b allora a = b 0 + a e la tesi è vera. Se ivece b a si ha 0 a b < a e per ipotesi iduttiva a b = bq +r. Allora, a secoda del sego di b si ha { a = b(q r a = b(q 1 + r Duque la tesi è vera per ogi a 0. Se ifie a < 0, a > 0 e la tesi è vera per a: a = bq + r cioè a = b( q + ( r. Se r = 0 la tesi è vera. Altrimeti a = b( q b + b r, e co r := b r si soddisfa l ipotesi 0 r < b. A secoda del sego di b si ha poi a = b(q ± 1 + r Per l uicità, suppoiamo bq+r = a = bq +r co 0 r, r < b. Si ha r r = b(q q : suppoedo r r 0si avrebbe q q 1 cioè b > r r r = b q q b Ma questo è assurdo. Duque r = r, q = q. MCD, Idetità di Bèzout DEFINIZIONE (MCD di due elemeti. Sia A u aello commutativo co uità, domiio di itegrità. Defiiamo u massimo comu divisore tra a, b A come u elemeto d A tale che d a, d b (cotemporaeamete Se d ha le stesse caratteristiche, allora d d. Osservazioe. Il MCD tra due elemeti di A è uico a meo di elemeti associati. I Z co la divisioe euclidea il MCD esiste per qualuque coppia a, b, ma vi soo domii di itegrità ove ciò o vale. PROPOSIZIONE. Per ogi coppia a, b Z esiste u d = MCD(a, b ed esistoo due iteri s, t Z tali che d = as+bt. Dimostrazioe. Suppoiamo a, o ulli. Sia S := {ax + by x, y Z, ax + by > 0} Tale isieme è o vuoto, per esempio cotiee a, b, duque ha miimo. Diciamo d = as + bt tale miimo. Chiaramete d soddisfa la secoda codizioe per essere MCD(a, b. Ma la prima? Sia a = dq + r co 0 r < d. 0 r = a dq = a(1 s+b( tq < d. Per o cotraddire la miimalità di d deve essere r = 0, cioè d a. Aalogamete si arriva a dire che d b. La coppia s, t si dice coppia di Bèzout, e l idetità MCD(a, b = sa + tb si dice idetità di Bèzout. Né la coppia é l idetità soo uiche. Diofatee Fattorizzazioe Le ozioi appea scoperte ci permettoo di trovare ua importate codizioe ecessaria (e ache sufficiete alla risolubilità i Z di equazioi del tipo ax + by = c PROPOSIZIONE. L equazioe ax + by = c ha soluzioi itere sse MCD(a, b c. Dimostrazioe. Se c = au+bv, 8x, y = (u, v è ua soluzioe itera della equazioe. Allora MCD(a, b a e MCD(a, b b. Ma ciò implica che esso divide ogi combo lieare dei due, e i particolare allora divide c. Viceversa se MCD(a, b = d c allora c = kd, ma possiamo trovare ua coppia di Bèzout tale che d = as + bt: ciò sigifica che c = aks + bkt. (x, y = (ks, kt è duque ua soluzioe itera dell equazioe. 4

5 Mostriamo ora l implicazioe dell osservazioe fatta su irriducibili e primi, la cui validità i Z o è baale. TEOREMA. Ogi itero p Z che sia irriducibile è ache primo. Dimostrazioe. Suppoiamo p ab: allora ab = hp per qualche h Z. Suppoiamo ache p a e mostriamo che p b. Siccome MCD(a, p = 1 esiste ua coppia di Bèzout s, t tale che as+pt = 1. Moltiplicado ambo i membri per b si ha b = sab + tbp. Siccome p ab per ipotesi, e baalmete p p, allora pdeve dividere ache ogi loro combiazioe lieare, e i particolare dividere b. TEOREMA. Ogi itero 2 è primo oppure si scrive come prodotto di primi. Tale scrittura, ioltre, è uica a meo dell ordie. Dimostrazioe. (Esisteza Per iduzioe su, 2 è primo. Suppoiamo che ogi 2 < k < si scriva come prodotto di primi e studiamo. Se è primo, tutto a posto. Se o è primo o è irriducibile: si scriverà duque = ab e é a é b soo uità. Per ipotesi iduttiva a = j p je b = k p k. La tesi è duque provata. (Uicità Iduzioe sul umero m di fattori irriducibili. Se m = 1 vuol dire che m è primo. Suppoiamo che abbia u altra fattorizzazioe p = q k1 1...qkr r. Esiste almeo q i > 1 dato che p > 1: duque p divide (almeo quel q i : 1 = q k qki 1 i...qr kr, e ciò implica che ogi espoete rimasto sia ullo, e i particolare che p = q i. La base dell iduzioe è provata. Suppoiamo ora la tesi vera per ogi 1 < k < m e studiamo m fattori. Sia = p h phs s co h 1 + +h s = m. Suppoiamo che esso abbia u altra fattorizzazioe q k qkt t e che almeo p p, q j > 1. p 1 divide il secodo membro, quidi si ha p h p hs s = q k qkt t per ipotesi iduttiva la fattorizzazioe di quella cosa è uica a meo dell ordie, e del prodotto per p 1, che è primo. Divisoe Euclidea La trattazioe che segue è spiccatamete algoritmica. Il ostro problema è trovare ua tera (u, v, d di umeri iteri tale che dati a, b Z si abbia au + bv = d MCD(a, b = d Già sappiamo che questo problema ha soluzioe per ogi scelta di a, b Z, ma o abbiamo acora dato ua dimostrazioe costruttiva. Di coverso, ora foriamo u algoritmo seza dimostrazioe. Dati a, b Z si costruisce la tabella 1 0 a 0 1 b La ormale divisioe algebrica tra a e bdarà u quoziete q e u resto r. Riportiamo sotto le due prime coloe le quatità 1 q 0 e 0 q 1 otteedo 1 0 a 0 1 b 1 q r I tal modo al geerico passo si ha x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ove z 1 = qz 2 + r x 1 qx 2 y 1 qy 2 z 1 qz 2 L algoritmo si arresta quado si ha che r = 0. La riga immediatamete superiore porge la tera (u, v, d: u v d * * 0 I tal modo au + bv = d Cogrueze Sia m Z, m > 1. Abbiamo già defiito la relazioe di equivaleza tra iteri detta cogrueza modulo m. a b mod a b = k, k Z Si pogoo ora alcue domade: I quate classi è partizioato Z/ m? Esse soo i umero fiito, e soo esattamete m: [0], [1],...,[m 1] Quale può essere ua iterpretazioe geometrica della cogrueza? Esso è l isieme dei possibili resti che la divisioe euclidea tra u umero a ed il fissato m può porgere. Quali proprietà algebriche rispetta la relazioe di cogrueza modulo m? Essezialmete queste: 1. Se a b mod m e c d mod m allora a + c b + d mod m e ac bd mod m 2. Se ac bc mod m e MCD(c, m = 1 allora a b mod m. Più i geerale se MCD(c, m = d a b mod m d. 3. Se a b mod m e d m allora a b mod d. L isieme delle classi di equivaleza modulo m si deota i vari modi, Z/mZ, Z m, Z/ m. La proprietà (1 permette di affermare che i Z/mZ soo be defiite le operazioi di somma e prodotto tra classi. La domada successiva è: dato m Z, quati soo gli elemeti ivertibili di Z/mZ? Se m = 2 Z/2Z è u campo, metre se m = 6 Z/6Z o è più emmeo u domiio di itegrità. Vorremmo ua regola geerale: [a]è ivertibile [b] tale che [b] = [1] ab 1 = mk ab mk = 1 MCD(a, m = 1 Cioè sse a ed m soo coprimi. Risulta duque chiaro che (Z/mZ Z/φ(mZ cioè che il gruppo degli ivertibili di Z/mZ è l aello delle classi resto modulo φ(m, co φ(m elemeti. Ciò ha u corollario: COROLLARIO. Se p è primo, (Z/pZ è u campo. 5

6 Alcui teoremi sui primi TEOREMA (Euclide. Esistoo ifiiti umeri primi. Dimostrazioe. La prova è per assurdo e risale a Euclide. Se ve e fossero solo N allora il umero P := N k=1 p j + 1 sarebbe icogruo a qualuque umero a lui miore, cioè sarebbe primo. Assurdo. TEOREMA. Se p Z è primo allora (a + y p x p + y p mod p Dimostrazioe. Discede dall uso del biomio di Newto e dal fatto che ( p k 0 mod k per ogi k 0, p. TEOREMA (Li l Fermat. Se p Zè primo e a Z allora a p a mod p Dimostrazioe. Per iduzioe su a. Cogrueze Lieari Siao a, b Z. Risolvere la cogrueza ax b mod sigifica trovare tutti gli z Ztali che az b mod. Abbiamo tre problemi: Quado esistoo soluzioi? Come trovare ua soluzioe? Nota ua soluzioe, come trovarle tutte? Abbiamo ache (per fortua modo di rispodere a tutte e tre le domade: Se z Z è ua soluzioe di allora az = y + b cioè az+h = b, e duque vi soo soluzioi sse MCD(a, = d, d b. Suppoedo che MCD(a, b, d b, allora possiamo trovare u, v Z tali che au + v = d. Moltiplicado ambo i membri per b/d si ha au b d + v b d = d b d e duque z = ub/d è ua soluzioe particolare di. Data ua soluzioe z 0 le altre soluzioi soo gli z tali che az 0 b az, cioè a(z 0 z 0 mod. Detto d = MCD(a, si ha che se a(z 0 z deve ache essere d a d (z 0 z. Ma per defiizioe di MCD(a,, a d e d soo iteri coprimi. Duque la codizioe iiziale si traduce i d z 0 z. Si ha cioè z 0 z = h d z = z 0 + h d. Riassumedo quato detto: dati a, b, Z la cogrueza ax b mod ha soluzioe sse MCD(a, b. Ua soluzioe si può trovare co l algoritmo di Euclide, mediate la tera (u, v, d tale che au + bv = d. La soluzioe particolare è z 0 = u b d. Tutte le altre soluzioi formao l isieme z 0 + Z d, cioè soo z 0 + h d, al variare di h Z. Le soluzioi della cogrueza soo u altra classe di cogrueza modulo d, quella formata dal rappresetate z 0. Le soluzioi i Z soo duque i umero di d = MCD(a, e si trovao come z 0 + h d, h = 0,...,d 1. Sistemi di Cogrueze Lo strumeto pricipale per studiare sistemi di cogrueze lieari del tipo a 1 x b 1 mod 1 (I. a s x b 2 mod 2 è il Teorema Ciese dei resti. Prima di poterlo euciare serve u altro risultato. Suppoiamo di avere il sistema (I e di sapere che ogi sua cogrueza è sigolarmete risolubile: cioè MCD(a k, k b k per ogi k = 1,...s, e ioltre che MCD( i, j = 1se i j. A queste codizioi (I si può ricodurre al sistema x c 1 mod r 1 (I.. x c s mod r 2 I che modo ciò è possibile? Sia d k = MCD(a k, k, dividiamo ciascua cogrueza per il suo d k otteedo a 1 x b 1 mod r 1.. a s x b s mod r 2 Dal mometo che MCD(a k, r k = 1 ogi cogrueza ha ua uica soluzioe. Si ottiee allora proprio il sistema (I. TEOREMA (Ciese dei Resti. Siao r 1,...r s Z co MCD(r i, r j = 1se i j. Il sistema di cogrueze (I ha ua uica soluzioe mod r 1... r s. Dimostrazioe. Adottiamo questa otazioe: R = r 1... r s, R k = R/r k. Si ha allora che MCD(R k, r k = 1 per ogi k e la cogrueza R k x c k mod r k ha sempre ua soluzioe x k. Ora, R k x 0 mod r i se i k. La soluzioe xr 1 x R s x s duque è ua soluzioe del sistema (si ha x c j mod r j j = 1,...,s. Mostriamo che è uica: ỹ è soluzioe ỹ c j mod r j per ogi j ỹ x mod r j per ogi j. Ciò accade sse r j ỹ x per ogi j, cioè sse R = r 1... r s ỹ x: ỹ x mod r 1... r s Osservazioe. Cosegueza pressoché diretta di questo è il risultato che segue: partiamo da ua caratterizzazioe geerale. Siao A,B aelli co uità. Su A Bsi possoo defiire somme e prodotto: (a, b + (c, d = (a + c, b + d (a,b(c,d=(ac,bd Co tali operazioi A B è acora aello co uità (1 A, 1 B. La fuzioe f : A B è ioltre isomorfismo di aelli se e preserva le operazioi: è facile verificare che se f è tale, mada 1 A i 1 B e elemeti ivertibili i elemeti ivertibili (i particolare l immagie dell iverso è l iverso dell immagie. PROPOSIZIONE. Siao r, s Z co MCD(r, s = 1. Z/rZ, Z/sZ, Z/rZ Z/sZ soo tutti aelli co uità (l ultimo dotato delle operazioi di somma/prodotto defiite 6

7 sul prodotto cartesiao. La fuzioe η: Z/rsZ Z/rZtimesZ/sZ che mada [x] rs i ([x] r, [x] s è isomorfismo di aelli. Dimostrazioe. L iiettività e la suriettività di η discedoo da quato già sappiamo: Dato [x] rs = [y] rs, si ha rs y x r y x, s y x Dato ([a] r, [b] s Z/rZ Z/sZ esiste sempre {(uico [x] rs tale che η([x] rs = ([a] r, [b] s, cioè x a mod r (grazie al Teorema Ciese. x b mod s Fuzioe di Eulero Gruppo (Z/Z la fuzioe φ: N N umero degli iteri positivi coprimi co 2 Osserviamo alcue cose Sia p N primo. φ(p = p 1. Defiiamo Sia p N primo, h N. Allora φ(p h = p h p h 1 dato che i umeri miori di p h e co esso coprimi soo tutti e soli i multipli di p miori di p h. Data la defiizioe di elemeto ivertibile di Z/Z Si ha che #(Z/Z = φ( COROLLARIO. Se m N è primo, allora (Z/Z è u campo. Noto ache che Z/rsZ Z/rZ Z/sZ, si ricava u altra proprietà fodametale della fuzioe φ(. Gli elemeti ivertibili del primo aello soo i umero di φ(r, quelli del secodo di φ(s, quelli del prodotto cartesiao i umero di φ(rs. Ma allora sussiste la relazioe φ(rs = φ(rφ(s se MCD(r, s = 1 Osservazioe. I tal modo si può risalire a φ( ota solamete la sua fattorizzazioe i primi: φ( = φ( = φ(2φ(3 2 φ(41879 = DEFINIZIONE (Divisore dello zero. I u aello commutativo (A,, a A si dice divisore dello zero se esiste b A o ullo tale che ab = 0. Le codizioi di elemeto ivertibile e di divisore dello zero soo mutuamete esclusive. Elemeti ilpoteti (tali cioè che a = 0 per qualche soo divisori dello zero. Facciamo alcui esempi: Sia Z/105Z l aello delle classi di resto modulo 105. Determiare se [44], [45] soo elemeti ivertibili oppure divisori dello zero. Azitutto 105 = e 44 = , 45 = Duque 2 Si poe φ(1 := 1 [45] o è ua classe ivertibile di Z/105Z. U b tale che [45][b] = [0] è, ad esempio, [7], dato che [ ] [ ] [105] = [45] MCD(45, 105 MCD(45, 105 = [45][7] = [0] [44] è ivece ivertibile perché coprimo co 105. Si ha Duque [44] 1 = [74]. Risolvere la cogrueza x 18 mod 102 Azitutto MCD(102, 128 = 2 divide 18, duque la cogrueza ha due soluzioi modulo 102. Si ha poi ( = 2, cioè ( = 18. Duque [ 36] è ua soluzioe della cogrueza (lavoriamo solo co umeri positivi per scelta di otazioe, quidi sostituiamo [ 36] = [66], ovviamete è la stessa cosa. L altra soluzioe si trova come MCD(102,128 = [15] Risolvere la cogrueza 15x 6 mod 186 MCD(15, 6 6. La cogrueza ha tre soluzioi icogrue modulo 186. Si ha ( = 3, ( = 6, duque z 0 = 50. Le altre soluzioi si ottegoo valutado mod 186 l isieme { h h Z}. Otteiamo allora le classi [50], [ ] = [112], [ ] = [174]. Risolvere il sistema di cogrueze { 12x 33 mod x 2 mod 52 Azitutto ogi cogrueza presa da sola ammette soluzioe. Il sistema dato è duque equivalete a { 4x 11 mod 35 15x 2 mod 52 Risolvedo si ottiee l isieme delle soluzioi { h h Z}. Tra queste soluzioi, quali soo adatte ache alla secoda cogrueza? 15( h 2 mod 52, 15 35h mod 52, 5h 35 mod 52 h 7 mod 52. Si tratta cioè dell isieme delle soluzioi {7 + 52z z Z}. A questo puto (7 + 52z = z, cioè il sistema di cogrueze dato ha per uica soluzioe i Z/1820Z la classe [274]. 7

8 U esercizio teorico che coclude la sezioe. Fissata [a] Z/Z, sia µ [a] : Z/Z Z/Z l applicazioe che mada [x] i [a][x]. Per quali classi µ [a] è iiettiva/suriettiva? Mostriamo che [a] ivertibile µ [a] è suriettiva. Se µ [a] è suriettiva esiste [z] tale che µ [a] ([z] = [1] e duque [a][z] = 1. Viceversa se [a]è ivertibile esiste [z] tale che [a][z] = 1. Dato [y Z/Z si ha che esiste [u] tale che µ [a] ([u] = [y],tale [u] è proprio [z][y]: µ [a] ([zy] = [a][z][y] = [1][y] = [y] POLINOMI DEFINIZIONE (Campo. U aello moltiplicativo co uità (A, i cui ogi elemeto o ullo ammette u iverso prede il ome di campo. Di solito si deota co la lettera K. Osservazioe. Campi soo domii di itegrità, cioè soo privi di divisori dello zero. DEFINIZIONE (Poliomio. U poliomio ella idetermiata x è ua espressioe formale del tipo (a 0,...a,... ove a i K per ogi i ed esiste u idice N tale che a k = 0 per ogi k N. L isieme dei poliomi ella idetermiata x a coefficieti i u campo K si deota co K[x] e ha struttura di aello moltiplicativo co uità quado vi abbiamo defiito somma e prodotto. (a 0,...a,... + (b 0,...,b m,... = (a 0 + b 0,..., a + b,... a m + b m,... (a 0,...a,...(b 0,...,b m,... = (c 0,...,c m+,... ove c k = i+j?k a ib j. Il grado de prodotto di due poliomi è uguale alla somma dei gradi dei fattori, metre il grado della somma è sempre miore uguale al massimo tra i due gradi. DEFINIZIONE. Possiamo defiire ua applicazioe di valutazioe ν α : K[x] K che mada f = a 0 + a 1 x + + a x K[x] i f(α = a 0 + a i α + + a α i K. Osservazioe. ν α è omomorfismo di aelli. I modo simile a quato accadeva i Z si può defiire i K[x] u algoritmo di divisioe euclidea e ua idetica teoria dei MCD tra poliomi. Sia K campo, f, g K[x], g 0. Allora esistoo uici q, r K[x] tali che f = qg+r co la codizioe deg r < deg g. La dimostrazioe procede i modo idetico a quato fatto i Z, co l osservazioe che l ipotesi di K campo o può essere rimossa. Co tali proprietà K[x] è u domiio a fattorizzazioe uica, cioè ogi suo elemeto o ullo si scrive i modo uico a meo dell ordie e di associati come prodotto di irriducibili. La dimostrazioe ache i tal caso è simile a quella passata, per iduzioe su deg f. TEOREMA (Ruffii. Sia f K[x]. f(α = 0 (x α f. Dimostrazioe. Se x α f allora f = (x α q. Ma ν α (f = 0ν α (q = 0 idipedetemete dalla atura di q. Viceversa se 0 = f(α = (α α q + r allora baalmete r = 0. DEFINIZIONE (Radice. α K si dice radice di f K[x] se esiste m N tale che (x α m f e (x α m 1 f. m si dice molteplicità di α come radice di f. PROPOSIZIONE. Il umero delle radici dif K[x] è al massimo r = deg f, se cotiamo ogi radice α j co la sua molteplicità m j. Dimostrazioe. Iduzioe su deg f. Facciamo qualche esempio Fattorizzare x i Z 7 [x]. 3 4 mod 7, duque x 4 +3 x 4 4 = (x 2 +2(x 2 2. Ora, x è irriducibile i Z 7 [x]. Ivece, dato che mod 7, x 2 2 si fattorizza i (x 3(x 4. Risultato: x = (x 3(x 4(x Mostrare che f = x 4 2x 3 + 2x 2 2x + 3 e g = x + 1 soo coprimi i Z/7Z[x] e trovare a, b Z 7 [x] tali che af + bg = 1. Si usa l algoritmo di Euclide: 1 0 f 0 1 g 1 (x 3 3x 2 + 5x 3 Basta ora ivertire [3] i Z 7 (si può! per trovare gli a, b richiesti. 3 5 = 1 mod 7 duque 5f 5(x 3 3x 2 5xg = 1: a = 5, b = 2x 3 + x 2 + 4x. U altro esempio sulla fattorizzazioe: se f = x 5 +2x 4 + 5x 3 3x e g = x 3 + 5x f 0 1 g 1 (x 2 + 2x 17x 17 1 (x (x 4 + 2x 3 + 5x x (x2 + 5 I tal modo αf + βg = 1. α (x4 + 2x 3 + 5x x β 1 MCD(f,g Il risultato ci permette ora di geeralizzare: el caso di fattorizzazioe uica i Z due iteri si dicevao coprimi se MCD(a, b = ±1. Ora possiamo adottare ua defiizioe più geerale, ricordado che proprio {±1} era l isieme degli ivertibili di Z. I K[x] ifatti gli elemeti ivertibili soo tutti e soli i poliomi di grado 0, ossia le costati o ulle α K. I tal seso duque f, g K[x] si dicoo coprimi se esiste ua tera (u, v, α tale che u, v K[x] α K \ {0} uf + vg = α 8

9 COROLLARIO. Tra i poliomi irriducibili di K[x] vi soo i poliomi di grado 1. Per essere irriducibile e di grado > 1 u poliomio deve essere privo di radici i K. Ad esempio x 2 +2 è irriducibile i R[x], Z 7 [x] 3, o i C[x]. I C[x] i poliomi irriducibili soo tutti e soli quelli di grado 1. I R[x] i poliomi irriducibili soo tutti e soli quelli di grado 1 e quelli di grado 2 seza radici reali. No possiamo trovare u criterio geerale per idividuare i poliomi irriducibili di Q[x] e di Z p [x]. E però sempre possibile ricodurre lo studio di f Q[x] allo studio di u certo f Z[x], ua volta che si sia dato ache a Z[x] (aello dei poliomi a coefficieti iteri struttura di aello moltiplicativo. Vediamo come, e soprattutto cosa valga acora e cosa o. DEFINIZIONE (Poliomio Primitivo. f Z[x] si dice primitivo se MCD(a 0,..., a = 1. f Z[x] si dice moico se a = 1. Ovviamete ogi moico è primitivo. PROPOSIZIONE. Sia f Q[x], f 0. Esistoo allora α Q, f Z[x] uici a meo di sego, tali che f = αf. Dimostrazioe. f(x = a 0 b a b x Sia d = mcm(b 0,..., b, m = MCD(a 0,..., a. df(x = m(c 0 + c 1 x + + c x f(x = m d f (x LEMMA (Gauss. Il prodotto di due poliomi primitivi è primitivo. Dimostrazioe. Per assurdo f = a a m x m, g = b b x e fg o primitivo. Allora esiste u primo p che divide tutti i coefficieti di fg. Siao duque a h, b k i coefficieti di f, g co idici più bassi o divisi da p. Allora Dimostrazioe. Serve u lemma c h+k = a h b k +(a h 1 b k+1 + +a 0 b h+k +(a h+1 b k 1 + +a h+k b 0 Ora, p c h+k, divide ache le paretesi, e duque deve dividere a h oppure b k Ma ciò è assurdo Quato detto porge allora il risultato fodametale: TEOREMA (Gauss. Sia f Z[x]. Se f si decompoe i f = gh co g, h Q[x] allora i decompoe ache el prodotto di due poliomi a coefficieti iteri, e tali poliomi g, h hao gli stessi gradi di g, h. Dimostrazioe. g(x = d1 m 1 g (x e h(x = d2 m 2 h (x, g, h primitivi. Posto d 1 d 2 := d, m 1 m 2 := m si ha mf(x = df (x. Deve essere m = d e duque f(x = g (xh (x. Se f(x Z[x] o è primitivo, poedo f = df sarà df = gh, da cui f = d 1 gh. Siccome f è primitivo si fattorizza su Z[x] e duque f = ḡ h co ḡ, h Z[x]. Ma allora f = df = dḡ h è ua fattorizzazioe di f su Z[x]. 3 Per vederlo si osservi che o esiste essu a tale che il suo quadrato sia cogruo a 2 modulo 7. Osservazioe. Il criterio appea dato o è utile per affermare che u poliomio i Q[x] è riducibile. Casomai serve perché l implicazioe è la seguete: f irriducibile i Z[x] = f irriducibile i Q[x] Esistoo ifatti poliomi irriducibili su Q che soo riducibili su Z p : u esempio può essere x 4 + 5, che o avedo radici reali è irriducibile su Q (campo coteuto propriamete i R. I Z 7 però (x 4 +5 = (x 2 +3(x 2 +4 = (x+5(x+2(x 2 3. TEOREMA (Criterio di Eisestei. Sia f(x = a 0 + a 1 x + + a x Z[x]. Suppoiamo esista u primo p tale che p a ; p a i per ogi i {0,..., 1}; p 2 a 0 Allora f è irriducibile su Q. Dimostrazioe. Basta provare l irriducibilità su Z. Suppoiamo per assurdo f = gh, g, h Z[x]. g(x = b 0 + b 1 x + + b r x r e h(x = c 0 + c 1 x + + c s x s. Ora, a 0 = b 0 c 0 e duque p b 0 o p c 0 (o etrambi, data l ipotesi 3. wlog suppoiamo p b 0, p c 0. Se i < allora p a i ma a i = b i c b 0 c i (i è l idice più basso tale che p b i. p b j per ogi j = 0,...i 1 e deve dividere ache b j c 0. Ma o può dividere essuo dei due per le ipotesi fatte. Osservazioe. La codizioe è solo sufficiete, o ecessaria (cioè o tutti gli irriducibili soddisfao a quelle ipotesi. PROPOSIZIONE. Se p è primo il poliomio p 1 P(x = x p 1 + x p x + 1 = è irriducibile su Q. k=0 LEMMA. L applicazioe T p : K[x] K[x] che mada f(x i f(p(x co p(x K[x] fissato è isomorfismo d aelli. I particolare se p è lieare (cioè irriducibile su ogi K T p è ua biiezioe, e f e il suo trasformato hao lo stesso grado. Forti di ciò, sappiamo che p 1 sostituzioe P T x+1 (P. Si ha p k=0 k=0 xk = xp 1 x 1 x k adoperiamo la (x + 1 p (x = (x + 1p 1 x ( p k x p k x = x p 1 + ( p x p ( p x p p 2 A questo puto p a 0 = p, p a = 1, p ( p j per ogi j = 1,..., 1, e duque si può applicare Eisestei. COROLLARIO. Sia p N u primo. Il poliomio p 1 k=0 ( 1k x k è irriducibile su Q. Dimostrazioe. Esercizio. (E idetica alla precedete. 9

10 PROPOSIZIONE. Sia f Z[x], f(x = a 0 +a 1 x+ +a x. Se r/s è ua radice razioale di f, ed MCD(r, s = 1, allora r a 0 e s a. Dimostrazioe. ( r r 0 = f = a 0 + a 1 s s + + a r s = = s a 0 + a 1 rs a r = = s(s 1 a a 1 r + a r (1 = r(a r a 1 s 1 + s a 0 (2 Se i (1 dividiamo per s e i (2 dividiamo per r, il risultato deve acora essere u umero itero. Duque, siccome per ipotesi r, s soo coprimi si ha la tesi. ω 3 ω 2 ω 4 ω 1 ω 5 Ua serie di esercizi Dire se f(x = x 4 + 2x 2 1 è riducibile i C[x], R[x], Q[x], Z 7[x]. E riducibile su C e su R, dato che possiede almeo ua radice reale e che C è algebricamete chiuso. Per vedere se lo è su Q suppoiamo abbia ua radice razioale. Essa allora deve essere tale da soddisfare l ultima proposizioe dimostrata, e duque ua evetuale radice razioale è ±1. Ma essua delle due è radice del poliomio dato, duque esso o ha fattori lieari. Potrebbe però spezzarsi el prodotto di due poliomi di secodo grado: eguagliado i coefficieti i (x 2 + axx+b(x 2 +cx+d = x 4 +2x 2 1 si ottiee u sistema che o ha soluzioi itere. E duque irriducibile. Vediamo i Z 7: il test si può fare a mao, e si ota che f( 3 = f( 4 = 0. Si hao allora come uici fattori lieari di f e f(x = (x 3(x 4q(x. Per trovare q(x ed evetualmete ridurlo si opera la cosueta divisioe. x 4 + 2x 2 1 x x f(x = (x 2 +4(x 3(x 4 q(x è irriducibile, dato che o esiste a Z tale che a mod 7. Resta da fattorizzare f su R e su C. Poedo t = x 2 si deve ridurre il poliomio t 2 + 2t 1, che ha come radici t 1,2 = ± e t 3,4 = ± 1 2. Solo due di queste soo reali. f(x R = ( x ( 2 x (x f(x C = (x t 1(x t 2(x t 3(x t 4 Dire se f(x = 24x 5 +6x 4 9x 3 +6x 2 +39x 21 è fattorizzabile su C, R, Z. Lo è i tutti e tre gli aelli (i R potrebbe essere meo baale vederlo. Decomporre f(x = x come prodotto di irriducibili i C[x], R[x], Q[x], Z[x], Z 5[x], Z 19[x]. Comiciamo co C[x]: se z è ua radice di f allora z 5 = 1 = cos π + isi π. Duque z è uo dei segueti umeri complessi: ω k = cos (2k + 1π 5 + isi (2k + 1π 5 f(x = 5 (x ω j j=1 Osserviamo che ω 3 = 1 è la sola radice reale. Ioltre viee alla luce ua proprietà dei poliomi ciclotomici (cioè quelli della forma x ±1, quella per cui ω k = ω k. Nota quest ultima proprietà abbiamo già trovato la fattorizzazioe di f i R[x]: f(x = (x + 1 (x 2 2 cos π ( 5 x + 1 x 2 2cos 3π I Z[x] (e Q[x] x = (x + 1(x 4 x 3 + x 2 x + 1. Studiamo allora (x 4 x 3 + x 2 x + 1: esso è della forma p 1 k=0 ( 1k x k ed è duque irriducibile su Q, duque i tale campo abbiamo fiito. Il poliomio è per di più primitivo, e duque irriducibile ache su Z. Rimagoo i due campi fiiti: i Z 5[x] x = (x + 1 5, e i Z 19[x] dobbiamo mostrare che g(x = x 4 x 3 + x 2 x + 1 o ha radici itere modulo 19. Se α fosse ua di esse ifatti dovrebbe essere α 5 1, e duque α Ma per LFT si ha α 19 α, cioè α Esistoo duque a, b Z tali che α 18a+10b = α MCD(18,10 = α 2 = 1. Ma le uiche radici che soo tali, ±1, o aullao g. Esso è duque irriducibile i Z 19[x]. Studiare l irriducibilità di g(x = 2x 4 3x 3 e di f(x = x 4 + x 3 + 6x 2 4x + 1. Si può applicare Eisestei i etrambi i casi: el secodo si applica il criterio a T x+1(f. Abbiamo detto che l irriducibilità di u poliomio i Q[x] può essere ridotta allo studio dell irriducibilità dello stesso poliomio pesato come elemeto di Z p[x], ove p è u primo che o divide il termie direttivo (cioè il coefficiete di x. Rimarchiamo che tale codizioe, p a è esseziale: quato segue chiarirà la questioe. Sia p Z fissato e ν p : Z Z p la mappa che mada a Z ella classe di resto [a] Z p. E ua facile verifica il fatto che ν p è u omomorfismo di aelli. Possiamo ache pesare ua mappa ξ p : Z[x] Z p[x] che mada g(x = a 0 + a 1x + + a x i [a o]+[a 1]x+ +[a ]x. Ora, ξ p è omomorfismo solo se p a, dato che altrimeti il grado di g(x può cambiare. 10

11 GRUPPI DEFINIZIONE (Gruppo. U gruppo è u isieme G su cui è defiita ua operazioe biaria che soddisfa i segueti assiomi: ASSOCIATIVITA : a (b c = (a b c ESISTENZA di u NEUTRO ι G tale che a ι = ι a = a. ESISTENZA DELL INVERSO: Ogi a G possiede u iverso a 1 tale che a a 1 = a 1 a = ι. Osservazioe. L elemeto eutro è uico per ogi g G. Ogi g G ha uo e u solo iverso. Dimostrazioe. Per quato riguarda la prima asserzioe, suppoiamo κ essere u altro elemeto eutro: allora κ = κ ι = ι. Per la secoda asserzioe, suppoiamo e a etrambi iversi di a G. Allora = ι = a a = ι a = a. DEFINIZIONE (Gruppo defiito su u aello. Sia R u aello co uità. L isieme dei suoi elemeti ivertibili U(R := {r R r è ivertibile } è u gruppo co l operazioe di prodotto i R. Osservazioe. Se R = Z allora U(Z = {[a] MCD(a, = 1}e #U(Z = φ(. Riprediamo ache ua defiizioe data all iizio: DEFINIZIONE (Gruppo simmetrico. Sia X u isieme.l isieme delle fuzioe biiettive d X i sè prede il ome di gruppo simmetrico su X e si idica co S(X. Se #X = + allora S(X = S ed è il gruppo delle permutazioi di elemeti. #S =!. DEFINIZIONE (Sottogruppo. Sia Gu gruppo. Se H G è tale che id G H g, h H = gh H g H = g 1 H allora H ha la stessa struttura di gruppo di Ge si dice sottogruppo di G. SI idica co H G. Notiamo come si comporta la struttura di sottogruppo per operazioi isiemistiche. Vedremo che essa è stabile per itersezioi di sottogruppi, ma o così per uioi. PROPOSIZIONE. Se (G i i I è ua famiglia di sottogruppi di u gruppo G allora i I G i = H è ach esso sottogruppo di G. Dimostrazioe. Vediamo subito che id G H dato che id G G i per ogi i I, e che se g, h H allora g, h G i implica che gh G i per ogi i I. Da ultimo, si ha che g G implica g 1 G i (ello stesso!, e ciò valedo per ogi i I si evice che H G. PROPOSIZIONE. Siao H, K sottogruppi di u gruppo G. Allora H K G se e solo se h K o viceversa. Dimostrazioe. L implicazioe è baale. Per quato riguarda l altra si assuma hot K e mostriamo che se H K è sottogruppo allora devoo essere uo coteuto ell altro. Sia h H \ K e k K. Mostriamo che ache k H. Siccome H K è sottogruppo, kh H K. I casi allora soo 2: hk H e allora h 1 hk = k H hk Ke allora hkk 1 = h K Ma la secoda possibilità è proibita per ipotesi. PROPOSIZIONE. Sia Ω e (P i i I = P ua partizioe di Ω. Defiiamo S P = {σ S(Ω σ(p i P i I} Esso è sottogruppo di S(Ω. Dimostrazioe. id Ω (P i = P i per ogi i I. σ, τ S implica che σ(p i = P j e τ(p j = P r. Ora, τ(σ(p i = P r. σ S P implica che σ(p i = P j, e duque σ 1 (P j = P i per ogi i I. Alcui esempi di sottogruppi: R + è sottogruppo di (R,. {1, 1} è sottogruppo di (Q,. Se A X, G A := {σ S(X σ(a = A} è sottogruppo di S(X. Notazioi Sia (G, u gruppo e g G. Per deotare la successiva composizioe di g co sé stesso possiamo usare due otazioi: g + g + + g se > 0 ADDITIVA: g = 0 se = 0 g g g se < 0 g g g se > 0 MOLTIPLICATIVA: g = 1 se = 0 g 1 g 1 g 1 se < 0 DEFINIZIONE (Sottogruppo. Sia g otazioe moltiplicativa. g := {g Z} G, gruppo i è sottogruppo di G, ed è il più piccolo sottogruppo che cotiee g. DEFINIZIONE (Periodo. Sia (G, u gruppo. Si defiisce periodo di g il miimo itero m > 0 tale che g m = id G. Se tale itero o esiste diremo che g è aperiodico o di periodo ifiito. 11

12 Osservazioe. Se G = (Q,, 1 ha periodo 1, 1 ha periodo 2. Se G = (C,, i = 1 ha periodo 4. PROPOSIZIONE. Sia G u gruppo, g G. Se g ha periodo ifiito allora g h = g k implica h = k, e duque g è u sottogruppo co ifiiti elemeti. Se ivece gha periodo allora vale g = {id, g, g 2,..., g 1 } e duque g ha cardialità. Ioltre g h = g k implica h k mod. Dimostrazioe. Se g ha periodo ifiito g h = g k implica g h k = id, cioè h k = 0, h = k. Se ivece g ha periodo gli elemeti = id, g, g 2,..., g 1 } soo tutti distiti, per defiizioe di periodo. Resta da provare che g h g per ogi h Z. Dividedo h per si ha h = q + r: g h = g q+r = (id q g r = g r ricordado che r è tale che 0 r 1 si coclude. PROPOSIZIONE. Sia G u gruppo. Allora l isieme è sottogruppo di G. Z(G := {g G gh = hg h G} Dimostrazioe. E ua facile verifica del fatto che soo rispettati gli assiomi di gruppo. ESERCIZIO Sia G u gruppo. Defiiamo ua relazioe g h esiste x G tale che h = x 1 gx. Mostrare che è ua equivaleza su G, che se G è abeliao G/ è il quoziete baale (cioè G/ = G e che #(G/ = 1 #G = 1 (cioè sse G è il gruppo baale {id}. Dimostrazioe. Il tutto è u facile esercizio. PERMUTAZIONI Vale la pea cocetrare l attezioe sul primo esempio di gruppo (fiito che abbiamo avuto, il gruppo delle permutazioi di elemeti. Sitetizziamo i pricipali risultati: DEFINIZIONE (Permutazioe. Sia := {1, 2,..., }. Ua permutazioe di elemeti è ua biiezioe σ:. Le permutazioi formao come già detto il gruppo simmetrico S (la verifica che gli assiomi di gruppo soo rispettati è semplice. U modo sitetico di rappresetare graficamete l azioe di ua permutazioe su è il seguete: costruiamo la matrice 2 formata da Nella prima riga gli elemeti di ordiati cresceti. Nella secoda riga (subito sotto l elemeto j esimo il suo trasformato σ(j. Co u esempio, σ S 3 che mada 1 i 3, 2 i 1 e 3 i 2 si scrive ( Il gruppo S è fiito, di cardialità! (provare! e per 3 o è abeliao (le verifiche di ciò soo facili. La rappresetazioe visiva che abbiamo dato di ua permutazioe permette di calcolare facilmete il suo iverso semplicemete riordiado la matrice della permutazioe e leggedola dal basso verso l alto. Nell esempio precedete, τ = σ 1 = ( Si verifica a mao che σ τ = τ σ = id (la permutazioe che mada 1 j i j. La fiitezza di S implica che ogi suo elemeto abbia periodo fiito. Il problema di come calcolare il periodo di ua permutazioe seza coti va affrotato defiedo alcue cose. DEFINIZIONE (Orbita. Sia = {1,...,}, σ S. Defiiamo la relazioe di equivaleza σ : x σ y esiste h N tale che y = σ h (x. I tal modo S è partizioato i classi di equivaleza che chiamiamo orbite di x. O(x := [x] σ = {σ h (x h Z} No è difficile otare che O(x = {x, σ(x, σ 2 (x,..., σ m 1 (x}, ove m è il periodo di σ. I buoa sostaza il fatto che / σ sia u partizioe di assicura che se y x allora O(x O(y =. Se ora pretediamo che gli elemeti di u orbita siao ordiati i modo tale che ogi elemeto è il trasformato mediate σ del precedete otteiamo quello che si dice u ciclo. DEFINIZIONE (Ciclo. U ciclo è ua permutazioe γ S tale che esiste ua k upla a 1,..., a k tale che γ(a j = a j+1 per ogi j = 1,..., k 1 e γ(a k = a 1 I tal modo, ogi permutazioe σ S si può scrivere i modo uico (a meo dell ordie come prodotto dei suoi cicli (che soo u particolare ordiameto degli elemeti di ua partizioe di. PROPOSIZIONE. Ogi permutazioe è prodotto dei suoi cicli, che soo disgiuti e che quidi commutao tra loro. Dimostrazioe. Che i cicli commutio lo abbiamo già visto. Usiamo questo fatto per vedere che, se γ 1,...,γ k soo i cicli (cioè le orbite ordiate di ua particolare permutazioe, idicato co γ i il ciclo dell orbita di u dato elemeto x, si ha (γ 1 γ k (x = γ 1 γ i (x = γ 1 γ j (σ(x ove γ 1 γ j è il prodotto di k 1 cicli disgiuti. A questo puto l elemeto σ(x appartiee all orbita di x, e u qualuque altro ciclo agisce su O(x come l idetità. Si ha allora che (γ 1 γ k (x = γ 1 γ j (σ(x = σ(x PROPOSIZIONE. Ogi permutazioe è prodotto di scambi. Dimostrazioe. Il ciclo ( m si può scrivere come ( m = (1 m(1 m 1(1 m 2...(1 2 Cosiderato che ogi permutazioe si scrive come prodotto dei suoi cicli e che la scrittura di sopra ha l uico effetto di shiftare a destra di u posto tutti i termii, la tesi segue aturalmete. PROPOSIZIONE. Il periodo di σ è il mcm tra i periodi dei suoi cicli. 12

13 Dimostrazioe. Sia N il periodo di σ e M = mcm(m 1,..., m k, ove m j è il periodo del ciclo γ j el prodotto σ = γ 1... γ k. Si ha id = σ N = γ N 1... γn k. I cicli soo disgiuti, duque o può essere che uo qualuque di loro sia l iverso di u qualuque altro: devoo tutti essere ridotti all idetità, e duque m j N per ogi j, cosa che implica mcm(m 1,..., m k N. Di coverso, γ M 1...γM k = σm id e duque N M. Allora N = M. Parità TEOREMA. Ogi permutazioe si scrive i modo uivoco come prodotto di u umero pari o dispari di trasposizioi, e tale codizioe è disgiutiva (o è cioè possibile scrivere la stessa σ come prodotto di u umero pari e dispari di scambi, ache se è possibile scriverla come prodotto di scambi diversi, della stessa parità. Dimostrazioe. Cosideriamo i, j, co i j, e σ S. Valutiamo la quatità 1 i<j i j σ(i σ(j evidetemete tale valore può essere solo ±1: dato che σ è ua biiezioe i deomiatori delle frazioi riproducoo i u altro ordie (e proprio questo è il seso di permutazioe, e al massimo co alcui segi cambiati, i valori a umeratore. Si può duque defiire ua parità ǫ: S {+1, 1} che è morfismo suriettivo di gruppi (cioè ǫ(σ τ = ǫ(σǫ(τ. Faremo seguire la tesi dal seguete LEMMA. Se σ S è ua trasposizioe, allora ǫ(σ = 1. I tal modo acquista seso la defiizioe di parità di ua permutazioe. Se τ è prodotto di u umero pari di scambi allora ǫ(τ = ( 1 2k = 1, metre se è il prodotto di u umero dispari di scambi allora ǫ(τ = 1. Mostriamo il Lemma: sia σ = (h k (cioè h = σ(k e viceversa scambio ordiato i modo da avere h < k. Siao poi i, j e i j σ(i σ(j Se {i, j} = {h, k} si ha k h h k = h k k h studiamo = 1 Se i, j {h, k} = 1. Se poi abbiamo che i {h, k} e ivece j = h si ha i j i j oppure j = k, tutti e soli i casi i cui i j σ(i σ(j < 0 soo quelli per cui h < i < k, e soo duque i umero di k h 1. Aalogamete se j {h, k} e ivece i = h oppure i = k, vi soo k h 1 casi i cui < 0. I totale duque si i j σ(i σ(j ha ǫ(σ = ( 1 2(k h 1+1 = 1. COROLLARIO. U m ciclo è prodotto di m 1 scambi, quidi u ciclo è pari se e solo se m è dispari. COMPLEMENTI Alcui problemi ati metre si studiava per quest esame (che copio immutati ache el liguaggio colloquiale scelto per le coversazioi. Sia a u umero dispari. Allora 2 +2 a 2 1 Dimostrazioe. Sia a := 2k + 1. Allora = (2k = = 2 j=0 ( 2 j (2k j 1 = 2 j=1 Ora si tratta di scrivere i u altro modo la cosa = 2 j=1 (2! j!(2 j! 2j k j = 2 j=1 ( 2 j (2k j 2 (2 1...(2 j + 1 = 2 j k j = j! j=1 2 = 2 (2 1...(2 j j k j = j! j=1 2 = 2 k (2 1...(2 j j k j 1 j! Ora, co u astuto cambio di idice (j 1 = r si ha 2 k ( 2 r=0 (2 1...(2 r 2 r+1 k r = (r + 1! ( 2 = 2 +1 k r=0 (2 1...(2 r 2 r k r (r + 1! Si tratta solo di mostrare che il coteuto delle paretesi è u umero pari: 2 r=0 (2 1...(2 r 2 r k r (r + 1! Soo portato a credere che la cosa si faccia co la formula di Stiefel, ma ora ho soo, quidi ivoco la dimostrazioe per arcolessia... Dimostrazioe. 4 La tua tesi è dimostrare che ogi umero della forma (2k è divisibile per Ovviamete k aturale, ed maggiore di 1 altrimeti o varrebbe. Premessa: sia = 1. Allora ciò è vero perchè risulta (2k = (2k (2k = (2k + 22k = 4k(k + 1, cioè 4 moltiplicato per due iteri cosecutivi di cui almeo uo è ovviamete divisibile per due. Duque tale espressioe è divisibile per 8. Ora sia > 1. Applichiamo il prodotto otevole della differeza di quadrati: (2k =((2k ((2k =((2k ((2k ((2k e avati così. Tre soo le cose su cui ragioare ulteriormete, poi la tesi è i mao ostra. La prima: a parte l ultimo fattore della ostra scomposizioe, oguo dei fattori precedeti della scomposizioe così iterata è dispari i quato somma di ua poteza di u dispari co 1. La secoda: l ultimo fattore della ostra scomposizioe è il caso base = 1, che sappiamo essere 4 Due to Paoloz 13

14 multiplo di 8. La terza: dato, i fattori che compaioo ella ostra scomposizioe soo esattamete. Duque, i primi -1 fattori soo divisibili per 2, l ultimo per 8, cioè 2 alla terza. Totale: la fattorizzazioe è divisibile per Dimostrazioe. Studiamo a 2 1: per ua ota idetità algebrica si ha x 1 = (x 1 1 k=0 xk. Duque el ostro caso a 2 1 = (a 1 a k = (a 1 (2h + 1 k k=0 perchè a = 2h + 1 è dispari. Ora (a 1 k=0 (2h + 1 k = (a 1 k=0 k k=0 j=0 ( k 2 j h j j Il difficile ora è riordiare la doppia sommatoria i u modo compresibile. Proviamoci: ( ( k k = 2 j h j h 0 j 0 k=0 j=0 ( ( 1 = 2 0 h h ( ( ( h h h =. ( (. = h h ( h 2 Raccogliamo tutti i termii dello stesso grado i h: (( ( ( = h (( ( ( h (( ( ( (2h ( (2h I pratica bisoga studiare 2 ( ( k 2 j= h ( k k=1 1 + ( 2 4h 2 ( k k= (2h 2 1. Le sommatorie però purtroppo o sembrao avere tutte ua espressioe elemetare. Si riducoo ifatti ad essere ( 2 j = 1 = 2 0 j=1 j=0 ( 2 j = 1 j=0 j=0 j = 2 ( j=2 ( j = j=r j=2 ( j = 1 r r! k 2 k = (2 1(2 2 j=r k(k 1...(k r + 1 Isomma, o è impossibile trovare ua qualche formula chiusa che o usi Aalisi superiore. Il problema è divetato iutilmete più difficile. :( Mostrare che è u multiplo di 15 per ogi 1 Dimostrazioe. 5 Azitutto = (4 + 1(4 1. Se è dispari si scompoe i = 5 per u altro fattore, e 4 1 i 4 1 = 3 per u altro fattore. Risultato, = 15h per u qualche h N. Se poi è pari allora = 2k, e 4 2k 1 è divisibile per = 15 Dimostrazioe. 6 Si ota che 16 1 mod 15 e duque 4 2 (4 2 = 16 1 = 1 mod 15. Ogi poteza di 16 è cogrua a 1 modulo 15, duque mod 15. Dimostrazioe = 16 1 = ( = k=1 15k, che è multiplo di 15. Se 2 h + 1 è u umero primo, allora h = 2 per qualche N. Dimostrazioe. Mostriamo equivaletemete che se la scomposizioe i primi di cotiee umeri dispari (cioè qualuque primo diverso da 2 allora si riesce a fattorizzare E poi u fatto oto questo Lemma. LEMMA. Se r N è dispari allora x r + 1 = (x + 1 r 1 k=0 ( 1k x k. Riordiiamo i primi della scomposizioe di i modo da isolare la massima poteza di 2, e sia s tale poteza. Per il Lemma di prima si ha che 2 rs + 1 = (2 s r + 1 = (2 s + 1(altra roba L uico modo di far restare 2 h + 1 primo è avere r = 1 (la sommatoria i tal modo si riduce al solo termie i 0 e s = 2 m. Sia p > 5 u primo. Mostrare che il umero delle cifre del periodo ello sviluppo decimale di 1/p è u divisore di p 1. 5 Due to Paoloz 6 Mia 7 Due to Joe 14

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