Problemi variazionali invarianti 1

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1 Problem varazonal nvarant 1 A F. Klen per l cnquantesmo annversaro del dottorato. Emmy Noether a Gottnga. Comuncazone presentata da F. Klen nella seduta del 26 luglo Invarante Varatonsprobleme, Nachrchten von der Könglchen Gesellschaft der Wssenschaften zu Göttngen, Math.-phys. Klasse 1918, La versone fnale del manoscrtto sarà pronta alla fne d settembre.

2 2 S tratta d problem varazonal che ammettono un gruppo contnuo nel senso d Le; le conseguenze che da cò rsultano per le equazon dfferenzal corrspondent trovano la loro espressone pù generale ne teorem enuncat nel 1, dmostrat ne paragraf successv. Su queste equazon dfferenzal che orgnano da problem varazonal s possono fare affermazon molto pù precse che su equazon dfferenzal arbtrare che ammettano un gruppo, le qual costtuscono l oggetto delle rcerche d Le. Quanto segue s fonda qund su un collegamento de metod del calcolo formale delle varazon con quell della teora de grupp d Le. Per grupp e problem varazonal partcolar questo collegamento de metod non è nuovo; rammento Hamel e Herglotz per grupp specal fnt, Lorentz ed suo allev per esempo Fokker, Weyl e Klen per grupp specal nfnt 1. In partcolare la seconda nota d Klen e gl svlupp present s sono mutuamente nfluenzat, scché posso rmandare alle osservazon conclusve della nota d Klen. 1. Osservazon prelmnar ed enuncazone de teorem. S assumerà che tutte le funzon che comparranno nel seguto sano analtche o almeno contnue e dervabl un numero fnto d volte, e unvoche nel domno consderato. Per gruppo d trasformazon s ntende notoramente un sstema d trasformazon tale che per ogn trasformazone essta un nversa contenuta nel sstema, e che la composzone d due trasformazon qualsans del sstema appartenga ancora al sstema. Il gruppo s chama un gruppo fnto contnuo G, quando le sue trasformazon sano contenute n uno pù generale possble, che dpenda analtcamente da parametr essenzal ε coè parametr non dovranno poters rappresentare come funzon d meno parametr. Analogamente s ntende per gruppo nfnto contnuo G un gruppo, le cu trasformazon pù general dpendano da funzon essenzalmente arbtrare px e dalle loro dervate, funzon che sano analtche o almeno contnue e dervabl un numero fnto d volte. Come termne ntermedo tra due grupp esste l gruppo che dpende da un numero nfnto d parametr, ma non da funzon arbtrare. Infne s chama gruppo msto un gruppo che dpenda sa da funzon arbtrare che da parametr 2. 1 Hamel: Math. Ann. Vol. 59 e Zetschrft f. Math. u. Phys. Vol. 50. Herglotz: Ann. d. Phys. 4 Vol. 36, n partcolare 9, pagna 511. Fokker, Verslag d. Amsterdamer Akad., 27./ Per l ulterore bblografa s veda la seconda nota d Klen: Göttnger Nachrchten 19 luglo In un lavoro d Kneser apparso or ora Math. Zetschrft Vol. 2 s tratta della costruzone d nvarant con metod analogh. 2 Le defnsce ne Fondament per la teora de grupp d trasformazon nfnt cont-

3 3 Sano x 1,...,x n varabl ndpendent, u 1 x,...,u µ x funzon dpendent da queste. Se s sottopongono le x e le u alle trasformazon d un gruppo, per la supposta nvertbltà delle trasformazon, tra le quanttà trasformate devono essere comprese d nuovo n quanttà ndpendent, - y 1,...y n - ; le rmanent, che dpendono da queste, sano ndcate con v 1 y,...,v µ y. Nelle trasformazon possono anche comparre le dervate delle u rspetto alle x, ossa u/ x, 2 u/ x 2, S dce che una funzone è un nvarante del gruppo, se vale una relazone: P x,u, u x, 2 u x 2,... = P y,v, v y, 2 v y 2,.... In partcolare un ntegrale I sarà qund un nvarante del gruppo se vale una relazone 4 : I = f x,u, u x, 2 u x 2,... dx = f y,v, v y, 2 v y 2,... dy, 1 ntegrato 5 su un domno reale arbtraro delle x e sul corrspondente domno delle y. Per un ntegrale I arbtraro, non necessaramente nvarante, costrusco altresì la varazone prma δi e la trasformo medante ntegrazone per part secondo le regole del calcolo varazonale. È noto che, se s assume δu tale da annullars al contorno asseme a tutte le dervate che ntervengono, ma altrment arbtraro, rsulta: ψ δi = δfdx = x,u, u x,... δu dx, 2 nu Ber. d. K. Sächs. Ges. der Wssensch [ctato come Fondament ] grupp nfnt contnu come grupp d trasformazon, le cu trasformazon sano date dalle soluzon pù general d un sstema d equazon dfferenzal alle dervate parzal, purché tal soluzon non dpendano soltanto da un numero fnto d parametr. S ottene così uno de tp anzdett, dstnt da grupp fnt; mentre nversamente l caso lmte d nfnt parametr non necessaramente deve soddsfare un sstema d equazon dfferenzal. 3 Trascuro gl ndc - eventualmente anche nelle sommatore - ; qund 2 u/ x 2 sta per 2 u α/ x β x γ, eccetera. 4 Scrvo per brevtà dx, dy al posto d dx 1...dx n, dy 1...dy n. 5 Tutt gl argoment x, u, ε, px che compaono nelle trasformazon devono essere assunt come real, mentre coeffcent possono essere compless. Poché ne rsultat fnal s ha a che fare con denttà ne parametr x, u e nelle funzon arbtrare, queste valgono anche per valor compless, purché tutte le funzon che ntervengono sano assunte analtche. Una gran parte de rsultat s può ottenere del resto senza ntegral, scché la restrzone al campo reale appare anche fondamentalmente non necessara. Invece le trattazon alla fne del 2 e all nzo del 5 non paono essere esegubl senza ntegral.

4 4 dove le ψ ndcano le espresson lagrangane, ovvero prm membr delle equazon d Lagrange del corrspondente problema varazonale δi = 0. A questa relazone ntegrale corrsponde un denttà senza ntegral n δu e nelle sue dervate, che rsulta scrvendo termn al contorno. Come mostra l ntegrazone per part, quest termn al contorno sono ntegral su dvergenze, coè su espresson DvA = A 1 x A n x n, dove A è lneare n δu e nelle sue dervate. Rsulta qund: ψ δu = δf + DvA. 3 Se n partcolare f contene solo dervate prme delle u, nel caso dell ntegrale semplce l denttà 3 è dentca a quella che Heun chama equazone centrale lagrangana : ψ δu = δf d dx f u δu, u = du dx, 4 mentre per l ntegrale ennuplo la 3 dventa: ψ δu = δf f x 1 u δu f x x n 1 u δu. 5 x n Per l ntegrale semplce e κ dervate delle u la 3 è data da ψ δu = δf d dx + d2 dx 2 { 1 f 1 u 1 δu + 21 f u 2 { 2 f 2 u 2 δu + 32 f u 3 δu κ 1 δu 1 f u κ + + κ 2 f + 1 κ dκ dx κ u κ { κ κ f } δu κ 1 } δu κ 2 u κ δu }, 6 ed un denttà corrspondente vale per l ntegrale ennuplo; A contene n partcolare δu fno alla dervata d ordne κ 1. Che le espresson lagrangane ψ sano defnte effettvamente dalle 4, 5, 6 dscende dal fatto che con le combnazon de second membr tutte le dervate superor delle δu sono elmnate, mentre è altresì soddsfatta la relazone 2, alla quale porta unvocamente l ntegrazone per part.

5 5 S tratta ora nel seguto de due teorem: I. Se l ntegrale I è nvarante rspetto ad un G, allora combnazon lnearmente ndpendent delle espresson lagrangane dventano delle dvergenze - nversamente segue da questa crcostanza l nvaranza d I rspetto ad un G. Il teorema vale ancora nel caso lmte d nfnt parametr. II. Se l ntegrale I è nvarante rspetto ad un G, allora esstono relazon dentche tra le espresson lagrangane e le loro dervate fno all ordne σ - anche qu vale l nverso 6. Per grupp mst valgono gl enuncat d entramb teorem; compaono qund sa dpendenze che relazon d dvergenza ndpendent da esse. Se s passa da queste denttà al corrspondente problema varazonale, se qund s pone 7 ψ = 0, l prmo teorema nel caso monodmensonale - quando la dvergenza dventa una dervata totale - afferma l esstenza d ntegral prm, tra qual possono d altronde sussstere dpendenze non lnear 8 ; nel caso multdmensonale s ottengono le equazon d dvergenza recentemente spesso ndcate come legg d conservazone ; l teorema II afferma che delle equazon d Lagrange sono una conseguenza delle rmanent. La rappresentazone parametrca d Weerstrass costtusce l esempo pù semplce del teorema II - senza nverso -; n questo caso l ntegrale per omogenetà del prm ordne è charamente nvarante, se s sosttusce la varable ndpendente x con una funzone arbtrara d x, che lasc u nvarato y = px, v y = u x. Compare qund una funzone arbtrara, ma senza dervate, e le corrsponde la nota relazone lneare tra le stesse espresson lagrangane: ψ du /dx = 0. Un ulterore esempo fornsce la teora della relatvtà generale de fsc; s tratta n questo caso del gruppo d tutte le trasformazon delle x: y = p x, mentre le u ndcate come g µν e q saranno sottoposte alle trasformazon ndotte per coeffcent d una forma dfferenzale rspettvamente quadratca e lneare, che contengono le dervate prme delle funzon arbtrare px. Ad esse corrspondono le note n dpendenze tra le espresson lagrangane e le loro dervate prme 9. Se s specalzza n partcolare l gruppo n modo da non ammettere nessuna dervata delle ux nelle trasformazon, e se noltre s lascano dpendere le quanttà ndpendent trasformate solo dalle x, non dalle u, come sarà dmostrato nel 5, dall nvaranza d I rsultano l nvaranza relatva 10 d ψ δu, ed anche delle dvergenze che compaono nel teorema I, allorché 6 Per certe eccezon trval s veda l 2, nota Un po pù n generale s può anche porre ψ = T, vedas 3, nota Vedas la conclusone del 3. 9 S confront n proposto l esposzone d Klen. 10 Coè ψ δu assume per la trasformazone un fattore.

6 6 parametr sono sottopost ad opportune trasformazon. Da cò segue ancora che anche gl ntegral prm su menzonat ammettono l gruppo. Per l teorema II rsulta pure l nvaranza relatva de prm membr delle dpendenze, runt per mezzo delle funzon arbtrare; e come conseguenza d cò rsulta ancora una funzone, la cu dvergenza s annulla dentcamente e ammette l gruppo - che consente nella teora della relatvtà de fsc la connessone tra dpendenze e legge dell energa 11. Il teorema II dà nfne la dmostrazone, nella versone secondo la teora de grupp, d un affermazone d Hlbert ad esso connessa, sulla mancanza d legg dell energa vere e propre n relatvtà generale. Con queste osservazon agguntve l teorema I contene tutt teorem not n meccanca, eccetera, sugl ntegral prm, mentre l teorema II può essere desgnato come la generalzzazone pù vasta possble secondo la teora de grupp della teora della relatvtà generale. 2. Relazon d dvergenza e dpendenze. Sa G un gruppo contnuo - fnto o nfnto - ; allora è sempre possble far sì che alla trasformazone dentca corrsponda 12 l valore zero de parametr ε, rspettvamente delle funzon arbtrare px. La trasformazone pù generale sarà qund della forma: y = A x,u, u x,... = x + x + v y = B x,u, u x,... = u + u + dove x, u ndcano termn d potenza pù bassa n ε, rspettvamente n px e nelle loro dervate; e n partcolare saranno assunt lnear. Come s mostrerà n seguto, questo non costtusce una restrzone della generaltà. Sa ora l ntegrale I un nvarante rspetto a G, e qund la relazone 1 sa soddsfatta. In partcolare I è allora nvarante anche rspetto alle trasformazon nfntesme contenute n G: e percò la relazone 1 dventa: y = x + x, v y = u + u, 11 S veda la seconda nota d Klen. 12 Vedas n proposto Le: Fondament, pagna 331. Se s tratta d funzon arbtrare, valor specal a σ de parametr vanno sosttut con funzon fssate p σ, p σ / x,...; corrspondentemente valor a σ + ε con p σ + px, p σ / x + p/ x eccetera.

7 7 0 = I = f f x,vy, v y,... x,ux, u x,... dx, dy 7 dove l prmo ntegrale va esteso sul domno x+ x corrspondente al domno x. Ma questa ntegrazone s può anche trasformare n un ntegrazone sul domno x per mezzo dello svluppo, valdo per x nfntesm = f x,vx, v x,... dx + f x,vy, v y,... dy 8 Dvf xdx. Se s ntroduce al posto della trasformazone nfntesma u la varazone: δu = v x u x = u u x λ x λ, 9 la 7 e la 8 dventano: 0 = { } δf + Dvf x dx. 10 Il secondo membro è la nota formula per la varazone smultanea delle varabl dpendent e ndpendent. Poché la relazone 10 è soddsfatta per ntegrazone su ogn domno arbtraro, l ntegrando deve annullars dentcamente; le equazon dfferenzal d Le per l nvaranza d I s trasformano qund nella relazone δf + Dvf x = Se n essa, secondo la 3, s esprme δf medante le espresson lagrangane, s ottene: ψ δu = DvB B = A f x, 12 e questa relazone rappresenta qund per ogn ntegrale I nvarante un denttà n tutt gl argoment che v compaono; essa è la forma cercata 13 delle equazon dfferenzal d Le per I. 13 La 12 dventa 0=0 nel caso trvale - che può avvenre soltanto se x, u dpendono anche da dervate delle u - quando Dvf x = 0, δu = 0; queste trasformazon nfntesme vanno qund sempre separate dal gruppo, e nelle enuncazon del teorema va contato solo l numero de parametr o delle funzon arbtrare rmanent. Deve rmanere ndecso se le restant trasformazon nfntesme formno ancor sempre un gruppo.

8 8 S assuma ora G come gruppo fnto contnuo G ; poché per potes u e x sono lnear ne parametr ε 1,...,ε, per la 9 lo stesso vale per δu e per le sue dervate; qund A e B sono lnear negl ε. Se pongo pertanto B = B 1 ε B ε, δu = δu 1 ε δu ε, dove qund δu 1,... sono funzon d x, u, u/ x,..., dalla 12 dscendono le relazon d dvergenza cercate: ψ δu 1 = DvB 1,... ψ δu = DvB. 13 Dventano qund dvergenze combnazon lnearmente ndpendent delle espresson lagrangane; l ndpendenza lneare dscende dal fatto che per la 9 da δu = 0, x = 0 dscenderebbe anche u = 0, x = 0, e qund una dpendenza tra le trasformazon nfntesme. Ma essa per potes non è soddsfatta per nessun valore de parametr, perché altrment l G che s rotterrebbe per ntegrazone dalle trasformazon nfntesme dpenderebbe da meno d parametr essenzal. L ulterore possbltà δu = 0, Dvf x = 0 era tuttava esclusa. Queste concluson valgono ancora nel caso lmte d nfnt parametr. Sa ora G un gruppo contnuo nfnto G ; allora d nuovo δu e le sue dervate, qund anche B, saranno lnear nelle funzon arbtrare px e nelle loro dervate 14, e sa per sosttuzone de valor d δu, ancora ndpendentemente dalla 12: ψ δu = { ψ λ, a λ x,u, p λ x + b λ x,u, pλ x + + cλ x,u, σ p λ } x σ. Ora, analogamente alle formule dell ntegrazone per part, a seguto dell denttà ϕx,u,... τ px x τ = 1 τ τ ϕ px modulo dvergenze xτ le dervate delle p s possono sostture con le p stesse e con dvergenze, che rsultano lnear nelle p e nelle loro dervate; pertanto rsulta: ψ δu = 14 λ { a λ ψ b λ ψ σ σ x x σ c λ ψ } p λ + DvΓ, 14 L nverso è dmostrato dal fatto che non è restrttvo assumere le p ndpendent dalle u, u/ x,....

9 9 e n combnazone con la 12 { a λ ψ b λ ψ σ σ x x σ c λ } ψ p λ = DvB Γ. 15 Costrusco ora l ntegrale ennuplo sulla 15, esteso su un domno qualsas, e scelgo le px n modo tale che esse asseme a tutte le dervate che compaono n B Γ s annullno al contorno. Poché l ntegrale su una dvergenza s rduce ad un ntegrale al contorno, s annulla anche l ntegrale del prmo membro della 15 per px arbtrare, solo nulle al contorno asseme ad un numero suffcente d dervate; e da qu dscende con ragonament not l annullars degl ntegrand per ogn px, qund le relazon { a λ ψ x b λ ψ σ σ x σ c λ ψ } = 0, λ = 1, Queste sono le dpendenze cercate tra le espresson lagrangane e le loro dervate a seguto dell nvaranza d I rspetto a G ; l ndpendenza lneare s dmostra come prma, poché l nverso rconduce alla 12, e poché dalle trasformazon nfntesme c s può d nuovo rportare a quelle fnte, come sarà mostrato n dettaglo nel 4. Qund anche per un G gà nelle trasformazon nfntesme ntervengono sempre trasformazon arbtrare. Dalla 15 e dalla 16 segue ancora DvB Γ = 0. Se, n corrspondenza ad un gruppo msto, x e u s assumono lnear negl ε e nelle px, s vede, ponendo una volta le px, una volta gl ε ugual a zero, che sussstono sa relazon d dvergenza 13 che dpendenze Inverso nel caso del gruppo fnto. Per dmostrare l nverso s devono essenzalmente esegure le consderazon precedent n ordne nvertto. Dalla valdtà della 13 segue medante moltplcazone con gl ε e addzone la valdtà della 12, e a seguto dell denttà 3 una relazone δf DvA B = 0. Se qund s pone: x = 1/f A B, s pervene alla 11; da qu dscende nfne per ntegrazone la 7: I = 0, qund l nvaranza d I rspetto alla trasformazone nfntesma defnta da x, u, dove u s determnano da x e δu secondo la 9, e x e u rsultano lnear ne parametr. Ma I = 0 porta con sè n modo noto l nvaranza d I rspetto alle trasformazon fnte che rsultano per ntegrazone de sstem smultane: dx dt = x, du dt = u, x = y, u = v per t = 0. 17

10 10 Queste trasformazon fnte contengono parametr a 1,...,a, ossa le combnazon tε 1,...,tε ρ. Dall potes, che debbano rsultare e soltanto relazon d dvergenza 13 lnearmente ndpendent, segue noltre che, purché non contengano le dervate u/ x, le trasformazon fnte formano sempre un gruppo. In caso contraro nfatt almeno una trasformazone nfntesma che rsulta dal procedmento delle parentes d Le non sarebbe combnazone lneare delle rmanent, e poché I ammette anche questa trasformazone, rsulterebbero pù d relazon d dvergenza lnearmente ndpendent; oppure questa trasformazone nfntesma sarebbe della forma specale, per la quale δu = 0, Dvf x=0, ma allora o x o u sarebbe, contraramente all potes, dpendente da dervate. Che questo caso possa succedere, quando compaono dervate n x o n u, deve rmanere n sospeso; nfatt alle x su determnate vanno aggunte ancora, per rottenere la propretà d gruppo, tutte le funzon x per le qual Dvf x = 0; ma parametr così rsultant, come convenuto, non dovranno essere conteggat. Qund l nverso è dmostrato. Da questo nverso segue ancora che effettvamente x e u possono essere assunt lnear ne parametr. Se nfatt u e x fossero forme d grado superore n ε, per l ndpendenza lneare de prodott d potenze degl ε rsulterebbero delle relazon del tutto corrspondent alle 13, solo n numero maggore, dalle qual per l nverso rsulta l nvaranza d I rspetto ad un gruppo, le cu trasformazon nfntesme contengono parametr lnearmente. Se questo gruppo deve contenere propro parametr devono sussstere dpendenze lnear tra le relazon d dvergenza ottenute orgnaramente medante termn d grado superore n ε. Va notato ancora che nel caso quando x e u contengono anche dervate delle u, le trasformazon fnte possono dpendere da nfnte dervate delle u; nfatt l ntegrazone della 17 porta n questo caso nella determnazone d d 2 x /dt 2, d 2 u /dt 2 a u = u x κ x κ λ u x λ x λ x κ, scché l numero delle dervate delle u n generale cresce ad ogn passo. Un esempo dà: f = 1 2 u 2, ψ = u, ψ x = d dx u u x, δu = x ε, x = 2u u 2ε, u = x 2u u ε.

11 11 Poché l espressone lagrangana d una dvergenza s annulla dentcamente, l nverso n conclusone mostra ancora quanto segue: Se I ammette un G, ogn ntegrale che s dstngua da I solo per un ntegrale al contorno, coè per l ntegrale su una dvergenza, ammette parment un G con lo stesso δu, le trasformazon nfntesme del quale n generale conterranno dervate delle u. Così secondo l esempo precedente f = 1 2 { u 2 d dx } u 2 ammette la trasformazone nfntesma u = xε, x = 0, mentre nelle trasformazon nfntesme che corrspondono ad f compaono dervate delle u. Se s passa al problema varazonale, coè se s pone ψ = 0 15, le 13 dventano le equazon: DvB 1 = 0,..., DvB = 0, che spesso vengono ndcate come legg d conservazone. Nel caso monodmensonale rsulta qund: B 1 = cost.,..., B = cost., e noltre le B contengono al massmo dervate dell ordne 2κ 1 delle u per la 6, purché u e x non contengano alcuna dervata d ordne superore d quelle d ordne κ-esmo che compaono n f. Poché n ψ n generale compaono 16 dervate d ordne 2κ, s ha l esstenza d ntegral prm. Che possano esstere sotto queste dpendenze non lnear, lo mostra ancora la f precedente. Alle u = ε 1, x = ε 2 lnearmente ndpendent corrspondono le relazon lnearmente ndpendent: u = d dx u, u u = 1 d 2 dx u 2, mentre tra gl ntegral prm u = cost., u 2 = cost. sussste una dpendenza non lneare. Inoltre s tratta del caso elementare per l quale u, x non contengono 17 alcuna dervata delle u. x 15 ψ = 0 o un po pù n generale ψ = T dove le T sono funzon d nuova ntroduzone, saranno desgnate n fsca come equazon d campo. Nel caso ψ = T le denttà 13 dventano le equazon: DvB λ = T δu λ, che n fsca sono ndcate ancora come legg d conservazone. 16 Purché f non sa lneare nelle dervate κ-esme. 17 Altrment s ha ancora u λ =cost., per ogn λ, e n corrspondenza: u u λ 1 = 1 d λ dx u λ.

12 12 4. Inverso nel caso del gruppo nfnto. S mostra n prmo luogo che l assunzone della lneartà d x e u non costtusce alcuna restrzone, cosa che gà rsulta senza nverso dal fatto che G dpende formalmente da e solo funzon arbtrare. S mostra nfatt che nel caso non lneare, per composzone delle trasformazon, per cu termn d ordne pù basso s sommano, l numero delle funzon arbtrare crescerebbe. Infatt, se s ha y = A x,u, u x,...;p = x + ax,u,...p ν ν 1 p + bx,u,...p x p 2 p ν +cp ν d + x x p ν = p 1 ν 1...p ν, e analogamente per v = B x,u, u/ x,...;p, per composzone con z = Ay,v, v/ y,...;q rsulta per termn d ordne pù basso: z = x + { ap ν + q ν ν 1 p + b p x +c { } q + qν 1 x p 2 } q 2 p ν 2 + q ν 2 +. x x Se v è qualche coeffcente dverso da a e da b che sa dverso da zero, e qund se s ha realmente, per σ > 1, un termne p σ q σ p ν σ + q ν σ, x x esso non s può scrvere come dervata d una funzone sngola, o come potenza d questa; l numero delle funzon arbtrare è qund crescuto contro l potes. Se s annullano tutt coeffcent dvers da a e da b, per cascun valore degl esponent ν 1...ν l secondo termne sarà la dervata del prmo come sempre succede per esempo per un G 1 scché s ha effettvamente lneartà, altrment l numero delle funzon arbtrare aumenta anche n questo caso. - Per la lneartà delle px le trasformazon nfntesme soddsfano qund ad un sstema lneare d equazon dfferenzal alle dervate parzal, e poché la propretà d gruppo è soddsfatta, esse costtuscono un gruppo nfnto d trasformazon nfntesme secondo la defnzone d Le Fondament, 10. L nverso s ottene ora n modo analogo al caso del gruppo fnto. L esstenza delle dpendenze 16 porta tramte moltplcazone per p λ x e

13 13 addzone graze allo svluppo dentco 14 a ψ δu = DvΓ, e da qu segue come nel 3 la determnazone d x e u e l nvaranza d I rspetto a queste trasformazon nfntesme, che effettvamente dpendono lnearmente da funzon arbtrare e dalle loro dervate fno all ordne σ. Che queste trasformazon nfntesme, quando non contengano alcuna dervata u/ x,..., certamente costtuscano un gruppo, dscende come nel 3 dal fatto che altrment per composzone apparrebbero pù funzon arbtrare, mentre per potes le 16 devono dare solo dpendenze; esse costtuscono qund un gruppo nfnto d trasformazon nfntesme. Ma un gruppo sffatto Fondament, teorema VII, pagna 391 rsulta dalle trasformazon nfntesme pù general d un certo gruppo nfnto G d trasformazon fnte, defnto nel senso d Le. Ogn trasformazone fnta sarà generata da una nfntesma Fondament, 7 18, e rsulta qund per ntegrazone del sstema smultaneo: dx dt = x, du dt = u, x = y, u = v per t = 0; però può essere necessaro assumere le funzon arbtrare px dpendent anche da t. G dpende qund effettvamente da funzon arbtrare; se basta n partcolare assumere le px ndpendent da t, questa dpendenza sarà analtca nelle funzon arbtrare 19 qx = t px. Se compaono dervate u/ x,..., può essere necessaro aggungere ancora trasformazon nfntesme δu = 0, Dvf x = 0, ma s arrva sempre alla stessa conclusone. In connessone con un esempo d Le Fondament, 7 s presenterà ancora un caso abbastanza pù generale, nel quale c s può spngere fno a formule esplcte, che mostrano parment che le dervate delle funzon arbtrare compaono fno all ordne σ, dove l nverso è qund completo. Tal sono grupp d trasformazon nfntesme, alle qual corrsponde l gruppo d tutte le trasformazon delle x e delle trasformazon delle u ndotte da queste; ovvero trasformazon delle u per le qual le u e d conseguenza le u dpendono soltanto dalle funzon arbtrare che compaono n x, e nelle qual s assume ancora che le dervate u/ x,... non compaano n u. S 18 Da qu segue n partcolare, che l gruppo G generato dalle trasformazon nfntesme x, u d un G s rconduce a G. Infatt G non contene nessuna trasformazone nfntesma dversa da x, u, dpendente da funzon arbtrare, e non può nemmeno contenerne alcuna ndpendente da queste, e dpendente da parametr, perché altrment sarebbe un gruppo msto. Ma secondo quanto detto prma le trasformazon fnte sono determnate dalle trasformazon nfntesme. 19 Le questone, se ntervenga sempre quest ultmo caso, è stata proposta con altra formulazone da Le Fondament, 7 e conclusone del 13.

14 14 ha qund: u = { n λ=1 a λ x = p x, x,up λ + b λ p λ x + + cλ σ p λ } x σ. Poché la trasformazone nfntesma x = px genera ogn trasformazone x = y + gy con gy arbtraro, s può determnare n partcolare px con una dpendenza da t tale che s genererà l gruppo con un solo termne: x = y + t g y, 18 che per t = 0 dventa l denttà, per t = 1 va nel cercato x = y + gy. Per dervazone della 18 rsulta nfatt: dx dt = g y = p x,t, 19 dove px, t s determna da gy per nversone della 18, e nversamente la 18 rsulta dalla 19 graze alla condzone agguntva x = y per t = 0, medante la quale l ntegrale è determnato unvocamente. Graze alla 18 gl x n u s possono sostture con le costant d ntegrazone y e con t; noltre le gy compaono fno alla dervata d ordne σ, purché n p x = g y κ y κ x s esprma y/ x medante x/ y, e n generale σ p/ x σ medante l suo valore n termn d g/ y,..., x/ y, σ x/ y σ. Per la determnazone delle u vale qund l sstema d equazon: du dt = F gy, g y,..., σ g y σ,u,t u = v per t = 0, nel quale solo t e le u sono varabl, mentre le gy,... appartengono alla categora de coeffcent, scché l ntegrazone dà: u = v + B v,gy, g y,..., σ g y σ,t, qund trasformazon che dpendono esattamente da σ dervate delle funzon arbtrare. L denttà è contenuta per la 18 quando gy = 0, e la propretà d gruppo dscende dal fatto che, sccome l procedmento dato produce ogn trasformazone x = y + gy, medante la quale l ndotta delle u è fssata unvocamente, l gruppo G verrà esaurto. t=1

15 15 Dall nverso rsulta ancora noltre che non costtusce alcuna restrzone l fatto d assumere le funzon arbtrare dpendent solo dalle x e non dalle u, u/ x,.... In quest ultmo caso nfatt comparrebbero nello svluppo dentco 14, qund anche nella 15, oltre alle p λ anche pλ u, p λ u,... Se x ora s assume che le p λ sano successvamente d grado zero, uno... n u, u/ x,..., con funzon arbtrare d x come coeffcent, rsultano ancora dpendenze 16, solo n numero pù elevato, le qual tuttava, secondo l nverso d cu sopra, per composzone con funzon arbtrare dpendent solo dalle x, rconducono al caso precedente. S dmostra parment che alla comparsa smultanea d dpendenze e d relazon d dvergenza ndpendent da queste corrspondono grupp mst Come nel 3 segue anche qu dall nverso che oltre ad I anche ogn ntegrale I dverso dal prmo per un ntegrale su una dvergenza ammette parment un gruppo nfnto, con lo stesso δu, ma per l quale tuttava x e u n generale conterranno dervate delle u. Ensten ha ntrodotto un ntegrale I sffatto nella teora della relatvtà generale, per ottenere una formulazone pù semplce della legge dell energa; o do le trasformazon nfntesme che questo I ammette, attenendom esattamente nella notazone alla seconda nota d Klen. L ntegrale I = Kdω = KdS ammette l gruppo d tutte le trasformazon delle w e quelle da questo ndotte per le g µν; a questo corrspondono le dpendenze 30 n Klen: K µνg τ µν g µσ K µτ + 2 = 0. w σ Sa ora: I = K ds, dove K = K+Dv, e d conseguenza sarà: K µν = K µν, dove K µν, K µν ndcano sempre le espresson lagrangane. Le dpendenze prma date sono qund tal anche per K µν, e dopo moltplcazone per p τ e addzone rsulta svluppando a rtroso la dervata del prodotto: K µνp µν + 2Dv g µσ K µτp τ = 0; δk + Dv 2g µσ K µτp τ K g σ µν p µν = 0. Per confronto con l equazone dfferenzale d Le: δk + DvK w = 0 ne consegue: w σ = 1 K 2g µσ K µτp τ K p µν, g µν = p µν + g µν σ w σ g µν σ come trasformazon nfntesme che I ammette. Queste trasformazon nfntesme dpendono qund dalle dervate prme e seconde d g µν, e contengono le p funzon arbtrare fno alla dervata prma.

16 16 5. Invaranza delle sngole part costtutve delle relazon. Se s specalzza l gruppo G al caso pù semplce che s tratta d solto, quando nella trasformazone non s ammette nessuna dervata delle u, e le varabl ndpendent trasformate dpendono solo dalle x e non dalle u, s può decdere rguardo all nvaranza, nelle formule, delle sngole part costtutve. S ottene così n prmo luogo, secondo note dervazon, l nvaranza d ψ δu dx, e qund l nvaranza relatva d ψ δu 21, ntendendo con δ una qualsas varazone. S ha nfatt da un lato δi = δf x,u, u x,... dx = δf y,v, v y,... dy, e dall altro per δu, δ u/ x,... che s annullano al contorno, a qual per la trasformazone lneare omogenea d δu, δ u/ x,... corrspondono de δv, δ v/ y,... che pure s annullano al contorno: δf δf x,u, u x,... dx = y,v, v x,... dy = ψ u,... δu dx, ψ v,... δv dy, conseguentemente per δu,δ u/ x,... che s annullano al contorno, s ha: ψ u,... δu dx = ψ v,... δv dy = ψ v,... δv y x κ dx. Se s esprmono nel terzo ntegrale y,v,δv medante x,u,δu, e lo s pone uguale al prmo, s ottene qund una relazone: χ u,... δu dx = 0 per δu che s annullano al contorno, ma altrment arbtrar, e da qu dscende, come noto, l annullars dell ntegrando per δu arbtrar; dentcamente n δu, vale qund la relazone: ψ u,... δu = y x ψ v,... δv, k 21 Vale a dre ψ δu assume per trasformazone un fattore, cosa che nella teora degl nvarant algebrc s ndcherebbe sempre come nvaranza relatva.

17 17 che afferma l nvaranza relatva d ψ δu e conseguentemente l nvaranza d ψ δu dx 22. Per applcare cò alle relazon d dvergenza e alle dpendenze dervate, occorre prma dmostrare che δu, ottenuto da u, x soddsfa effettvamente alle legg d trasformazone per la varazone δu, purché parametr, rspettvamente le funzon arbtrare n δv sano determnate n modo tale da corrspondere al gruppo analogo delle trasformazon nfntesme n y,v. Se T q ndca la trasformazone che porta le x,u n y,v, e se T p è una trasformazone nfntesma n x,u, quella analoga n y,v è data dalla trasformazone T = T q T p T 1 q, dove qund parametr, rspettvamente le funzon arbtrare r, s determnano a partre da p e q. In formule questo s esprme così: T p : ξ = x + xx,p, u = u + ux,u,p, T q : y = Ax,q, T q T p : η = Ax + xx,p,q, Ma da qu s ottene T r = T q T p T 1 q, qund v = Bx,u,q, η = y + yr, v = v + vr, v = Bx + xp,u + up,q. purché n conformtà all nverso d T q s consderno le x come funzon delle y e s tenga conto solo de termn nfntesm; s ha qund l denttà v = v + vr = v + Bx,u,q x η = y + yr = y + Ax,q xp, 20 x xp + Bx,u,q up. u 22 Queste concluson non valgono quando le y dpendono anche dalle u, perché allora δf y,v, v/ y,... contene anche termn come f/ yδy, e qund la trasformazone della dvergenza non porta alle espresson lagrangane, anche quando s ammettono dervate delle u; allora nfatt le δv saranno combnazon lnear d δu, δ u/ x,..., porteranno qund solo dopo una ulterore trasformazone della dvergenza ad una denttà χu,...δu dx = 0, scché a secondo membro non compaono pù le espresson lagrangane. La questone, se dall nvaranza d ψ δu dx s possano gà trarre concluson rguardo all esstenza delle relazon d dvergenza, a seguto dell nverso è equvalente alla questone, se da qu s possano trarre concluson rguardo all nvaranza d I rspetto ad un gruppo, che non port necessaramente alle stesse u, x, ma puttosto alle stesse δu. Nel caso partcolare dell ntegrale semplce e con solo dervate prme n f, dall nvaranza delle espresson lagrangane s possono trarre, per l gruppo fnto, concluson rguardo all esstenza d ntegral prm. vedas per esempo Engel, Gott. Nachr. 1916, pagna 270.

18 18 Se qu s sosttusce ξ = x + x con ξ ξ, qund ξ rtorna n x e x s annulla, allora secondo la prma delle formule 20 anche η rtorna n y = η η; medante questa sosttuzone up va n δup, scché anche vr va n δvr, e la seconda delle formule 20 dà: v + δvy,v,...r = v + Bx,u,q δup, u δvy,v,...r = B u κ δu κ x,u,p, coscché le formule d trasformazone sono effettvamente soddsfatte per le varazon purché solo δv venga assunto dpendente da parametr, o rspettvamente dalle funzon arbtrare r 23. Ne dscende qund n partcolare l nvaranza relatva d ψ δu, qund anche per la 12, poché le relazon d dvergenza sono soddsfatte anche n y,v, l nvaranza relatva d DvB, e noltre, per la 14 e la 13, l nvaranza relatva d DvΓ e de prm membr delle dpendenze, rassunt con le p λ, dove nelle formule trasformate s devono sempre sostture le px o rspettvamente parametr arbtrar con le r. In tal modo rsulta ancora l nvaranza relatva d DvB Γ, qund d una dvergenza d un sstema d funzon non dentcamente nullo B Γ, la quale s annulla dentcamente. Dall nvaranza relatva d DvB nel caso monodmensonale e per grupp fnt s può ancora trarre una conclusone sull nvaranza degl ntegral prm. La trasformazone de parametr corrspondente alla trasformazone nfntesma sarà per la 20 lneare ed omogenea, e per l nvertbltà d tutte le trasformazon anche gl ε saranno lnear ed omogene ne parametr trasformat ε. Questa nvertbltà s conserva scuramente quando s pone ψ = 0, perché nella 20 non compare alcuna dervata delle u. Eguaglando coeffcent degl ε n DvBx,u,...ε = dy dx DvBy,v,...ε anche d dy Bλ y,v,... saranno funzon lnear omogenee de d dx Bλ x,u,..., coscché da d dx Bλ x,u,... = 0 ovvero B λ x,u,... = cost. dscende anche che d dy Bλ y,v,... = 0 ossa B λ y,v = cost. 23 S mostra noltre che y deve essere supposto ndpendente da u, eccetera, perché le concluson sano valde. Come esempo s rammentno le quanttà presentate da Klen δg µν e δq, che soddsfano le trasformazon per varazon purché le p sano sottoposte ad una trasformazone vettorale.

19 19 I ntegral prm, che corrspondono a un G, ammettono qund sempre l gruppo, coscché anche l ulterore ntegrazone s semplfca. L esempo pù semplce n proposto s ha quando f non contenga x o una u, cosa che corrsponde alla trasformazone nfntesma x = ε, u = 0, o rspettvamente x = 0, u = ε. Sarà δu = εdu/dx o rspettvamente ε, e poché B s ottene per dervazone e combnazon razonal da f e δu, è anch esso ndpendente dalle x e rspettvamente dalle u, ed ammette grupp corrspondent Un affermazone d Hlbert. Da quanto precede rsulta nfne ancora la dmostrazone d un affermazone d Hlbert sulla connessone della mancanza d legg dell energa vere e propre con la relatvtà generale prma nota d Klen, Göttngen Nachr. 1917, Rsposta, 1 o paragrafo, e precsamente nella versone pù generale secondo la teora de grupp. L ntegrale I ammetta un G, e sa G σ un qualche gruppo fnto rsultante per specalzzazone delle funzon arbtrare, qund sottogruppo d G. Al gruppo nfnto G corrspondono allora dpendenze 16, al gruppo fnto G σ relazon d dvergenza 13; e nversamente dall esstenza d una qualche relazone d dvergenza dscende l nvaranza d I rspetto ad un gruppo fnto, che rsulta dentco a G σ se e solo se le δu sono combnazon lnear d quelle che s hanno per G σ. L nvaranza rspetto a G σ non può qund portare a nessuna relazone d dvergenza dversa dalle 13. Poché dall esstenza delle 16 dscende l nvaranza d I rspetto alle trasformazon nfntesme u, x d G per px arbtrare, ne dscende n partcolare gà l nvaranza rspetto alle trasformazon nfntesme d G σ orgnate da quelle per specalzzazone, e d conseguenza rspetto a G σ. Le relazon d dvergenza ψ δu λ = DvB λ devono qund essere conseguenza delle dpendenze 16, e queste ultme s possono anche scrvere: ψ a λ = Dvχ λ, dove χ λ sono combnazon lnear delle espresson lagrangane e delle loro dervate. Poché gl ψ ntervengono lnearmente 24 Ne cas n cu gà dall nvaranza d ψ δu dx derva l esstenza d ntegral prm, quest non ammettono l gruppo completo G ; per esempo u δudx ammette la trasformazone nfntesma: x = ε 2, u = ε 1 + xε 3, mentre l ntegrale prmo u u x = cost., che corrsponde a x = 0, u = xε 3, non ammette le altre due trasformazon nfntesme, perché contene esplctamente sa u che x. A questo ntegrale prmo corrspondono trasformazon nfntesme per f che contengono dervate. S vede qund che l nvaranza d ψ δu dx n ogn caso produce meno dell nvaranza d I, cosa che va osservata rguardo alla questone sollevata n una nota precedente.

20 20 sa nelle 13 che nelle 16, anche le relazon d dvergenza devono essere n partcolare combnazon lnear delle dpendenze 16; qund rsulta DvB λ = Dv α χ κ. I B λ stess s compongono lnearmente con χ, vale a dre con le espresson lagrangane e le loro dervate, e con funzon la cu dvergenza è dentcamente nulla, come le B Γ che compaono alla fne del 2, per le qual DvB Γ = 0, e dove la dvergenza ha parment carattere nvarante. Desgnerò come mpropre le relazon d dvergenza, per le qual B λ s possono comporre nel modo llustrato prma con le espresson lagrangane e con le loro dervate, tutte le altre come propre. Se nversamente le relazon d dvergenza sono combnazon lnear delle dpendenze 16, qund mpropre, dall nvaranza rspetto a G rsulta quella rspetto a G σ ; G σ sarà sottogruppo d G. Le relazon d dvergenza corrspondent ad un gruppo fnto G σ saranno mpropre se e solo se G σ è un sottogruppo d un gruppo nfnto, rspetto al quale I è nvarante. Per specalzzazone de grupp s ottene qund l affermazone orgnale d Hlbert. Per gruppo degl spostament s ntenda l gruppo fnto: y = x + ε, v y = u x, qund: x = ε, u = 0, δu = λ u x λ ε λ. L nvaranza rspetto al gruppo degl spostament afferma, come è noto, che n I = f x,u, u/ x,... dx le x non appaono esplctamente n f. Le n relazon d dvergenza corrspondent ψ u x λ = Dv B λ λ = 1,2,...n sono ndcate come relazon dell energa, poché le legg d conservazone DvB λ = 0 che corrspondono al problema varazonale corrspondono alle legg dell energa, e B λ corrspondono alle component dell energa. S ha qund: Se I ammette l gruppo degl spostament, le relazon dell energa sono mpropre se e solo se I è nvarante rspetto a un gruppo nfnto, che contenga l gruppo degl spostament come sottogruppo 25. Un esempo d tal grupp nfnt è dato dal gruppo d tutte le trasformazon delle x e d quelle trasformazon ndotte delle ux nelle qual compaono solo dervate delle funzon arbtrare px; l gruppo degl spostament 25 Le legg dell energa della meccanca classca e parment quelle della veccha teora della relatvtà nella quale dx 2 va n se stesso sono propre perché n questo caso non ntervengono grupp nfnt.

21 21 rsulta dalla specalzzazone p x = ε ; deve tuttava rmanere ndecso, se con esso - e per mezzo de grupp che rsultano per varazone d I per un ntegrale al contorno - sono gà dat pù general d quest grupp. Trasformazon ndotte del tpo suddetto s ottengono quando s sottopongono le u alla trasformazone de coeffcent d una forma dfferenzale totale, vale a dre d una forma ad λ x + bd λ 1 x dx κ +, che oltre a dx contene anche dfferenzal superor; trasformazon ndotte pù partcolar, per le qual px compaono solo n dervate prme, sono date dalle trasformazon de coeffcent delle forme dfferenzal consuete cdx 1...dx λ, e d solto s sono consderate solo queste. Un ulterore gruppo del tpo prma dato - che per la presenza del termne logartmco non può essere nessuna trasformazone d coeffcent - è l seguente: y = x + px, v = u + ln1 + p x = u + ln dy dx, x = px, u = p x 26, δu = p x u px. Le dpendenze 16 saranno n questo caso: ψ u + dψ = 0, dx e le relazon dell energa mpropre saranno: ψ u + dψ + cost. = 0. dx Un ntegrale nvarante semplcssmo del gruppo è: e 2u 1 I = u 1 u dx. 2 Il pù generale I s determna per ntegrazone della equazone dfferenzale d Le 11 : δf + d f x = 0, dx che, sosttuendo valor per x e δu, purché s assuma che f dpenda solo dalle dervate prme delle u, dventa { f x px + f f u u u + f } { } p f x + u p x = 0 26 Da queste trasformazon nfntesme s calcola a rtroso la trasformazone fnta medante l metodo llustrato alla fne del 4.

22 22 dentcamente n px, p x, p x. Questo sstema d equazon ammette gà per due funzon ux soluzon che contengono davvero le dervate, vale a dre: f = u 1 u 2Φ e u 1 u 1 u 2, u 1 u 2 dove Φ ndca una funzone arbtrara degl argoment consderat. Hlbert esprme la sua affermazone dcendo che la mancanza d legg dell energa vere e propre è un segno caratterstco della relatvtà generale. Perché questa affermazone valga testualmente, bsogna nterpretare l termne relatvtà generale n modo pù vasto del solto, estenderlo anche a grupp prma consderat, dpendent da n funzon arbtrare 27., 27 In proposto s rconferma la correttezza d un osservazone d Klen, che l termne relatvtà, usuale n fsca, va sosttuto con nvaranza rspetto ad un gruppo. Su fondament geometrc del gruppo d Lorentz. Jhrber. d. d. Math. Vereng. Vol. 19, p. 287, 1910; pubblcato su phys. Zetschrft.