Complementi sull integrazione

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1 Complementi sull integrzione ( cur di L. Pisni) C.d.L. in Mtemtic Università degli Studi di Bri A.A. 2003/04

2 Indice Riepilogo dell teori. Integrle di Riemnn Continuità rispetto l dominio Primitive ed integrle inde nito Teorem e formul fondmentli del Clcolo Primitive in senso generlizzto Integrli impropri Criteri di integrbilità in senso improprio Funzioni positive su [; b) Assolut integrbilità Esercizi sugli integrli 3 2. Primitive e funzioni integrli Tipologi bse Alcuni csi prticolri Funzioni integrli composte Integrli de niti Clcolo di integrli come limite Tecniche di integrzione 2 3. Integrzione per sostituzione Alcune sostituzioni rzionlizznti Funzioni rzionli con un solo rdicle Funzioni rzionli di tn x Funzioni rzionli di cos x e sin x ii

3 Cpitolo Riepilogo dell teori In questo cpitolo cerchimo di richimre lcune nozioni. In sede di riepilogo possimo suggerire di tener presente due domnde fondmentli. Per quli funzioni f : (; b)! R h senso de nire l oggetto denominto integrle b f(x)dx 2 R? Anzitutto si de nisce l integrle di Riemnn, che h senso per un clsse di funzioni limitte su intervlli chiusi e limitti; quindi prleremo di integrli in senso improprio. Sotto quli ipotesi si può scrivere un formul del tipo b f(x)dx = F (b) F ()? Per stbilire un formul di questo tipo si introduce l nozione di primitiv; trmite l integrle de nito si de nisce l funzione integrle; quindi si enunci il Teorem fondmentle del Clcolo d cui si deduce l formul di sopr. Tle formul è soggett vrie generlizzzioni.. Integrle di Riemnn Ricordimo che con il simbolo [;b] f(x)dx si denot l integrle secondo Riemnn di f in [; b]. A nché questo bbi senso si richiede che si ssegnt f : A! R, che [; b] A e che f si integrbile secondo Riemnn in [; b] (in prticolre che f si limitt). Sussistono i seguenti risultti. Teorem. Se f : [; b]! R è monoton, llor f è integrbile.

4 2 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA Teorem.2 Se f : [; b]! R è continu, llor f è integrbile. Teorem.3 Se f : [; b]! R è limitt e present un numero nito di punti di discontinuità, llor f è integrbile. I teoremi precedenti forniscono condizioni su cienti per l integrbilità. Rimne perto (ed esul d un corso di I nno) il problem di stbilire condizioni necessrie. Il seguente esempio mostr che esistono funzioni integrbili con un insieme in nito di punti di discontinuità. Esempio.4 Si consideri l funzione f : [0; ]! R così de nit 0 se x = 0; f(x) = =n se =(n + ) < x =n: Si trtt di un funzione monoton crescente, quindi integrbile, nche se present un slto nei punti di sciss =n. Si suggerisce, titolo di esercizio, di dimostrre l seguente proposizione. Proposizione.5 Se f : [; b]! R è integrbile secondo Riemnn, llor nche jf j è integrbile secondo Riemnn. Non è vero il vicevers, nel senso che esistono funzioni non integrbili e tli che jf j si integrbile. Dobbimo precisre, in ne, che l integrbilità ed il vlore dell integrle non dipendono dl comportmento dell l funzione integrnd in un numero nito di punti. Precismente sussiste il seguente teorem. Teorem.6 Si bbino due funzioni f : [; b]! R e g : [; b]! R, si F un sottoinsieme di [; b] costituito d un numero nito di punti e risulti f(x) = g(x) per ogni x 2 [; b]nf. Se f è integrbile, llor nche g è integrbile e risult g(x)dx = f(x)dx: [;b] Esempio.7 L funzione f(x) = rctn = (e x ) è integrbile secondo Riemnn nell intervllo [ 2; 3]. Vedimo come si giusti c e si interpret quest ermzione. Osservimo, nzitutto, che si trtt di un funzione de nit e continu in [ 2; 3]n f0g; per x! 0 osservimo l presenz di un slto (limiti destro e sinistro diversi tr loro e niti), quindi concludimo che f è limitt. In bse ll de nizione, per prlre di integrle dovrebbe trttrsi di un funzione de nit in tutto [ 2; 3], quindi de nimo un prolungmento dell funzione f(x) se x 6= 0; f (x) = se x = 0: L scelt del vlore è dvvero rbitrri in qunto non esiste lcun vlore privilegito, che poss rendere l funzione f continu in 0. Ciononostnte, in bse l Teorem.3, si conclude che f è integrbile. Quindi qundo prlimo di integrbilità di f intendimo che esiste un prolungmento di f integrbile secondo Riemnn. In reltà rimne d studire l dipendenz dell integrle dl [;b]

5 .. INTEGRALE DI RIEMANN 3 prticolre prolungmento f. A questo scopo considerimo un qulsisi ltro prolungmento f b, ottenuto ponendo f b (0) = b; in bse l Teorem.6 vremo f b (x)dx = f (x)dx: Pertnto possimo porre [ 2;3] [ 2;3] f(x)dx = [ 2;3] [ 2;3] f (x)dx; qule che si 2 R, inftti l quntità secondo membro non dipende tto dll scelt di. Generlizzndo l situzione descritt nell esempio precedente si perviene l seguente corollrio. Corollrio.8 Si F un sottoinsieme di [; b] costituito d un numero nito di punti, si f : [; b]nf! R continu e limitt. Allor f è integrbile secondo Riemnn in [; b]. Concludimo con un proposizione.. Continuità rispetto l dominio Enucimo un proprietà fondmentle dell integrle, denomint ssolut continuità rispetto l dominio. Proposizione.9 Si f : [; b]! R integrbile secondo Riemnn. Allor per ogni ; 2 [; b] con < risult! f(x)dx sup jf(x)j ( ) : x2[;b] [;] Si trtt, evidentemente, di un conseguenz di vrie proprietà note degli integrli. D quest proposizione consegue l continuità dell funzione integrle (prgrfo.3), nonché l possibilità di clcolre gli integrli come limite. Proposizione.0 Si f : [; b]! R integrbile secondo Riemnn. Risult f(x)dx = lim f(x)dx = [;b] c!b [;c] = lim c! + f(x)dx: [c;b] Quest proposizione torn utile in diversi contesti: verrà pplict in seguito per generlizzre l Formul Fondmentle del Clcolo; funge d modello per l integrli impropri; negli esercizi si us in prticolri situzioni, vedi prgrfo 2.3.

6 4 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA.2 Primitive ed integrle inde nito Ricordimo che, ssegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x). Proposizione. Se esiste un primitiv F di f, llor ne esistono in nite, ottenibili ggiungendo d F un costnte rbitrri. Si de nisce integrle inde nito di f l insieme di tutte le primitive di f. Tle insieme si denot con il simbolo f(x)dx: Proposizione.2 (invers dell.) Se l funzione f è de nit su un intervllo, llor due qulsisi primitive di f di eriscono tr loro per un costnte. In forz dell proposizione precedente, se f è de nit su intervllo ed mmette un primitiv F, si può scrivere f(x)dx = ff (x) + cg o, più semplicemente, f(x)dx = F (x) + c: (.) Osservzione.3 Voglimo ribdire che, in forz delle precedenti de nizioni, se f non è de nit su un intervllo, llor le precedenti scritture non sono vlide, oppure si intendono riferite d un unico intervllo..3 Teorem e formul fondmentli del Clcolo Sino I R intervllo, f : I! R, integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo comptto contenuto in I. Per ogni ; b 2 I, si de nisce integrle de nito di f tr e b il numero 8 R b < [;b] f(x)dx se < b f(x)dx = 0 se = b : R [b;] f(x)dx se b < Nelle suddette ipotesi, ssto 2 I, l nozione di integrle de nito consente di de nire l funzione integrle: F (x) = x f(t)dt: (.2) Teorem.4 Se f : I! R è integrbile sugli intervlli comptti, llor l funzione integrle (.2) è continu. Precismente l funzione F è loclmente lipschitzin ossi per ogni sottointervllo comptto J I, l funzione F è lipschitzin in J, con costnte di Lipschitz dipendente d J. Il Teorem fondmentle del Clcolo si può enuncire come segue.

7 .4. PRIMITIVE IN SENSO GENERALIATO 5 Teorem.5 Se f : I! R è continu in x 0 2 I, llor l funzione integrle (.2) è derivbile in x 0 e risult F 0 (x) = f(x). Come corollrio possimo stbilire che se f : I! R è continu, llor mmette un primitiv. Osservzione.6 L continuità non è condizione necessri per l esistenz di primitive. Inftti l funzione F (x) = x 2 sin(=x) è primitiv dell funzione 2x sin(=x) cos(=x) se x 6= 0 f(x) = 0 se x = 0 l qule non è continu in x = 0. Quello che si può dimostrre è che se un funzione mmette primitive, ess non può vere discontinuità di slto. Dl teorem precedente si ottiene l Formul fondmentle del Clcolo integrle. Teorem.7 Se f : [; b]! R è continu, denott con F un su primitiv, si h b f(x)dx = F (b) F () (.3).4 Primitive in senso generlizzto L formul (.3) mmette generlizzzioni. Per presentrne lcune dobbimo introdurre un nuov de nizione. De nizione.8 Si ssegnt f : I! R. Diremo che F : I! R è un primitiv di f in senso generlizzto se, per ogni sottointervllo comptto [; b] I, F è derivbile, trnne che in un numero nito di punti e, in [; b]nfx ; : : : ; x k g, risult F 0 (x) = f(x). Esempio.9 L funzione F (x) = è un primitiv generlizzt di f(x) = x. x 2 =2 se x < 0 x 2 =2 + 5 se x 0 L funzione f(x) = x, oltre che l suddett primitiv generlizzt, mmette, come ben noto, in nite primitive proprimente dette F (x) = x 2 =2 + c, c 2 R. L de nizione di primitiv generlizzt ssume prticolre rilievo nei csi in cui non esiste un primitiv proprimente dett. Esempio.20 L funzione f(x) = e x se x < 0 e x se x 0 non può mmettere primitive (inftti present un discontinuità di slto) tuttvi mmette l primitiv generlizzt F (x) = e jxj.

8 6 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA Osservzione.2 Dll de nizione consegue immeditmente che, in ciscun intervllo comptto, un primitiv generlizzt può mmettere solo un numero nito di discontinuità. Pssimo or ll generlizzzione dell (.3). Teorem.22 Si f : [; b]! R limitt e con un numero nito di punti di discontinuità. Si F un primitiv in senso generlizzto dell suddett f. Se F è continu in [; b]; llor vle l (.3). In generle risult dove b f(x)dx = F (b) (F; x i ) = lim x!x + i F () F (x) kx (F; x i ); (.4) i= lim x!x i F (x) e l somm l secondo membro dell (.4) si estende tutti i punti x i 2 [; b] in cui F non è continu. Osservzione.23 Avevmo già osservto che un primitiv in senso generlizzto mmette, in un ssto intervllo comptto, un numero nito di punti di discontinuità; or, vendo supposto f limitt, possimo ggiungere che tli punti sono discontinuità di slto; quindi l quntità (F; x i ) è ben de nit. Per stbilire priori che le discontinuità sono di slto si può utilizzre il criterio di Cuchy per il limite di funzioni (Teorem di Lgrnge); in ogni cso che quest informzione l si ritrov nell dimostrzione riportt di seguito. Ci limiteremo ll dimostrzione dell (.4) nel cso più semplice: f o F presentno un solo punto di discontinuità in x 2 (; b). Abbimo, per l proprietà dditiv rispetto l dominio b f(x)dx = x Quindi sfruttimo l Proposizione.0 x f(x)dx + b x f(x)dx = lim c!x f(x)dx + c b Negli intervlli [; c] e [c; b] vle l (.3) e pertnto lim c!x c f(x)dx + lim c!x + b c f(x)dx = lim c!x (F (c) x f(x)dx: f(x)dx + lim c!x + b c f(x)dx: F ()) + lim (F (b) F (c)) = c!x + = F (b) F () lim c!x + F (c) + lim F (c) = c!x = F (b) F () (F; x ): Osservzione.24 Ovvimente l formul (.4) si può pplicre nche qundo f è continu m, per qulche rgione, di f conoscimo soltnto un primitiv in senso generlizzto.

9 .5. INTEGRALI IMPROPRI 7 Proposizione.25 Sino I un intervllo ed f : I! R. Supponimo che per ogni intervllo [; b] I l funzione f in [; b] si limitt e presenti un numero nito di punti di discontininuità. Allor l funzione integrle (.2) è ben de nit, continu e risult un primitiv di f in senso generlizzto..5 Integrli impropri A prtire dlle proprietà enuncite nell Proposizione.0, voglimo dre signi cto ll integrle per un clsse più mpi di funzioni f(x)dx I con I intervllo illimitto e/o f : I! R illimitt. In qunto segue ; b 2 R, con < b e con le opportune restrizioni nel cso di estremi inclusi. Per semplicità ssumeremo le funzioni integrbili secondo Riemnn sui sottointervlli comptti. Possimo distinguere quttro situzioni. Nei primi csi l de nizione viene suggerit direttmente dll Proposizione.0. ) Si f : [; b)! R; si pone b f(x)dx = lim c!b c b) Anlogmente nel cso f : (; b]! R; si pone b f(x)dx = lim c! + b c f(x)dx: f(x)dx: c) Si f : (; b)! R. Ci si riconduce i csi precedenti: ssto x 0 2 (; b) si pone b x0 b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = x 0 = lim c! + x0 c f(x)dx + lim c!b c x 0 f(x)dx sotto l condizione che i due limiti non sino in niti di segno opposto. d) Si f : [; b]nfx 0 g! R. Ci si riconduce i csi precedenti ) e b): b f(x)dx = x0 = lim c!x 0 f(x)dx + c b x 0 f(x)dx = f(x)dx + lim c!x + 0 b c f(x)dx sotto l condizione che i due limiti non sino in niti di segno opposto. De nizione.26 In tutti i csi suddetti l funzione f si dice integrbile in senso improprio se i limiti esistono e sono niti. Evidentemente più delict è l situzione con più limiti o con limiti bilteri (csi c) e d)): e ettundo un limite simultneo e non due seprti si potrebbe giungere d un risultto diverso (e sbglito)...

10 8 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA.6 Criteri di integrbilità in senso improprio In molte situzioni, teoriche e/o prtiche, è su ciente stbilire che un cert funzione si integrbile in senso improprio, nche se non si riesce clcolre l integrle. A questo scopo si svilupp un teori che per molti spetti ricord quell delle serie. D or in vnti ssumimo le tutte le funzioni integrbili secondo Riemnn sui comptti; quindi qundo dicimo integrbili intendimo in senso improprio..6. Funzioni positive su [; b) Enucimo lcuni risultti di bse nell intervllo prototipo [; b) (ove b può essere nche +). Ovvimente si hnno risultti nloghi in (; b] (ove può essere nche ). Anzitutto osservimo che il segno costnte ssicur l esistenz del limite. Proposizione.27 Si f : [; b)! R tle che 0 f(x) per ogni x 2 [b Allor esiste lim c!b c f(x)dx: ; b). Dimostrzione. Per ogni c ; c 2 2 [b ; b), se c c 2 llor c f(x)dx c2 f(x)dx: Pertnto l esistenz del limite consegue dl teorem di regolrità delle funzioni monotone. Rimne d stbilire se il limite è nito. Tlvolt può fre comodo ricondurre tle veri c ll convergenz di un serie. Proposizione.28 Si f : [; b)! R, positiv in [b ; b). Si fx n g [; b) tle che x 0 = ; x n < x n+ ; lim n x n = b. Allor b f(x)dx < + se e solo se ossi se e solo se Risult inoltre b lim n xn +X xn+ n=0 x n f(x) dx = f(x)dx f(x) dx < + +X xn+ n=0 x n f(x) dx :

11 .6. CRITERI DI INTEGRABILITÀ IN SENSO IMPROPRIO 9 Dimostrzione. Anzitutto osservimo che lim c!b c f(x) dx < + se e solo se lim n xn f(x) dx < +: Osservto lim n x n = b; un impliczione è ovvi. L impliczione oppost consegue dll proposizione precedente, che ci ssicur l esistenz del limite. Le condizioni x 0 =, x n < x n+ implicno Pertnto xn se e solo se l seguente serie nx f(x) dx = lim n xn k=0 +X xn+ n=0 xk+ x k f(x) dx < +: x n f(x) dx f(x) dx è convergente. L uguglinz tr integrle improprio e somm dell serie è ovvi. Pssimo or due criteri bse. Criterio.29 (di confronto) Sino f; g : [; b)! R. Supponimo che per ogni x 2 [b ; b) 0 f(x) g(x): Se g è integrbile, llor nche f è integrbile; se f non è integrbile, nche g non è integrbile. Criterio.30 (di confronto sintotico) Sino f; g : [; b)! R positive in [b ; b). Se risult g(x) lim = ` 2 (0; +); x!b f(x) llor f è integrbile se e solo se g è integrbile. Integrbilità su intervlli [; +) Essendo f positiv, poichè l integrle si interpret come re, ci ttendimo che, per x! +; si richied che l funzione tend 0. In reltà tle condizione non è né su ciente né necessri per l integrbilità. Esempio.3 L funzione f(x) = =x è in nitesim m non integrbile in senso improprio. Esistono funzioni integrbili in senso improprio m non in- nitesime e nenche limitte (vedi gur seguente).

12 0 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA x Osservzione.32 Si può dimostrre che se f : [; +)! R è positiv ed integrbile llor lim inf f(x) = 0: x!+ Per i criteri di confronto, esistono prototipi di funzioni integrbili, in nitesime ll in nito: è integrbile per ogni > ; x è integrbile se e solo se >. x Per gli ltri csi (in cui f(x) non è equivlente i prototipi) sussiste il criterio degli in nitesimi del tutto nlogo quello delle serie. Criterio.33 Se lim xf(x) = ` > 0 x!+ (ordine di in nitesimo ), llor l integrle diverge. Se esiste un certo > tle che lim x!+ x f(x) = ` < + (ordine di in nitesimo > ), llor l integrle converge. Osservimo che il criterio precedente fornisce solo condizioni su cienti. Rimne ncor escluso il cso in cui risulti xf(x)! 0 e x f(x)! + ( < ordine di in nitesimo <, 8 > 0). In quest situzione, come mostr il seguente esempio, null si può dire priori. Esempio.34 L integrle improprio + dx x log p x è convergente se e solo se p >. 2

13 .6. CRITERI DI INTEGRABILITÀ IN SENSO IMPROPRIO Integrbilità su intervlli (0; ] Prototipi di funzioni d utilizzrsi per i criteri di confronto: è integrbile se e solo se <. x Abbimo nche un criterio degli in niti, nlogo quello degli in nitesimi. Criterio.35 Se lim xf(x) = ` > 0 x!0 + (in nito di ordine ), llor l integrle diverge. Se esiste un certo < tle che lim x!0 + x f(x) = 0 (in nito di ordine < ), llor l integrle converge. Funzione di Eulero Per ogni t > 0 ponimo (t) = + x t 0 e x dx Se t < l integrle è improprio si 0 che ll in nito, quindi si studino seprtmente 0 x t e x dx e Se t l integrle è improprio solo ll in nito. Risult inoltre + x t e x dx: d cui si deduce () = ; (t) = (t ) (t ): (n) = (n )!: Dunque, meno di un trslzione, l funzione : (0; +)! R è un prolungmento del fttorile; rimne d provre (ed esul dlle nostre possibilità) che si trtt di un prolungmenti continuo..6.2 Assolut integrbilità Se l funzione integrnd non h segno costnte (in un intorno del punto in cui si clcol il limite) non è tto ssicurt l esistenz del limite, come mostr: + 0 sin x dx Il principle criterio di convergenz è quello dell ssolut integrbilità.

14 2 CAPITOLO. RIEPILOGO DELLA TEORIA Teorem.36 Si f : I! R integrbile sui comptti. Se jfj : I! R è integrbile in senso improprio, llor nche f : I! R è integrbile in senso improprio e si h f(x) dx jf(x)j dx I I Ovvimente per studire l convergenz di jf(x)j dx I si possono utilizzre tutte le tecniche introdotte per gli integrli impropri segno costnte. Esistono funzioni integrbili m non ssolutmente integrbili. Ad esempio converge m diverge. + + sin x x dx jsin xj x dx Esempio.37 (integrli di Fresnel) Come ppliczione indirett dell convergenz ssolut voglimo studire l integrbilità in senso improprio di Risult c c + cos x 2 dx: c cos x 2 2x dx = 2x cos x2 dx = 2 x D sin x2 dx = = sin x 2 c c sin x x x 2 dx Quindi simo ricondotti studire che è ssolutmente convergente. + sin x 2 dx x 2

15 Cpitolo 2 Esercizi sugli integrli Voglimo o rire di seguito un clssi czione degli esercizi. 2. Primitive e funzioni integrli 2.. Tipologi bse L esercizio più semplice che si può chiedere di risolvere è il seguente. Esercizio 2. Clcolre l integrle inde nito f(x) dx: Se supponimo l funzione f de nit in un intervllo, si pplic l (.), essendo F un primitiv d determinrsi con le consuete tecniche di integrzione. Un secondo tipo di esercizi è formulto di seguito. Esercizio 2.2 Assegnt un funzione f : I! R continu in I intervllo, determinre l funzione F : I! R primitiv di f tle che F (x 0 ) = ; essendo x 0 2 I, 2 R. E su ciente clcolre F primitiv di f e quindi risolvere rispetto c l seguente equzione F (x 0 ) + c = : Ottenuto c = F (x 0 ) l soluzione l nostro problem è dt d F (x) = F (x) + c: 3

16 4 CAPITOLO 2. ESERCII SUGLI INTEGRALI Esercizio 2.3 Assegnti f : I! R e x 0 scrivere in form esplicit) l funzione 2 I, si chiede di clcolre (ossi F (x) = x x 0 f(t)dt Se f è un funzione continu e conoscimo un su primitiv G, ll luce dell (.3) possimo scrivere F (x) = G(x) G(x 0 ): In reltà in lcune situzioni prticolri (si ved il sottoprgrfo successivo), conviene cmbire pproccio e ricordre che F stess è un primitiv di f; quindi il problem ssegnto si riduce determinre l primitiv di f che si nnull nel punto x 0. Se invece f veri c le ipotesi dell Proposizione.25 (con un numero nito di discontinuità e limitt in ciscun comptto) llor conviene ricordre che F è un primitiv in senso generlizzto, continu Alcuni csi prticolri Con riferimento gli Esercizi 2., 2.2 ed 2.3 potrebbe essere ssegnt un funzione f de nit in un intervllo I, continu, con due (o più) diverse espressioni nlitiche in due (o più) sottointervlli di I. In simboli f(x) = f k (x) per x 2 I k (2.) dove Ad esempio potremmo vere I = [ I k : oppure f(x) = + jxj = = ( + x) se x 0; =( x) se x < 0; 8 < se x 6 =2; f(x) = sin x se =2 < x < =6; : =2 se =6 6 x: (2.2) (2.3) Esempio 2.4 Assegnt l funzione (2.3), si chiede di clcolre f(x) dx: Simo nell tipologi dell Esercizio 2., quindi l formul risolutiv srà sempre l (.), tuttvi l F srà un funzione continu de nit l modo seguente F (x) = F k (x) per x 2 I k essendo F k primitiv di f k in I k. In questo modo si ottiene immeditmente che F è primitiv di f ll interno di ciscun I k ; risult inftti F 0 (x) = F 0 k(x) = f k (x) = f(x):

17 2.. PRIMITIVE E FUNIONI INTEGRALI 5 Ricordimo che l derivbilità di F nei punti di rccordo tr due diversi I k si ottiene pplicndo un Lemm visto in precedenz. Precismente, indicto con x un punto di rccordo si h che F è continu in un intorno di x, denotto con U; F è derivbile in U n fxg e risult F 0 (x) = f(x); poichè f è continu, si h che esiste lim F 0 (x) = lim f(x) = f(x): x!x x!x Consegue che F è derivbile nche in x e si h che F 0 (x) = f(x). Pssndo gli esempi concreti, si può operre nche l modo seguente:. si determin l primitiv di f k in cisucun intervllo I k ; 2. in ciscun intervllo si ggiunge un divers costnte c k 2 R; si ottiene in questo modo un espressione F (x) = F k (x) + c k per x 2 I k (2.4) 3. si pone un costnte ugule zero e si clcolno tutte le ltre c k, imponendo che l funzione F de nit in (2.4) si continu nei punti di rccordo. 4. Ottenut F possimo concludere con l (.). Applichimo quest procedur l nostro esempio. Clcolimo un primitiv con tre distinte costnti 8 < x + c se x 6 =2; F (x) = cos x + c 2 se =2 < x < =6; : x=2 + c 3 se =6 6 x: Or ponimo c 2 = 0 e imponimo che F si continu nei punti di rccordo: =2 e =6. e quindi ( =2) + c = cos( =2) cos(=6) = =6 + c 3 c = =2 c 3 = =6 p 3=2 Pertnto concludimo che f(x) dx = F (x) + c essendo 8 < x =2 se x 6 =2; F (x) = cos x se =2 < x < =6; : p x=2 =6 3=2 se =6 6 x:

18 6 CAPITOLO 2. ESERCII SUGLI INTEGRALI Esempio 2.5 Assegnt l funzione (2.3), determinre l primitiv di f che in 2 ssume vlore. Sppimo già che l primitiv cerct vrà un espressione del tipo 8 < x + c se x 6 =2; F (x) = cos x + c 2 se =2 < x < =6; : x=2 + c 3 se =6 6 x: (2.5) dove tutte le costnti c k dovrnno essere eliminte completmente imponendo l continuità di F e l condizione F ( 2) = : (2.6) L prim costnte d determinrsi è c in qunto risult 2 6 =2. Imponendo l (2.6) si h ( 2) + c = e quindi c = 3 Ottenut c, si procede l clcolo di c 2 e c 3, imponendo l continuità. Esempio 2.6 Assegnt l funzione (2.3), determinrne l primitiv che vle 2 nel punto =6. L primitiv di prtenz è sempre l (2.5). Quest volt il vlore di F è ssegnto in punto di rccordo e si deve operre come segue. D si ricv D 2 = lim x!=6 + (x=2 + c 3) c 3 = 2 2 = lim x!=6 =2: ( cos x + c 2 ) si ricv c 2 ; in ne, imponendo l continuità in =2, si ricv c. Rigurdo Esercizi di tipo 2.3, se l funzione f è continu, come si è già detto, ci si può ricondurre ll Esercizio 2.2. Osservzione 2.7 Esercizi di tipo 2.3 hnno senso nche per funzioni f : I! R che risultino limitte e con un numero nito di discontinuità su ciscun comptto. In questo cso per l risoluzione si tiene presente l Proposizione.25. Esempio 2.8 Assegnt l funzione 8 < se x 6 =2; f(x) = x se =2 < x < =6; : =2 se =6 6 x; clcolre l funzione integrle F (x) = x 0 f(t)dt:

19 2.. PRIMITIVE E FUNIONI INTEGRALI 7 Dobbimo individure un funzione F con le seguenti crtteristiche: continu, che si nnulli in x = 0; derivbile in ciscun sottointervllo in cui f è continu. Prtimo dll individure un generic primitiv in ciscun sottointervllo, quindi imporremo l condizione F (0) = 0, in ne imporremo l continuità. L funzione F vrà un espressione del tipo Imponendo 8 < F (x) = : x + c se x 6 =2; x 2 =2 + c 2 se =2 < x < =6; x=2 + c 3 se =6 6 x: F (0) = 0; si ottiene l costnte c 2. Le ltre due costnti si ottengono imponendo l continuità nei punti =6 e = Funzioni integrli composte Sino ssegnte tre funzioni: continu e f : I! R : J! I : J! I derivbili. Rimne ben de nit l funzione integrle F : J! R; F (x) = (x) (x) f(t) dt: Proposizione 2.9 L funzione F è derivbile e risult F 0 (x) = f((x)) 0 (x) f((x)) 0 (x): Voglimo precisre che riuscimo clcolre l derivt di F indipendentemente dl ftto che si riesc clcolre in form esplicit l funzione F. Dimostrzione. Si G un primitiv di f, sicurmente esistente in qunto f è continu. Per l formul fondmentle del clcolo bbimo F (x) = G((x)) G((x)) Quindi F è derivbile e risult F 0 (x) = G 0 ((x)) 0 (x) G 0 ((x)) 0 (x): Ricordndo che G è un primitiv di f si ottiene l tesi.

20 8 CAPITOLO 2. ESERCII SUGLI INTEGRALI Osservzione 2.0 L funzione F è ben de nit nche in ipotesi leggermente più generli: è su ciente che f si integrbile, eventulmente in senso improprio, su ciscun intervllo [; b] I. Osservzione 2. L teori degli integrli impropri può essere utilizzt per studire i limiti di F gli estremi del suo dominio. 2.2 Integrli de niti Esercizio 2.2 Assegnt f : [; b]! R continu, si chiede di clcolre b f(x)dx Dopo ver clcolto un primitiv di f si pplic l formul fondmentle (.3). Osservzione 2.3 Nel cso di intervlli simmetrici [ ; ], può essere utile ricordre che R 2 f(x)dx = 0 f(x)dx se f è pri, 0 se f è dispri. Tlvolt può essere utile pplicre scomporre il dominio. Esempio 2.4 Clcolre il seguente integrle Osservto che jx j = 3 0 e x jx j dx: x se x x se x < possimo scrivere 3 0 e x jx j dx = 0 e x ( x) dx + 3 e x (x ) dx: Quindi si procede clcolre R 0 e x ( x) dx e R 3 e x (x ) dx: Questo prticolre esempio ci consente qulche osservzione ggiuntiv. Si F (x) un qulsisi primitiv di e x (x ). In primo luogo bbimo che F (x) è un primitiv di e x ( x). Tenuto conto di questo, l integrle proposto ssume l seguente espressione 3 0 e x jx j dx = = 0 e x ( x) dx + 3 = F () + F (0) + F (3) F () = e x (x ) dx = = F (3) + F (0) 2F () (2.7)

21 2.3. CALCOLO DI INTEGRALI COME LIMITE 9 Or, posto ~F (x) = F (x) se x F (x) se x < bbimo che F ~ è un primitiv di e x jx è derivbile su Rnfg e si h j in senso generlizzto. Inftti ess ~F 0 (x) = e x jx j ; d ltr prte, motivo dell rbitrrietà di F, l funzione ~ F in risulterà discontinu e quindi non derivbile ( meno che non si bbi F () = 0, nel qul cso ~ F è nche derivbile). Pertnto potevmo nche utilizzre l (.4) e scrivere direttmente 3 0 e x jx j dx = ~ F (3) ~ F (0) ( ~ F ; ): (2.8) Possimo veri cre che l (2.8) si riduce ll (2.7), osservndo che ~F (3) F ~ (0) = F (3) + F (0); ( F ~ ; ) = 2F (): Presentimo le ultime due tipologie di esercizi. Esercizio 2.5 Clcolre l re del rettngoloide di bse [; b] reltivo ll funzione f ivi de nit e, per semplicità, continu. Tenuto conto dell interpretzione dell integrle come re con segno, si st chiedendo di clcolre b jf(x)j dx e possono vlere, in prticolre, le considerzioni svolte nell ultimo esempio. Esercizio 2.6 Clcolre l re del rettngoloide di bse [; b] delimitto di gr ci delle funzioni f e g ivi de nite e, per semplicità, continue. Si st chiedendo di clcolre b jf(x) g(x)j dx: 2.3 Clcolo di integrli come limite Si vogli clcolre 2 0 sin 2 p x p dx: x

22 20 CAPITOLO 2. ESERCII SUGLI INTEGRALI L funzione integrnd si intende prolungt per continuità in 0, oppure l integrle si intende de nito nel senso del Corollrio.8. Abbimo 2 0 sin 2 p x 2 sin 2 p x p dx = lim p dx = x c!0 + c x p 2 = lim cos 2 x c!0 + 4 c = = lim cos 2 p c cos 2 p 2 c!0 + 4 = cos 2 p 2 : 4 Anche se l funzione integrnd si intende prolungt per continuità, l uso dell Proposizione.0 si rende necessrio per poter pplicre il metodo di sostituzione nel clcolo dell primitiv. Esempio 2.7 Clcolre log 3 log 2 e x rctn e x dx: =

23 Cpitolo 3 Tecniche di integrzione 3. Integrzione per sostituzione Quest denominzione si può riferire due situzioni tr loro bbstnz diverse. L prim situzione è quell più semplice e possimo clssi crl come cso diretto: se F è un primitiv di f, llor, per ogni ' derivbile, F ' è un primitiv di (f ') ' 0. In ltri termini, se conoscimo l integrle inde nito f(t)dt = F (t) + c; llor riuscimo clcolre f('(x))' 0 (x)dx = F ('(x)) + c: Osservzione 3. In prtic ssegnto f('(x))' 0 (x)dx si pone e si scrive t = '(x) dt = ' 0 (x)dx: In bse tli trsformzioni bbimo f('(x))' 0 (x)dx = f(t)dt = F (t) + c = F ('(x)) + c: Osservzione 3.2 Nell terminologi trdizionle, lcuni integrli risolubili per sostituzione dirett prendono il nome di integrli immediti. Pssimo or l cso indiretto. Tlvolt per clcolre l integrle inde nito f(x)dx 2

24 22 CAPITOLO 3. TECNICHE DI INTEGRAIONE è su ciente determinre un funzione invertibile x = '(t) tle che l integrle f('(t))' 0 (t)dt risulti più semplice di quello ssegnto. Quest modlità di risoluzione viene illustrt dll seguente proposizione. Proposizione 3.3 Sino I; J R intervlli, f : I! R continu, ' : J! I derivbile e tle che ' 0 (t) 6= 0 per ogni t 2 J. Se G : J! R è un primitiv dell funzione f('(t))' 0 (t), llor, osservto che ' è strettmente monoton, quindi invertibile, si h che G ' : I! R è un primitiv dell funzione f(x). In ltri termini, nelle ipotesi dell Proposizione precedente, se f('(t))' 0 (t)dt = G(t) + c; llor f(x)dx = G(' (x)) + c Dimostrzione. Per ipotesi G è derivbile e risult G 0 (t) = f('(t))' 0 (t): A su volt l funzione ' è derivbile e risult ' 0 (x) = ' 0 (' (x)) : Possimo concludere che l funzione compost G ' è derivbile e risult G ' 0 (x) = G 0 (' (x)) ' 0 (x) = = f('(' (x)))' 0 (' (x)) ' 0 (' (x)) = f(x): Esempio 3.4 Si vogli clcolre il seguente integrle dx x + p 3x + 4 : Osservimo preliminrmente che l funzione integrnd è de nit nell insieme D f = [ 4=3; +)nf g; ricercheremo le primitive reltive ll intervllo I = ( ; +): Posto f(x) = dx x + p 3x + 4 ;

25 3.. INTEGRAIONE PER SOSTITUIONE 23 considerimo l funzione ' : (; +)! ( ; +) (3.) de nit ponendo '(t) = 3 (t2 4): (3.2) Tle funzione, nell intervllo (; +), soddisf le condizioni previste dl Teorem precedente; inftti L funzione ' 0 (t) = 2 t 6= 0: 3 f('(t))' 0 (t) = 2t t 2 + 3t 4 ; dl punto di vist delle ricerc di primitive, non present prticolri problemi. Con pochi pssggi, inftti, si ottiene f('(t))' 0 2tdt (t)dt = t 2 + 3t 4 = = 2 (log(t ) + 4 log(t + 4)) + c: 5 Ponimo G(t) = 2 (log(t ) + 4 log(t + 4)) : 5 In bse l Teorem precedente per clcolre l integrle ssegnto, dobbimo ncor determinre l funzione invers x 2 ( ; +) 7! t = ' (x) 2 (; +): Dll (3.2), in bse lle limitzioni imposte su dominio e codominio (3.), ottenimo t = p 3x + 4 e quindi possimo concludere dx x + p = G(' (x)) + c = 3x + 4 = 2 5 log(p 3x + 4 ) + 4 log( p 3x ) + c: Osservzione 3.5 Nello svolgimento degli esercizi è ssi di cile riuscire determinre l funzione x = '(t) tle che l integrle R f('(t))' 0 (t)dt risulti più semplice dell integrle R f(x)dx. L procedur comunemente utilizzt è quell illustrt di seguito. Si prte dllo scrivere t = (x), essendo invertibile e derivbile; l scelt di tle funzione viene dettt dll esperienz ed è codi ct per lcuni csi tipici. Quindi si ricv x = '(t) e si scrive dx = ' 0 (t)dt

26 24 CAPITOLO 3. TECNICHE DI INTEGRAIONE In bse tli trsformzioni si può scrivere f(x)dx = f('(t))' 0 (t)dt = = G(t) + c = G( (x)) + c: Con riferimento ll esempio precedente, dovremo porre d cui si ottiene Pertnto t = p 3x + 4 x = '(t) = 3 (t2 4); dx = 2 3 tdt: dx x + p 3x + 4 = 2tdt t 2 + 3t 4 : Lo svolgimento prosegue come indicto in precedenz. 3.2 Alcune sostituzioni rzionlizznti 3.2. Funzioni rzionli con un solo rdicle Si vogli clcolre R r! x + b x; n dx cx + d essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti, sotto l condizione d bc 6= 0: Sono semplici csi prticolri = d = ; b = c = 0 oppure Si pone d = ; c = 0: r n x + b cx + d = t Osservzione 3.6 Con semplici rti ci si possono risolvere nche integrli del tipo r r! R x; n x + b x + b cx + d ; : : : ; nk dx; cx + d essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti.

27 3.2. ALCUNE SOSTITUIONI RAIONALIANTI 25 Nel cso prticolre delle rdici qudrte, si possono risolvere nche integrli del tipo R x; p x 2 + bx + c dx essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti. Si distinguono vri csi. Ponimo, come l solito, = b 2 Se = 0, llor necessrimente > 0 e risult p x2 + bx + c = p x b 2 4c. quindi ci si riconduce d un integrle di funzione rzionle con un semplice vlore ssoluto. Negli ltri csi si e ettu un sostituzione. Se 6= 0 e > 0 si pone p x2 + bx + c = p (t x) Se < 0 llor necessrimente > 0 (inftti, se così non fosse, vremmo x 2 + bx + c 0 per ogni x). Indicte con e le rdici di x 2 + bx + c = 0 e supponendo <, si pone p x2 + bx + c = t(x ): Osservzione 3.7 Per quest clsse di integrli, si possono usre nche sostituzioni con funzioni circolri o iperboliche. Osservzione 3.8 Ancor nel cso delle rdici qudrte si possono risolvere integrli del tipo R(x; p x + b; p cx + d)dx essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti Funzioni rzionli di tn x Si vogli clcolre R(tn x)dx essendo R un funzione rzionle. Si pone semplicemente tn x = t: Si vogli clcolre R(sin 2 x; cos 2 x; sin x cos x)dx

28 26 CAPITOLO 3. TECNICHE DI INTEGRAIONE essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti. Ci si riconduce l cso precedente osservndo che sin 2 x = cos 2 x = sin x cos x = tn 2 x tn 2 x + tn 2 x + tn x tn 2 x Funzioni rzionli di cos x e sin x Si vogli clcolre R(sin x; cos x)dx essendo R un funzione rzionle dei suoi rgomenti. Osservto che sin x = 2 tn x=2 + tn 2 x=2 cos x = tn2 x=2 + tn 2 x=2 si ottiene un funzione rzionle in tn x=2, quindi si pone tn x=2 = t:

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