Rappresentazione e Codifica dell Informazione

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1 Rappresentazione e Codifica dell Informazione Capitolo 1 Chianese, Moscato, Picariello, Alla scoperta dei fondamenti dell informatica un viaggio nel mondo dei BIT, Liguori editore.

2 Calcolare il complemento a 2 Esempio: Complemento a due del numero -4 su 8 bit Calcolo la rappresentazione binaria del modulo di -4 su 8 bit: Complemento alla base tutte le cifre del modulo: Sommo 1 al valore ottenuto: = Per risalire al numero rappresentato da: Complemento alla base tutte le cifre: Sommo 1: = Il risultato è il modulo del numero negativo rappresentato -4

3 Rappresentazione in complemento a 2 A differenza di segno e modulo, l intervallo non è simmetrico: 2 l 1 valore assoluto del minimo 2 l valore del massimo esiste una sola rappresentazione dello zero somma e sottrazione si possono effettuare con lo stesso algoritmo e quindi si possono affidare allo stesso circuito elettronico

4 Rappresentazione in complementi a 2 Questa rappresentazione ha il fondamentale vantaggio di permettere, nell ambito di operazioni aritmetiche, di lavorare direttamente sulle rappresentazioni. Questo tipo di codifica conserva, inoltre, la proprietà delle rappresentazioni di avere il primo bit alto se (e solo se) il corrispondente numero è negativo

5 Dal codice in complemento a 2 al numero relativo rappresentato Si esamina il bit di segno Se 0 il numero rappresentato è non negativo lo si calcola con la normale conversione da binario a decimale Se 1 il numero rappresentato è negativo Il codice rappresenta il complemento a 2 del numero Per passare dal complemento a 2 al modulo del numero negativo, si complementano tutti i bit e si somma 1 al risultato

6 Rappresentazione in complementi a 1 O Rappresentazione in complementi diminuiti Concettualmente è analoga alla rappresentazione in complementi a 2 La differenza rispetto ad essa è che la legge di codifica dei numeri negativi associa ad essi il complemento a 1 (e non il complemento a 2) o complemento diminuito Il complemento a uno (x ) del numero x si differenzia dal complemento a 2 (x ) dello stesso numero per una unità: x = x 1 Ovvero il complemento ad uno si ottiene semplicemente complementando alla base tutte le cifre del modulo del numero negativo

7 Rappresentazione in complementi a 1 L intervallo rappresentato è simmetrico [-2 l , 2 l - 1-1] Sussiste una doppia rappresentazione dello zero Nonostante sia immediata la determinazione dei numeri negativi, Basta complementare la rappresentazione binaria del modulo... La doppia rappresentazione dello zero che complica le operazioni di somma e sottrazione.

8 Rappresentazione per eccessi Tutti i numeri relativi dell intervallo [-2 l - 1, 2 l - 1-1] sono associati alla codifica della somma di se stessi con 2 l -1, dove l è il numero di bit utilizzati. In pratica i numeri compresi in [-2 l - 1, 2 l - 1-1] sono mappati tra [0, 2 l -1] tutti i numeri sono traslati verso l alto In tale rappresentazione, il numero binario che rappresenta 2 l -1 sarà associato allo zero, mentre i valori minori di 2 l - 1 ai numeri negativi e quelli maggiori a quelli positivi.

9 Rappresentazione per eccessi Il vantaggio di tale codifica è che viene conservata la proprietà della disuguaglianza sulle rappresentazioni: x1 > x2 X1 > X2 Questa rappresentazione, perciò, è utilizzata soltanto laddove siano richieste per lo più somme algebriche e confronti logici fra gli operandi Le operazioni di moltiplicazione e divisione risultano più complesse

10 Quali si usano? Le rappresentazioni in complemento a due ed eccesso sono le più efficienti per svolgere operazioni in aritmetica binaria poiché permettono di trattare la sottrazione tra numeri come una somma tra numeri di segno opposto: (X - Y) = (X + (-Y)) È così possibile costruire dei circuiti che fanno solo addizioni. Si noti che tale proprietà ha validità solo nel caso di rappresentazioni finite dei numeri

11 Overview Rappresentazioni su 8 bit Numeri naturali nell intervallo [0, 255] Numeri relativi nell intervallo [-127, 127] con la rappresentazione in segno e modulo Numeri relativi nell intervallo [-128,127] con la rappresentazione in complementi a due Numeri relativi nell intervallo [-127, 127] con la rappresentazione in complementi a 1 Numeri relativi nell intervallo [-128, 127] con la rappresentazione per eccessi

12 Overview

13 Strategie di codifica Nei calcolatori, si adotta una codifica a lunghezza fissa pari ad un multiplo di bit (tipicamente 8, 16, 32, 64 bit) Il numero di bit varia a seconda della cardinalità dell insieme dei numeri che si desidera rappresentare.. L associazione di un numero alla parola codice viene realizzata differentemente a seconda della tipologia di numeri che si desidera rappresentare (naturali, relativi, razionali, etc ). Essa viene comunque anche influenzata da aspetti che mirano a preservare la facile manipolazione delle rappresentazioni, dal momento che il calcolatore dovrà lavorare su di esse (e non sui numeri veri e propri) per effettuare le proprie elaborazioni (operazioni aritmetiche, confronti logici, etc ).

14 Overflow Sia la dimensione che il numero dei registri in un calcolatore sono finiti. La cardinalità degli insiemi numerici che si rappresentano è, invece, infinita. È inevitabile dunque che in un insieme di cardinalità infinita solo un sottoinsieme finito di elementi possa essere rappresentato. Gli operatori aritmetici, pur essendo talvolta chiusi rispetto all intero insieme, quasi certamente non lo sono rispetto al sotto-insieme di cardinalità finita. Quando accade che, per effetto di tali operazioni, si tenta di rappresentare un numero non contenuto nel sotto-insieme si parla di overflow. Esempio se, attraverso un operazione di codifica, si rappresentano tutti i numeri naturali da 0 a 127, la somma =200 o la differenza 5 10= 5 generano un overflow all interno di tale insieme dal momento che sia il numero 200 che il numero 5 non possono essere rappresentati

15 Errore di approssimazione Nel caso della rappresentazione di numeri razionali, subentra anche il problema dovuto alla caratteristica dei numeri razionali di costituire un insieme denso. anche se si sceglie per la rappresentazione un intervallo limitato, non tutti i numeri all interno di esso potranno essere rappresentati Quando si tenta di rappresentare un numero per cui non è stata prevista una rappresentazione, spesso si associa la rappresentazione del numero più vicino, cioè quello che approssima meglio il numero in questione. In questo caso si compie un errore di approssimazione Questo tipo di errore, pur se in maniera meno subdola, si presenta comunque anche nel caso dei numeri interi quando, ad esempio, si opera una divisione a risultato non intero e si associa al risultato la rappresentazione del suo troncamento

16 Underflow Quando in un elaborazione si tenta di rappresentare un numero troppo vicino allo zero, l errore di approssimazione può far sì che la rappresentazione scelta sia quella dello zero Questa evenienza può condizionare pesantemente i calcoli successivi nel seguito dell elaborazione a causa delle peculiarità della cifra zero che, ad esempio, non può essere utilizzata al denominatore di una frazione!. Si parla allora di underflow. Questa problematica è molto sentita nell ambito del calcolo numerico

17 Numeri reali: rappresentazione finita e discreta In un intervallo reale, comunque piccolo, esistono infiniti valori (i numeri reali formano un continuo). I valori rappresentabili in binario appartengono necessariamente ad un insieme finito Bisogna stabilire una corrispondenza tale per cui ad ogni valore rappresentabile sia associato un intervallo del continuo. In altri termini, diviso l'insieme dei numeri reali in intervalli di fissata dimensione, si ha che ogni x appartenente all'intervallo [X i, X i+1 [ viene sostituito con X i.

18 Effetti delle Approssimazioni La disciplina del CALCOLO NUMERICO si pone come obiettivo la ricerca di algoritmi appropriati per la soluzione di problemi matematici che fanno largo uso dei numeri reali Difatti un qualsiasi calcolo numerico sarebbe privo di senso, qualora non si avesse un'idea del tipo e dell'entità degli errori che si possono commettere. I numeri reali rappresentabili su un numero finito di cifre godono della seguente proprietà: x X X i X 1 dove ε rappresenta l'errore massimo che si commette sostituendo x con X X può essere Xi (rappresentazione per difetto) oppure Xi+1 (rappresentazione per eccesso) Il valore ε dipende dalla rappresentazione finita (numero finito di cifre) utilizzata per i numeri reali. i

19 Esempio errori di arrotondamento per un aritmetica a quattro cifre decimali che applica le note regole di arrotondamento sull'ultima cifra. con un errore massimo pari a 0.5 * 10-4 In generale se -m è il peso della cifra meno significativa, l'errore massimo che si commette è: m

20 Overflow e Underflow I numeri reali rappresentabili sono definiti in un insieme limitato con estremi predefiniti [-minreal, maxreal]. Overflow: condizione che si verifica quando i valori o sono più piccoli di minreal o più grandi di maxreal; Underflow: condizione che si verifica quando un valore, per effetto delle approssimazioni, viene confuso con lo zero.

21 Rappresentazione dei numeri reali con un numero finito di cifre Con un numero finito di cifre è possibile rappresentare solo un numero razionale che approssima con un certo errore il numero reale dato Vengono usate due notazioni Notazione in virgola fissa: Dedica parte delle cifre alla parte intera e le altre alla parte frazionaria la posizione della virgola è fissata su un bit prestabilito: +XXX.YY Notazione in virgola mobile

22 Rappresentazione in virgola mobile I numeri reali vengono rappresentati in binario attraverso la seguente notazione scientifica: r=mb e, con m numero frazionario detto mantissa, la base b numero naturale prefissato ed e numero intero chiamato esponente o caratteristica. L'esponente determina l ampiezza dell'intervallo di valori preso in considerazione, mentre il numero di cifre della mantissa determina la precisione del numero (ossia con quante cifre significative sarà rappresentato)

23 Notazione Scientifica possibilità di rappresentare con poche cifre numeri molto grandi oppure estremamente piccoli; indipendenza dalla posizione della virgola; possibilità di trascurare tutti gli zeri che precedono la prima cifra significativa con la normalizzazione della mantissa; dipendenza del valore rappresentato dalla mantissa e dall esponente, se si adottano specifiche convenzioni per la base e la mantissa;

24 Rappresentazione Normalizzata La rappresentazione in virgola mobile, fissata la base, consente di esprimere lo stesso valore con infinite coppie (mantissa, esponente) ad esempio: , , 4, Per uniformare le rappresentazioni, per convenzione si sceglie, tra le infinite coppie, quella che preserva il maggior numero di cifre significative ovvero quella in cui la mantissa presenta la virgola subito dopo la prima cifra significativa (mantissa normalizzata) Per esempio, per i numeri minori di 1 quando la cifra più a sinistra è uno zero, si traslano (shift) verso sinistra le cifre diverse da zero (significative) decrementando l'esponente di tante cifre quante sono le posizioni scalate: in questo modo si ottiene un altra coppia distinta, ma avente il medesimo valore del precedente (ad esempio 0,0025 *10 0 è equivalente 2,5000 * 10-3)

25 Esempio di Normalizzazione rappresentazione con b = 10, cinque cifre per la mantissa due cifre per l'esponente rappresentazione normalizzata con la prima cifra diversa da zero; si hanno le seguenti rappresentazioni normalizzate: condizione di overflow quando x > 9, e di underflow quando x < 1,

26 Osservazione gli intervalli [X i, X i+1 ] non hanno tutti la stessa ampiezza man mano che ci si avvicina alla condizione di overflow gli intervalli si fanno sempre più ampi mentre intorno alla condizione di underflow non solo si addensano ma diventano sempre più piccoli. è facile osservare il fenomeno confrontando gli intervalli [ , ] [ , ].

27 Operazioni in Virgola Mobile Le operazioni non solo si complicano ma possono generare errori di approssimazione. la somma e la sottrazione richiedono l'allineamento degli esponenti: = = per il prodotto e la divisione servono operazioni separate sulle mantisse e sugli esponenti: * = (100 * 100) 10 (0-2) = L'allineamento degli esponenti produce come effetto indesiderato quello di far scomparire alcune cifre rappresentative del numero. Esempio: 1, , , , , troncamento delle cifre 9099 del numero con esponente più piccolo. La divisione per valori molto piccoli può facilmente superare il valore di overflow.

28 Perché rappresentare in virgola mobile? In base due, la mantissa normalizzata comincia per 1.parte_decimale un numero reale può essere rappresentato nella memoria di un calcolatore con un numero intero indicativo della parte decimale della mantissa e con un altro numero intero per l'esponente.

29 Standard Virgola mobile Standard 754 IEEE: definisce principalmente tre formati numerici a virgola mobile: singola precisione o precisione semplice (32 bit), doppia precisione 64 bit), precisione estesa (80 bit).

30 Rappresentazione VM precisione singola e doppia un bit per il segno del numero complessivo, (zero per positivo ed uno per negativo);. otto bit nel caso della singola precisione (11 per la doppia precisione) per l'esponente rappresentato per eccesso così da non doverne indicare il segno; 23 bit nel caso della singola precisione (52 per la doppia) per la mantissa. La mantissa è normalizzata per cui comincia sempre con un 1 seguito da una virgola binaria, e poi a seguire il resto delle cifre. Lo standard prevede l assenza sia del primo bit che del bit della virgola perché sono sempre presenti: