Università degli Studi Roma Tre Dipartimento di Ingegneria Corso di Teoria e Progetto di Ponti A/A Dott. Ing.

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2 Definizione La linea di influenza è un grafico che fornisce la risposta della struttura (sollecitazione o spostamento) in un punto in funzione della posizione della forza. I diagrammi delle sollecitazioni rappresentano (per una forza fissata) le sollecitazioni in tutti i punti della struttura. In alternativa è possibile costruire il diagramma per punti. Le linee di influenza rappresentano la sollecitazione in un punto al variare della posizione della forza.

3 Definizione Le ordinate della data grandezza Y relativa alla prefissata sezione S considerata si riportano in corrispondenza delle ascisse del carico mobile F Sezione S F Y= Reazione in S dovuta a F

4 Metodi di calcolo delle L.I. per le travi Esistono due metodi distinti Il metodo diretto, che consiste nel calcolo del grafico delle L.I basandosi su un calcolo diretto della grandezza interessata. Si applica anche in quei casi in cui è possibile facilmente esprimere la linea di influenza in forma analitica Il metodo indiretto che si basa sull uso del teorema di reciprocità di Betti.

5 Metodo diretto (Calcolo analitico) La definizione di linea di influenza offre un procedimento diretto per la costruzione di una qualsiasi linea di influenza per punti. Si pone il carico P = 1 sulla ascissa 1 e si calcola l'effetto che si desidera nella prefissata sezione S; si sposta il carico P posto uguale a 1 su un'altra ascissa 2 e si trova il corrispondente valore dell'effetto studiato sempre sulla sezione S; si ripete il procedimento, applicando ii carico P =1 su altre ascisse 3... i, n e ricavando, in S, i valori correlativi si determina così, una serie di coppie di valori ( i, i), costituite dall'ascissa dove agiva il carico P = 1 e dal valore che ha assunto l'effetto nella sezione S. A questo punto basta riportare in un diagramma i valori sulla verticale dei corrispondenti valori di Si per ottenere la linea di influenza di 1 sulla sezione S.

6 Metodo diretto (Calcolo Numerico) Esempio: Trave continua

7 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio:Trave appoggiata x P x0 S x P 1 L se x x0 V x0 P x se x x 0 L x L x0 xx0 P P x se x x0 L L M x0 P 1 x x P x xx0 se x x 0 0 L 0 L Momento in S Taglio in S

8 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio:Trave appoggiata x x0 P SA SB x YA P 1 L Reazione in A x YB P L Reazione in B

9 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio:Trave appoggiata x P x0 S TS 0 se x x0 TS P se x x0 MS 0 se x x0 MS P(x x0 ) se x x0 Taglio in S Momento in S

10 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio:Trave appoggiata YA P x x0 SA P Reazione in A

11 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio: Trave incastro-appoggio x P x0 S SA x2 3 L x YB P 3 1 L 2 L Reazione in B SB YA 1 YB Reazione in A

12 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio: Trave incastro-appoggio x P x0 S SA MA (x) YB L Px SB TA YA Taglio in A P Momento in A

13 Metodo diretto (Calcolo analitico) Esempio: Trave doppiamente incastrata

14 Metodo diretto (Calcolo Numerico) Discretizzando la struttura mediante n nodi si esaminano n condizioni di carico, ciascuna ottenuta applicando una forza unitaria in un nodo. Ad ogni CC sono associate n sollecitazioni (taglio, momento, forza normale). Con queste grandezze si può costruire una tabella, riportando in ogni colonna le sollecitazioni prodotte da ciascuna cc

15 Metodo diretto (Calcolo Numerico) Questa matrice, letta per colonne, fornisce i diagrammi della grandezza s in tutti i nodi della struttura per ogni posizione della forza. Letta per righe fornisce la grandezza s in una data sezione come funzione della posizione del carico, cioè la sua linea di influenza.

16 Metodo indiretto

17 Metodo indiretto

18 Metodo indiretto Si possono calcolare facilmente le seguenti L.I: L.I. di uno spostamento o rotazione L.I. di reazioni vincolari di travi isosatatiche L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi isos. L.I. di reazioni iperstatiche L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi iperst.

19 Metodo indiretto L.I. di una rotazione E valida la seguente asserzione: la L.I. dello abbassamento i relativo ad una prefissata sezione S, coincide con la linea elastica della trave, prodotta dal carico unitario agente sulla sezione S. Infatti se applichiamo in S una forza unitaria e poi di seguito una forza unitaria in i la forza in S compie lavoro di trascinamento 1 s Se poi applichiamo in ordine contrario le forze otteniamo un lavoro 1 Per il teorema di Betti si ha che = s (Teorema di Maxwell) Quindi la linea elastica dello spostamento in S coincide con la deformata per una forza unitaria applicata in S

20 Metodo indiretto L.I. di una rotazione E valida la seguente asserzione: la L.I. dello abbassamento i relativo ad una prefissata sezione S, coincide con la linea elastica della trave, prodotta dal carico unitario agente sulla sezione S. Infatti se applichiamo in S un Momento unitario e poi di seguito una forza unitaria in i il momento in S compie lavoro di trascinamento 1 s Se poi applichiamo in ordine contrario momento e forza otteniamo un lavoro 1 Per il teorema di Betti si ha che = s (Teorema di Maxwell) Quindi la linea elastica della rotazione in S coincide con la deformata per momento unitario applicata in S

21 Metodo indiretto L.I. di una rotazione OSSERVAZIONE Le linee di influenza di spostamenti o di rotazioni sono sempre curvilinee, sia nel caso di travi isostatiche che in quello di travi iperstatiche, perchè coincidono con le linee elastiche dovute. a carichi unitari oppure a coppie unitarie, applicati alle travi effettive, che conservanq invariati i vincoli et{ettivi.

22 Metodo indiretto L.I. di reazioni di travi isostatiche Si voglia la L.I. di YB : a tale scopo sopprimiamo il carrello in B ed applichiamo al suo posto la forza verticale YB. In queste condizioni il sistema, inizialmente isostatico, è diventato labile con un grado di libertà. Imprimiamo al sistema uno spostamento virtuale B*=1, compatibile con i restanti Vincoli in A, C, D. Detto ( ) lo spostamento in corrispondenza della forza P=1 per il teorema di Betti sia ha YB= ( ) Quindi la linea elastica della rotazione in S coincide con il meccanismo ottenuto sopprimendo il vincolo di cui si vuole la reazione e applicando li un spostamento unitario

23 Metodo indiretto L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi isostatiche

24 Metodo indiretto L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi isostatiche

25 Esempio: Linea di influenza del momento 1 Linea influenza Taglio

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27 Metodo indiretto L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi isostatiche ESEMPIO Trave appoggiata con sbalzo. Si vogliono trovare le linee di influenza di T ed M per la sezione S, compresa nel tratto Be.

28 Metodo indiretto L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi isostatiche ESEMPIO Trave Gerber L.I. in S1, S2 ed S3

29 Metodo indiretto L.I. delle reazioni iperstatiche TLV =0 Lavoro che il le forze reali compiono nella deformazione virtuale Lavoro che il momento Virtuale m1* compie nella deformazione reale = 0

30 Calcolo sollecitazioni massime e minime Con l ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura che danno gli effetti con segno + o segno -

31 Calcolo sollecitazioni massime e minime Con l ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura che danno gli effetti con segno + o segno -

32 Calcolo sollecitazioni massime e minime Con l ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura che danno gli effetti con segno + o segno -

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