Esercizi sul luogo delle radici
|
|
- Samuele Santi
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 FA Esercizi 6, 1 Esercizi sul luogo delle radici Analisi di prestazioni a ciclo chiuso, progetto di regolatori facendo uso del luogo delle radici.
2 Analisi di prestazioni FA Esercizi 6, 2 Consideriamo il sistema dinamico a tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento T (s) = Inserito in un semplice ciclo a retroazione negativa: s +3 s (s 2 +2s + 2) T (s) Analizzare le prestazioni del sistema a ciclo chiuso al variare della costante di guadagno (positiva), facendo uso del luogo delle radici.
3 FA Esercizi 6, 3 Studio del luogo LD Zeri e poli: Centroide degli asintoti: 1. il luogo possiede 3 rami 2. un ramo esce da un polo e termina nello zero 3. gli altri 2 rami escono dagli altri poli e tendono all infinito Inclinazione degli asintoti:
4 FA Esercizi 6, 4 Prima bozza del luogo, con evidenziati i tratti del luogo LD sull asse reale, le posizioni di zero e poli, quella del centroide e gli asintoti I rami del luogo che hanno origine nei poli e sono quelli che poi si dirigono all infinito lungo gli asintoti: devono necessariamente intersecare l asse immaginario (ciascuno dei 2 rami almeno in un punto).
5 FA Esercizi 6, 5 Ricerca dei punti critici In realtà in base a quanto determinato prima, non c è alcuna evidenza che esistano dei punti critici sul luogo: da ciascuno dei 3 poli esce un ramo che arriva in uno zero, al finito oppure asintotico. La relazione che fornisce i punti critici porta all equazione Nessuno dei punti appartiene al luogo LD, come supposto in base all analisi precedente: nessuno dei punti trovati soddisfa l equazione caratteristica di ciclo chiuso per il luogo LD.
6 FA Esercizi 6, 6 Angoli d uscita dai poli Un generico punto del piano complesso appartiene al luogo LD se e solo se (cfr. Parte 9 del materiale del corso) Partendo da quella relazione, si può ricavare l angolo d uscita da ciascun polo (cfr. materiale di Parte 9 del corso) nel modo seguente: Lo potevo ricavare anche dal disegno parziale del luogo di slide 4.
7 FA Esercizi 6, 7 L altro polo è il complesso coniugato di quello appena analizzato; si può concludere quindi che Per lo zero, ragionando in maniera analoga, si può scrivere
8 FA Esercizi 6, 8 In definitiva: Intersezioni del luogo con l asse immaginario Come scritto in precedenza, ll luogo deve attraversare l asse immaginario in almeno 2 punti (uno per ciascuno dei rami che dalla coppia di poli complessi coniugati si dirigono verso gli zeri asintotici lungo gli asintoti). Per determinarli agevolmente si può far uso del criterio di Routh-Hurwitz: Polinomio caratteristico di ciclo chiuso Tabella di Routh
9 FA Esercizi 6, 9 Per avere stabilità asintotica Condizioni al limite della stabilità si ottengono annullando i coefficienti della riga 1 della tabella di Routh: per si ottengono due poli di ciclo chiuso posizionati in Ecco le intersezioni cercate; inoltre così si ha la certezza che sono le uniche intersezioni del luogo LD con l asse immaginario oltre all origine.
10 FA Esercizi 6, 10 In definitiva il luogo cercato è
11 FA Esercizi 6, 11 Analisi di prestazioni Consideriamo il sistema LTI a tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento chiuso in un semplice ciclo di retroazione Determinare il luogo delle radici al variare del parametro K, l intervallo di valori di K che corrispondono ad una risposta allo scalino unitario con sovra-elongazione, il valore massimo della sovra-elongazione.
12 Alcune considerazioni prima di iniziare l analisi: FA Esercizi 6, 12 se risulterà stabile a ciclo chiuso, sarà un sistema di tipo 1 errore a regime nullo nella risposta a ciclo chiuso allo scalino unitario; errore a regime finito nella risposta a regime a ciclo chiuso alla rampa a pendenza unitaria; a regime disturbi additivi a scalino unitario non hanno alcun effetto sull uscita a ciclo chiuso. Tracciamento preliminare del luogo: tratti sull asse reale un solo asintoto orizzontale
13 FA Esercizi 6, 13 I tratti dell asse reale che appartengono al luogo sono quelli evidenziati Ci dovranno essere 2 punti critici! Uno nel segmento tra i 2 poli, l altro a sinistra dello zero: Entrambi i punti appartengono al luogo, come ipotizzato in precedenza.
14 FA Esercizi 6, 14 Gli angoli di uscita dai poli e di arrivo allo zero possono essere facilmente determinati dal disegno del luogo, poiché sia lo zero che i poli sono reali. Il luogo cercato è formato dai tratti dell asse reale individuati in precedenza e da una circonferenza con centro nello zero e raggio pari alla distanza dello zero dai punti critici (cfr. Parte 9 del materiale del corso) Luogo al variare di K: in colore diverso i due distinti rami che formano il luogo LD (dai poli verso gli zeri)
15 FA Esercizi 6, 15 Risposta allo scalino unitario con sovraelongazione sulla base del tracciamento del luogo, si può affermare che per avere sovraelongazione nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso bisogna imporre che i poli di ciclo chiuso appartengano alla parte del luogo che permette di avere poli complessi coniugati. In definitiva, si tratta di determinare per quali valori di K si avrà una coppia di poli coincidenti nei 2 punti critici corrispondenti ai punti di diramazione del luogo (i punti da cui rispettivamente partono/a cui arrivano i rami del logo nel piano complesso).
16 FA Esercizi 6, 16 Infatti, analizzando il luogo si può affermare che Il sistema risulta asintoticamente stabile per K positivo, dato che il luogo LD è confinato nel semipiano sinistro; Per valori di K che corrispondono a poli a ciclo chiuso posizionati nelle parti del luogo sull asse reale (nel piano complesso) si hanno poli reali distinti [dovunque tranne che in corrispondenza dei punti critici], quindi la risposta allo scalino non può presentare sovraelongazione (come affermato in precedenza). Per determinare i valori del parametro che corrispondono a poli coincidenti con i punti critici è sufficiente utilizzare l equazione caratteristica di ciclo chiuso
17 FA Esercizi 6, 17 In definitiva Poli a c.c. reali distinti Poli a c.c. reali distinti Poli a c.c. reali coincidenti poli a c.c. reali coincidenti Poli a c.c. complessi coniugati
18 FA Esercizi 6, 18 Sovraelongazione massima In generale il problema non ha semplice soluzione! In questo caso per la configurazione geometrica del luogo oggetto di studio esiste una soluzione facilmente determinabile: il luogo infatti è costituito da tratti dell asse reale e da una circonferenza, centrata nello zero e con raggio pari alla distanza dei punti critici dallo zero La semiretta tangente alla circonferenza con origine nell origine degli assi (come in figura) identifica la condizione di massimo smorzamento, cioè la massima sovraelongazione.
19 FA Esercizi 6, 19 Determinato lo smorzamento massimo, basta applicare la formula
20 FA Esercizi 6, 20 Ulteriore analisi: vincoli sulla base del tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso. È possibile garantire, scegliendo opportunamente la costante di guadagno, che il tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario a ciclo chiuso sia approssimativamente pari ad 1s? Prima di analizzare la situazione al variare del parametro K, si noti che il sistema a ciclo chiuso possiederà una funzione di trasferimento con uno zero e due poli (reali oppure complessi coniugati). Ciò significa che le formule introdotte in Parte 7 del materiale del corso per determinare la durata del tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario forniranno risultati approssimativi.
21 FA Esercizi 6, 21 Analizzando la posizione dei poli al variare della costante di guadagno K si nota che: per 0<K<1 i poli (reali distinti) hanno costanti di tempo troppo elevate, quindi il tempo di assestamento risulterà troppo elevato (ben maggiore di quanto richiesto: lo si verifichi per esercizio); per K = 1 il sistema a ciclo chiuso presenta un doppio polo reale, con costante di tempo elevata: anche stavolta il tempo di assestamento risulta troppo elevato (lo si verifichi); nel caso in cui la costante di guadagno assuma valori nell intervallo ] -, -9] si hanno ancora 2 poli reali, ma stavolta le costanti di tempo associate ai poli hanno valori sufficientemente piccoli da garantire il rispetto della specifica sul tempo di assestamento; Che cosa si può dire nel caso in cui i poli di ciclo chiuso siano complessi coniugati, cioè per K con valori in ]-9, -1[?
22 FA Esercizi 6, 22 In base alla formula che lega la durata del tempo di assestamento alla posizione dei poli (complessi coniugati) si ha t a 1% 5 ξω n 5 t a 1% =1 {poli c.c.} = 5 I punti in cui la retta, che rappresenta il luogo dei punti a parte reale -5, interseca la circonferenza che appartiene al luogo LD studiato sono i poli di ciclo chiuso per i quali il tempo di assestamento nella risposta allo scalino unitario vale 1s.
23 FA Esercizi 6, 23 È possibile determinare in modo agevole quei punti di intersezione sfruttando una opportuna traslazione di variabile ŝ = s +5 in modo da far coincidere la nuova origine degli assi col punto di ascissa -5 nel vecchio sistema di coordinate. Per sostituzione nell espressione dell equazione caratteristica dei poli di ciclo chiuso per il sistema oggetto di studio si arriva all espressione s +4 s (s +3) = ŝ 1 (ŝ 5) (ŝ 2) Il luogo LD per la nuova FdT ha la medesima forma di quello già visto, solo che è cambiata la sua posizione rispetto agli assi.
24 FA Esercizi 6, 24 I punti che prima (in slide #22) avevano parte reale pari a -5 adesso si trovano sull asse immaginario in questo nuovo sistema di riferimento: è possibile ancora una volta determinarli sfruttando la tabella di Routh, applicata all equazione caratteristica scritta utilizzando la nuova variabile ŝ 2 +(K 7) ŝ +(10 K) =0
25 FA Esercizi 6, 25 La tabella di Routh fornisce ŝ 2 +(K 7) ŝ +(10 K) =0 2 1 (10 K) 1 (K 7) 0 (10 K) K =7 ˆp 1, 2 = ±j 3 ŝ = s +5 K =7 p 1, 2 = 5 ± j 3 Per K=7 il valore effettivo del tempo di assestamento per la risposta a ciclo chiuso allo scalino unitario è pari a t a % s
Graficazione qualitativa del luogo delle radici
.. 1.1 1 Graficazione qualitativa del luogo delle radici Esempio. Si faccia riferimento al seguente sistema retroazionato: d(t) G(s) r(t) e(t) K 1(s 1) s(s+1)(s +8s+5) y(t) Per una graficazione qualitativa
DettagliLuogo delle radici. Si consideri il seguente schema in retroazione:
0.0. 5.1 1 Luogo delle radici Si consideri il seguente schema in retroazione: La funzione di trasferimento G 0 (s) del sistema retroazionato è: G 0 (s) = G(s)H(s) 1+G(s)H(s) I poli del sistema retroazionato
DettagliSoluzione degli esercizi del Capitolo 13
Soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Soluzione dell Esercizio 3. Il luogo diretto è costituito da due rami posizionati sull asse reale. Uno di essi si sposta dal polo in a e l altro percorre il segmento
Dettaglirapporto tra ingresso e uscita all equilibrio.
Sistemi Dinamici: Induttore: Condensatore: Massa: Oscillatore meccanico: Pendolo: Serbatoio cilindrico: Serbatoio cilindrico con valvola d efflusso: Funzione di Trasferimento: Stabilità del sistema: (N.B.
DettagliEsame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE
Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima
DettagliGraficazione qualitativa del luogo delle radici
.. 5.3 1 Graficazione qualitativa del luogo delle radici Esempio. Si faccia riferimento al seguente sistema retroazionato: d(t) G(s) r(t) e(t) K 1(s 1) s(s + 1)(s + 8s + 5) y(t) Per una graficazione qualitativa
DettagliLuogo delle Radici. Università degli Studi di Firenze. L. Chisci, P. Falugi
Università degli Studi di Firenze Luogo delle Radici L. Chisci, P. Falugi Corso di Fondamenti di Automatica per CdL Ing. dell Informazione e Ing. dell Ambiente e delle Risorse Anno Accademico 005/06 Fondamenti
DettagliNome: Nr. Mat. Firma:
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 212/13 9 novembre 212 - Domande Teoriche Nome: Nr. Mat. Firma: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni che si
DettagliControlli automatici
Controlli automatici Luogo delle radici Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingegneria Introduzione Il luogo delle radici è un
DettagliSISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm SISTEMI ELEMENTARI DEL o
DettagliSISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/controlliautomatici.html SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE Ing. e-mail: luigi.biagiotti@unimore.it
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale LUOGO DELLE RADICI
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm LUOGO DELLE RADICI Ing. Federica Grossi Tel. 059 2056333 e-mail: federica.grossi@unimore.it
DettagliIl luogo delle radici
Il luogo delle radici Andrea Munafò Università di Pisa April 14, 2012 Luogo delle radici (Evans 1948) Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l analisi e la sintesi di sistemi di controllo a
DettagliAnalisi dei sistemi retroazionati
Parte 9, 1 Parte 9, 2 Introduzione Analisi dei sistemi retroazionati Prestazioni dei sistemi di controllo Stabilità a ciclo chiuso: criterio di Nyquist, margini di guadagno e di fase, criterio di Bode
DettagliAnalisi dei sistemi retroazionati
Parte 9, 1 Analisi dei sistemi retroazionati Prestazioni dei sistemi di controllo Stabilità a ciclo chiuso: criterio di Nyquist, margini di guadagno e di fase, criterio di Bode Il luogo delle radici Parte
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE
Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL o E 2 o ORDINE CA 5 Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it)
DettagliANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO. Schema generale di controllo in retroazione
ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Schema generale di controllo in retroazione Requisiti di un sistema di controllo Stabilità in condizioni nominali Margine di guadagno e margine di fase
DettagliSistemi Elementari. Prof. Laura Giarré https://giarre.wordpress.com/ca/
Sistemi Elementari Prof. Laura Giarré Laura.Giarre@UNIMORE.IT https://giarre.wordpress.com/ca/ Rappresentazioni di una funzione di trasferimento Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale
Dettagli09. Luogo delle Radici
Controlli Automatici 09. Luogo delle Radici Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e ggio Emilia E-mail: {nome.cognome}@unimore.it
DettagliCorso di Controlli Automatici Proff. M. D. Di Benedetto e S. Di Gennaro
Corso di Controlli Automatici Proff. M. D. Di Benedetto e S. Di Gennaro LUOGO DELLE RADICI Ing. Francesco Smarra & Ing. Alessandro Borri Richiami di teoria Generalità Sia dato un sistema dinamico a controreazione
DettagliCapitolo. Stabilità dei sistemi di controllo. 8.1 Generalità. 8.2 Criterio generale di stabilità. 8.3 Esercizi - Criterio generale di stabilità
Capitolo 7 Stabilità dei sistemi di controllo 8.1 Generalità 8. Criterio generale di stabilità 8.3 Esercizi - Criterio generale di stabilità 8.4 Criterio di stabilità di Nyquist 8.5 Esercizi - Criterio
Dettagli5. Per ω = 1/τ il diagramma reale di Bode delle ampiezze della funzione G(jω) =
Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 211/12 3 luglio 212 - Domande Teoriche Cognome Nome: Matricola: Corso di Laurea: Per ciascuno dei test a soluzione multipla segnare con una crocetta tutte le affermazioni
Dettagli2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)
2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:
DettagliGEOMETRIA ANALITICA
GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un
DettagliStabilità e retroazione
0.0. 4.1 1 iagramma Stabilità e retroazione Stabilità dei sistemi dinamici lineari: Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa. Un sistema G(s) è stabile
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliRichiami sullo studio di funzione
Richiami sullo studio di funzione Per studiare una funzione y = f() e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere in ordine secondo i seguenti passi:. determinare il campo di esistenza (o
DettagliSoluzione degli esercizi del Capitolo 9
Soluzione degli esercizi del Capitolo 9 Soluzione dell Esercizio 9.1 Il diagramma polare associato alla funzione L(s) = µ/s, µ > comprende l intero semiasse reale negativo. È quindi immediato concludere
DettagliProgetto del controllore
Parte 10, 1 - Problema di progetto Parte 10, 2 Progetto del controllore Il caso dei sistemi LTI a tempo continuo Determinare in modo che il sistema soddisfi alcuni requisiti - Principali requisiti e diagrammi
DettagliControlli Automatici Compito del - Esercizi
Compito del - Esercizi. Data la funzione di trasferimento G(s) = s (s +),sicalcoli a) La risposta impulsiva g(t); b) L equazione differenziale associata al sistema G(s); c) Si commenti la stabilità del
DettagliAnalisi dei sistemi in retroazione
Facoltà di Ingegneria di Reggio Emilia Corso di Controlli Automatici Corsi di laurea in Ingegneria Meccatronica ed in Ingegneria della Gestione Industriale Ing. Alessandro Macchelli e-mail: amacchelli@deis.unibo.it
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm CRITERIO DI ROUTH-HURWITZ
DettagliIl luogo delle radici. G(s) - H(s)
Il luogo delle radici r + e D(s) u - H(s) G(s) Esempio: controllo proporzionale: u(t)=ke(t) Strumenti per analizzare la stabilita` del sistema a catena chiusa al variare di K (criteri di Routh e Nyquist)
DettagliLA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;
DettagliStabilità dei sistemi di controllo in retroazione
Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Margini di stabilità Indicatori di robustezza della stabilità Margine di guadagno Margine di fase Stabilità regolare e marginale ed estensioni delle definizioni
DettagliCompito di Fondamenti di Automatica - 13 luglio 2006 Versione A Esercizio 1A. Dato lo schema seguente (operazionali ideali)
Compito di Fondamenti di Automatica - 1 luglio 2006 Versione A Esercizio 1A. Dato lo schema seguente (operazionali ideali) C v in 2 vout é richiesto di calcolare la funzione di trasferimento G(s) tra v
DettagliSISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO
Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/27 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,
DettagliParte 7, 1. Prof. Thomas Parisini. Parte 7, 3. Prof. Thomas Parisini. Parte 7, 5 - Risposta allo scalino: I ordine. B) Non strettamente proprio
Parte 7, 1 Parte 7, 2 - Risposta allo scalino Studio dei sistemi dinamici tramite FdT - Risposta allo scalino In sistemi asint. stabili descrive la transizione da un equilibrio ad un altro Parte 7, 3 -
DettagliDiagrammi di Nyquist o polari
0.0. 3.3 1 qualitativa Ampiezza Diagrammi di Nyquist o polari Esempio di diagramma polare senza poli nell origine: 40 20 G(s) = 100(1+ s 50 ) (1+ s 10 )2 (1+ s 20 )(1+ s 100 ) Imag 0 20 15 20 30 80 0.1
DettagliUn fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:
DettagliLa stabilità di un sistema non dipende dal segnale d ingresso, ma dipende solo dalla f.d.t. del sistema. Stabilità BIBO (Bound Input Bounded Output)
8.1 GENERALITÀ La stabilità di un sistema non dipende dal segnale d ingresso, ma dipende solo dalla f.d.t. del sistema f.d.t. = U(s) E(s) Stabilità BIBO (Bound Input Bounded Output) Un sistema lineare
DettagliSoluzione di Adriana Lanza
Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliFORMULARIO DI CONTROLLI AUTOMATICI
FORMULARIO DI CONTROLLI AUTOMATICI Sistema x (t) = A x (t) + B u (t) y (t) = C x (t) + D u (t) Funzione di trasferimento G (s) = y (s) / u (s) = C (si A) -1 B + D Sistema Serie G (s) = i G i (s) prodotto
DettagliGeometria analitica di base (seconda parte)
SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo
DettagliIn un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.
L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze
DettagliGeometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa
Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione
DettagliStabilità dei sistemi in retroazione. Diagrammi polari e teorema di Nyquist
Stabilità dei sistemi in retroazione Diagrammi polari e teorema di Nyquist STABILITA DEI SISTEMI IN RETROAZIONE Vogliamo studiare la stabilità del sistema in retroazione a partire della conoscenza di L(s
DettagliRicordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:
La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione
DettagliPiano cartesiano e retta
Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione
DettagliEsercizi- Risposta in frequenza
esercizi 6, 1 Esercizi- Risposta in frequenza Diagrammi di Nyquist Data una funzione di trasferimento: Vogliamo ottenere la sua rappresentazione nel piano complesso al variare della frequenza. curva parametrizzata
Dettagliun sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione esterna limitata, la sua risposta (variazione dell uscita) è limitata (Bounded Input
un sistema è stabile se, in conseguenza di una sollecitazione esterna limitata, la sua risposta (variazione dell uscita) è limitata (Bounded Input Bounded Output) Un sistema si dice asintoticamente stabile
DettagliLE COORDINATE CARTESIANE
CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate
DettagliStabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.
Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero
DettagliGEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z
GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono
DettagliUna circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto
La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.
DettagliElaborazione di segnali e immagini: modulo segnali
Elaborazione di segnali e immagini: modulo segnali 30 gennaio 014 Esame parziale con soluzioni Esercizio 1 Dato un sistema LTI descritto dalla seguente equazione alle differenze: v(k) + v(k 1) 10v(k )
DettagliMutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani
Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse
DettagliSvolgimento degli esercizi sulla circonferenza
Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57
DettagliPIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010
PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
DettagliANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO. Schema generale di controllo in retroazione. Margine di guadagno e margine di fase
ANALISI DEI SISTEMI DI CONTROLLO A TEMPO CONTINUO Schema generale di controllo in retroazione Requisiti di un sistema di controllo Stabilità in condizioni nominali Margine di guadagno e margine di fase
DettagliCORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica
ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo
DettagliUnità Didattica N 9 : La parabola
0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)
DettagliControlli Automatici L-A - Esercitazione
Controlli Automatici L-A - Esercitazione 1. Si consideri lo schema a blocchi di figura. d(t) K d x(t) e(t) R(s) u(t) G(s) y(t) - R(s) = K τs + 1 s + 1, G(s) = K d = 2 s(s 2 + 6s + ), a) Considerando gli
DettagliANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA Ing. Federica Grossi Tel.
Dettagli3 Equazioni e disequazioni.
3 Equazioni e disequazioni. 3. Equazioni. Una equazione algebrica è un uguaglianza tra espressioni letterali soddisfatta per alcuni valori attribuiti alle lettere che vi compaiono. Tali valori sono detti
DettagliUNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA
UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme
DettagliProblemi sulla circonferenza verso l esame di stato
Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza
DettagliStudio del segno di un prodotto
Studio del segno di un prodotto Consideriamo una disequazione costituita dal prodotto di più binomi, ad esempio: ( x 1 )( 4 x)( x + 3) > 0 Per risolverla possiamo studiare il segno del prodotto al variare
DettagliEquazioni Polinomiali II Parabola
Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:
DettagliSOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2016
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2016 1. Per prima cosa determiniamo l espressione analitica della funzione f per x 8. x 8 = y y = 2x 16 2 4 Del grafico di f (x) possiamo dire
Dettagli1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano
1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione
DettagliSoluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13
Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliSTABILITÀ DEI SISTEMI Metodo di Bode e Nyquist
I.T.I. Modesto PANETTI B A R I Via Re David, 186-70125 BARI 080-542.54.12 - Fax 080-542.64.32 Internet http://www.itispanetti.it email : BATF05000C@istruzione.it INTRODUZIONE STABILITÀ DEI SISTEMI Metodo
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
Dettagli1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1. 5 Soluzioni degli esercizi 6
1 PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI 1 I-4 R 2 ed R 3 Piano e spazio cartesiani Indice 1 Prodotto cartesiano di due insiemi 1 2 Rappresentazione di R 2 sul piano cartesiano 2 3 Sottoinsiemi di R 2 e regioni
DettagliLO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO
LO STUDIO DI UNA FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE REALE. UN BREVE RIPASSO Studiando le funzioni reali di una sola variabile reale yf(), abbiamo imparato a distinguere alcune loro caratteristiche fondamentali
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliSoluzione di Adriana Lanza
Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto
DettagliEquazioni di 2 grado
Equazioni di grado Tipi di equazioni: Un equazione (ad una incognita) è di grado se può essere scritta nella forma generale (o forma tipica o ancora forma canonica): a b c con a, b e c numeri reali (però
DettagliAnno 3 Rette e circonferenze
Anno 3 Rette e circonferenze 1 Introduzione In questa lezione esamineremo le reciproche posizioni che possono sussistere tra retta e circonferenza o tra due circonferenze. Al termine della lezione sarai
DettagliRisposta al gradino di un sistema del primo ordine
0.0..4 Risposta al gradino di un sistema del primo ordine Diagramma Si consideri il seguente sistema lineare del primo ordine: G(s) = +τ s L unico parametro che caratterizza il sistema è la costante di
DettagliControlli automatici e controllo dei processi Docente: Davide M. Raimondo Prova scritta: 01/03/2013 Durata: 3h. Cognome Nome Matricola
Controlli automatici e controllo dei processi Docente: Davide M. Raimondo Prova scritta: 01/03/2013 Durata: 3h Cognome Nome Matricola Esercizio 3: Si determini, motivando brevemente, la corrispondenza
DettagliGEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica
ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEZIONE DISTACCATA DI CEFALÙ CLASSE V C GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:
FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +
Dettagli1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).
. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò
DettagliStabilità e risposte di sistemi elementari
Parte 4 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 4, 1 Stabilità e risposte di sistemi elementari Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL: www-lar.deis.unibo.it/~lmarconi
DettagliEsercitazione 06: Sistemi interconnessi e funzioni di trasferimento
Esercitazione 06: Sistemi interconnessi e funzioni di trasferimento 20 aprile 2016 (3h) Alessandro Vittorio Papadopoulos alessandro.papadopoulos@polimi.it Fondamenti di Automatica Prof. M. Farina 1 Schema
DettagliLa circonferenza e la sua equazione
La circonferenza e la sua equazione 1. I termini Ricordiamo che la circonferenza è una linea chiusa del piano costituita da tutti e soli i punti che hanno una data distanza da un punto fissato. In altri
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliLa circonferenza nel piano cartesiano
La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione
DettagliScomposizione in fratti semplici
0.0.. Scomposizione in fratti semplici La determinazione dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario richiedono l antitrasformazione di una funzione razionale fratta
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliControlli Automatici: Raccolta di Prove Scritte con Soluzione. Elena Zattoni
Controlli Automatici: Raccolta di Prove Scritte con Soluzione Elena Zattoni Premessa Questo volumetto è rivolto agli Studenti dei corsi di Controlli Automatici e raccoglie una serie di prove scritte con
Dettagli