IL PROGETTO DI TRAVI IN C.A.P. IPERSTATICHE

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1 7 I PROGETTO DI TRAVI I C.A.P. IPERSTATICHE 7.1 Il sistema equivalente alla precompressione a valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi in c.a.p. può essere condotta, in alternativa all applicazione diretta della formula di avier per la pressoflessione, utilizzando il concetto di sistema equivalente alla precompressione. Quest ultimo costituisce un sistema di forze staticamente equivalenti alla precompressione che dipende solamente dalla geometria del cavo e dallo sforzo normale. In particolare detto R il raggio di curvatura locale del cavo, la presenza di una trazione in esso genera come noto una pressione p n e una componente tangenziale p t : p t f c R p n R dove f c è il coefficiente d attrito cavo-guaina.

2 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Figura 7.1 Forze agenti sul cavo Figura 7. Sistema di forze sulla trave in c.a.p. Di conseguenza le reazioni che il cavo applica alla trave in calcestruzzo sono costituite da una coppia di forze orizzontali n e verticali V nelle testate e un sistema di forze distribuite verticali p y orientate verso l alto e orizzontali p x agenti lungo l asse della trave. Esse hanno l espressione seguente: Forze in testata n cos V sin 0 0 Forze distribuite p ( ) p cos p y p ( ) p x n t cos p t n sin sin ormalmente si trascurano le componenti verticali delle forze distribuite in quanto l angolo 0 è considerato piccolo, sicché il sistema di forze equivalenti diviene: Forze in testata n V 0 Forze distribuite p y R p 0 x a legge di variazione di p y dipende dalla legge di variazione del raggio di curvatura locale R e dall andamento dello sforzo normale. Trascurando le perdite d attrito lungo il cavo si ha che =cost e conseguentemente p y dipenderebbe solamente dalla

3 forma del cavo. el caso generale, varia con la seguente legge, dove f c è il coefficiente d attrito guaina-cavo : c e f 0 a precedente espressione si può approssimare in genere con una curva del secondo ordine, sicché la legge di variazione di p y dipenderebbe sia dall entità dell attrito e dalla forma del cavo (R). ormalmente però l andamento del cavo viene considerato di forma quadratica e dunque con curvatura R costante; in tal caso p y dipende solamente dall andamento di. Utilizzando come sistema di riferimento quello con origine nella mezzeria del cavo e con asse x tangente al cavo in quel punto, l equazione del cavo è la seguente. 4 f 1 8 f 8 f y x y' ' p y R ella precedente f è la freccia della parabola mentre è la lunghezza totale della trave. Trascurando le perdite d attrito, il carico distribuito avrà ovviamente un andamento costante e il sistema equivalente sarà quindi costituito da forze di estremità e da un carico verticale diretto verso l alto, uniformemente ripartito, come illustrato nella figura 7.3. el caso in cui il cavo subisca anche una brusca variazione della tangente in un punto (cuspide), detto l angolo che le tangenti alla cuspide formano tra loro, per l equilibrio il conglomerato dovrà esercitare sul cavo una forza concentrata F pari a sin (/). Ciò si ottiene isolando la porzione di cavo nell intorno della cuspide e applicano l equilibrio lungo l asse verticale dove agiscono le componenti verticali dello sforzo normale pari a ognuna a sin(/). a figura 7.4 mostra il sistema equivalente alla precompressione in presenza discontinuità del cavo. 3

4 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Figura 7.3 Sistema equivalente alla precompressione (SEP) sin/ Figura 7.4 Sistema equivalente alla precompressione di una trave appoggiata con cavo rettilineo inclinato

5 Esempio 7.1: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura con sezione di area A e modulo di resistenza a flessione relativo alla fibra inferiore W i. Il cavo è disposto linearmente con eccentricità costante e. Si calcoli la tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria della trave utilizzando sia la formula di avier sia il metodo del sistema equivalente alla precompressione. Per il calcolo delle tensioni si può, come noto, utilizzare l equazione di avier: e i A W i In alternativa è possibile applicare il metodo del sistema equivalente alla precompressione. A tale scopo è necessario valutare il sistema di forze equivalenti alla precompressione e le relative caratteristiche della sollecitazione per ogni sezione. ote le caratteristiche della sollecitazione si può determinare la tensione utilizzando di nuovo la formula di avier. Poiché il cavo è rettilineo, non è presente alcun carico distribuito, mentre sono presenti solo forze di estremità. ella generica sezione agiranno quindi lo sforzo di precompressione e il momento di trasporto M=e (Fig. 7.5). Sicché la tensione al lembo inferiore vale: i A M W i e A W i Tale risultato è del tutto equivalente a quello ottenuto prima con l applicazione diretta dell equazione di avier. Ciò dimostra come i due approcci siano alternativi. 5

6 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Figura 7.5 Confronto tra le soluzioni ottenute con la formula di avier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo orizzontale eccentrico Esempio 7.: Si consideri una trave con sezione rettangolare di area A e modulo di resistenza inferiore W i (armatura trascurata), con lunghezza =5m e altezza della sezione h=1.30m. Il cavo è disposto con eccentricità variabile parabolicamente con freccia massima f=1m e con copriferro minimo d=10 cm. Si calcoli la tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria della trave. A tale scopo si utilizzi sia la formula di avier che il metodo del sistema equivalente. utilizzo diretto della formula di avier per il calcolo dello stato tensionale nella fibra inferiore della sezione di mezzeria presuppone la conoscenza, oltre che dello sforzo normale, anche del momento in mezzeria. Quest ultimo si può calcolare, una volta nota l eccentricità del cavo nella sezione stessa. Essendo in mezzeria il copriferro d=10 cm e l altezza della sezione h=1.30 m, l eccentricità risulta essere la seguente: e=1.3/ 0.1 = 0.55 cm a tensione nella fibra inferiore varrà quindi: i A W i

7 Il sistema equivalente alla precompressione della trave analizzata è costituito da un carico uniformemente ripartito di intensità pari a: 8 f 8 1 p y e da due forze orizzontali di intensità applicate alle estremità della trave con eccentricità e=0.45 m. E presente in realtà anche una forza verticale 0, la quale, però, agendo direttamente sul vincolo non produce alcuna sollecitazione nella trave. Di conseguenza le sollecitazioni in mezzeria dovute al sistema equivalente alla precompressione sono : M p y o stato tensionale risulta quindi quello già valutato mediante l applicazione diretta della formula di avier. Figura 7.6 Confronto tra le soluzioni ottenute con la formula di avier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo parabolico 7

8 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p 7. Il calcolo delle reazioni iperstatiche dovute alla precompressione el caso di strutture iperstatiche il sistema equivalente alla precompressione mostra tutte le sue potenzialità. Una volta individuato, esso permette di trattare la precompressione come una serie di carichi distribuiti e concentrati al pari dei carichi esterni, potendo così applicare i classici metodi della scienza delle costruzioni per risolvere il sistema. Occorre però osservare che in un sistema iperstatico la presenza di uno stato di coazione (sistema a risultante nulla), come ad esempio la precompressione, da luogo, in generale, a reazioni iperstatiche. Ciò significa che il momento in ogni sezione dovuto alla precompressione non è semplicemente dato, al contrario delle travi isostatiche, dal prodotto tra lo sforzo di precompressione e l eccentricità del cavo risultante ( M 1 =e), ma al contrario occorre determinare il momento flettente dovuto all iperstaticità che indicheremo in seguito con il termine M, da sommare al termine (e), per trovare il momento flettente globale M 3 =M 1 + M e M y A J J M1 M y A J y A M J 3 y Esempio 7.3: Con riferimento alla trave incastro-appoggio dotata di cavo di precompressione rettilineo con eccentricità costante e, si calcoli la reazione nell appoggio. Il diagramma dei momenti dovuto alla precompressione è variabile linearmente, al contrario della mensola incastrata che per lo stesso andamento del cavo presenterebbe un momento costante. Ciò è dovuto alla presenza della reazione iperstatica indicata in figura con la lettera Y s

9 Figura 7.7 Sistema equivalente alla precompressione in una trave incastro-appoggio in presenza di cavo ad andamento rettilineo Essa può essere così calcolata. Si individua il sistema equivalente alla precompressione, identificato in tal caso da uno sforzo normale centrato e da un momento e. Utilizzando ad esempio il metodo delle forze si può calcolare la reazione iperstatica utilizzando come sistema principale la mensola incastrata. Con riferimento all asse x indicato in figura con origine nell appoggio il momento dovuto al sistema equivalente alla precompressione ha l espressione seguente: M p (x) = e Il momento dovuto alla reazione iperstatica considerata ad intensità unitaria vale: M (x) = x Imponendo la congruenza nell appoggio, ossia imponendo che lo spostamento dovuto ai due momenti prima calcolati sia nullo si ha: 0 0 M ( x ) p EJ M' ( x )dx e xdx Y EJ s 0 Y x EJ s 0 M' ( x ) EJ M' ( x )dx e xdx Y EJ s 0 3 3EJ 0 9

10 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Dalla precedente è possibile infine calcolare la reazione iperstatica Y s, e il momento flettente Y s 3 e M ( x) e 3 e x e1 3 x Esempio 7.4: Un caso diffuso di strutture precompresse è quello di travi continue con cavo ad andamento parabolico. Si consideri ad esempio la trave di figura 7.8 dove il cavo presenta eccentricità e 1 in campata ed eccentricità e in appoggio t e1 D 1 e e1 1 1 A 8f 1 / B 8f 1 / C t e 8f 8f 1 / e Figura 7.8 trave continua con cavo ad andamento parabolico Il sistema equivalente alla precompressione alla precompressione è costituito da carichi distribuiti, due in campata diretti verso il basso e uno diretto verso l alto in appoggio, oltre lo sforzo normale centrato e il momento e applicati ad entrambi gli appoggi terminali della trave. I carichi distribuiti prima richiamati sono funzione delle frecce dei singoli tratti di cavo ricavabili come segue. Ad esempio dette e A, e 1, e D rispettivamente l eccentricità del cavo in corrispondenza dell appoggio A, del punto di flesso del cavo (1) e della mezzeria (punto D), la freccia nel punto D ha l espressione seguente: e A e 1 f 1 e D Analogamente la freccia del tratto di cavo a cavallo dell appoggio vale:

11 f e B e 1 I carichi equivalenti distribuiti assumeranno quindi i valori q 1 8 f 1 1 q 8 f dove 1 ed sono le lunghezze dei tratti di cavo considerati. Considerando per semplicità, le seguenti condizioni di carico distribuito, del tutto equivalenti ai carichi distribuiti indicati in figura 7.8, la soluzione è immediata, una volta note le soluzioni in forma chiusa dei singoli casi analizzati: a b Figura 7.9 Sistema equivalente alla precompressione della trave continua Considerando lo schema di carico (1), poiché il sistema è simmetrico, il momento nell appoggio centrale B e la reazione nell appoggio A valgono, come noto (la trave può essere considerata come incastrata nell appoggio B): M B 1 8 p 1 3 R A p

12 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Sicché l espressione del momento è semplicemente: 3 1 M a ( x) p1 x p1x 8 dove x è l ascissa contata a partire dall appoggio in A. MD MB Figura 7.10 Momento flettente dovuto al carico uniformemente distribuito diretto verso l alto. a condizione di carico () produce invece un momento lineare dall appoggio al carico e un momento parabolico fino all incastro: M x) R RAx x a x p b ( A 0 x a a x dove R A è la reazione nell appoggio A che vale p1( a) 3 a R A 8 3 a è il tratto della trave scarico (Fig. 7.9). Il momento totale è data dalla somma dei momenti M a (x) ed M b (x). Per come disposto il cavo, il diagramma dei momenti assumerà la forma seguente, la quale presenta una discontinuità nella derivata nel punto di flesso del cavo di precompressione:

13 MD MB Figura 7.10 Momento flettente dovuto alla somma delle tre condizioni di carico Tale momento rappresenta il momento M 3 comprensivo degli effetti dovuti all eccentricità del cavo (M 1 ) e all iperstaticità del sistema (M ). Per il calcolo delle strutture precompresse è ovviamente possibile utilizzare programmi agli elementi finiti come SAP000 od altri che trattano generalmente il cavo come parabolico e calcolano le sollecitazioni dovute alla precompressione con l ausilio del sistema equivalente alla precompressione. Infatti una volta definita la geometria del cavo, ogni elemento finito ha possiede un sistema di forze esterno equivalente alla precompressione che tratta al pari degli altri carichi. I carichi concentrati alle estremità vengono ovviamente trattati come carichi di elemento e non come carichi nodali. 13

14 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p 7.3 a linea delle pressioni e il progetto dell andamento del cavo el paragrafo precedente si è dimostrato che in presenza di elementi iperstatici precompressi il momento dovuto alla precompressione in ogni sezione non è purtroppo, come per i sistemi isostatici, coincidente con il prodotto dello sforzo normale per l eccentricità e (M 1 =e). iperstaticità del sistema introduce un momento secondario (M ) che sposta il centro (linea) delle pressioni (CP), dando luogo ad momento risultante M 3, somma di M 1 ed M. Il rapporto M 3 / individua la così detta linea delle pressioni o luogo dei centri di pressione e rappresenta la distanza dei centri di pressione rispetto al baricentro. Si consideri ad esempio al trave continua illustrata nella figura seguente. Scegliendo come sistema principale la trave appoggiata ottenuta dalla trave continua sopprimendo l appoggio intermedio, e quindi avendo come reazione iperstatica la reazione R, il momento secondario ha un andamento lineare, e il CP si sposta verso l alto (linea tratteggiata) di e =M /. Figura 7.11 inee delle pressioni e momento primario (M 1) e secondario (M ) Per la verifica o il progetto di strutture iperstatiche precompresse è quindi necessario risolvere il sistema iperstatico in maniera tale da

15 poter valutare la posizione dei centri di pressione lungo la trave e il conseguente stato tensionale. A tale scopo un metodo utile per determinare la linea delle pressioni è far ricorso al sistema equivalente alla precompressione, come già ampiamente trattato nel paragrafo precedente. Considerando la trave continua dell esempio xxx, il sistema equivalente alla precompressione è quello indicato in Figura 9.8. e reazioni verticali agli appoggi di estremità e intermedi sono assorbite dagli appoggi stessi e non provocano sollecitazioni nella trave. e reazioni nell appoggio intermedio contrastano invece la reazione iperstatica. Infine il carico distribuito equivalente alla precompressione è l unico in grado di contrastare i carichi esterni. oto il momento flettente risultante M 3 si conosce la posizione dei centri di pressione lungo la trave e lo stato tensionale corrispondente sezione per sezione. Figura 7.1 SEP relativo alla trave continua di figura 7.11 E interessante notare che per trasformazioni lineari 1 il centro delle pressioni dovuto alla sola precompressione non subisce variazioni. Ciò è dovuto al fatto che in presenza di angoli piccoli il carico distribuito equivalente alla precompressione dipende 1 Per trasformazione lineare si intende una rotazione rigida del cavo intorno al punto di ancoraggio del cavo stesso in testata. 15

16 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p esclusivamente dalla freccia del cavo, la quale appunto per trasformazioni lineari, rimane inalterata assieme alla posizione del centro di pressione. Esempio 7.5: si consideri la trave dell esempio 7.7, e si calcoli la reazione all appoggio per il cavo inclinato rispetto all orizzontale di un angolo. Figura 7.13 SEP di una trave incastro-appoggio con cavo rettilineo inclinato di un angolo Essendo ora il cavo ruotato intorno all estremo appoggiato di una quantità, nasce ancora una reazione iperstatica Y s che viene però ridotta di una quantità pari alla componente verticale dello sforzo di precompressione V=tan(). Essendo inoltre il cavo rettilineo e quindi a freccia nulla, non sussiste alcun carico verticale distribuito. Osservazione: Applicando trasformazioni lineari risultante è possibile progettare un tracciato del cavo che eviti la formazione di reazioni iperstatiche, senza peraltro alterare il sistema equivalente. Una tale disposizione del cavo viene denominata Cavo Concordante.

17 Figura 7.14 Posizione del cavo concordante per la trave di figura 7.13 el caso dell esercizio 7.5, la reazione iperstatica Y s -V può essere annullata a patto di applicare una particolare trasformazione lineare ovvero scegliere l angolo della d inclinazione del cavo in maniera che si annulli la reazione iperstatica Y s, e il sistema equivalente sia ancora costituito da una forza di compressione e un momento M=e. Poiché dall esercizio 7.5 è risultato che Y s =3/e/, per annullare quest ultima basta imporre la condizione seguente: 3 e 0 Dalla quale si evince che affinché il cavo sia concordante deve avere l inclinazione seguente: 3 e Esempio 7.6: determinare il cavo concordante della trave continua a due campate illustrata in figura dove il cavo in entrambe le testate e nell appoggio centrale passa per il baricentro della sezione e possiede in mezzeria una freccia f=34. cm. 17

18 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p R Si procede risolvendo la struttura utilizzando il metodo delle forze. Il sistema principale adottato è una trave semplicemente appoggiata ottenuta dalla trave continua sopprimendo l appoggio centrale. a reazione (iperstatica) R dovuta ad un carico uniformemente distribuito p vale, come noto, R=1.5p. Tenendo conto dell espressione del carico distribuito equivalente alla precompressione e che nell appoggio intermedio la reazione equivalente alla precompressione vale, si ha che per annullare R utilizzando il cavo di precompressione si deve rispettare la relazione seguente: 8f f R 1.5 p f 5 f Utilizzando il sistema di riferimento x,y indicato in figura per descrivere la geometria del cavo, ne discende che partendo da una posizione del cavo orizzontale, per annullare R esso dovrà essere inclinato dell angolo f Infatti l angolo d inclinazione del cavo rispetto alla corda vale 4f/ mentre l angolo necessario per annullare la reazione iperstatica vale.

19 el caso dell esempio = e quindi l eccentricità del cavo nell appoggio varrà e' cm 34. cm f 4f/ Figura 7.15 angolo di inclinazione a disposizione del cavo concordante è in definitiva quella indicata nella seguente figura dove in mezzeria l eccentricità del cavo, prima pari a 34. cm ora si è ridotta di 17.1 cm. Infatti il cavo in mezzeria ad opera della trasformazione lineare si è sollevato di /= 17.1 cm, ed essendo la freccia costante e pari a 34. cm, l eccentricità residua risulta pari a e= =17.1 cm Figura 7.16 Disposizione del cavo concordante Da quanto esposto in precedenza ne discende che per strutture iperstatiche un metodo per progettare l andamento del cavo potrebbe essere quello di scegliere l andamento dei centri di pressione in maniera tale da contrastare opportunamente il carico esterno e trovare successivamente la posizione del cavo concordante, cioè quel cavo che annulla la reazione iperstatica. 19

20 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Ad esempio, nel caso della trave continua illustrata precedentemente, noto e detto p il valore del carico distribuito equivalente e p 0 il carico distribuito esterno, la linea delle pressioni può essere scelta imponendo che il carico esterno sia pari al carico distribuito equivalente alla precompressione: ota la freccia f del cavo e fissati i punti di passaggio del cavo nelle testate della trave è possibile calcolare il momento M 3 e quindi il luogo dei centri di pressione. Successivamente si può ruotare il cavo affinché nell appoggio intermedio sia nulla la reazione iperstatica R, seguendo il procedimento prima illustrato. Il metodo appena illustrato prende spunto dal metodo detto della compensazione dei carichi esterni che fu proposto da in nel 1963 [in, 1963] Per travi a geometria più complessa come le travi continua su più appoggi la ricerca del cavo concordante può non essere attuabile in quanto esistono termini di accoppiamento tra le reazioni iperstatiche che le rendono interdipendenti. A meno di casi particolari, ciò impedisce evidentemente l esistenza di un cavo concordante.