+ l 35 l 60 l. U 1 + v p 35 + v 2 2 p 35

Transcript

1 Esercizio n. 1 n 35-enne stipua una poizza per assicurare, tra 25 anni, e 100: a se stesso, se sara vivo (E 1 ), e e 200:000 00, a coniuge superstite, in caso di premorienza sua o dea mogie (E 2 ) che ora ha 30 anni. Caratterizzati i due eventi, scrivere e espressioni che, in reazione aa assicurazione di cui sopra, permettono di cacoare quanto segue: 1.a) 'importo de premio unico puro 1.b) 'importo P di ciascuno dei tre premi annui, di cui i primo da pagarsi aa stipuazione dea poizza 1.c) a riserva matematica dopo 10 anni daa stipuazione de contratto nei vari casi. NB. Si utiizzino i simboo v (1 + i) 1 di attuaizzazione composta e, prima, e probabiita di vita t p x e di morte t q x e, poi, a funzione di sopravvivenza x : Risouzione esercizio n. 1 E 1 e un evento eementare E 2 M V e F M oppure M M e F V 1.a) I premio unico puro : 100: v p : v 25 ( 25 p q q p 30 ) 100: v : v b) i premio puro, annuo, P : P (1 + v p 35 + v 2 2 p 35 )! P 1.c) a riserva 10 V 3035 : vivo viva 1 + v p 35 + v 2 2 p v 36 + v : v p : v 15 ( 15 p q q p 40 ) 100: v : v morto viva : v p : v vivo morta : v p : v 15 15p : v morto morta :

2 Esercizio n. 2 n 40-enne stipua un contratto di assicurazione che prevede, tra 25 anni, a riscossione dei seguenti capitai: e 30: a se stesso, se sara vivo (E 1 ) e : aa mogie, che ora ha 35 anni, se sara viva (E 2 ) e 100: (a coniuge superstite) se sara vivo uno soo dei due (E 3 ). Caratterizzati i tre eventi, scrivere e espressioni che, in reazione aa assicurazione di cui sopra, permettono di cacoare quanto segue: 2.a) 'importo de premio unico puro pagato da 40-enne aa stipuazione de contratto 2.b) 'importo di ciascuno dei 3 premi periodici biennai, puri, concordati da 40-enne, i primo dei quai pagato aa stipuazione de contratto 2.c) a riserva matematica, nei diversi casi, dopo 3 anni daa stipuazione de contratto. NB Si utiizzino, prima, i simboi t p x t q x v (1 + i) 1 che caratterizzano, rispettivamente, e probabiita di vita, di morte e i fattore di attuaizzazione composto, e, poi, a funzione di sopravvivenza x : Risouzione esercizio n. 2 E 1 ed E 2 sono eventi eementari E 3 M V e F M oppure M M e F V 2.a) 30:000 v p 40 + :000 v p :000v 25 ( 25 p q q p 35 ) 30:000v :000 v :000v b) P (1 + v 2 2 p 40 + v 4 4 p 40 )! P 1 + v 2 2 p 40 + v 4 4 p v v c) vivo viva 3V :000 v p 43 + :000 v p :000 v 22 ( 22 p q q p 38 ) P v p 43 30:000 v :000 v :000 v vivo morta 3V :000 v p :000 v p 43 P v p 43 P v :000 v p 43 P v p :000 v P v morto viva 3V4035 :000 v p :000 v p 38 1:000 v p 38 morto morta 3V : 1:000 v 22 38

3 Esercizio n.3 n 35-enne stipua un contratto di assicurazione che prevede, tra 20 anni, 'esigibiita dei seguenti capitai: e 15: se sia ui che a mogie di 30 anni, saranno vivi (E 1 ) e 20: se sara vivo uno soo dei due (E 2 ). In reazione a tae poizza, caratterizzati i due eventi, scrivere e espressioni che forniscono quanto segue: 3.a) 'importo de premio unico puro 3.b) 'importo P di ciascuno dei premi periodici, annui, pagabii per 3 anni, se vivo, i primo dei quai aa stipuazione de contratto 3.c) a riserva matematica, nei diversi casi, dopo 10 anni daa stipuazione de contratto, ne'ipotesi sia pagato i premio unico. NB. Si utiizzino i simboo v (1 + i) 1 di attuaizzazione composta a tasso i annuo, e, prima, e probabiita di vita t p x e di morte t q x e, poi, a funzione di sopravvivenza x : Risouzione esercizio n. 3 E 1 M V e F V E 3 M V e F M oppure M M e F V 3.a) 15:000 v p p :000 v 20 ( 20 p q q p 30 ) 15:000 00v :000 00v b) P (1 + v 1 p 35 + v 2 2 p 35 )! P 1 + v 1 p 35 + v 2 2 p v 36 + v c) vivo viva :000 v p p :000 v 10 ( 10 p q q p 40 ) 15:000 00v :000 00v morto viva :000 v p 40 20:000 00v 10 vivo morta :000 v p 45 20:000 00v morto morta : Esercizio n. 4 n 27-enne stipua una poizza che prevede, tra 30 anni, a riscossione dei seguenti capitai: un capitae di e 80: se ui e a mogie, attuamente 25-enne, saranno vivi (E 1 ) un capitae di e 50:000 00, in caso di sua premorienza (E 2 ) un capitae di e :000 00, se a mogie sara viva (E 3 ). Caratterizzati i tre eventi, scrivere 'espressione che consente di cacoare quanto segue: 4.a) 'importo de premio unico puro 4.b) 'importo P di ciascuno dei 3 premi puri, triennai, costanti, i primo dei quai pagato aa stipuazione de contratto 4.c) 'importo C de premio unico caricato, ne'ipotesi che i caricamento sia pari a 20% de premio puro 4.d) a riserva matematica dopo 10 anni daa stipuazione dea poizza nei diversi casi. NB. Si utiizzino i simboo v (1 + i) 1 di attuaizzazione composta a tasso i annuo, e, prima, e probabiita di vita t p x e di morte t q x e, poi, a funzione di sopravvivenza x :

4 Risouzione esercizio n. 4 E 1 M V e F V E 2 ed E 3 sono eventi eementari 4.a) I premio unico puro : 80:000 v p p :000 v q 27 + :000 v p 25 80:000 v :000 v :000 v b) i premio puro, triennae, P : P (1 + v 3 3 p 27 + v 6 6 p 27 )! P 1 + v 3 3 p 27 + v 4 6 p v v c) I premio unico caricato C : C d) a riserva 10 V : vivo viva :000 v p p :000 v q 37 + :000 v p 35 vivo morta 80:000 v :000 v :000 v :000 v q 37 50:000 v morto viva :000 v 20 + :000 v p 35 50:000 v 20 + :000 v morto morta :000 v 20 : Esercizio n. 5 n 32-enne puo stipuare e seguenti poizze per assicurare agi eredi una somma S aa ne de'anno dea morte, nei seguenti casi: 5a) muore a anni (E 1 ) 5b) muore entro i anni (E 2 ) 5c) muore dopo i anni (E 3 ) 5d) muore dopo i 50 anni ed entro i 20 anni successivi (E 4 ). Caratterizzati i quattro eventi, utiizzando i simboi di commutazione scrivere, in ciascun caso, 'espressione che fornisce i reativo premio unico puro. Risouzione esercizio n. 5 E 1 muore tra i e i 61 anni E 2 muore tra i 32 anni e i anni E 3 compie i anni e muore tra i e 'eta estrema E 4 compie i 50 anni e muore tra i 50 anni e i 70 anni 5a) S C 5b) S M 32 M 5c) S M 5d) S M 50 M 70.

5 Esercizio n.6 n 38-enne assicura agi eredi un capitae di e 100: con pagamento a'atto dea morte, se questa avverra entro i anni di eta (E 1 ), e a se stesso una pensione di rata e 10: annua, anticipata, dai anni in poi (E 2 ). Paga 20 premi annui, anticipati, i primi 10 di importo doppio dei successivi. In reazione aa poizza di cui sopra, caratterizzati i due eventi, utiizzando i simboi di commutazione e de montante composto u 1+i scrivere 'espressione che permette di ottenere quanto sotto indicato: 6.a) i premio unico puro 6.b) 'ammontare di ciascuno dei premi annui puri 6.c) a riserva matematica, dopo 5 anni, e poi dopo 15 anni, ne'ipotesi siano pagati i premi periodici di cui sopra. Risouzione esercizio n. 6 E 1 muore tra i 38 anni e i anni E 2 E h vivo 'anno h esimo, con h! 1 6.a) 100:000 M 38 M D 38 u :000 N D 38 6.b) 2P N 38 N 48 + P N 48 N 58! P 100:000 (M 38 M ) u :000N D 38 D 38 2 (N 38 N 48 ) + (N 48 N 58 ) 6.c) 5V vivo :000 M 43 M 5V morto V vivo :000 M 53 M 15V morto 38 0 : u :000 N 2P N 43 N 48 P N 48 N 58 D 43 D 43 D 43 D 43 u :000 N P N 53 N 58 D 53 D 53 D 53 Esercizio n. 7 n 45-enne stipua una assicurazione mista sempice, con scadenza tra 20 anni, che prevede un capitae di e :000 00, con pagamento de capitae, ne caso di sua morte, a'atto dea morte. In reazione aa poizza di cui sopra, utiizzando i simboi di commutazione e de montante composto u 1 + i scrivere 'espressione che permette di ottenere quanto sotto indicato: 7.a) i premio unico puro 7.b) 'ammontare di ciascuno dei premi annui puri pagabii per 10 anni, i primo, di importo P aa stipuazione de contratto, sapendo che i primi 5 premi sono doppi dei successivi 7.c) a riserva matematica nei diversi casi, dopo 3 anni, ne'ipotesi siano pagati i premi periodici di cui sopra. Risouzione esercizio n. 7 D65 7.a) :000 + M 45 M 65 u 05 D 45 D 45 7.b) P N 45 N 50 + P N 50 N 55! D 45 2 D 45 2D 45 P 2 :000 [D 65 + (M 45 M 65 ) u 05 ] 2N 45 N 50 N 55 2N 45 N 50 N 55 7.c) 3V45 vivo D65 :000 3V morto 45 0 : + M 48 M 65 u 05 P N 48 N 50 P 2 N 50 N 55

6 Esercizio n. 8 n 30-enne assicura, fra 30 anni, un capitae di importo pari a e 100: a se stesso, se sara vivo, e a stessa somma, agi eredi, in caso di sua premorienza 8.a) scrivere 'espressione che permette di cacoare i premio unico puro. Dopo 20 anni daa stipuazione dea poizza decide di interrompere i contratto e a Compagnia assicuratrice gi paga '80% dea riserva matematica 20 V 30 maturata a que'epoca 8.b1) scrivere 'espressione che permette di cacoare a riserva matematica 20 V 30 8.b2) scrivere 'espressione che permette di cacoare a somma S riscossa. La somma S riscossa viene investita ricevendo un rimborso pari a 1S dopo un anno, e, a sado, 7 S 2 10 dopo due anni 8.c) cacoare i T IR annuo composto, de'investimento. NB. Si utiizzino i simboo v (1 + i) 1 di attuaizzazione composta e, prima, e probabiita di vita t p x e di morte t q x e, poi, a funzione di sopravvivenza (x): Risouzione esercizio n. 8 8.a) L'espressione che permette di cacoare i premio unico puro: 100:000 00v 30 ( 30 p q 30 ) 100:000 00v b1) 'espressione che permette di cacoare a riserva matematica 20 V 30 : 20V :000 00v 10 ( 10 p q 50 ) 100:000 00v b2) 'espressione che permette di cacoare a somma S riscossa: S V 30 80:000 00v 10 ( 10 p q 50 ) 80:000 00v c) i T IR de'investimento, v (1 + i) 1 : S 1 2 S v S v2! 7v 2 + 5v 10 0! v i ' 12 32% annuo composto. Esercizio n. 9 n 25-enne ha assicurato un capitae di e 50: agi eredi, in caso di sua morte dopo i 50 anni, e una pensione di rata annua pari a e 5.000,00, dai 55 anni in poi ha stabiito di pagare 15 premi, annui, di importo costante, i primo dei quai a'atto dea stipuazione. Dopo 10 anni decide di recedere da contratto e a Compagnia gi paga una somma S pari a 70% dea riserva matematica. In reazione a tae poizza scrivere 'espressione che consente di cacoare quanto segue: 9.a) 'importo de premio unico puro 9.b) 'importo P di ciascuno dei premi puri annui, e 'importo T di quei di taria (caricamento de 15% di quei puri) 9.c) 'importo S iquidato 9.d) i tasso i, in regime di capitaizzazione composta, a cui e stata eettuata 'intera operazione. NB. Si utiizzino i simboi di commutazione.

7 Risouzione esercizio n 9 9.a) i premio unico puro : 50: M 50 D : N 55 D 25 9.b) i premio annuo: P N 25 N 40 D 25! P 50:000 00M :000 00N 55 N 25 N 40! T 1 15P 9.c) a riserva 10 V 25 50: M 50 D : N 55 D 35 P N 35 N 40 D 35! S V 25 9.d) i tasso i : T :: s 10ei V 25! T s 10ei (1 + i) V 25 : Esercizio n. 10 Data a funzione (x) 100:000 1 x 4 con! > 0 e 0 x!! 4 10.a) studiare anaiticamente (x) ne'intervao indicato e tracciarne i graco. 10.b) Ne'ipotesi (x) rappresenti a funzione di sopravvivenza per una coettivita chiusa C di individui, caratterizzare e proprieta di tae coettivita. 10.c) Con! 105 in reazione a un individuo di 32 anni, appartenente aa coettivita C determinare quanto segue: 10.c1) a probabiita 10 p 32 di essere vivo dopo 10 anni 10.c2) a probabiita 10 q 32 di essere morto entro 10 anni Risouzione esercizio n a) Si ha (0) 100:000 e (!) 0 4x 3 0 (x) 100:000 < 0 con, x > 0! 4 12x 2 00 (x) 100:000 < 0 con, x > 0! 4 10.b) a funzione (x) caratterizza una coettivita chiusa C di individui, che si estingue in senso forte 10.c1) a probabiita 10 p 32 di essere vivo dopo 10 anni: 10p 32 (42) 100:000 (32) : 100: c2) a probabiita 10 q 32 di essere morto entro 10 anni: 10q p :