Carichi critici aste compresse

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1 Carichi critici aste compresse I carico critico Eueriao si scrive come P E Dove è a ughezza ibera di ifessioe χ χ α Coefficiete adimesioae che rifette ifueza dei vicoi α è a più piccoa radice de equazioe che si ottiee poedo i determiate dea matrice dei coefficieti

2 Seezza Risuta coveiete cosiderare a tesioe otteuta dividedo per area dea sezioe trasversae σ P E E A A Eρ Dove i raggio di ierzia è I ρ A Seezza, adimesioae, Poiamo A λ esprime a geometria dea ρ χ I sezioe, ughezza trave, e codizioi di vicoo Si ha E σe λ

3 3

4 Ifueza dea deformabiità assiae su carico critico Se si cosidera a deformabiità assiae i carico critico cambia Per esempio e caso dea trave doppiamete icerierata P E PE ( + ) + P E EA EA P E λ i carico critico cresce rispetto a queo cacoato seza deformabiità assiae, ma i modo moto eto a crescere dea seezza ed i modo margiae per aste tozze Per esempio se λ3 (vaore attedibie per mote 4 travi) PE cresce soo de %

5 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico I ta caso, utiizziamo a ciematica dea trave deformabie a tagio di Timosheko -a rotazioe φ o coicide co v -Le variabii ciematiche soo o spostameto trasversae dea iea media v(x) e a rotazioe φ e equazioi di equiibrio e caso di soi carichi assiai si scrivoo come (A* è area ridotta a tagio) GA * ( v ( x) ϕ ( x) + GA ϕ ( x)) ( v ( x) Dove e equazioi costitutive soo * Pv ( x) ϕ( x)) M( x) ϕ'( x), T( x) GA* ( v'( x) ϕ( x)) Pv ( x) 5

6 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico Co riferimeto ai casi riportati i figura dove i tagio T(), dopo opportui passaggi si perviee aa seguete equazioe di equiibrio P ( ) α v x + α v ( x) P ( ) +codizioi a cotoro (LC III pag 6) GA* OSS: equazioe differeziae di equiibrio ha a stessa struttura de equazioe di equiibrio dea trave o deformabie a tagio duque i vaori di α per cui si perde uicità dea souzioe soo gi stessi ma cambia i vaore de carico critico i quato espressioe 6 di α i fuzioe di P è cambiata

7 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico Risovedo i probema agi autovaori associato a equazioe di equiibrio differeziae si ha che a prima radice sarà α tae che α χ(/) Risovedo per PE si ha i carico critico Poedo α P E + α GA β χ GA I carico critico si esprime come P E * * GA χ P, EF dove PEF χ + β + β * 7

8 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico Spesso si utiizza espressioe PEF PE PEF + GA* OSS: essa è vaida per i casi vicoati co V() Tuttavia possiamo dire che si tratta di ua codizioe verificata ache per asta icerierata 8

9 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico Si dimostra che essa è vaida ache e caso seguete Dove i tagio potrebbe esserci ma si aua i corrispodeza dea deformata critica Metre a formua precedete o vae e caso icastroappoggio 9

10 Ifueza dea deformabiità tagiate su carico critico I defiitiva si utiizza a formua i tutti i casi P E P EF + β Teedo coto che è approssimata, oppure si utiizza a defiizioe dea tesioe corrispodete E σ E λ λ + eq λ eq β Oss: Si osservi che PE <PEF

11 Aste vicoate easticamete Ne caso di vicoi cedevoi easticamete occorre cambiare e codizioi a cotoro per teer coto dea preseza dee moe Per esempio per a trave i figura e codizioi a cotoro soo v(), v ( ) + α v () v ( ), k v ( ) v( )

12 Aste vicoate easticamete I determiate dea matrice associata a probema agi autovaori reativo a cacoo dei carichi critici si aua per (( α ) β)si α dove β La più piccoa souzioe sigificativa è I carico critico corrispodete è P E β se se β β 3 k Rotazioe rigida k << α mi( k suff. eevato β, )

13 Aste vicoate easticamete Esistoo i etteratura mote souzioi per casi particoari Si segaa i particoare a souzioe di Newmark per i caso dea trave co ceriere eastiche P E χ Formua di Newmark (.4 + µ )(.4 + µ L ) χ co µ, µ L (. + µ )(. + µ ) K K L L Per ogi vaore di Ko e KL a formua di Newmark comporta u approssimazioe < 4% 3

14 Esempio co aste vicoate easticamete Cosideriamo i teaio i figura La trave può essere vista come ua moa fessioae di rigidezza 3t/ K L 3 t p Ip, µ L K 3I t L p t t p K, µ L χ (.4 + µ )(.4 + µ L ) co µ, µ L (. + µ )(. + µ ) K K L L 4

15 Esempio co aste vicoate easticamete Per t.6p, It4Ip, si ha µl.5 (.4)(.4 +.5) χ 3.43 PE 3.43 (.)(. +.5) p. 564 p χ p p 3. χ p5m, sezioe circoare cava, raggio medio R45mm, spessore b5mm p p.8m, λ 88.7 σe 58.6MPa, PE. 366MN Se a moa i sommità sparisce e rimae soo a ceriera i carico critico è P E. 38MN duque i 54% iferiore ao schema attuae 5

16 Aste di sezioe variabie o soggette a carichi distribuiti (pie da pote) Se esiste u carico assiae distribuito (forza peso) oppure a sezioe trasversae varia, aora a souzioe de probema agi autovaori geeraizzato associato aa vautazioe dei carichi critici si compica otevomete, poiché o sforzo assiae N dipede da x 6

17 Aste di sezioe variabie o soggette a carichi distribuiti (pie da pote) Cosideriamo dapprima i caso dea trave soggetta a carico assiae uiforme costate Lo sforzo ormae è x N ( x) ( ) L equazioe di equiibrio diveta v ( N v ) v ( N ) v N v x v ( ) v v + codizioi a cotoro v( ), v (), v ( ), v ( ) Risovedo i probema i carico critico è E

18 Aste di sezioe variabie o soggette a carichi distribuiti (pie da pote) Cosideriamo i caso dea pia da pote di sezioe variabie co ierzia espressa daa egge k x I( x) I k dove I è i mometo di ierzia a icastro e k è ua costate > Per ogi k di iteresse, si può determiare a più piccoa radice β de poiomio caratteristico de tipo β k p Cui corrispode i carico critico ea forma P E p E ( 4, dove pe + β k ) 4 8

19 Aste di sezioe variabie o soggette a carichi distribuiti (pie da pote) I risutati reativi ad acui vaore de rapporto I/I Soo idicati ea tabea sottostate Per k si ritrova pe /4 reativo a asta di sezioe costate 9

20 Trave su suoo eastico Cosideriamo i probema agi autovaori geeraizzato associato a probema dea stabiità de equiibrio e caso di strutture discrete o rese discrete mediate u procedimeto di discretizzazioe (e.g. eemeti fiiti, oppure atri metodi variazioai), dopo avere defiito i vettore V di gradi di ibertà K E V pk V G KE: matrice di rigidezza eastica ((semi-)defiita positiva) KG: matrice di rigidezza geometrica ((semi-)defiita positiva) p: motipicatore dei carichi

21 Trave su suoo eastico Ne caso dea trave su suoo eastico, ci si può ricodurre a probema agi autovaori geeraizzato ea forma K E V pk V approssimado i campo di spostameto mediate e autofuzioi N * x v A si G

22 Trave su suoo eastico Co riferimeto aa trave i figura, EPT a II ordie si scrive Sostituedo v* si ha dx kv Pv v v ) ( ) ( '' + Π N 4 + N k P A v 4 *) ( Π

23 Trave su suoo eastico I vaori di P che verificao a codizioe di stazioarietà dea EPT (e a corrispodete deformata v) per cui i corrispodete A può essere soo x A v k P si + Poiamo Si ha che x A v k P si + k P p 4 4, β p β + 3

24 Trave su suoo eastico p + β p P, β k 4 4 I tratto pieo idica i carico critico La spezzata a tratto pieo idica i miimo dei p quidi idica i carico critico; a crescere di b cresce i r. di semiode dea deformata critica Oss: aaogia trave su suoo eastico co astra compressa e piao.. 4

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