Considerazioni introduttive

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1 a linea elastica

2 onsiderazioni introduttie In un elemento strutturale deformabile in cui una dimensione è prealente rispetto alle altre due, è possibile determinare la configurazione secondo la uale uesto si deforma sotto l azione dei carichi esterni, utilizzando il metodo della linea elastica onsideriamo anzitutto il caso di una trae semplicemente appoggiata e caricata in mezzeria con una forza concentrata onfigurazione indeformata onfigurazione deformata asse longitudinale della struttura, inizialmente rettilineo, si deforma secondo una cura di andamento compatibile con le condizioni di incolo obiettio è sostanzialmente uello di determinare gli spostamenti di tutti i punti dell asse della struttura in modo da poter definire matematicamente la sua configurazione deformata e poterla rappresentare graficamente.

3 onenzioni adottate Si assume un sistema di riferimento centrato sull estremo di sinistra della struttura asse è allineato con l asse della struttura e diretto erso destra asse y è diretto erso il basso Si suppone che il piano y su cui agisce il carico sia piano di simmetria per la sezione In un generico punto distante dall origine, la freccia è definita come lo spostamento () subito dal punto in direzione y uando passa dalla configurazione indeformata a uella deformata Nel sistema di riferimento assunto, uno spostamento erso il basso rappresenta una freccia positia, mentre uno spostamento erso l alto rappresenta una freccia negatia

4 onenzioni adottate angolo di rotazione dell asse della struttura nel generico punto () dell asse è l angolo formato dall asse e la tangente alla cura (). Si assume che l angolo sia positio in senso orario. onsideriamo un secondo punto () posto a distanza d dal precedente: sull asse deformato i due punti sono a distanza ds (ascissa curilinea). Nel punto () si arà una freccia pari a d e una rotazione pari a d, aendo indicato con d e con d rispettiamente la ariazione della freccia e del angolo di rotazione nel passaggio dal punto () a uello () ome già isto nella trattazione della flessione, nel generico punto posto a distanza dall origine si possono definire: il centro di curatura (punto O ) uale intersezione delle normali alla deformata della struttura nei punti () e () e il raggio di curatura come distanza dei punti dal centro della curatura.

5 uratura Dalla figura osseriamo che: ds ρ ρ ds Quindi la curatura (inerso del raggio di curatura) si esprime come: Γ ρ ds he assume alore positio uando l angolo positia dell asse cresce muoendosi nella direzione

6 onenzioni adottate ossiamo inoltre osserare che la deriata della funzione incognita () è uguale alla tangente dell angolo di rotazione d d tan ϑ ϑ arctan d d

7 iccola curatura In molti casi pratici, i carichi applicati generano curature che sono molto piccole. Dunue, nell ipotesi che l angolo sia piccolo (e uindi cos ) si ha: ds d d cosϑ Allora l euazione della curatura Γ ρ ds Si può scriere come: Γ ρ d ipotesi di piccola curatura permette di scriere: d d tanϑ ϑ Da cui risulta: ϑ d d d d d uindi in definitia: Γ ρ d ϑ d d d

8 uazione della linea elastica M σ yda y da A Nel caso della flessione pura le deformazioni risultaano espresse dalla relazione: ε y Γy ρ Quindi similmente potremo scriere Inoltre, nell ipotesi che si abbia a che fare con materiali a comportamento lineare ed elastico, ale la legge di Hooke e uindi: ε Δl l y ρ y d σ ε y d onsiderando una sezione rettangolare di base b ed altezza h il momento flettente risultante nella sezione ale: M h h h b ydy h y b ydy d d h σ h b y dy d

9 uazione della linea elastica Dalla relazione M d Tenendo conto delle conenzioni di segno si ha: d M ( ) d essendo: Γ ρ d ϑ d d d Si ottiene infine l euazione differenziale d d M ( ) uazione della linea elastica he rappresenta l euazione della linea elastica. a soluzione () di uesta euazione differenziale è la cura nella uale si trasforma l asse della struttura sotto l azione dei carichi assegnati

10 onenzioni adottate (Bernasconi) positio da sinistra erso destra y positio dall alto erso il basso ϑ positio uando la rotazione è oraria misurata dall asse M positio uando le fibre tese sono sotto /ρ positia uando la concaità è erso basso

11 uazione della linea elastica Se si inerte il erso dell asse y, o uello del momento, possiamo scriere d d M ( ) Il termine al denominatore () prende il nome di rigidezza flessionale. In generale tratteremo la rigidezza come costante ma ATTNZION: uando si studiano strutture a geometria (sezione) ariabile, la rigidezza flessionale dee essere espressa in funzione della distanza dall origine (), poichè essa aria con il momento di inerzia. Nel caso di sezioni prismatiche, uesto termine resta costante È da tenere presente che l euazione della linea elastica, per il modo in cui è stata ricaata, è alida solo per piccole curature e materiali a comportamento lineare elastico. euazione è stata ricaata considerando solo la deformazione douta al momento flettente e trascurando uella douta al taglio, come si può assumere in molti casi pratici

12 alcolo delle rotazioni Attraerso una doppia integrazione dell euazione della linea elastica d d M ( ) è possibile determinare la funzione () che esprime la configurazione deformata della struttura caratterizzata da rigidezza flessionale e sottoposta al momento flettente M() Moltiplicando entrambi i membri per e integrando si ha: d d d d M ( ) d M ( ) d M ( ) d d d d tanϑ ϑ( ) d Ricordando che ϑ( ) M ( ) d (ipotesi piccola curatura) ϑ( ) M ( ) d Da uesta euazione si può ricaare la rotazione () in ogni punto della trae

13 alcolo degli spostamenti Integrando una seconda olta l euazione d d d ( M ( ) d d d M ) d d si ottiene: ( ) M ( ) d e costanti di integrazione e sono determinate dalle condizioni al contorno, ossia dalle condizioni imposte dai incoli in termini di spostamenti e rotazioni Determinate le due costanti, il termine a sinistra rappresenta (a meno della rigidezza flessionale) lo spostamento della trae in ogni punto di coordinata

14 sempio : mensola A B a trae AB ha sezione uniforme ed è soggetta ad una forza concentrata applicata all estremo libero. Si ricaino: a) euazione della linea elastica b) o spostamento nel punto B c) a rotazione nel punto B d d euazione del momento M ( ) (fissata l origine del sistema di riferimento all incastro) è: M( ) ( ) d d ( ) le condizioni al contorno sono: (spostamenti e rotazioni nulle all incastro) () ϑ () d d d d Moltiplicando per si ha: ( ) d d d d d e integrando una prima olta si ottiene: d

15 d d d d Sostituendo uesti alori e risolendo per, si ha: d d che, integrata una seconda olta fornisce: 6 er,, uindi: 6 Osseriamo che nell estremità incastrata (), si ha: sempio : mensola d d ϑ e uindi:

16 Quindi l euazione della linea elastica risulta essere: o spostamento e la rotazione nell estremo libero B si ottengono ponendo, uindi: B ) ( sempio : mensola 6 6 ) ( d d B ) ( ϑ

17 sempio : carico distribuito a trae prismatica semplicemente appoggiata in figura, sopporta un carico uniformemente ripartito per tutta la sua lunghezza. Determinare: a) euazione della linea elastica b) Il massimo spostamento della trae A B M d d ) ( Il momento flettente aria con legge parabolica ) ( M d d Sostituendo nell euazione generale si ha: Integrando una prima olta si ha: 6 d d d d

18 sempio : carico distribuito si ottiene: Integrando per la seconda olta la relazione d d e costanti si determinano applicando le condizioni al contorno ) ( () Quindi l euazione della linea elastica è: [ ]

19 sempio carico distribuito Il massimo spostamento si erifica nel punto in cui è massimo il momento flettente, uindi per / [ ] Sostituendo ad il alore di / si ottiene 8 5 Quindi l euazione della linea elastica è: [ ]

20 sempio. da solgere A D B Trae appoggiata agli estremi caricata con forza concentrata nel punto D posto a / dall estremo sinistro. Si ricaino: a) o spostamento nel punto D b) a rotazione nel punto D