Rappresentazione dell'informazione

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1 Rappresentazione dell'informazione Moreno Marzolla Dipartimento di Informatica Scienza e Ingegneria (DISI) Università di Bologna

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3 Logica binaria 3

4 I moderni calcolatori elettronici rappresentano ogni tipo di informazione mediante sequenze di bit In realtà devono gestire informazioni di tipo non necessariamente binario Numeri (interi, reali) Testi (sequenze di caratteri) Suoni, immagini, video Come rappresentiamo questi tipi di informazioni in un calcolatore elettronico? 4

5 Rappresentazione di numeri non negativi Una sequenza di N bit può rappresentare un intero non negativo in base 2 Esempio: quanto vale 2? pesi cifre binarie Risposta: = Si sommano i pesi corrispondenti alle cifre binarie Con N bit possiamo rappresentare tutti gli interi appartenenti all'insieme {, 2N - } 5

6 Conversione decimale binario Si può procedere così Si divide il numero decimale ripetutamente per 2. I resti della divisione danno le cifre della rappresentazione binaria, a partire da quella meno significativa Es: come si scrive 74 in binario? 74 / 2 37 / 2 8 / 2 9/2 4/2 2/2 /2 = = = = = = = resto resto resto resto resto resto resto Cifra più a destra 2 Cifra più a sinistra 6

7 Somma binaria Quanto vale 2 + 2? Riporto = 2 A B C A+B+C C' Regola generale per calcolare (A + B + C) ottenendo la somma e il nuovo riporto C' 7

8 Circuito sommatore Per sommare due numeri di N bit, possiamo utilizzare N Full Adder in cascata (Ripple-Carry Adder). Es. (N=4) A3A2AA + B3B2BB = S3S2SS con riporto C A3 A2 B3 C A B2 A B B ADD ADD ADD ADD S3 S2 S S Esistono metodirappresentazione più efficienti dell'informazione per propagare il riporto, che vedrete nel corso di Calcolatori Elettronici 2

9 ...e i numeri negativi? Come rappresentiamo numeri negativi, ad es -? Si utilizza la rappresentazione in complemento a due Con N bit, il numero intero x viene codificato in binario allo stesso modo di 2N + x ignorando eventuali overflow Nota: (decimale) in complemento a due si scrive...2c (una stringa di N zeri) 3

10 Esempio Supponiamo di avere N = 4 bit, e di voler codificare il numero x = 6 2N + x = = in binario si scrive 2 Abbiamo a disposizione solo 4 bit, quindi scartiamo quello più a sinistra: rimane 2C La rappresentazione in complemento a 2 di 6 coincide con la normale rappresentazione binaria Questo vale per tutti i numeri positivi 4

11 Esempio Rappresentiamo x = -7 con N = 4 bit in compl. a due 2N + x = 24 7 = 9 9 in binario si scrive 2 quindi -7 = 2C Osservazione Con N bit è possibile rappresentare in complemento a due i valori interi compresi tra -(2N-) e 2N-- (estremi inclusi) Con N = 8 bit [-28, 27] Con N = 6 bit [-32768, 32767] Con N = 32 bit [ , ] Osservazione 2 I numeri negativi (in complemento a due) hanno sempre il primo bit a sinistra ; i numeri positivi hanno 5

12 Conversione complemento a 2 decimale Si procede come per la conversione binario decimale, con la differenza che il peso del bit più significativo (quello a sinistra) è -2N- anziché 2N- Esempio: quanto vale 2C? pesi -28 cifre binarie Risposta: = -75 8

13 Somma in complemento a due Si usano le stesse regole della somma binaria "normale" Calcolare 5 7 in compl. a due con N = 4 bit 5 = 2C -7 si rappresenta come 24-7 = 6-7 = 9 = 2C Sommando 2C + 2C si ottiene 2C Il primo bit a sinistra vale uno, quindi è un valore negativo Infatti 2C = = -2 9

14 Esercizio per casa Determinare la rappresentazione in complemento a due con N = 4 bit dei numeri A = -3 e B = -5 Calcolare la somma (A + B) sommando le rappresentazioni in complemento a due di A e B ottenute al punto precedente La somma così calcolata corrisponde al valore corretto A + B = -8? 2

15 Errore di overflow Se x e y sono due numero con segno diverso in complemento a due con N bit Il valore (x + y) sarà ancora rappresentabile con N bit in complemento a due Infatti: supponiamo che x sia positivo e y negativo x 2N-- -2N- y da cui (sommando membro a membro): -2N- x + y 2N-- Dunque x + y appartiene all'insieme dei valori rappresentabili in complemento a due con N bit 2

16 Errore di overflow Se x e y hanno lo stesso segno, può verificarsi overflow. Esempio con N = 4 bit valori rappresentabili in complemento a due: (-2) + (-8) Riporto Riporto 2C + 2C = 2C + 2C = 2C -2-8 = 6?!?!? 2C = -7?!?!? 22

17 Codifica di numeri reali Come rappresentiamo un numero reale ( con la virgola ), come ad es. 34,765? Usiamo la notazione scientifica normalizzata: 34,765 = 3,4765,7653 = 7,653-3 Osserviamo che 3,4765 =

18 Codifica dei numeri reali Lo stesso si può applicare anche per la base 2,2 = =,825 Possiamo scrivere un numero reale diverso da zero in base 2 come ±, m m m... 2 e e e... Dove: mmm.. sono le cifre della parte frazionaria della mantissa eee... rappresenta l'esponente Non si usa la rappresentazione in complemento a due, bensì la notazione con bias, vedi lucido seguente 26

19 Codifica dei numeri reali Solitamente si usa un numero fisso di cifre per la mantissa e per l'esponente Es: standard IEEE 754 singola precisione: 32 bit totali così suddivisi bit 8 bit 23 bit s eeeeeeee segno = positivo = negativo mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm esponente si converte in intero senza segno e si sottrae 27 mantissa normalizzata dopo la virgola (prima della virgola si assume ) 27

20 Esempio Mantissa:,2 = Esponente: 2 = = -3 Segno: Valore: = -,

21 Riepilogo Rappresentazione in base 2 Interi positivi Interi positivi e negativi (complemento a due) Valori reali Che dire di altri tipi di informazione? Caratteri alfanumerici Suoni Immagini... Le istruzioni eseguite dalla CPU 3

22 Codifica dei caratteri Quanti simboli dobbiamo rappresentare? La codifica ASCII usa 7 bit per codificare 2 7 = 28 caratteri diversi 26 lettere minuscole 26 lettere maiuscole numeri ( 9) simboli vari (%, $,...) alcuni caratteri di controllo (Return, Canc, Insert...) Dato che i calcolatori moderni lavorano con Byte di 8 bit, si usa la codifica ASCII estesa (extended ASCII) che usa 8 bit per carattere La codifica UNICODE usa 8, 6 o 32 bit Con 32 bit si possono identificare 232 = simboli diversi 3

23 ASCII = American Standard Code for Information Interchange "ASCII-Table-wide" by ASCII-Table.svg: ZZT32derivative work: LanoxxthShaddow - ASCII-Table.svg. Licensed under Public Domain via Wikimedia Commons - dell'informazione 32 wide.svg#/media/file:ascii-table-wide.svg

24 Codifica di immagini Le immagini non sono formate da sequenze di oggetti ben definiti come i numeri e i testi Per poterle rappresentare bisogna prima discretizzarle Cioè trasformarle in un insieme di parti discrete che possono essere codificate con sequenze di bit Consideriamo prima immagini fisse (foto etc ) 33

25 Immagini vettoriali L'immagine è descritta mediante primitive geometriche (linee, cerchi, poligoni...) di cui si specificano i parametri By Tonchino - Own work, CC BY-SA 3., 34

26 Immagini bitmap L immagina viene scomposta in una griglia di elementi detti pixel (da picture element) Immagine originale Rappresentazione bitmap 35

27 Immagini bitmap Ciascun pixel di una immagine in bianco e nero può essere rappresentato da un singolo bit Ad es., = bianco, = nero 36

28 Immagini bitmap Immagini a toni di grigio Un byte per pixel (=bianco, 255=nero, gli altri valori rappresentano toni intermedi di grigio) Immagini a colori: più bit (es., 3 Byte) per pixel Byte per la componente Rossa ( 255) Byte per la componente Verde ( 255) Byte per la componente Blu ( 255)

29 Immagini bitmap vs vettoriali Le immagini vettoriali possono essere ingrandite a piacere senza perdita di dettaglio I formati vettoriali sono adatti a disegni tecnici, ma non si prestano alla rappresentazione di immagini reali (es., un volto, un paesaggio) By The original uploader was Darth Stabro at English Wikipedia - Transferred from en.wikipedia to Commons by Pbroks3 using CommonsHelper., CC BY-SA 3., 38

30 Codifica di immagini La rappresentazione accurata di una immagine bitmap dipende dal numero di pixel (definizione, o risoluzione) dalla codifica del pixel e richiede generalmente molta memoria Risoluzione N. colori Byte Immagine Televisiva (8 bpp) 44 KB Telev. 4K (2 bpp) ~ 2 MB 5 6 milioni (24 bpp) ~ 43 MB Foto bpp = bit per pixel 39

31 Algoritmi di compressione Per risparmiare memoria si impiegano tecniche di compressione Alcuni formati comunemente usati JPEG (immagini) MP3, FLAC (audio) MP4, H.263 (video) ZIP, RAR, BZ2 (file generici) 4

32 Algoritmi di compressione Algoritmi lossless (senza perdita di informazione): Operano un cambiamento di codifica dei dati che permette di diminuire il numero di bit necessari alla rappresentazione Consentono di ricostruire esattamente la sequenza di dati originali a partire dai dati compressi Esempio: sequenza di milione di caratteri, A=, B=, C=, D=, totale 2 milioni di bit per la codifica se A compare il 9% delle volte posso comprimere la codifica nel seguente modo A=, B=, C=, D= ottenendo una lunghezza di : = 2 bit 42

33 Algoritmi di compressione Algoritmi lossy (con perdita di informazione) Sfruttano le caratteristiche degli oggetti da rappresentare per scartare informazione poco importanti Possono ottenere livelli di compressione elevati, ma non consentono di ricostruire esattamente i dati originali a partire da quelli compressi Alcune informazioni sono eliminate dal processo di compressione L'algoritmo JPEG sfrutta la caratteristica dell occhio umano di essere poco sensibile a lievi cambiamenti di colore in punti contigui, e quindi elimina questi lievi cambiamenti appiattendo il colore dell immagine E' possibile specificare mediante alcuni parametri quanto siamo disposti a perdere in qualità nel processo di compressione 43

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35 Codifica di video Il movimento è simulato mostrando immagini fisse in sequenza (24-3 al secondo) che l occhio umano percepisce come un continuo Per risparmiare spazio alcuni metodi di codifica memorizzano solo le differenze fra un fotogramma e l altro 45

36 Codifica di suoni Un generico suono (o segnale analogico) è rappresentato da un'onda continua Tempo 46

37 Codifica dei suoni Campionamento Il segnale viene misurato ad istanti discreti Es: KHz = campioni/sec = campione/msec Tempo 47

38 Codifica dei suoni Quantizzazione Per ogni campione, il valore assunto dal segnale viene espresso con un numero finito di bit (quantizzazione) Segnale campionato e quantizzato Segnale originale Tempo 48

39 Codifica dei suoni L accuratezza della ricostruzione dipende: da quanto sono piccoli gli intervalli di campionamento (intervalli più piccoli qualità migliore) da quanti bit vengono utilizzati per descrivere il suono in ogni campione (più bit qualità migliore) Gli algoritmi lossy di compressione audio sfruttano il fatto che per l orecchio umano suoni a basso volume sovrapposti ad altri di volume maggiore sono poco udibili e possono essere eliminati E' quello che accade nello standard MPEG Layer 3 (MP3) 49

40 Idee chiave Rappresentazione binaria di interi Complemento a due Rappresentazione di informazione non numerica Compressione lossless e lossy Campionamento e discretizzazione 5

41 Logica binaria 5