Lezione 27. La legge di reciprocità quadratica.

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1 Lezone 7 Prereust: Congruenze modulo un ntero L legge d recroctà udrtc Dedchmo uest ultmo ctolo llo studo dell rsolubltà delle congruenze udrtche del to x (mod ), (*) dove è un ulss ntero e è un numero rmo Defnzone 71 S un numero rmo, s un ntero Allor s dce un resduo udrtco modulo se l congruenz (*) h soluzone Esemo 7 ) non è un resduo udrtco modulo 3 b) e 3 non sono resdu udrtc modulo 5, mentre lo sono 1 e 4 Srà utle l seguente notzone: Defnzone 73 Per ogn rmo dsr ed ogn ntero s dce smbolo d Legendre su l numero 0 se = 1 se / e è un resduo udrtco modulo 1 ltrment Osservzone 74 Per ogn ntero, se b è un ntero tle che b (mod ), llor, b evdentemente, = In rtcolre, detto r l resto dell dvsone d er, evdentemente r s h che = Qund, nel clcolo del smbolo d Legendre, otremo semre rcondurc numer 0,1,, 1 Cò s rvel utle gà nell lczone del rossmo rsultto, che dà un formul eslct er clcolre l vlore d Prooszone 75 (Crtero d Eulero) Per ogn rmo dsr ed ogn ntero s h 1 (mod ) Dmostrzone: Se dvde, l tes è bnle Suonmo llor che non dvd S { 1,,, 1} * = g tle che Z [ g] (rcordmo che l gruo moltlctvo d un cmo fnto

2 è semre cclco, ved Algebr, Prooszone 48) S Z tle che [ ] = [ g ], coè (mod ) Allor, n bse ll Osservzone 74, s h g g = (1) Essendo er otes dsr, 1 1 è ntero Qund ossmo consderre h = g S h, llor, 1 [ h ] = [ g] = [1], coè ( h + 1)( h 1) 1 Or, essendo [ h] = g [1], segue che / h 1 Allor, essendo rmo, s h che h + 1, coè h 1 (mod ) Pertnto 1 ( ) 1 g = h ( 1) (mod ) () Stnt le uguglnze (1) e (), l tes segue un volt rovto che g ( 1) (mod ) (3) Poché / g, cò euvle d ffermre che g è un resduo udrtco modulo se e solo se è r Se è r, l congruenz x g (mod ) h soluzone x = g Vcevers, se tle congruenz h un soluzone x, ossmo suorre che s j j x = g er ulche ntero j Allor g g (mod ), che mlc 1 j Essendo 1 r, se ne derv che è r Cò rov (3) e conclude l dmostrzone Eserczo 76 Determnmo, n bse ll Prooszone 75, ) 3 = (3 ) 3 ( ) 9 = 16 9 = 144 = (mod 9) Qund s h che 9 3 = 1, e 3 non è resduo udrtco modulo b) 5 = (5 ) ( 4) = ( 64) ( 4) 6 ( 4) 8 1 (mod 9) Pertnto s h che 9 5 = 1 Qund 5 è resduo udrtco modulo 9 Un soluzone dell congruenz x 5 è 9 x = 11 (Inftt 11 5 = 4 9)

3 Dll Prooszone 75 s deduce mmedtmente che l smbolo d Legendre gode dell roretà moltlctv: Corollro 77 Se è un numero rmo dsr, er ogn b = b, b Z s h Quest roretà è rtcolrmente utle undo numer e sono troo grnd er oter lcre drettmente l Prooszone 75 Esemo ) = = = 1 Nell rm uguglnz bbmo utlzzto l Corollro , nell second l Osservzone 74, nell ultm l ftto che 16 e 4 sono udrt, e und certmente resdu udrtc modulo ulunue numero rmo 17 4 b) = = 1 Qu s gunge mmedtmente ll conclusone lcndo l Osservzone Tenmo comunue resente uesto rsultto: come vedremo, non è un cso se nvertendo ruol d 13 e 17 l smbolo d Legendre rest nvrto Esemo 79 S un rmo dsr Allor, n vrtù dell Prooszone 75, s h und 1 1 ( 1) (mod ), 1 1 se 1 (mod 4) = -1 se 3 (mod 4) In bse ll Prooszone 8, segue che l numero ntero è rmo n Z [] se e solo se 3 (mod 4) In rtcolre, 5 non è rmo n Z [] D ltronde, esso mmette l decomoszone 5 = (1 + )(1 ) Rcordmo, noltre, che non è rmo, n unto = (1 + )(1 ) Ecco un modo lterntvo d svolgere l Eserczo 9 L clssfczone d lczone: 1 che bbmo en effettuto mmette nche un ltr nteressnte Corollro 710 Esstono nfnt numer rm congru 1 modulo 4 Dmostrzone: Suonmo er ssurdo che numer rm congru 1 modulo 4 sno n numero fnto, sno ess 1,, k S m = ( 1 k ) + 1 Allor m è dsr, und ossede un 1 dvsore rmo dsr Segue che ( 1 k ) 1 (mod ) (*) Qund = 1, coè, n

4 bse ll Esemo 79, s h che 1 (mod 4) M llor = er ulche, e cò contrddce (*) Not storc L dmostrzone del Corollro 710 rroduce, ne trtt essenzl, uell dt d Euclde (IV sec C) er l nfntà de numer rm (ved Gl Element, Lbro IX, Prooszone 0) L enuncto del corollro è, er contro, un cso rtcolre del teorem d PG Lejeune- Drchlet ( ) secondo cu ogn rogressone rtmetc n cu l termne nzle e l rgone sono corm contene nfnt numer rm Il rossmo lemm è un rsultto relmnre l rncle teorem d uest lezone: entrmb sono dovut Crl Fredrch Guss ( ), che h dedcto lle congruenze udrtche grn rte dell su oer Dsustones Arthmetce Introducmo l seguente notzone: er ogn rmo dsr ndcheremo 1 P = [ 1],,, Q = [ 1] 1,, è chro che * Z è l unone dsgunt d P e Q, che hnno entrmb 1 element Lemm 711 (Lemm d Guss) Per ogn rmo dsr ed ogn ntero non multlo d s h ( 1) P = Q Dmostrzone: Sno x, y P dstnt Allor s h che x y, erché y Q Poché non 1 dvde segue che ( x y e) x y Qund P h esttmente element e nessuno de 1 seguent nsem contene due element d P: 1 1 [,,, { 1], [1] } Pertnto ognuno d uest nsem contene esttmente un elemento d P, er cu Il rodotto d tutt gl element d P è ugule 1 P = e[ ] e = 1 oure e = 1,1 m è nche ugule 1 1 [ ]!,

5 1 1 P Q 1 e! = ( 1)! = 1 1 Dunue, essendo! non nullo, segue che 1 L tes segue llor dll Prooszone 75 Smo or n grdo d dmostrre l seguente P Q ( 1) (mod ) Teorem 71 (Legge d recroctà udrtc) Sno, numer rm dsr dstnt Allor = = se 3 (mod 4) ltrment Not L enuncto, osto n uest form, evdenz che l smbolo d Legendre reltvo due numer rm dsr dstnt, n us tutt cs, non cmb se s nvertono due numer Esste un ltr formulzone ù ermetc, m ù semlce, n cu l enuncto è comttto n un formul: = ( 1) ( 1)( 1) 4 (4) S not che l esonente è dsr se e solo se (mod 4) 1 1, sono entrmb dsr, oss 3 Dmostrzone: Per l Lemm 711, osto µ = P Q, s h = ( 1) 1 Determnmo l vlore d µ Questo numero cont numer del to x, con 1 x che 1 dfferscono er un multlo d (coè un numero y) d uno de numer,, 1, oss sono tl che, er ulche ntero y, µ < x y < 0

6 Chrmente, er ogn vlore d x esste l ù un vlore d y sfftto, e er ognuno d uest y s h er cu 0 < x < y < x + 1 ( 1) <, 1 1 y 1 1 ν Qund µ = ( x, y) 1 x,1 y, < x y < 0 Anlogmente, = ( 1), ove 1 1 ν = ( x, y) 1 x,1 y,0 < x y <, er cu = ( 1) µ +ν (5) Qu µ + ν è l numero de unt coordnte ntere del no crtesno che rtengono l rettngolo rffgurto e sono tl che < x y < 0 oure 0 < x y <, oss, euvlentemente, < x y < : essendo, corm, x y non è nftt m nullo Qund unt cerct sono unt coordnte ntere comres nell strsc e nel rettngolo rffgurt: ( 1)( 1) Il numero de unt coordnte ntere comres nel rettngolo è Detto α l numero 4 de unt coordnte ntere comres nel trngolo A, e β l numero d uell comres nel trngolo B, s h und ( 1)( 1) µ + ν = ( α + β ) 4

7 All luce dell (5), er concludere l dmostrzone bst rovre che α + β è r M cò è vero, erché, dt l smmetr dell fgur, α = β Osservzone 713 Nell Esemo 78, l rsultto n ) s uò dunue dedurre mmedtmente d uello n b), che er stto rcvto bnlmente È chro che Il Teorem 71 è rtcolrmente ndcto undo uno de due rm è ccolo, e l ltro è grnde Esemo 714 L congruenz x 5 (mod 1499) h soluzone se e solo h soluzone l congruenz x 1499 (mod 5) Quest euvle ll congruenz x 4 (mod 5), che h soluzone (d esemo, x = ) Qund nche l rm congruenz h soluzone: l ù ccol (tr uelle ostve) è x = 417