CALCOLO DELLE PROBABILITA - 24 Giugno 2015 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5,6.

Transcript

1 Cognome e Nome: Matricola CdS CALCOLO DELLE PROBABILITA - 4 Giugno 5 CdL in STAD, SIGAD Compito intero Seconda prova in itinere: esercizi 4,5, Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi Tempo: h 45 (prova in itinere h ) Non è consentito l utilizzo di libri o appunti Ogni esercizio risolto correttamente vale punti ( punti per la prova in itinere) Punteggio massimo Siano A, B due eventi, con A B Ω, e sia P (A), P (B) Determinare i costituenti 4 e l insieme I dei valori coerenti per l estensione z P (E), con E (A B) (A c B c ) Inoltre, verificare se A, B possono essere valutati stocasticamente indipendenti Costituenti I, A, B possono essere stoc ind? Si No Perchè? Un giocatore intende partecipare al gioco 8elotto Un urna contiene 9 palline numerate da a 9 Il giocatore segna su una schedina r 8 numeri tra quelli presenti nell urna e paga euro Dall urna si estraggono (senza restituzione) palline e le vincite sono stabilite dalla Tabella, dove X è il numero delle palline indovinate dal giocatore e V è la corrispondente vincita Ad esempio se si indovinano 5 palline (X 5) si vincono euro (V ) Nei casi non presenti in tabella non si vince nulla Calcolare: i) P (V ); ii) la probabilità condizionata X V Vincita (in euro) Tabella : Struttura Premi 8elotto δ di avere indovinato 8 palline sapendo che la vincita è positiva Infine, calcolare il guadagno relativo atteso r di chi acquista il biglietto (r E( V )) P (V ) ; δ ; r ; Si lancia ripetutamente una moneta regolare e sia E n l evento esce Testa al lancio n-esimo, n N Supponiamo E, E,, E k, stocasticamente indipendenti Calcolare: i) la probabilità α che esca Testa per la prima volta entro lanci sapendo che nei primi lanci si è ottenuto sempre Croce; ii) il numero necessario di lanci m affinchè la probabilità di ottenere almeno una 9 volta Testa sia maggiore di ; iii) la probabilità β che Testa appaia per la prima volta in un lancio di ordine pari α ; m ; β ; Nel testo era stato erroneamente riportato

2 4 Un numero aleatorio X ha distribuzione normale con valore atteso µ 5 e deviazione standard pari σ Calcolare: (i) il valore di x tale che P (X > x ), 5; (ii) il valore di x tale che P (X 5 x X 5 + x ), 959 Infine calcolare la densità di Y ( X 5 ) x x f Y (y) 5 Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul quadrato Q [, ] [, ] Calcolare: (i) la probabilità dell evento condizionato E H, con E (Y < X), H (X > /); (ii) il coefficiente di correlazione lineare ρ di X, Y, e la funzione caratteristica ψ Z (t), di Z X Y P (E H) ρ ψ Z (t) Da un urna contenente pallina bianca nere e rosse si effettuano estrazioni senza restituzione Indicando con X il numero aleatorio dei colori delle palline estratte ( ad esempio X le palline sono tutte dello stesso colore, X le palline sono di due colori ), calcolare per ogni possibile valore h di X, p h P (X h) Indicando con Y il numero aleatorio di palline bianche estratte, calcolare p h P (X h Y ), per ogni possibile valore di (X Y ) Infine, calcolare cov(x, Y ) p h p h cov(x, Y )

3 Soluzione Provvisoria TO DO Se si giocano r numeri si ha P (X h) ( r 9 r ) h)( h ), h, r, ( 9 e P (V ) [P (X ) + P (X 5) + P (X ) + P (X 7) + P (X 8)], δ P (X 8 X {, 5,, 7, 8}) Inoltre e P (X 8) P (X ) + P (X 5) + P (X ) + P (X 7) + P (X 8) E(V ) P (X ) + P (X 5) + P (X ) + P (X 7) + P (X 8) r E(V ) Sia X il numero aleatorio di lanci fino a quando appare per la prima volta Testa Si ha che X ha una distribuzione geometrica di parametro p Si ha α P (X X > ) P (X ) Inoltre, determiniamo il più piccolo intero m tale che P (E E m ) 9 P (Ec E c m) Poichè P (E c E c m) m, determiniamo il più piccolo intero m tale che m m Osservando che 8 e 4, si ha che m 4 Infine indicando con N l inisieme dei numeri pari, per la sigma additività della distribuzione geometrica, si ha β P (X N) + n P (X n) + n + n 4 4 n 4 n 4 4 Si ha P (X > x ) P ( X 5 > x 5 ) Φ, ( x 5 ), 5 Osservando che Φ, (, 85), 5 e che Φ, (x) è invertibile, si ha Φ, ( x 5 ), 5 x 5, 85 x 7,

4 Inoltre, P (X 5 x X 5 + x ) P (5 x X 5 + x ) P (X 5 + x ) Φ,(x ) Φ, (x ), 959 Φ(x ) /(, 959), 9 x, 75 Infine, indicando con Z N,, si ha F Y (y), per y < Per y, si ha F Y (y) P (Y y) P (( X 5 ) y) P ( y Z y) Φ, ( y) Derivando si ottiene, se y <, f Y (y), se y, si ha f Y (y) F Y (y) N( y) y y e y π 5 Si ha f(x, y), se (x, y) Q e f(x, y), se (x, y) / Q Si ricava facilmente che sia X 4 che Y hanno distribuzione uniforme nell intervallo [, ] e sono stocasticamente indipendenti Infatti, se x / [, ], si ha f X (x), se x / [, ], si ha f X (x) ˆ Se y / [, ], si ha f Y (y), se Y / [, ], si ha f Y (y) ˆ 4 dx 4 dy Poichè f X (x)f Y (y) f(x, y), per ogni (x, y) R, si ha che X, Y sono stocasticamente indipendenti e quindi X, Y sono incorrelati Pertanto, ρ Si ha e Quindi ψ X (t) ˆ + e itx f X (x)dx ˆ e itx dx ψ Y (t) eit it [ e itx it ] eit it ψ X Y (t) ψ X (t)ψ Y (t) ψ X (t)ψ Y ( t) eit e it it it (e it ) (e it ) 4t Poichè (X, Y ) ha distribuzione uniforme su un insieme limitato di R le probabilità di P (EH), P (H) si possono calcolare come rapporto tra aree Dalla Figura e si osserva che P (H) ( )/4 5 e ˆ ˆ x ˆ ˆ P (EH) Pertanto 4 dxdy + P (E H) P (EH) P (H) 4 dxdy

5 y H E y x x x Figura : Si ha P (X ) P (X ) ( )( )( ( ) ) ( )( )( ( ) ) oppure, Inoltre, P (X ) ( )( )( ) ( ) + ( )( )( ) ( ) + ( )( )( ) ( ) + ( )( )( ) ( ) P (X ) P (X ) P (X ) P (Y ) ( )( 5 ( ) ) +++ P (X Y ) P (X Y ) ; P (X, Y ) P (Y ) ( )( )( ) ( ) + ( )( )( ) ( ) 5 P (X Y ) 5 5 Inoltre E(X) E(Y ) , E(X Y ) j i i jp (X i, Y j) P (X, Y ) + P (X, Y ) + P (X, Y )+ P (X, Y ) + P (X, Y ) + P (X, Y ) P (X, Y ) + P (X, Y ) P (X Y )P (Y ) + P (X Y )P (Y )

6 5 5 y x Figura : I punti del quadrato Q che soddisfano EH Quindi cov(x, Y )