LICEO SCIENTIFICO G. GALILEI LANCIANO. Pi greco day 2014 MATEMATICA E INCERTEZZA DELLA PROBABILITA. Carmine Bonanni Elisa Sasso Classe 4 sez.

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1 LICEO SCIENTIFICO G. GALILEI LANCIANO Pi greco day 2014 MATEMATICA E INCERTEZZA LINEAMENTI DI STORIA DELLA PROBABILITA Carmine Bonanni Elisa Sasso Classe 4 sez. A

2 Il concetto di Probabilità è il più importante della scienza moderna, perché nessuno ha la più pallida idea del suo significato (Bertrand Russell, )

3 Inizialmente la probabilità di un evento veniva intesa come il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all evento e il numero dei casi possibili (purché questi ultimi siano ugualmente possibili ) p n casi favorevoli = n casi possibili PROBABILITÀ CLASSICA

4 Esempio Esperimento: lancio della moneta Evento: uscita di testa Esiti possibili: {testa, croce} n casi possibili = 2 n casi favorevoli = 1 p ( E) n casifavorevoli = = n casipossibili 1 2

5 La Storia I primi studi sulla probabilità risalgono a Girolamo Cardano ( Liber de ludo aleæ, 1526) e Galileo Galilei ( Sulla scoperta dei dadi, 1656) (Girolamo Cardano) (Luca Pacioli) (Niccolò Tartaglia) (Galileo Galilei) Problemi importanti furono posti da Luca Pacioli (1494) e Niccolò Fontana (meglio conosciuto come Tartaglia, 1556), e risolti poi da Pascal e Fermat

6 La Storia La nascita del concetto di probabilità viene attribuita a Blaise Pascal ( ) e Pierre de Fermat ( ), stimolati dai problemi posti dal Cavaliere de Méré (Blaise Pascal) (Pierre de Fermat)

7 Un problema Il gioco proposto dal Cavaliere consisteva nel lanciare quattro dadi: se il giocatore riusciva a non fare uscire un sei vinceva una somma pari a quella che aveva puntato, ma se invece fosse uscito un sei, vinceva il banco. Fermat e Pascal riuscirono a dimostrare che le probabilità erano a favore del banco: se un giocatore avesse lanciato 100 volte i quattro dadi, probabilmente per 48 volte non sarebbe uscito un sei, ma per 52 volte sarebbe invece uscito e il giocatore avrebbe perso.

8 Un altro problema Il Cavaliere de Méré aveva calcolato che ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un dado non truccato era equivalente ad ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci, sempre di un dado non truccato. Tuttavia, giocando secondo tale convinzione, invece di vincere perdeva e scrisse a Pascal lamentando che la matematica falliva di fronte all'evidenza empirica. Ma Pascal lo fece riflettere Le Chevalier era un giocatore incallito, ma anche un uomo erudito!

9 Considerando 4 lanci di un solo dado, con probabilità di successo in ogni tentativo pari a 1/6, la probabilità dell uscita di almeno un sei è pari a 0,518, ovvero a Nel caso di due dadi, in 24 lanci la probabilità di ottenere almeno una volta un doppio sei è questa volta pari a 0,491, ovvero a

10 Conclusione Pascal giunse a dimostrare che, a differenza di ciò che aveva supposto il Cavaliere de Méré, non vi era differenza tra l osservazione empirica e la matematica

11 Huygens Nel 1657 Christiaan Huygens scrisse il libellus De ratiociniis in ludo aleæ, il primo trattato della storia di Calcolo delle Probabilità

12 Bernoulli Nel 1713 viene pubblicato il libro postumo Ars Conjectandi di Jakob Bernoulli. In esso veniva introdotta la distribuzione di Bernoulli e formulata la legge dei grandi numeri. Supponendo di ripetere n copie indipendenti di un esperimento, in ciascuna delle quali può verificarsi un dato evento con probabilità p, la frequenza relativa in cui si verifica l evento, al tendere di n all infinito, tende (in probabilità!) al valore p.

13 Bernoulli Legge empirica del caso: la frequenza relativa delle volte in cui si verifica l evento si avvicina alla probabilità all aumentare del numero di esperimenti. Ecco un semplice esempio: lanciamo una moneta 10 volte, 100 volte, 1000 volte e controlliamo l'evento uscita di testa relazionato alla probabilità matematica. Numero lanci Uscita di testa Frequenza di uscita di testa ,60 = 60% ,56 = 56% ~0,53 = 53%

14 Bernoulli Notiamo come all aumentare del numero dei lanci, la probabilità dell evento uscita di testa si avvicina sempre di più al valore matematico effettivo

15 Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate k f = n PROBABILITÀ FREQUENTISTA

16 De Moive - Laplace Successivamente, Abraham De Moivre ( Doctrine des chances, 1718) e Pierre Simon Laplace (Théorie analytique des probabilités, 1812) apportarono risultati significativi alla teoria della probabilità (ad esempio: teorema centrale del limite) e la fondarono su basi matematicamente solide (De Moivre) (Laplace)

17 La storia Nel corso del tempo cominciarono a sorgere nuove interpretazioni della probabilità; in particolare, negli anni trenta del XX secolo, Bruno De Finetti e Leonard Jimmie Savage elaborarono una concezione della probabilità, denominata probabilità soggettiva (De Finetti) (Savage)

18 Secondo la teoria soggettiva la probabilità è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle sue conoscenze Eh? PROBABILITÀ SOGGETTIVA La probabilità che un individuo assegna ad un evento E è il prezzo equo p che l individuo è disposto a pagare per partecipare ad una scommessa in cui egli riceve una somma (1 p) se E si verifica, una somma 0 altrimenti.

19 La probabilità invece di rappresentare una caratteristica del mondo esterno, essa consiste nella fiducia che un individuo ha nel fatto che un dato evento si verifichi. Quando lanciate una moneta, potreste ritenere che ci siano uguali possibilità che il risultato del lancio sia testa oppure croce: secondo voi, dunque, la probabilità di ottenere testa è pari a ½. Se in seguito veniste a conoscenza di altre informazioni su quella particolare moneta o sulla persona che la lancia (se veniste a sapere, per esempio, che si tratta di un prestigiatore in possesso di una moneta con incisa una testa su entrambe le facce) potreste modificare le vostre aspettative, ossia quella che secondo voi è la probabilità che il lancio della moneta dia come esito testa. da: David J. Hand, Il caso non esiste, Rizzoli, 2014

20 De Finetti Bruno de Finetti nell opera fondamentale Theory of Probability (1974) pone la frase: <<Probability does not exist>> Intendeva specificare il fatto che la probabilità di un evento esprime il punto di vista di un individuo e non ha una propria autonoma esistenza. Interessante osservare il quesito 7 della prova scritta di Matematica P. N. I. dell Esame di Stato 2006: Bruno de Finetti ( ), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest anno il centenario della nascita, alla domanda: che cos è la probabilità? era solito rispondere: la probabilità non esiste!. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

21 La Storia Con l opera Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità pubblicata in tedesco nel 1933, Andrej Kolmogorov ha dato inizio alla moderna teoria assiomatica delle probabilità. (Kolmogorov) Si è così affermata una teoria della probabilità puramente matematica, che sintetizza e generalizza il patrimonio matematico comune alle diverse impostazioni.

22 Un assioma è un affermazione che non si dimostra in quanto principio di base universalmente accettato. La teoria si fonda sui tre assiomi di base : 1) La Probabilità di un evento E è un numero reale compreso tra 0 e 1: 0 P(E) 1; 2)La Probabilità dell evento certo Ω è pari a 1: P(Ω)=1; 3)Se E e F sono due eventi incompatibili (cioè non si possono verificare insieme), allora la probabilità della loro unione (evento consistente nel verificarsi di almeno uno dei due eventi) è la somma delle singole probabilità di E e F: P(E F) = P(E) + P(F).

23 Finché le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, non sono certe, e finché sono certe, non si riferiscono alla realtà (Albert Einstein, )