UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA

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1 UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Statistica, anno P.Baldi Lista di esercizi 3. Corso di Laurea in Biotecnologie Esercizio 1 Una v.a. X segue una legge N(2, ). Calcolare a1) P(X 1) a2) P(2 X ) a3) P( X 2 3) b) Rispondere alle stesse domande nell ipotesi che X N(2, 1). c) Rispondere alle stesse domande nell ipotesi che X N(2, 9). Esercizio 2 a) Si sa che un certo carattere in una popolazione è distribuito secondo una legge normale N(10, 0.01). Dalla popolazione viene preso un campione di 00 individui e indichiamo X 1,..., X 00 i valori del carattere misurato sugli individui del campione. a1) Qual è la probabilità che un individuo del campione presenti una misurazione del carattere 9.8? a2) Qual è la probabilità che vi sia almeno un indiviuo nel campione con una misurazione 9.8? b) Viene invece fatta l ipotesi che la popolazione sia in realtà composta da due sotto popolazioni. Nella popolazione 1, che costituisce il 30%, il carattere ha una distribuzione N(10, 0.01), mentre nella 2, che forma il 70%, il carattere ha una distribuzione N(10, 0.09). In particolare, quindi, il carattere ha la stessa media nelle due sotto popolazioni, ma dispersioni diverse. b1) Qual è la probabilità che un individuo del campione presenti una misurazione del carattere 9.8? b2) Qual è la probabilità che vi sia almeno un indiviuo nel campione con una misurazione 9.8? Esercizio 3 Una popolazione d insetti è composta da due gruppi, A e B, simili tra loro. Si sa che le proporzioni delle due sottofamiglie sono A : 30%, B : 70% Inoltre nel gruppo A gl individui hanno una colorazione rossa con una proporzione del %, mentre una colorazione simile è presente nel gruppo B nella proporzione del 20%. a) Un individuo viene scelto a caso nella popolazione. Qual è la probabilità che presenti la colorazione rossa?

2 b) Qual è la probabilità che un individuo che presenta la colorazione rossa appartenga al gruppo A? È più probabile che appartenga ad A o a B? Esercizio Una scatola contiene 10 monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le altre 2 danno testa (T ) con probabilità 2 3 e croce (C) con probabilità 1 3. a) Una moneta viene scelta a caso e lanciata n 10 volte. a1) Qual è la probabilità di ottenere 6 volte testa. a2) Qual è la probabilità che la moneta sia una di quelle equilibrate sapendo che in 10 lanci si è ottenuto 6 volte testa? È più probabile che sia una moneta truccata oppure equilibrata? b) Rispondere alle stesse domande di a) supponendo che la moneta è stata lanciata 100 volte e che si è ottenuto 60 volte testa. Esercizio Due variabili X e Y sono state misurate su individui ottenendo le misurazioni seguenti: X Y a) Qual è il coefficiente di correlazione delle due variabili? b) Trovare la retta di regressione di Y su X; c) Le due variabili appaiono dipendere una dall altra? Che tipo di dipendenza?

3 Soluzioni Esercizio 1. Questo esercizio porta su applicazioni immediate delle proprietà della funzione di ripartizione della legge N(0, 1), come riportate alle pagine degli appunti e come spiegato nell Esempio L osservazione importante è comunque che una v.a. N(µ, σ 2 ) si può sempre scrivere X σz + µ, dove Z N(0, 1). Questa relazione permette di ricondursi alle tavole della N(0, 1). Nel caso a) possiamo supporre quindi X 2Z + 2, Z N(0, 1). a1) P(X 1) P(2Z + 2 1) P(Z 2 1 ) ( 2 1 ). Il valore di per valori negativi non si trova sulle tavole. Ci si ricorda però che ( 2 1 ) 1 ( 2 1 ). Le tavole danno ( 2 1 ) 0.69 e quindi P(X 1) a2) L osservazione importante qui è che P(2 X ) P(X ) P(X 2). Ora P(X ) P(2Z + 2 ) P(Z 2 3 ) (1.) 0.93 P(X 2) P(2Z + 2 2) P(Z 0) (0) 1 2 e dunque P(2 X ) a3) Ricordiamo che dire X 2 > 3 vuole dire che o X 2 > 3 oppure X 2 < 3. Dunque P( X 2 > 3) P(X 2 > 3) + P(X 2 < 3). Ora P(X 2 < 3) P(2Z < 3) P(Z 3 2 ) 1 P(Z 3 2 ) P(X 2 > 3) P(2Z > 3) P(Z > 3 2 ) 1 P(Z 3 2 ) In conclusione P( X 2 > 3) b) Sempre le stesse idee, solo che ora σ 2 1 e si deve scrivere X Z + 2. b1) P(X 1) P(Z + 2 1) P(Z 1) ( 1) 1 (1) b2) P(X ) P(Z + 2 ) P(Z 3) (3) P(X 2) P(Z + 2 2) P(Z 0) (0) 1 2 e dunque P(2 X ) b3) P(X 2 < 3) P(Z < 3) P(Z 3) 1 P(Z 3) P(X 2 > 3) P(Z > 3) P(Z > 3) 1 P(Z 3)

4 In conclusione P( X 2 > 3) c) Ora σ 2 9 e si deve scrivere X 3Z + 2. c1) P(X 1) P(3Z + 2 1) P(Z 1 3 ) ( 1 3 ) 1 ( 1 3 ) c2) P(X ) P(3Z + 2 ) P(Z 1) (1) 0.8 P(X 2) P(3Z + 2 2) P(Z 0) (0) 1 2 e dunque P(2 X ) c3) P(X 2 < 3) P(3Z < 3) P(Z 1) 1 P(Z 1) P(X 2 > 3) P(3Z > 3) P(Z > 1) 1 P(Z 1) e quindi P( X 2 > 3) Esercizio 2. Se indichiamo con X 1 una delle misurazioni, allora possiamo scrivere X 1 0.1Z + 10 (0.1 è la radice quadrata di 0.01). Dunque a1) P(X 1 9.8) P(0.1Z ) P(Z 2) 1 (2) a2) La probabilità che almeno una delle misurazioni sia più piccola di 9.8 sarà uguale a 1 meno la probabilità che tutte le misurazioni siano > 9.8, cioè 1 P(X 1 > 9.8,..., X 00 > 9.8). Dato che si possono considerare le misurazioni indipendenti, 1 P(X 1 > 9.8)... P(X 00 > 9.8) 1 P(X 1 > 9.8) 00 1 (1 P(X 1 9.8)) b) Indichiamo con A 1 l evento viene scelto un individuo della popolazione 1 e con A 2 il corrispondente evento per la popolazione 2. Sappiamo che per un individuo della popolazione 1 X 1 N(10, 0.01), ovvero X 0.1Z + 10 dove Z N(0, 1). Dunque P(X A 1 ) P(0.1Z ) 0.023

5 (già calcolata in a1)). Invece per un individuo della popolazione 2 X 1 N(10, 0.09) ovvero X 1 0.3Z + 10 (dato che ). Dunque P(X A 2 ) P(0.3Z ) P(Z 2 3 ) 1 P(Z 2 3 ) Quindi con la formula delle probabilità totali P(X 1 9.8) P(X A 1 )P(A 1 + P(X A 2 )P(A 2 ) b2) Si possono ripetere i ragionamenti fatti in a2), cioè la probabilità che ci sia almeno una misurazione inferiore a 9.8 è uguale a 1 (1 P(X 1 9.8)) 00 solo che ora P(X 1 9.8) Arriviamo dunque all espressione 1 (1 0.18) che è praticamente uguale a 1 ( ). Un errore possibile è quello di giungere a dare come risposta a b2) la probabilità 1 0.3( ) (1 0.7) 00 (sbagliata) In realtà questa sarebbe la risposta giusta se si fosse supposto che con probabilità 30% tutti gl individui fossero della popolazione 1 e con probabilità 70% tutti gl individui fossero della popolazione 2. Esercizio 6 Indichiamo con R l evento l insetto scelto a caso presenta la colorazione rossa, con A l evento l insetto scelto a caso appartiene alla popolazione A e con B l analogo evento per la popolazione B. I dati del problema dicono che P(A) 0.3, P(B) 0.7. Inoltre dire che gl insetti della popolazione A presentano la colorazione rossa con probabilità 0. si esprime dicendo che P(R A) 0.. Analogamente si ha P(R B) 0.2. a) La probabilità di R si calcola ora facilmente con la formula delle probabilità totali P(R) P(A)P(R A) + P(B)P(R B)

6 b) Si tratta di calcolare la probabilità condizionale di A dato R, cioè P(A R). Questo si fa con la formula di Bayes P(A R) P(A)P(R A) P(R) Invece P(B R) 1 P(A R) 0.9: è più probabile che l insetto con la colorazione rossa provenga dalla popolazione A. Esercizio. La parte iniziale di questo esercizio (la modellizzazione) è del tutto simile a quella dell esercizio precedente. Occorre introdurre due eventi si è scelta una moneta equilibrata (chiamiamolo E) e si è scelta una moneta che non è equilibrata (chiamiamolo N). Indichiamo poi con A l evento in 6 lanci si sono ottenute 6 teste. I dati del problema c informano che P(E) 8 10, P(N) Se la moneta prescelta è equilibrata, allora la probabilità di ottenere 6 teste in 10 lanci è data dalla legge binomiale B(10, 2 1 ) (10 prove ripetute indipendenti con probabilità 2 1 di avere testa in una singola prova). Più precisamente la probabilità di avere 6 teste in 10 lanci per la moneta equilibrata è ( ) 10 (1 ) ( ) 6( (1 ) ) 6 2 Dunque ( ) 10 (1 ) 10 P(A E). 6 2 Se invece la moneta non è equilibrata, la probabilità di avere 6 teste in 10 lanci sarà data dalla legge binomiale B(10, 2 3 ) (sempre 10 prove ripetute indipendenti ma ora probabilità 2 3 di avere testa in una singola prova). Dunque ( ) 10 (2 ) 6( 1 ) P(A N) a1) Per la formula delle probabilità totali la probabilità di avere 6 teste in 10 lanci risulta essere P(A) P(E)P(A E) + P(N)P(A N) ( ) 10 (1 ) ( ) (2 ) 6( 1 )

7 Attenzione all errore possibile: se si sceglie a caso una moneta e la si lancia una volta la probabilità di ottenere testa è Potrebbe venire la tentazione di dire che il numero di teste in 10 lanci della moneta sia descritto da una binomiale B(10, 0.3), ovvero che sia ( ) 10 P(A) (sbagliata) 6 In effetti questa sarebbe la risposta giusta se facessimo i 10 lanci estraendo ad ogni lancio una moneta che poi rimetteremmo nell urna. a2) Dobbiamo calcolare P(E A). Al solito la formula di Bayes dà P(E A) P(E)P(A E) P(A) ( 10 6 ( 10 6 ) ( 1 2 ) 10 ) ( ) 10 ( ) ( ) 2 6( ) Poiché P(N A) 1 P(E A) 0.22 è più probabile che sia una moneta equilibrata. b1) Stesso conto che in a1), solo che adesso, se indichiamo con B l evento in 100 lanci la moneta ha dato testa 60 volte, abbiamo ( ) 100 (1 ) 100 P(B E) 60 2 dato che il numero di teste in 100 viene descritto da una legge binomiale B(100, 2 1 ). Invece si avrà ( ) 100 (2 60 ( 1 ) 0 P(B N) 60 3) 3 perché se la moneta è truccata il numero di teste in 100 lanci seguirà una legge B(100, 2 3 ). Dunque P(B) P(E)P(B E) + P(N)P(B N) ( ) 100 (1 ) ( ) (2 60 ( 1 ) ) 3 Questo calcolo richiede attenzione anche con una calcolatrice. Il risultato comunque è b2) La formula di Bayes dà ora P(E B) P(E)P(B E) P(B) ( 100 ) ( )

8 Poiché P(N B) 1 P(E B) 0.2 è sempre più probabile che sia una moneta equilibrata. Esercizio. a) Il coefficiente di correlazione è il quoziente tra la covarianza ed il prodotto delle deviazioni standard, che sono le radici quadrate delle varianze. Calcoliamo queste quantità. Intanto troviamo le medie x 1 ( ) 2 e poi le varianze e la covarianza ȳ 1 ( ) 1 2 σ 2 X 1 ( ) µ 2 X σ 2 Y 1 ( ( 2) 2 + ( 3) 2 ) µ 2 Y σ X,Y 1 ( ) µ X µ Y Dunque il coefficiente di correlazione tra le due variabili è ρ X,Y σ X,Y 2 7 σ X σ X b) La retta di regressione di Y su X è la retta di equazione y ax + b dove a σ X,Y σ 2 Y b ȳ a x ( 7 Dunque l equazione della retta di regressione è y 7 x ) c) Le due variabili appaiono essere dipendenti in maniera antitetica: Y tende a decrescere al crescere di X. Il valore del coefficiente di correlazione molto vicino a 1 fa pensare ad una dipendenza molto forte.