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1 Esercizio 1 a) In concorrenza perfetta il ricavo totale è dato dal prodotto tra il prezzo e la quantità venduta: RT = P Q Da cui si ottiene che il ricavo medio e il ricavo marginale sono costanti e pari al prezzo P: RM = RT=Q = P Q=Q = P R 0 = drt dq = P b) La funzione di costo marginale non è altro che la derivata prima della funzione di costo totale: C 0 = dct dq = 2Q + 1 c) La funzione di o erta di breve periodo è data dalla funzione di costo marginale a partire dal punto in cui i costi marginali eguagliano i costi medi variabili. Per scrivere l o erta in funzione del prezzo, possiamo utilizzare la relazione p = C 0 : Otteniamo: p = 2q + 1 Da cui si ottiene, isolando q, la funzione di o erta: q = p 1 2 Bisogna inoltre imporre che il prezzo sia maggiore dei costi medi variabili, a nchè sia rispettata la condizione di non chiusura. Il costo variabile è CV = q + q 2 ; mentre il costo medio variabile è CMV = CV=q = 1 + q: Imponendo che p > CMV si ottiene: p > 1 + q In altri termini, il punto in cui C 0 = CMV è: C 0 = CMV! 1 + q = 2q + 1! q = 0 Che, sostituito nella funzione dei costi variabili medio consente di ottenere il valore minimo del prezzo per il quale l impresa entra nel mercato. 1

2 CMV = 1 + q = = 1 Ricapitolando, per p < 1, l o erta è q = 0, mentre per p > 1 l o erta è q = p 1 2 : d) La quantità prodotta si ottiene dalla relazione R 0 = C 0, che in concorrenza perfetta, essendo R 0 = p, si traduce nella condizione p = C 0 :Dato che p è ipotizzato pari a 7, abbiamo: 7 = 2q + 1 ossia: q = 3 Si noti che, sosituendo p = 7 nella funzione di o erta ottenuta al punto (c), saremmo giunti allo stesso risultato: q = p 1 2 = = 3 Il pro tto dell impresa è pari a: = RT CT = pq (10 + q + q 2 ) = 7 3 ( ) = = 1 Notate che il pro tto è negativo, si tratta perciò di una perdita. Si noti anche che si poteva giungere alla stessa quantità ottima massimizzando la funzione del pro tto imponendo la sua derivata prima =0. Cioè: = pq (10 + q + q 2 ) = 7q (10 + q + q 2 ) = q 2 + 6q 10 la cui derivata prima è: d dq = 2q + 6 Che imposta =0 consente di ottenere, ancora una volta: q = 3 Si noti che è rispettata anche la seconda condizione, ovvero che la derivata seconda sia < 0 ( d2 d 2 q = 2 < 0). e) Gra camente, l area del ricavo totale è individuata dall incrocio C 0 = P, ed è un rettangolo di base 3 e altezza 7 (nel gra co è l area a, ossia 03A7), ed è pari a 7 3 = 21: 2

3 L area del costo totale si ottiene dall incrocio della funzione del costo medio totale (CME) con la quantità q=3. Intuitivamente, visto che abbiamo ricavato un pro tto negativo, tracciamo la curva di costo medio sopra quella di ricavo marginale (tra l altro nel gra co è tracciata anche più in alto di dove dovrebbe essere per evidenziare meglio l area). L area ha base 3 e altezza 22/3 (che si ottiene sostituendo q=3 nella funzione di costo medio totale), nel gra co è l area (a+b), ovvero 03B 22 3, ed è pari a = 22: L area del pro tto (o perdita nel nostro caso), è data dalla di erenza tra le due aree di ricavo e costo, perciò è l area b, 7AB 22 3, di base 3 e altezza ( = 1=3): E quindi pari a = 1: P C' CME 22/3 7 b B A R'=RME=QD=P a Q f) Con un aumento dei costi ssi la funzione di costo totale diventa: CT = 5 + q + q 2 Poichè non si modi ca nè il ricavo marginale (pari a p), nè il costo marginale (la derivata di CT è sempre 1 + q), la condizione è la stessa (7 = 1 + q) e la quantità che massimizza il pro tto è sempre q = 3. Tuttavia, a modi carsi è il pro tto, che diventa: = RT CT = pq (10 + q + q 2 ) = 7 3 ( ) = = 4 Questa volta si ha un pro tto positivo. Gra camente, stavolta il costo medio sta sotto la retta del ricavo marginale. L area del ricavo totale, nel gra co successivo, è (a+b), il costo totale è (a), il pro tto è (b). 3

4 P C' 7 17/3 b B A CME R'=RME=QD=P 0 a Q Esercizio 2 a) Le funzioni di o erta, come prima sono date dalla condizione p = C 0, ossia: p = 2q 1! q 1 = p=2 p = 6q 2! q 2 = p=6 Dobbiamo inoltre imporre che p > CMV. Nel nostro caso, non esistono costi ssi, quindi costo medio variabile e totale coincidono e sono pari a: CMT 1 = CMV 1 = CT 1 =q = q 1 CMT 2 = CMV 2 = CT 2 =q = 3q 2 Mentre i costi marginali sono: C 0 1 = 2q 1 C 0 2 = 6q 2 Vediamo il punto in cui C 0 = CMT q 1 = 2q 1! q 1 = 0 3q 2 = 6q 2! q 2 = 0 che, sostituite nelle rispettive funzioni di costo medio, ci consentono di ottnere il punto al di sotto del quale non c è o erta. 4

5 CMT 1 = q 1 = 0 CMT 2 = 3q 2 = 0 b) L o erta di mercato è data dalla somma orizzontale delle due singole o erte: Q s = q 1 + q 2 = p 2 + p 6 = 2 3 p (IMPORTANTE! ricordate di sommare le quantità, cioè dovete isolare q nelle singole o erte prima di sommare!) c) Per prima cosa dobbiamo determinare il prezzo che si determina sul mercato, dato dall incrocio tra domanda e o erta di mercato: Q s = Q D! 2 3 p = 12 p 3 Da cui si ottiene: p = 12 che è il prezzo che viene preso come dato da ogni singola impresa. Ora possiamo ottenere la quantità di equilibrio sostitendo nella funzione di o erta: Q s = 2 3 p = = 8 d) Le quantità vendute dalle singole imprese si ricavano dalle singole funzioni di o erta (o dalla codizione P=C ): q 1 = p=2 = 12=2 = 6 q 2 = p=6 = 12=6 = 2 I pro tti sono: 1 = RT 1 CT 1 = pq 1 q 2 1 = 12(6) (6) 2 = = 36 2 = RT 2 CT 2 = pq 2 3q 2 2 = 12(2) 3(2) 2 = = 12 Esercizio 3 a) Per calcolare le singole curve di o erta imponiamo la condizione P=C. Il costo maginale è: C 0 = 3q Otteniamo quindi: 5

6 P = 3q! q = p 3 (ricordando che l o erta è de nita solo per i valori di prezzo maggiori del punto in cui C 0 = CMEV ) L o erta di mercato è data dalla somma delle singole o erte, e quindi: Q = 20q = (20 p 3 ) = (20=3)p b) L equilibrio di mercato è dato dall incrocio tra domanda di mercato (data nel testo) e o erta di mercato: QD = 80 4P Q S = (20=3)p Da cui si ottiene P = 15=2, Q = 50, q = 50=20 = 5=2 Il pro tto della singola impresa è: 3 = RT CT = pq 2 q 3 = Esercizio = = 51=8 Nel breve periodo K è sso e la funzione di produzione diventa: y = (4) 1=2 L 1=2 = 2L 1=2 Da cui otteniamo il valore di L in funzione di y: L = y2 4 Possiamo ora ottenere la funzione di costo totale: CT = rk + wl = y2 4 = 4 + y2 Per calcolare l o erta di breve periodo abbiamo bisogno di costo marginale e costo medio variabile: C 0 = 2y CMV = y 2 =y = y L o erta si ricava dalla condizione p = C 0, cioè: p = 2y! y = p=2 (Ricordando che il prezzo deve essere maggiore del punto di incrocio tra costo marginale e costo medio variabile) 6

7 L o erta di mercato, essendo presenti 50 imprese è: Y = 50y = 50(p=2) = 25p b) Dall eguaglianza Q s = Q D otteniamo il prezzo di mercato: 25p = 300 5p! p = 10 Possiamo quindi ottenere la quantità prodotta complessivamente dal mercato e da ogni singola impresa: Y = 25p = 250 y = p=2 = 5 (si noti che quest ultima si poteva ottenere anche come Y =50) Il pro tto per ogni singola impresa è: = RT CT = py (4 + y 2 ) = = 21 c) Nel lungo periodo nuove imprese sono incentivate ad entrare nel mercato sin tanto che i pro tti sono positivi. Succede quindi che i pro tti tendono ad annullarsi, in quanto nuove imprese continuano ad entrare sin quando il profitto non viene eroso del tutto. La nuova condizione da imporre è p = CMT, condizione che consente che il pro tto sia uguale a zero. Rimane tuttavia valida anche la condizione di massimo p = C0, quindi riassumendo si deve avere: CMT = p = C0 Il costo medio totale è: CMT = CT=y = 4+y2 y = 4 y + y Mentre il costo marginale è sempre C 0 = 2y, come calcolato al punto (a). Dall uguaglianza CMT = C 0 otteniamo: 4 y + y = 2y! y = 2 Si noti che l equazione restituisce due valori (2) ma quello negativo non ha senso per la nostra analisi. A questo punto possiamo ottenere il prezzo di equilibrio utilizzando indi erentemente la condizione CMT = p oppure C 0 = p: Si ottiene: p = 4 y + y = = 4 7

8 p = 2y = 2 2 = 4 4 è quindi il prezzo che si determina sul mercato. Possiamo inoltre ottenere la quantità domandata sostituendo il prezzo nella funzione di domanda di mercato: Y D = ( ) = 280 Visto che ogni impresa vende una quantità pari a y = 2, possiamo determinare il numero di imprese sul mercato: N = 280=2 = 140 In ne, il pro tto per ogni singola impresa è: 1 = RT 1 CT 1 = py (4 + y 2 ) = 4 2 (4 + 4) = 8 8 = 0 Il pro tto è nullo, c.v.d. 8

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