Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico

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1 Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica B() (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale nello spazio, cioè una gandezza fisica con modulo B B e diezione, funzione della posizione nello spazio ( x, y, z) (teoie di aaday-maxwell) Azione del campo di induzione magnetica (ad esempio vicino a una calamita o magnete natuale): oientamento di aghi magnetici ul magnete e sugli aghi magnetici (bussole) sono definiti i poli od e ud; gli aghi si oientano secondo linee in modo da fomae una catena (poli opposti si attaggono, poli uguali si espingono)

2 Rappesentazione del campo magnetico pe mezzo di linee di foza: la diezione del campo è tangente alle linee, che escono dal polo (od) ed entano dal polo (ud) Campo di induzione magnetica della tea Polo od Tea ole B Dipolo magnetico: oggetto simile al dipolo elettico: è fomato da due poli magnetici opposti a distanza d, la stuttua delle linee di foza è simile Polo ud

3 Azione del campo di induzione magnetica: foze su fili pecosi da una coente elettica (seconda legge di Laplace) B l campo di induzione magnetica tatto di filo, oientato nel veso della coente La foza è popozionale alla coente, alla lunghezza del tatto di filo e al campo, ed è dietta pependicolamente alle diezioni del filo e del campo secondo la egola del cacciavite (o della mano desta) l B l B vettoe podotto vettoiale ta i vettoi l e B Più esattamente: foza infinitesima su un tatto di filo di lunghezza infinitesima d dl B

4 Podotto vettoiale a b c a pepend. a b modulo a bc e c sen se b c a b c se b c a b a a è nella diezione di avanzamento della vite c il podotto vettoiale non è commutativo! oza del campo B modulo l c b B b c B sen l l B z y x tena di assi catesiani otogonali (x,y,z)

5 La foza su fili definisce completamente B l B [ ] [ l B] [ B] l i definisce il Tesla, unità di misua di B dimensioni di B T A m i usa anche il Gauss: Gauss -4 T oza Coente Lunghezza Esempi: Elettomagnete B T eomagnete B. T Campo magnetico teeste -4 T oza totale su filo ettilineo in campo magnetico unifome e pependicolae al filo B costante, π/, sen dietta veso sinista d Bsen dl B dl filo filo filo imbologia: Campo entante nel foglio Campo uscente dal foglio B L dl L

6 Esempio di calcolo: foza totale su un cicuito semicicolae in campo magnetico unifome (vedi figua) B dietto come x aggio del semicechio coente d l tatto di filo infinitesimo angolo ta la diezione di dl e quella di B oza sul tatto ettilineo del cicuito: diezione entante nel piano L B diezione entante nel piano diezione uscente dal piano oza sul tatto semicicolae: diezione uscente dal piano; dato che dl d e che l angolo va da a π pecoendo il semicechio (nel veso della coente) si ha π [ ] B B L B sen dl B sen d B cos semicechio π L O y d d l uguale e opposta alla pecedente. Quindi la foza totale è nulla. (questa conclusione è valida pe spie di foma qualsiasi pecose da coente!). aà possibile peò un moto di otazione (coppia di foze e momento meccanico) B x

7 Momento meccanico su una spia Vista di fonte z B x pia ettangolae di supeficie a b, con coente, immesa in campo magnetico unifome B dietto come x oze sui tatti dietti come x (paalleli a B) : nulle oze sui tatti dietti come z (pependicolai a B) : B b Vista dall alto B y B x e hanno diezioni opposte coppia di foze moto otatoio intono al punto centale O momento meccanico ispetto a O: M Coente entante nel foglio Coente uscente dal foglio Angolo ta B e la nomale alla supeficie della spia a a a sen + sen bb sen M B sen n

8 Momento meccanico coente supeficie campo π n o B n π / Am [ M] [ B] Am T Am m B o n Momento meccanico zeo (posizione di equilibio instabile) enegia massima U + B Momento meccanico massimo enegia zeo M B Enegia della spia nel campo magnetico: U U B cos (si icava calcolando il lavoo meccanico pe la otazione della spia) Momento meccanico zeo (posizione di equilibio stabile) enegia minima U - B (.B la nomale n alla spia coisponde alla egola del cacciavite uotando secondo la otazione della coente) Motoi elettici: si ottiene lavoo meccanico sfuttando il movimento della spia nel campo di induzione magnetica, vaiando nel tempo sinusoidalmente la coente pe mantenee momento meccanico e otazione (motoi sinconi)

9 l campo magnetico B viene geneato da: magneti + on è possibile isolae un polo magnetico (ad esempio dividendo il mateiale in pezzi più piccoli); i poli e sono sempe accoppiati. Al limite le linee di foza di B si ichiudono su se stesse; non esistono caiche magnetiche (diffeenza col campo elettico) on ci sono sogenti del campo B; si dice che il campo B è solenoidale. B Geometia del campo B Φ Legge di Gauss pe B B B n d! up. chiusa e in foma puntuale div B

10 l campo magnetico B viene geneato da: coenti Lezione 7 (pima ossevazione speimentale: Oested 89) l campo di induzione magnetica infinitesimo db nel punto P ceato dal tatto di filo infinitesimo dl è dato dalla legge di Biot-avat (o pima legge di Laplace) db in modulo: db d l 3 4 π db sen d l a) è pependicolae a dl e a secondo la egola del podotto vettoiale b) è invesamente popozionale a (legge dell inveso del quadato) c) è popozionale alla coente e alla lunghezza del filo tatto infinitesimo di filo, oientato nel veso della coente vettoe posizione del punto P da O (ad angolo ispetto a dl ) d l O d l in P: campo di induzione magnetica B uscente dal foglio (egola della mano desta) P

11 Costante di popozionalità : dipende dalla scelta di definie B dalla foza esecitata su fili pecosi da coente (vedi) Def.: pemeabilità magnetica del vuoto: 7 7 Tm/A /A l appoto ta le costanti nelle leggi che definiscono i campi, costante elettica / costante magnetica è indipendente dalla scelta dell'unità elettica e ha le dimensioni di una velocità al quadato ( la luce ) ε l campo di induzione magnetica B geneato da conduttoi pecosi da coenti saà quindi dato da C m ε m C /s s d l B db 3 fili fili c i dimosta che pe i campi magnetici geneati da coenti vale seconda equazione di Maxwell: la divegenza di B è sempe zeo B B x y Bz div B + + x y z (a meno che non venga scopeto un monopolo magnetico )

12 campo di induzione magnetica B geneato da conduttoe ettilineo ilo conduttoe infinito dietto come z e pecoso da coente ; B è pependicolae al filo e quindi giace su un qualunque piano pepend. al filo. Data la simmetia cilindica, le linee di foza del campo B sono cicolai. Calcoliamo il campo nel punto P, a distanza R dal punto di intesezione del filo col piano Osseviamo che: dl dz R sen ; z + R B( inp) db sen d l filo + R filo dz 3/ ( z R ) + R z + R π R Quindi B è invesamente popozionale alla distanza dal filo z + B π R d l z O R P B vista dall alto: osseviamo che la diezione delle linee di foza cicolai e la diezione della coente sono legate dalla egola del cacciavite (o mano desta) B

13 campo di induzione magnetica B sull asse di una spia cicolae pia cicolae di aggio a, pecosa da coente e giacente sul piano x-y; sul punto indicato dell asse, il tatto di spia dl contibuisce al campo di induzione magnetica pe la quantità db ; dato che dl è pependicolae al aggio vettoe si ha: d l db dl 3 dl 4 ( ) π z + a Pe la simmetia cicolae, il tatto di spia dl, opposto a dl, contibuisce con il campo db che ha la stessa componente su z, ma componente opposta sul piano x-y. Quindi la pate di campo di induzione magnetica che non si annulla è db cos (con cos a/ ). l campo totale B è dietto come z e vale: B db cos cos dl z + a spia spia a ( ) dl a ( z + a ) z + a spia ( z + a ) B( z) a ( z + a ) 3/ 3/ π a dl y db a z db cos db dl B la diezione delle linee di foza e la diezione della coente sono legate dalla egola del cacciavite (o mano desta) x

14 oza magnetica ta conduttoi paalleli Due conduttoi paalleli di lunghezza L e a distanza d con coenti e di veso concode l conduttoe genea un campo B ( ) (dietto come linee di foza cicolai) π ul conduttoe agisce la foza di modulo L B ( d) L π d Pe simmetia (come è evidente dalla fomula) anche sul conduttoe agisce la stessa foza, dietta veso il conduttoe (legge di azione e eazione) l B( d ) d e diezione veso il conduttoe B Due conduttoi paalleli con coenti nello stesso veso si attaggono con una foza pe unità di lunghezza : L ( ) π d e le coenti scoono in vesi opposti (discodi) è evidente che le foze sono in diezioni opposte Due conduttoi paalleli con coenti in vesi opposti si espingono con una foza pe unità di lunghezza : L π d La definizione pecisa dell Ampee (unità di misua della coente elettica del istema ntenazionale) avviene attaveso la misua di foze ta fili conduttoi

15 Da caiche elettiche: (dalla legge di Coulomb) Q E( ) k Campo elettostatico div E Φ Campi E e B: alcune somiglianze e diffeenze ρ ε Q E n d cont E ε up. chiusa E Pemette di calcolae E pe vaie configuazioni di caiche geneazione del campo linee di foza geometia del campo: Legge di Gauss B Campo magnetostatico Da coenti elettiche (caiche in movimento) Legge di Biot-avat db Φ B d l 3 4 π up. chiusa div B B n d on pemette di calcolae B! Campo consevativo, esiste la funzione Potenziale e E pecoso chiuso ds Lavoo delle foze del campo cicuitazione Esiste funzione Potenziale? (o!, si vedà più avanti) B pecoso chiuso ds??