LABORATORIO 5. ANALISI DELLA VARIANZA AD UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE

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1 LABORATORIO 5. ANALISI DELLA VARIANZA AD UN CRITERIO DI CLASSIFICAZIONE 5.1 ESEMPIO DI ANOVA AD UNA VIA In un esperimento un gruppo di bambini è stato assegnato a caso a 3 trattamenti, allo scopo di determinare se certi esercizi accelerano il tempo in cui i bambini imparano a camminare da soli. I risultati indicano l età in mesi in cui i bambini hanno cominciato a camminare: Età in cui i bambini hanno iniziato a camminare per tipo_esercizi Gruppo Esercizi Attivi (1) Gruppo Esercizi Passivi (2) Gruppo senza Esercizi (3) 9,00 11,00 11,50 9,50 10,50 12,00 9,75 10,00 10,00 10,00 11,75 13,50 12,00 10,25 13,75 9,65 11,00 14,00 Verifica se esiste differenza nell età in cui questi gruppi di bambini hanno cominciato a camminare. Aprire il dataset bambini.txt ricordandosi che le colonne sono delimitate da spazio. Descriviamo i dati (media e sd e quartili) per ogni gruppo di tipo_esercizi: > by(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, mean, na.rm=true) [1] [1] [1] > by(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, sd, na.rm=true) [1] [1] [1] > by(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, quantile, na.rm=true, probs=c( 0,.25,.5,.75,1 ))

2 Descriviamo graficamente i dati per ogni gruppo tramite il box_plot: Dal grafico si nota che i tre campioni indipendenti hanno mediane e variabilità presumibilmente diverse tra di loro. Si nota un punto anomalo. Verifichiamo l omogeneità delle varianze tramite il test di Bartlett: Statistiche -> varianze -> test di Bartlett > bartlett.test(età ~ tipo_esercizi, data=bambini) Bartlett test of homogeneity of variances data: età by tipo_esercizi Bartlett's K-squared = , df = 2, p-value = Le varianze tra i campioni sono omogenee. Descriviamo graficamente la distribuzione dei dati tramite il qq_plot: I campioni presumibilmente sono normali. 2

3 Verifichiamo la normalità dei dati tramite il test di Shapiro-Wilk (è possibile che in aula il comando non funzioni perchè non è stata caricata la libreria stats ): shapiro.test(bambini$età) Shapiro-Wilk normality test data: bambini$età W = , p-value = I campioni sono normali. Tutte le assunzioni dell ANOVA sono rispettate. Si può procedere con l analisi della varianza ad una via: Statistiche -> medie -> Anova ad una via > anova(lm(età ~ tipo_esercizi, data=bambini)) Analysis of Variance Table Response: età Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) tipo_esercizi ** Residuals > tapply(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, mean, na.rm=true) # means > tapply(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, sd, na.rm=true) # std. deviations > tapply(bambini$età, bambini$tipo_esercizi, function(x) sum(!is.na(x))) # counts la riga tipo_esercizi rappresenta la varianza tra gruppi. Residuals è la varianza residua. Il rapporto tra queste due varianze mi fornisce il test F. Da tale test posso concludere che esiste una differenza statisticamente significativa tra i tre gruppi. I soggetti che fanno esercizi attivi incominciano a camminare prima degli altri individui. 5.2 ANALISI DELLA VARIANZA MEDIANTE MODELLO DI REGRESSIONE Statistiche -> Fitta i modelli -> modelli lineari -> età ~ tipo_esercizi > LinearModel.1 <- lm(età ~ tipo_esercizi, data=bambini) > summary(linearmodel.1) Call: lm(formula = età ~ tipo_esercizi, data = bambini) Residuals: 3

4 Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-12 *** tipo_esercizi[t.2] tipo_esercizi[t.3] ** Residual standard error: on 15 degrees of freedom Multiple R-Squared: 0.494, Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 15 DF, p-value: L intercetta rappresenta la media del gruppo di riferimento (1) che è significativamente diversa da 0. tipo_esercizi[t.2] rappresenta la differenza tra la media stimata del gruppo 2 e quella del gruppo 1 che non differisce significativamente da 0. tipo_esercizi[t.3] rappresenta la differenza tra la media stimata del gruppo 3 e quella del gruppo 1 che differisce significativamente da 0. Da notare dalla tabella dell anova della regressione che la varianza dovuta alla regressione corrisponde alla varianza tra gruppi sopra riportata, infatti: > Anova(LinearModel.1) Anova Table (Type II tests) Response: età Sum Sq Df F value Pr(>F) tipo_esercizi ** Residuals Non essendoci differenze tra i soggetti che fanno esercizi allora possiamo provare ad accorpare il gruppo 1 con il 2 e rifare l ANOVA: > LinearModel.2 <- lm(età ~ esercizi, data=bambini) > summary(linearmodel.2) Call: lm(formula = età ~ esercizi, data = bambini) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-14 *** esercizi[t.1] ** Residual standard error: on 16 degrees of freedom Multiple R-Squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 16 DF, p-value:

5 L intercetta rappresenta la media del gruppo (0) di riferimento che non fa esercizi. Tale media è significativamente diversa da 0. esercizi[t.1] rappresenta la differenza tra la media stimata del gruppo che fa esercizi e quella del gruppo 0. Tali medie sono significativamente diverse e quindi significa che i bambini che fanno esercizi incominciano a camminare mediamente circa 2 mesi prima. 5