Capitolo 4. L analisi del punto di pareggio

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1 Capitolo 4 L analisi del punto di pareggio 4.1. Il turismo nelle scuole estive Da diversi anni, università ed altri enti di formazione offrono corsi e- stivi nelle più svariate materie dalle lingue straniere alla gestione dei servizi turistici. L offerta combina l opportunità di apprendere, in tempi relativamente brevi (generalmente, da una a tre settimane), argomenti specifici trattati nei corsi svolti nella regolare attività didattica annuale con quella di visitare località attraenti per le loro qualità storiche, culturali, o naturali. In questo senso, l iniziativa può suscitare l interesse turistico, oltre che quello formativo, nei frequentanti. Le scuole estive o Summer School, tipicamente, non godono di sussidi, ed il prezzo corrisposto dai frequentanti deve essere remunerativo delle risorse impiegate. Queste comprendono, in primis, l opera dei docenti incaricati dello svolgimento dei vari tipi di attività didattiche dalle lezioni frontali ai seminari o alle esercitazioni. Le lezioni frontali, tipicamente, sono tenute di fronte a tutti i frequentanti del corso; le attività didattiche nei seminari o nelle esercitazioni, invece, sono spesso svolte in gruppi di dimensioni relativamente ridotte (ad esempio, componenti), per cui il docente incaricato di queste attività replica la gestione delle classi più volte, di modo che i diversi gruppi possano discutere i temi o svolgere gli esercizi assegnati. I seminari o le esercitazioni (con il medesimo contenuto), pertanto, sono tenuti un numero di volte che dipende dal numero dei frequentanti del corso e dalle dimensioni medie dei gruppi. Altre risorse impiegate per ogni ora di attività didattica, inoltre, sono le aule occupate, sia per la lezione frontale, sia per i seminari o le e- sercitazioni. Il costo di queste risorse può essere determinato sulla ba-

2 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche se della quota di ammortamento degli spazi occupati, intesi come frazione del costo di ammortamento complessivo degli immobili impiegati per l attività didattica. Talvolta, peraltro, il costo di utilizzo delle aule può essere determinato sulla base del costo opportunità delle aule per usi alternativi, come ad esempio il prezzo che terzi sarebbero disposti a pagare per prendere in affitto le aule per attività proprie. Lo svolgimento dei corsi, inoltre, comporta un consumo di risorse direttamente imputabile ad ogni frequentante, come ad esempio l utilizzo di dispense ed altro materiale didattico riprodotto in forma cartacea, la stampa di certificati di frequenza o attestati, souvenir o altro materiale consumato su base individuale. Infine, i corsi si avvalgono dei servizi ausiliari, amministrativi e generali comunque disponibili nell università, come i costi per la biblioteca, quelli per il personale amministrativo, e quelli per l energia elettrica ed altre utility. In sede di programmazione della Summer School, si articola un offerta formativa ritenuta funzionale agli interessi dei possibili frequentanti. Si delinea, infatti, un profilo socio-psicologico dei soggetti che potenzialmente potrebbero prendere parte ai corsi, anche sulla base dei trend nei temi di attualità in specifiche discipline oltre che nelle previsioni delle capacità e professionalità più competitive nel futuro. Ogni Summer School, pertanto, può comprendere più corsi, anche in base al livello di generalità o di specificità degli insegnamenti. In base ai contenuti dei corsi, oltre che ad altri fattori come la reputazione dell università e la notorietà dell iniziativa, la Summer Scool può attrarre un numero più o meno alto di frequentanti. Quanti frequentanti sono necessari, come minimo, per rendere l iniziativa redditizia? Che prezzo fissare per la frequenza ad un corso della Summer School? E inoltre, è preferibile fissare un solo prezzo indistintamente, oppure applicare prezzi differenti in base alle caratteristiche dei frequentanti? Queste, ed altre possibili domande, pongono la questione della programmazione del volume di attività futura, ed in particolare dell individuazione a priori del livello minimo di prestazioni (nel caso specifico, il numero di frequentanti del corso) necessario per conseguire un reddito positivo dalla gestione dell iniziativa. Le risposte a queste domande richiedono un analisi specifica, rivolta a comprendere la struttura e l andamento dei costi di gestione dell attività e l incidenza di vari fattori nella determinazione del reddito. 160

3 L analisi del punto di pareggio 4.2. La struttura e l andamento dei costi Il consumo di ogni risorsa impiegata nell ottenimento di beni e servizi varia in base alle caratteristiche fisiche, chimiche, ed organizzative del processo di produzione. Alcuni fattori produttivi, come ad esempio le dispense distribuite ad ogni frequentante di un corso, sono consumati in misura direttamente proporzionale al numero di soggetti che ricevono le prestazioni. Altri, come ad esempio un ora di lezione da parte del docente, sono impiegati indifferentemente dal numero di discenti (salvo la necessità, nel caso il numero di discenti fosse superiore ad un certo limite, di risorse ausiliarie per propagare nello spazio e/o nel tempo la prestazione). Altri ancora, come ad esempio il numero di ore di utilizzo di aule per seminari o esercitazioni in gruppi, dipendono dal numero dei frequentanti del corso, ma variano in base ai diversi ordini di grandezza del numero dei soggetti che ricevono le prestazioni. E evidente che diversi fattori produttivi possono presentare andamenti dei costi, ossia variazioni nei livelli di costo di consumo rispetto al livello di attività svolta, profondamente diversi. Queste considerazioni sono esposte, in modo analitico, con le seguenti definizioni: Costi fissi Essi sono i costi di consumo di fattori produttivi che non variano rispetto al volume di attività svolta. Ad esempio, il numero dei frequentanti di un corso non influenza il numero complessivo di ore di lezione frontale, il quale determina il costo della prestazione del docente e dell utilizzo delle aule. Spesso il volume dell attività svolta è quantificato nel numero di prestazioni, intendendo con questo la produzione e la somministrazione di servizi ai clienti, oppure dei beni prodotti e venduti. I costi fissi (o costi fissi totali) possono essere formulati, a- naliticamente, come una costante rispetto al numero delle prestazioni somministrate o dei beni venduti. I costi fissi unitari, invece, sono espressi dal rapporto tra i costi fissi totali ed il numero delle prestazioni somministrate o dei beni venduti. I costi fissi unitari presentano un andamento decrescente rispetto all aumentare dell attività svolta. 161

4 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Figura 4.1 Costi variabili Essi sono i costi di consumo di fattori produttivi che variano rispetto al volume di attività svolta. Ad esempio, il numero di frequentanti di un corso influenza il numero di dispense da produrre e distribuire, e quindi il costo di consumo dei materiali di cancelleria necessari per predisporle. In questo caso, il costo è commisurato al numero di prestazioni somministrate o di beni venduti. I costi variabili (o costi variabili totali) sono e- spressi, analiticamente, da una funzione dipendente dal volume di attività svolta. Generalmente, questa funzione è crescente, ossia il costo variabile totale aumenta all aumentare del volume di attività svolta. L aumento dei costi variabili al variare del livello di attività svolta, però, può variare in relazione al livello di attività svolta stesso. Si hanno, pertanto, costi variabili direttamente (o linearmente) proporzionali al volume di attività svolta, quando la relazione funzionale in questione è una retta (ossia, è costante il rapporto tra costo variabile totale e livello di attività svolta); oppure, costi variabili più che proporzionali, se la relazione funzionale è una curva concava verso l alto; oppure infine, costi variabili meno che proporzionali, se la relazione funzionale è una curva con la convessità rivolta verso l alto. I costi variabili unitari, espressi dal rapporto tra i costi 162

5 L analisi del punto di pareggio variabili totali ed il numero delle prestazioni somministrate o dei beni venduti, possono essere espressi rispettivamente da una costante, oppure da una curva crescente, oppure da una curva decrescente. Figura 4.2 Figura

6 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Figura 4.4 Costi misti I costi misti comprendono una parte componente fissa ed una variabile. Ad un livello di attività nulla, i costi misti manifestano un livello fisso, imprescindibile. All aumentare dell attività, invece, essi rivelano un andamento crescente (proporzionale, più che proporzionale, o meno che proporzionale). In genere, molti dei costi dei fattori produttivi impiegati nelle aziende hanno un andamento di questo tipo; ad esempio, i costi dell energia elettrica in un corso possono presentare una quota fissa, indipendentemente dalla presenza di alcun frequentante, ed una quota variabile, che dipende dal numero di frequentanti che utilizzano i sistemi informatici messi a disposizione. Analiticamente, i costi misti sommano il comportamento della quota fissa e di quella variabile. I costi misti, inoltre, possono descrivere il comportamento di aggregati di costi di diverso tipo, alcuni dei quali con andamenti fisso ed altri con andamento variabile. L aggregazione del costo del docente per un ora di lezione e del costo delle dispense relative al contenuto insegnato nella medesima ora, ad esempio, somma una parte fissa (il costo del docente) con una variabile (il costo delle dispense distribuite tra il numero dei frequentanti). 164

7 L analisi del punto di pareggio Figura 4.5 Costi semi-variabili (o semi-fissi o a gradini ) I costi semi-variabili manifestano un comportamento relativamente fisso rispetto ad un certo intervallo di livelli di attività, mentre varia rispetto ad intervalli più ampi. In altri termini, l andamento dei costi semi-variabili totali è costante per livelli di attività compresi entro un limite massimo ed uno minimo, mentre il costo varia se il livello di attività si colloca in misura superiore od inferiore rispetto all intervallo. Ad esempio, lo svolgimento di un seminario o di un esercitazione può comportare l impiego di un ora di docenza rivolta a 5 così come a 10 e così come a 15 frequentanti; però, in presenza di 25 frequentanti, è necessario gestire il seminario o svolgere l esercitazione con l impiego di due ore di docenza, una dedicata ad un gruppo di 12 persone e l altra rivolta all altro gruppo di 13 persone. Pertanto, il costo della docenza nel seminario o nell esercitazione è fisso nell intervallo di volume di attività tra 1 e 15 frequentanti; tuttavia, esso è variabile se il volume di attività eccede il limite massimo (o minimo) dell intervallo considerato. Ovviamente, il comportamento dei costi semivariabili può articolarsi in diversi intervelli di livelli di attività, ognuno dei quali caratterizzato da un diverso ammontare di costi fissi. 165

8 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Figura 4.6 La struttura dei costi semi-variabili emerge per il fatto che certi fattori produttivi sono consumati in quantità discrete, ossia a lotti di risorse in grado di contribuire alle prestazioni e/o alle produzioni e vendite fino ad un certo livello di attività svolta. Oltre tale livello, è necessario un salto nella dotazione di risorse, che consentono di svolgere volumi di attività più elevati ma ad un costo semi-variabile totale superiore. I costi semi-variabili unitari, pertanto, manifestano un andamento decrescente quanto più il livello di attività svolta tende a saturare il livello massimo realizzabile con una certa dotazione di risorse (il segmento fisso di costo semi-variabile viene ripartito su un numero crescente di unità), ma ripartono da un livello di costo unitario maggiore quando il livello di attività svolta richiede di acquisire ulteriori risorse. Il volume di attività che sarebbe possibile svolgere data una certa dotazione di risorse, ma che non viene raggiunto in quanto il volume di attività effettiva ne è inferiore, si configura come una capacità produttiva inutilizzata. Nell esempio dei corsi, impiegare due ore di docenza per svolgere un seminario a due gruppi diversi, uno composto da 12 e l altro da 13 frequentanti, comporta una capacità produttiva inutilizzata di 5 possibili frequentanti (3 nel primo gruppo e 2 nel secondo), se assumiamo che l attività didattica possa essere adeguatamente svolta con gruppi fino a 15 partecipanti. Il costo semi-variabile unitario, pertanto, è determinato dividendo il costo delle due ore di docenza per 25, mentre se si occupasse pienamente la capacità produt- 166

9 L analisi del punto di pareggio tiva disponibile esso sarebbe determinato dividendo il medesimo costo di due ore di docenza per 30. Figura 4.7 Costi totali I costi totali sono il totale dei costi dei fattori produttivi impiegati nello svolgimento delle prestazioni e/o nella produzione e vendita di beni. Essi sommano, pertanto, le funzioni di costo fisso, variabile, misto, e semi-variabile dei fattori produttivi impiegati. Generalmente, le funzioni di costo totale hanno una struttura di costi misti, in quanto aggregano componenti fisse con altre variabili. Costi differenziali Il costo differenziale è il maggiore costo che si sostiene all aumento di un unità di livello di attività svolta. Rispetto al concetto microeconomico di costo marginale, il costo differenziale è definito nel concreto manifestarsi fisico del livello di attività svolta, piuttosto che sulla base di astrazioni che considerano incrementi marginali (al limite) nell attività. I costi differenziali, pertanto, sono spesso definiti in base a unità discrete, come ad esempio l incremento di un frequentante ad un corso estivo. Il maggiore costo che si sostiene all aumento del livello di attività svolta dipende dalla struttura complessiva dei costi 167

10 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche totali: la componente di costi fissi, infatti, non implica alcun maggiore costo all aumento dell attività svolta; i costi variabili e misti, invece, comportano un maggiore costo per ogni unità di livello di attività compiuta. I costi semi-variabili, infine, possono non presentare alcun aumento, finché non è esaurito un certo livello di capacità produttiva installata, o manifestare un incremento repentino se l unità di attività aggiuntiva determina il consumo di un livello di risorse più elevato. Figura La determinazione della funzione di costo La determinazione della funzione di costo avviene prendendo in considerazione il comportamento dei costi dei vari fattori produttivi impiegati nella produzione. L andamento dei costi totali dipende dalle caratteristiche fisiche, chimiche, ed organizzative dei processi produttivi: il consumo di alcuni fattori produttivi, infatti, può comportare dei costi fissi rispetto al variare del livello di attività svolta; quello di altri fattori produttivi, invece, può implicare dei costi variabili o misti o semi-variabili rispetto al volume di attività. La funzione di costo può essere determinata attraverso la progettazione dei processi di produzione di beni e servizi, e di somministrazione e vendita. La programmazione del processo di creazione del valore, 168

11 L analisi del punto di pareggio infatti, comporta l individuazione, a preventivo, dei fattori produttivi presumibilmente impiegati, oltre che dei rendimenti ragionevolmente attesi. Le ipotesi formulate nel momento della programmazione, inoltre, possono essere corroborate o falsificate dal riscontro, a posteriori, dei consumi effettivi dei fattori produttivi. In questo caso, è necessaria una rilevazione e raccolta sistematica di dati relativi ai consumi, ai costi, ed ai livelli di attività svolta, e successivamente procedere alla stima della funzione di costo attraverso procedimenti di interpolazione (figura 4.9). Figura 4.9 Il diagramma di dispersione è una rappresentazione grafica della base di dati raccolti. Essa consente di visualizzare l andamento dei costi (ad esempio, totali) in relazione al livello di attività svolta (ad esempio, le quantità prodotte). La funzione di costo può essere ottenuta per mezzo di procedimenti statistici, come la regressione lineare secondo il metodo dei minimi quadrati, oppure con procedimenti di stima, come ad esempio il metodo del valore massimo e del valore minimo (ossia, considerando la linea retta passante per i punti al valore più basso e a quello più alto tra i livelli di attività svolta) (figura 4.10). Eventualmente, la funzione di costo può essere non lineare, di modo da rappresentare con più precisione i possibili rendimenti crescenti o decrescenti al variare del livello di attività svolta. 169

12 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Figura Il conto economico a ricavi e costi variabili La relazione che sussiste tra il livello di attività svolta ed i costi per il consumo dei fattori produttivi può anche essere determinata tramite l analisi contabile. Essa consiste nell individuazione del comportamento dei costi rispetto ad ogni voce di costo rilevata nella contabilità dell azienda. Ad esempio, i costi per ammortamento dei beni strumentali impiegati nella produzione del reddito sono fissi rispetto al volume di attività svolta 1 ; invece, i costi per consumo di materiali diretti nella produzione dei beni o servizi sono tipicamente di tipo variabile. Altri costi, inoltre, possono avere un comportamento misto, come ad esempio provvigioni di vendita composte da una quota di costo fisso e da una variabile correlata alle vendite procacciate. L individuazione del comportamento dei costi rilevati in contabilità consente di redigere una ulteriore riclassificazione del conto economico, oltre a quelle a ricavi e costi della produzione ottenuta e a ricavi e 1 In effetti, questo è il caso in cui gli ammortamenti siano determinati attraverso un piano sistematico, indifferente rispetto al livello di attività svolta. Se si ipotizzasse che il costo dell utilizzo dei beni strumentali fosse correlato al livello di attività svolta, potrebbero essere ammissibili ammortamenti variabili. I principi contabili nazionali ed internazionali affermano la maggiore correttezza degli ammortamenti svolti attraverso un piano sistematico, per quanto vi siano alcune eccezioni ammissibili (ad esempio, nelle attività estrattive). 170

13 L analisi del punto di pareggio costi della produzione venduta (vedasi par. 1.8). Il conto economico a ricavi e costi variabili espone, infatti, i ricavi di vendita (variabili rispetto al volume di produzione e di vendita) ed i costi variabili, e dalla loro differenza si determina il margine di contribuzione. Il margine di contribuzione è un importante risultato economico intermedio, correlato al volume di attività svolta, e così denominato per il contributo che ogni unità di attività svolta apporta nella determinazione del reddito, una volta detratti i costi fissi (o di struttura). Tabella 4.1 Conto economico a ricavi e costi variabili A. Ricavi di vendita B. Costi variabili ( ) 1. Costi per materie prime, sussidiarie, di consumo e merci 2. Costi variabili per servizi 3. Costi variabili per il personale 4. Variazione nelle rimanenze di prodotti finiti, semilavorati, e merci 5. C. Margine di contribuzione (A B) D. Costi fissi ( ) 6. Costi fissi per servizi 7. Costi fissi per il personale 8. Ammortamenti 9. E. Reddito operativo (C D) 10. Proventi ed oneri atipici 11. Proventi ed oneri finanziari 12. Proventi ed oneri straordinari F. Reddito prima delle imposte (E ) 13. Imposte G. Reddito netto (F-13) 4.5. Il costo della capacità produttiva inutilizzata La distinzione tra costi fissi e costi variabili è fondamentale per la corretta interpretazione dei costi sostenuti dall azienda per la realizzazione di un certo livello di attività, oltre che per il calcolo preciso del costo di produzione di beni o servizi. Si ipotizzi, ad esempio, che un azienda realizzi un solo tipo di servizio (pernottamento in camere 171

14 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche da letto), impiegando un bene strumentale (l ammortamento di un fabbricato) e dei fattori produttivi variabili (ad esempio i servizi di biancheria). Il calcolo del costo di produzione unitario avviene dividendo il costo totale sostenuto per la realizzazione di un certo volume di produzione (ammortamento del fabbricato più costo dei servizi), per le unità di prodotto finito ottenuto (il numero di ospiti alloggiati nell arco di tempo considerato). Se il numero degli ospiti fosse inferiore alla capacità massima di alloggio, l azienda manifesterebbe una capacità produttiva inutilizzata, e sopporterebbe un costo unitario delle prestazioni superiore rispetto a quello che sopporterebbe se tutte le camere da letto fossero occupate. La valutazione della capacità produttiva massima è, pertanto, un a- spetto fondamentale della programmazione aziendale. L acquisizione di fattori produttivi durevoli e di fattori produttivi d esercizio vincolati, infatti, comporta tipicamente l emergere di costi fissi, che nella determinazione del costo unitario di produzione sono ripartiti tra le unità di prodotto o prestazione effettivamente allestite. Eventuali sovrainvestimenti in capacità produttiva comportano che i costi fissi possano essere ripartiti su un livello di attività relativamente inferiore alla capacità produttiva massima, con l effetto di aumentare il costo di produzione oltre la misura inizialmente programmata. Inoltre, le scelte di programmazione sulla capacità produttiva da installare comportano la valutazione, a preventivo, del livello minimo di attività da dover svolgere, al fine di consentire al margine di contribuzione di pareggiare i costi fissi (oltre che i costi delle aree atipica e finanziaria, ed eventualmente di conseguire un reddito netto posto come obiettivo minimo). Ad esempio, la programmazione di corsi estivi comporta la previsione del livello minimo di frequentanti da attrarre, relativamente alla struttura dei costi fissi, variabili, e semi-variabili che caratterizzano il processo produttivi dell attività didattica in questione Il punto di pareggio Il punto di pareggio (o Break-Even Point, BEP) è il livello di attività aziendale svolta al quale i ricavi pareggiano i costi totali. Se sia i ricavi sia i costi totali (che comprendono i costi fissi, variabili, misti e semi-variabili) sono inerenti allo svolgimento dell attività operativa, il 172

15 L analisi del punto di pareggio punto di pareggio individua il livello di attività al quale l azienda consegue un reddito operativo nullo. Formalmente, se per semplicità si ipotizzano i costi totali uguali alla somma tra costi fissi e costi variabili, il punto di pareggio è dato da: R(Q) - CT(Q) = R(Q) CV(Q) CF = 0 Ossia, considerando il margine di contribuzione pari alla differenza tra ricavi e costi variabili: O anche: Dove: MdC(Q) CF = 0 MdC(Q) = CF (1) Q= quantità di prestazioni o di beni venduti R(Q) = ricavi, funzione delle quantità di prestazioni o di beni venduti; CV(Q) = costi variabili, funzione delle quantità di prestazioni o di beni venduti; CF = costi fissi; MdC(Q) = margine di contribuzione, funzione delle quantità di prestazioni o di beni venduti. Il punto di pareggio, pertanto, è la quantità di prestazioni o di unità vendute alla quale il margine di contribuzione è interamente in grado di pareggiare i costi fissi. Questa relazione consente di calcolare le quantità del punto di pareggio, infatti: MdC(Q) = R(Q) CV(Q) = p Q cv u Q = (p - cv u ) Q Per cui, dalla (1): (p - cv u ) Q = CF Q = CF / (p - cv u ) = CF / mdc u (2) 173

16 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Dove: p = prezzo unitario delle prestazioni o dei beni venduti; cv u = costo variabile unitario delle prestazione o dei beni venduti; mdc u = margine di contribuzione unitario delle prestazioni o dei beni venduti. Il punto di pareggio può essere analizzato anche graficamente. Si consideri, infatti, la funzione dei ricavi di vendita e quella dei costi totali, e si individui il punto di intersezione tra le due. La funzione dei ricavi di vendita è tipicamente una linea retta, ma la relazione tra ricavi di vendita e quantità di prestazioni o di beni venduti potrebbe essere anche non lineare. Ad esempio, se il prezzo di vendita diminuisse all aumentare delle quantità vendute, come potrebbe capitare nel caso di sconti di prezzo concessi agli acquisti in quantità superiore ad una certa soglia, i ricavi di vendita aumenterebbero in misura meno che proporzionale all aumento delle quantità vendute. Figura 4.11 Il punto di pareggio individua la quantità minima necessaria perché i ricavi eguaglino i costi variabili ed i costi fissi; la vendita di quantità superiori al punto di pareggio permette di conseguire un utile (nell area di profitto), mentre la vendita di quantità inferiori al punto di pareggio comporta l ottenimento di una perdita (area di perdita). Tuttavia, in base alla struttura dei costi è possibile che vi sia più di un 174

17 L analisi del punto di pareggio punto di pareggio (ossia, graficamente, punti in cui le funzioni dei ricavi e dei cosi totali si intersecano). Questo caso può verificarsi, ad esempio, in presenza di costi semi-variabili, che comportano diverse aree di utile e di perdita in diversi intervalli di quantità vendute (figura 4.12). Figura 4.12 Il punto di pareggio può essere determinato, oltre che con riferimento alle quantità di prestazioni o di beni venduti, anche in relazione al valore monetario dei ricavi di vendita. Si considera, infatti: Posto: Si ha: R(Q) = CV(Q) + CF k = CV(Q) / R(Q) R(Q) = k R(Q) + CF R(Q) = CF / (1 k) (3) Questa espressione individua un livello di ricavi (R(Q)) al quale i ricavi stessi pareggiano i costi totali. Rispetto alla (2), la formula (3) ha 175

18 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche il vantaggio di consentire un calcolo più immediato, in quanto non è necessario conoscere le quantità fisiche vendute. Sono sufficienti, invece, i dati sui costi fissi (CF) e sul margine di contribuzione sui ricavi di vendita (1-k). Si osserva, infatti, che: 1 k = 1 CV(Q) / R(Q) = = [R(Q) CV(Q)] / R(Q) = MdC(Q) / R(Q) Per cui 1 k esprime il rapporto tra il margine di contribuzione ed i ricavi di vendita. Questo valore può essere determinato facilmente, ad esempio, dalla riclassificazione del bilancio a ricavi e costi variabili Struttura dei costi e punto di pareggio Il punto di pareggio è influenzato della struttura dei costi, ossia della composizione dei costi fissi, variabili, misti, e semi-variabili. In base al valore dei parametri che caratterizzano ogni componente della funzione dei costi totali, infatti, il punto di pareggio può variare, e pertanto sarà necessario svolgere un livello di attività più o meno elevato al fine di conseguire il pareggio. Tra i parametri che condizionano la struttura dei costi, in particolare, si prendono in considerazione i seguenti tre casi: Figura

19 L analisi del punto di pareggio a) Livello dei costi fissi Il livello dei costi fissi influenza il punto di pareggio, in quanto, a parità di altre condizioni, costi fissi più elevati comportano un punto di pareggio collocato ad un livello più elevato di attività svolta. Viceversa, livelli inferiori di costi fissi determinano, a parità di altre condizioni, un punto di pareggio ad un livello di attività relativamente più basso (figura 4.13). Figura 4.14 b) Costo variabile unitario Il costo variabile unitario può essere costante, nel caso in cui la parte variabile della funzione di costo sia lineare, oppure variare in funzione al livello di attività svolta. Costi variabili unitari relativamente elevati comportano che la curva dei costi variabili sia relativamente ripida, e che il punto di pareggio, a parità di altre condizioni, sia relativamente maggiore; viceversa, costi variabili unitari relativamente bassi comportano che la curva dei costi variabili sia relativamente piatta, e che il punto di pareggio, a parità di altre condizioni, sia relativamente minore (figura 4.14). c) Prezzo unitario di vendita Il prezzo di vendita determina la funzione dei ricavi di vendita, sia di tipo lineare se il prezzo è costante, sia di tipo non lineare se il prezzo è variabile. Un prezzo unitario di vendita relativamente e- levato determina, a parità di altre condizioni, un punto di pareggio 177

20 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche relativamente minore; viceversa, un prezzo unitario di vendita relativamente basso determina, a parità di altre condizioni, un punto di pareggio relativamente maggiore (figura 4.15). Figura La leva operativa La struttura dei costi di un azienda determina le condizioni di rigidità o di elasticità che condizionano il conseguimento del reddito operativo. Una struttura dei costi relativamente rigida, ad esempio, è caratterizzata dalla preponderanza di costi fissi rispetto a quelli variabili: in questo caso, ogni unità venduta provvede un margine di contribuzione relativamente modesto che contribuisce a compensare i costi fissi. In una struttura di costi relativamente elastica, invece, l incidenza dei costi fissi è relativamente bassa: allora, ogni unità venduta produce un margine di contribuzione relativamente elevato per contribuire a pareggiare i costi fissi. Fondamentalmente, strutture dei costi più o meno rigide (o elastiche) espongono il reddito operativo a variabilità più o meno marcate: una variazione percentuale nel volume di attività svolta (ad esempio, una diminuzione del 5% nei ricavi di vendita) comporta effetti più o meno intensi nel reddito operativo, in base alla composizione relativa dei costi fissi e di quelli variabili, e del margine di contribuzione di ogni unità venduta. Formalmente, questa relazione è e- spressa nella leva operativa, definita come il rapporto tra la variazione 178

21 L analisi del punto di pareggio del reddito operativo rispetto alla variazione della quantità di prestazioni o beni prodotti e venduti. LO = ( R op / R op ) / ( Q / Q) Dove: LO = leva operativa R op = variazione nel reddito operativo R op = reddito operativo Q = variazione nelle quantità vendute Q = quantità vendute Tale espressione può essere sviluppata come segue: LO = [(R op1 - R op0 ) / R op0 ] [Q 0 / (Q 1 Q 0 )] = = {[(mcq 1 CF) (mcq 0 CF)] / (mcq 0 CF)} [Q 0 / (Q 1 Q 0 )] = = [(mcq 1 mcq 0 ) / (mcq 0 CF)] [Q 0 / (Q 1 Q 0 )] = = [mc(q 1 Q 0 ) / (mcq 0 CF)] [Q 0 / (Q 1 Q 0 )] = = mcq 0 / (mcq 0 - CF) = = MC 0 / R op0 Dove : mc = margine di contribuzione unitario MC 0 = margine di contribuzione al livello di quantità venduta Q 0 La leva operativa, pertanto, è pari al rapporto tra il margine di contribuzione e il reddito operativo, calcolati entrambi con riferimento al medesimo livello di quantità venduta. 179

22 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche 4.9. Il punto di pareggio in una Summer School L analisi del punto di pareggio provvede gli strumenti necessari per affrontare le questioni poste in merito alla programmazione dei corsi estivi universitari: Quanti frequentanti sono necessari, come minimo, per rendere l iniziativa redditizia? Che prezzo fissare per la frequenza ad un corso della Summer School? E inoltre, è preferibile fissare un solo prezzo indistintamente, oppure applicare prezzi differenti in base alle caratteristiche dei frequentanti? Si consideri, ad esempio, il caso di un corso estivo della durata di 3 settimane, in ognuna delle quali si tengono 10 ore di lezione frontale. L amministrazione universitaria addebita alla gestione del corso estivo un costo pari a 200 all ora per l utilizzo dell aula per le lezioni, indicativo del costo per la disponibilità del locale (quota di ammortamento e quota di spese generali, ad esempio di pulizia) oltre che del prezzo che soggetti terzi potrebbero pagare per avere la disponibilità dell aula per altri usi. Il docente incaricato delle lezioni, inoltre, ha un costo orario di 200. Per ogni frequentante, l amministrazione sopporta costi per la produzione di dispense ed altro materiale didattico, la stampa dei certificati a fine corso, oltre che altri costi per corrispondenza postale. Nel complesso, tali costi ammontano a 50 per studente. La gestione del corso, inoltre, comporta il sostenimento di costi amministrativi, come il personale incaricato di compiti di segreteria, e spese varie (cancelleria, etc.), per complessivi Un altro costo imputabile alla gestione, infine, è rappresentato dalla pubblicità svolta durante i mesi precedenti l inizio del corso, su mezzi di informazione come quotidiani, periodici, oltre che l Internet, per complessivi I dati esposti consentono di delineare la struttura dei costi della produzione delle prestazioni didattiche nel corso estivo. In primis, il corso è caratterizzato da un certo ammontare di costi fissi, indipendenti dal numero di soggetti effettivamente frequentanti. Essi sono dati da: 1. Costi per docenza frontale Costi per l aula per le lezioni Costi amministrativi fissi Costi di pubblicità Totale costi fissi

23 L analisi del punto di pareggio Il costo per le ore di docenza, infatti, sono date da 30 (ore) per 200 (all ora); pure il costo per l aula per le lezioni è dato da 30 (ore) per 200 (all ora). Tali costi, come anche quelli amministrativi e di pubblicità, sono infatti indipendenti dal numero dei soggetti frequentanti (in effetti, nell eventualità in cui non si presentasse alcun frequentante al corso, potrebbe essere possibile non sostenere alcuni costi, se i fattori produttivi non fossero stati vincolati da contratti; si trascura, tuttavia, questo caso particolare). La gestione del corso comporta anche il sostenimento di costi variabili, correlati proporzionalmente alla presenza di ciascun frequentante. Il costo variabile unitario è dato da: 5. Costi variabili unitari 50 per frequentante La struttura dei costi per la produzione del corso, in questo caso, è data da: Posto : CT = costi totali; CV(Q) = costi variabili in funzione del numero di frequentanti; CF = costi fissi, CT = CV(Q) + CF CT = 50 Q Per il servizio prestato ad ogni partecipante, il corso permette di conseguire un margine di contribuzione unitario dato da: mdc u = = 950 Il punto di pareggio del corso è facilmente calcolato dalla formula: Q = CF / (p - cv u ) = CF / mdc u Q = / 950 = 38 frequentanti 2 2 Approssimato per eccesso. 181

24 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche I ricavi di vendita necessari per conseguire il pareggio, invece, sono calcolabili anche con la formula: R(Q) = CF / (1 k) R(Q) = / (1 50 / 1.000) = = / (1 0,05) = / 0,95 = = circa Ad esempio, se al corso prendessero parte 80 frequentanti, che corrispondessero il prezzo di ciascuno, il reddito operativo conseguito sarebbe pari a: A Ricavi di vendita B Costi variabili C Margine di contribuzione (A-B) F Costi fissi Costi per docenza frontale Costi per l aula per le lezioni Costi amministrativi fissi Costi di pubblicità Totale costi fissi G Reddito operativo (E-F) Si supponga però che, oltre alle 30 ore di didattica frontale, il corso comprenda 12 ore di seminari. In questo caso, i seminari sono organizzati in gruppi, composti in via indicativa di 15 partecipanti. Mentre ogni ora di lezione frontale richiede un aula relativamente ampia (ad esempio, da 100 posti a sedere), i seminari possono essere svolti in aule più piccole (da circa 20 posti a sedere). L amministrazione universitaria addebita alla gestione del corso estivo un costo pari a 50 all ora per l utilizzo delle aule dei seminari. Inoltre, si tiene conto che il docente incaricato dei seminari ha un costo di 80 all ora. Oltre ai costi fissi ed ai costi variabili, il corso comprende, in questo caso, anche il sostenimento di costi semi-variabili, che dipendono essenzialmente dal numero di gruppi formati per la frequenza dei seminari. Ogni gruppo è costituito, indicativamente, da 15 partecipanti, an- 182

25 L analisi del punto di pareggio che se sono tollerabili gruppi composti, ad esempio, da 13 oppure da 16 soggetti. Il numero di gruppi, pertanto, dipende dall approssimata divisione tra il numero di partecipanti e il numero indicativo di soggetti partecipi ad ogni gruppo. Per ogni gruppo, il costo sostenuto è pari a: 6. Costi per docenza nei seminari 960 per gruppo 7. Costi per l aula dei seminari 600 per gruppo Totale costi semi-variabili per gruppo per gruppo Infatti, il costo per le ore di docenza nei seminari è dato da 12 (ore di seminario per ogni gruppo) per 80 ( all ora); il costo per l aula per i seminari, invece, è dato da 12 (ore di seminario per ogni gruppo) per 50 ( all ora). Sulla base di questi dati, è possibile formulare la seguente funzione di costo totale per la produzione del corso estivo: Posto : CT = costi totali; CV(Q) = costi variabili in funzione del numero di frequentanti; CSV(G) = costi semi-variabili in funzione del numero dei gruppi; CF = costi fissi, e considerato che: G = Q / 15 (approssimato all unità) CT = CV(Q) + CSV(G) + CF CT = 50 Q G Si ipotizzi, ad esempio, che al corso prendano parte 80 frequentanti, che corrispondono un prezzo di ciascuno. In tal caso, il numero di gruppi per i seminari è pari a 5 (5 virgola 3 periodico), ognuno composto da 16 partecipanti. Il reddito operativo della gestione del corso sarebbe dato da: 183

26 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche A Ricavi di vendita B Costi variabili C Margine di contribuzione (A-B) D Costi semi-variabili Costi per docenza nei seminari Costi per l aula dei seminari E Margine di (semi)contribuzione (C-D) F Costi fissi Costi per docenza frontale Costi per l aula per le lezioni Costi amministrativi fissi Costi di pubblicità Totale costi fissi G Reddito operativo (E-F) Il numero minimo di partecipanti al corso (per conseguire il pareggio nel reddito operativo) può essere calcolato per mezzo di procedimenti di ricerca di valori obiettivo (ad esempio, tramite l apposita funzione nei software di foglio di calcolo). Impostando la ricerca del numero dei frequentanti che renda il reddito operativo pari a zero, infatti, è possibile svolgere in automatico il calcolo di Q, tenendo in considerazione la sua influenza su G e quindi sui costi totali. A Ricavi di vendita B Costi variabili Costi amm.vi variabili C Margine di contribuzione (A-B) D Costi semi-variabili Costi per docenza nei seminari Costi per l aula dei seminari E Margine di (semi)contribuzione (C-D) F Costi fissi Costi per docenza frontale Costi per l aula per le lezioni Costi amministrativi fissi Costi di pubblicità Totale costi fissi G Reddito operativo (E-F) 670 Nel caso in questione, la ricerca di valori obiettivo ottiene che il punto di pareggio del corso si ottiene con almeno 43 partecipanti. Con tale numero di frequentanti, infatti, si formano 3 gruppi (2 di 14 persone e 184

27 L analisi del punto di pareggio uno di 15), e il reddito operativo della gestione del corso è pari a 670. Si può verificare, infatti che se i frequentanti fossero 42, si conseguirebbe una perdita di 280. Al prezzo di partecipazione al corso di 1.000, pertanto, sono i ricavi del break-even point. Si osserva che, in presenza di costi semi-variabili, la formula del paragrafo 4.6 provvede un indicazione di massima dei ricavi del punto di pareggio, in quanto il numero dei gruppi per i seminari varia con discontinuità non esprimibili con relazioni lineari. In via approssimativa, comunque, l applicazione della formula determina: CF = costi fissi = CV = costi variabili + costi semi-variabili = RV = ricavi di vendita = k = CV / RV = 0,16 1 k = 0,84 R(Q) = CF / (1 k ) = Pertanto, la formula indica un valore dei ricavi che consentirebbero di ottenere il punto di pareggio inferiore a quello corretto, anche se, in questo caso, entro un approssimazione ragionevole. Cosa accadrebbe se il prezzo di partecipazione al corso non fosse di 1.000, ma ad esempio variasse in base al tipo di frequentante? Alcune Summer School, ad esempio, offrono i corsi a prezzi diversi in base alla qualità di studente universitario o meno dei partecipanti. Si supponga, pertanto, che il prezzo di partecipazione al corso sia di per studenti, e di per non studenti. In questo caso, i ricavi di vendita dipendono dal mix, ossia dalla composizione relativa dei partecipanti dei due tipi. La struttura dei costi, invece, non varia, se si considera che le prestazioni didattiche siano offerte indifferentemente a tutti i partecipanti, studenti e non. Si consideri, ad esempio, la partecipazione di 80 frequentanti, dei quali il 40% sia costituito da studenti (in numero di 32) e il 60% da non studenti (in numero di 48). I ricavi di vendita sono dati da: 185

28 Programmazione e controllo: applicazioni nelle aziende turistiche Posto: F s = numero di frequentanti studenti F ns = numero di frequentanti non studenti p s = prezzo per frequentanti studenti p ns = prezzo per frequentanti non studenti RV = p s F s + p ns F ns RV = = = In tal caso, il reddito operativo della gestione del corso è dato da: A Ricavi di vendita B Costi variabili Costi amm.vi variabili C Margine di contribuzione (A-B) D Costi semi-variabili Costi per docenza nei seminari Costi per l aula dei seminari E Margine di (semi)contribuzione (C-D) F Costi fissi Costi per docenza frontale Costi per l aula per le lezioni Costi amministrativi fissi Costi di pubblicità Totale costi fissi G Reddito operativo (E-F) In questo caso, la determinazione del punto di pareggio dovrebbe tenere conto sia del numero di frequentanti, sia della composizione del mix (rapporto tra frequentanti studenti e non studenti). Il mix, infatti, determina margini di contribuzione unitari differenti (a parità di costo di produzione dell attività didattica, si percepiscono prezzi differenti). E necessario, pertanto, risolvere l equazione del punto di pareggio tenendo in considerazione due variabili, e il break-even point è individuato con un insieme di soluzioni, piuttosto che con un unico valore relativo al volume di attività svolta. In altre parole, un insieme di punti di pareggio forma una linea di confine tra l utile e la perdita. La tabella 4.2, infatti, illustra che diversi valori di reddito operativo sono otte- 186

29 L analisi del punto di pareggio nuti in funzione di diversi numeri di frequentanti e di diversa incidenza nel numero dei partecipanti studenti. Se gli studenti sono relativamente pochi, è sufficiente un numero relativamente inferiore di partecipanti per conseguire il punto di pareggio; quanto più i partecipanti sono studenti, tanto più alto deve essere il numero di partecipanti per raggiungere il break-even point. Ad esempio, se nessun partecipante fosse studente, sarebbero sufficienti 29 partecipanti per pareggiare; se invece tutti fossero studenti, sarebbe necessario che partecipassero 43 soggetti. Tabella 4.2 Reddito operativo in relazione al numero di frequentanti ed alla quota di partecipanti studenti Numero di frequentanti % studenti % % % % % % % % % % %