CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione

Transcript

1 CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DI SEGNALI Fondamenti Segnali e Trasmissione

2 Numerizzazione dei segnali Nei moderni sistemi di memorizzazione e trasmissione i segnali in ingresso sono di tipo numerio, normalmente rappresentati in ormato binario {0,}. In aluni asi (si pensi ad esempio alle inormazioni sulle operazione valutarie he le banhe si sambiano ra loro) i segnali da elaborare e trasmettere sono segnali numerii già all origine (la sorgente stessa è numeria). In aluni asi la rappresentazione numeria dei segnali originari e molto semplie (alle lettere di un testo può essere ailmente assoiato un odie numerio ad es. binario: a = 0000, b = 0000, = 000, e.). In molti altri asi, invee, la rappresentazione numeria dei segnali originari rihiede un analisi più aurata. Come si può, ad esempio, rappresentare numeriamente il segnale tempo-ontinuo in usita da un miroono? 2 Fondamenti Segnali e Trasmissione

3 Molti dei segnali on ui abbiamo a he are nella realtà quotidiana sono ontinui sia nel tempo sia nelle ampiezze. x(t) t La La rappresentazione di di un un segnale ontinuo on un un segnale numerio rihiede di di disretizzare sia il il tempo sia le le ampiezze. 3 Fondamenti Segnali e Trasmissione

4 Campionare i segnali (disretizzare nel tempo) ampioni del segnale x(nt ) segnale originale x(t) T t T è detto periodo (o passo) di ampionamento, =/T è detta requenza di ampionamento é evidente he segnali x(t) diversi, possono dare la stessa sequenza di ampioni... 4 Fondamenti Segnali e Trasmissione

5 Ambiguita ausata dal ampionamento (esempio) ( t ) sin( t / 2) x = 0 T = = x x ( t ) x( t )os( 2π t ) = ( t ) x( t ) os( 4π t ) 2 = Fondamenti Segnali e Trasmissione

6 Ambiguità ausata dal ampionamento Consideriamo il generio segnale x(t) e ampioniamolo a passo T =/, ottenendo la sequenza di ampioni x(nt ). La sequenza he otteniamo possiamo rappresentarla nel dominio ontinuo tramite il prodotto tra x(t) ed il treno di impulsi spaziati di T seondi: x + ( t ) = x( nt ) δ ( t nt ) = x( t ) δ ( t nt ) n= X + ( ) = X ( ) δ ( n ) = X ( n ) T n= + n= T + n= In generale, tanti diversi x(t) generano la stessa x (t) per ui non è possibile riostruire x a partire da x. Quest ambiguità si ritrova anhe in X (): non e possibile riostruire om era atta X() dalla sovrapposizione delle sue replihe traslate X (). 6 Fondamenti Segnali e Trasmissione

7 Il teorema del ampionamento Se e noto a priori he il segnale tempo ontinuo x(t) non ontiene requenze maggiori di / 2 e ineriori a - / 2, esiste un legame univoo tra il segnale ontinuo nel tempo e i suoi ampioni x(nt ). Se un segnale x(t) e ampionato on requenza di ampionamento almeno doppia della massima requenza ontenuta e perettamente riostruibile (le replihe in requenza sono disgiunte). Altrimenti le replihe sono sovrapposte e vi sono requenze alle quali non e possibile distinguere tra replihe diverse. TF x( t) X ( X() ) X ( ) - / 2 / 2 k=- k=0 k= TF x ( t ) X( k ) k - - / 2 / 2 7 Fondamenti Segnali e Trasmissione

8 Il ontenuto in requenza del segnale ampionato Riprendiamo l esempio preedente: ( t ) = sin( t / 2 ) X ( ) = 2ret( ) x 2 Se > 2B, il ontenuto in requenza del segnale x (t) è X ( ) X ( k ) k 0 K= -2 K= - K=0 K= K=2 -B Fondamenti Segnali e Trasmissione B

9 La riostruzione del segnale tempo-ontinuo () Per la riostruzione, lasiamoi ispirare di nuovo dall analisi nel ampo delle requenze. Volendo reuperare X() da X () si può usare un iltro passa-basso ideale (o per lo meno on ase lineare) on banda ompresa tra - / 2 e + / 2, e guadagno / =T k= -2 k= - k=0 k= k= / 2 + / 2 2 H La sua risposta impulsiva é un seno ardinale di ampiezza unitaria: I ( ) = T ret( T ) h( t) = T sin( t) x(t) si può quindi riostruire tramite onvoluzione tra la sequenza di impulsi x (t) e h(t): ( t ) h( t ) x( t ) x = T -5 T 0 5 T 0T 9 Fondamenti Segnali e Trasmissione

10 La riostruzione del segnale tempo-ontinuo (2) Operativamente non oorre nemmeno passare attraverso un segnale impulsivo (he é sempre un astrazione). Avendo a disposizione i ampioni x(nt ) basta sommare seni ardinali entrati ai tempi nt, orrispondenti al iltro LP ideale, on ampiezze x(nt ): + + n= x t nt T ( nt ) sin x( t) = + Notate he ogni seno ardinale ha ampiezza unitaria nell istante in ui é entrato ed è nullo in ogni altro istante in kt, per tanto in nt il segnale riostruito ha esattamente ampiezza x(nt ) = 0 Fondamenti Segnali e Trasmissione

11 La riostruzione del segnale tempo-ontinuo (3) k= -2 k= - k=0 k= k= / 2 + / 2 2 Se la requenza di ampionamento e maggiore del doppio della massima requenza del segnale il iltro di riostruzione passabasso puo avere transizioni piu morbide. La risposta all impulso non e un seno ardinale (di durata ininita e non realizzabile), e puo avere durata pratiamente inita. In pratia si deve sempre ampionare ad una requenza un po maggiore del doppio della requenza massima ontenuta nel segnale T -5T 0T 5T 0T Fondamenti Segnali e Trasmissione

12 Preiltraggio del segnale (iltro anti-aliasing) Se non si è erti he la banda del segnale sia limitata ad un valore B (sulla base del quale si intende segliere la requenza di ampionamento) è neessario preiltrare il segnale (ioè iltrarlo prima del ampionamento). MEGLIO PERDERE SUBITO COMPONENTI IN FREQUENZA CHE NON SI E IN GRADO DI RAPPRESENTARE IN MODO NON AMBIGUO, PIUTTOSTO CHE RITROVARSELE CONVERTITE AD UNA DIVERSA FREQUENZA DALLE OPERAZIONI DI CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE (ERRORE DA SPETTRO ADIACENTE). Il preiltro (iltro anti-aliasing) ha aratteristihe molto simili al iltro di riostruzione (talvolta e uguale, per utilizzare due volte un unio progetto). Esempi: nel CD audio si preiltra il segnale musiale in modo he abbia banda B = 20 khz (largamente suiiente per una ottima qualità) e poi si ampiona a requenza = 44. khz. Invee il segnale teleonio viene spesso ampionato alla requenza = 8 khz. In questo aso il preiltro ha banda B < 4 khz (se trasmettete musia non aspettatevi alta edeltà). 2 Fondamenti Segnali e Trasmissione

13 Esempio: requenza di ampionamento T x ( t) = exp j2π 4T = ( ) t Im X = δ Re 4 X() X () t = 0 t = T t 2T = t = 3T t = 4T - /4 /2 A valle del iltro ideale di riostruzione: X ( ) = δ, x ( t) = exp j2π x( t) r r = T Fondamenti Segnali e Trasmissione t

14 Esempio (ontinua)... requenza di ampionamento T x ( t) = exp j2π 4T 3t 3 = δ 4 = ( ) X Im Re X () X() t = 0 t = T t 2T = t = 3T t = 4T - - /4 /2 3 4 E questa volta, a valle del iltro ideale di riostruzione: X r ( ) = δ +, x ( t) = exp j2π x( t) 4 r 4 Fondamenti Segnali e Trasmissione t 4T

15 Eserizi. E disponibile un iltro passa-basso on guadagno (ampiezza) ostante tarabile a piaere (e ase non distorta) ino alla requenza 0.8 0, e ampiezza nulla oltre.2 0. La requenza 0 si può segliere arbitrariamente. Si vuole usare questo iltro per riostruire un segnale di banda B ampionato a requenza. Quale deve essere? Quale 0 e quale il guadagno del iltro? Quale deve essere almeno il rapporto tra e B? Y ( ) 2. Dato il segnale y(t) on TDF in igura, rappresentare 2 la TDF Y () del segnale y(t) ampionato on: a) =5 ampioni/s b) =7.5 ampioni/s ) =22 ampioni/s Determinare l intervallo delle requenze di aliasing nei tre asi. Determinare il segnale ampionato y (t) nel aso (a). Determinare in tutti e tre asi la TDF Y r () del segnale riostruito tramite iltro di riostruzione ideale. 5 Fondamenti Segnali e Trasmissione 0