Analisi della Dipendenza

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi della Dipendenza"

Transcript

1 Aals della Dpedeza La correlazoe Il presete materale ddattco è stato parte estratto e adattato dal materale prodotto dal prof. Claudo Caplupp dell Uverst Uverstà d Veroa, che s rgraza. La resposabltà del coteuto resta comuque del docete ttolare del corso prof. Maro Bolza e o può essere dffuso seza autorzzazoe.

2 Aals della Dpedeza S parla d dpedeza tra due varablquattatve quado è potzzable ua relazoe, d qualsas tpo, tra valor pù geerale le modaltà assut dalle due varabl: la relazoe può essere d tpo causale, coè ua varazoe del valore assuto da ua delle due varabl provoca ua coseguete modfcazoe del valore dell altra varable X Y oppure o è detfcable ua causa e u effetto, ma s osserva solo ua assocazoe tra comportamet coè valor assut dalle due varabl X Y I asseza d qualuque relazoe, le due varabl s dcoo dpedet

3 Dpedeza E ecessaro sottoleare che ua relazoe d causaeffetto o è u dato d fatto, ma ua potes : l attrbuzoe d causaltà ad ua relazoe è ua operazoe cocettuale che va al d la de dat osservat, e ache dell aals statstca: la causaltà è ua categora del pesero umao: o s osserva... la possbltà d fare ua affermazoe d tpo causale che abba ua valdtà scetfca dpede essezalmete dal metodo d rcerca spermetale e dal grado d cotrollo eserctato sulle varabl esplcatve e d dsturbo 3

4 Aals della Dpedeza L attrbuzoe d u esso causale è comuque sempre ua ostra proezoe: a volte c rsulta aturale a torto o a ragoe, altre volte molto problematca. No è raro cofodere la causa co l effetto. D per se stess, dat osservat c permettoo d rlevare solo ua assocazoe o correlazoe, pù o meo forte, tra feome, comportamet, evet Osservare ua forte correlazoe tra due varabl rappreseta u dzo, ma o sgfca che la prma varable abba u effetto causale sulla secoda: coè che aumetadoe l valore testà s possa durre u aumeto o dmuzoe el valore assuto dall altra. 4

5 Dpedeza causale cotua Molte volte due varabl soo strettamete assocate, coè presetao adamet molto sml, ma essuo s sogerebbe d sosteere che esste ua relazoe causale, é ua drezoe e emmeo ell altra Altre volte vece avvee che, sulla base d ua correlazoe, s rtega d avere scoperto la causa d qualcosa es. HIV -> AIDS Ua forte assocazoe tra due varabl può essere dovuta ad es. a u terzo fattore, che agsce su etrambe: O essere l rsultato d ua be pù complessa catea d relazo e terazo tra molt fattor X Z Y 5

6 Aals della Dpedeza Per poter essere d tpo causale, coè dove l effetto certo è assocable ache modo o determstco ma cosstete, ad ua causa, elle relazo casual è vero l cotraro: l eveto certo o è ragoevolmete mputavble a essua causa eppure probablstcamete ua relazoe osservata deve avere seguet requst: 6

7 Il esso d causaltà Il esso d causaltà ell assocazoe tra feome s fa dscedere, ella rcerca scetfca, dal realzzars delle seguet codzo Sartwell, 959: Cossteza; Itestà; Specfctà; sequezaltà temporale degl evet; Logctà. 7

8 Il esso d causaltà cotua cossteza: l assocazoe causale deve essere dpedete dalla localtà e dal metodo seguto per rlevarla. Deve essere, partcolare, possble dmostrare la rlevaza dell assocazoe sa prospettcamete, rlevado l sorgeza d effett dvers e grupp dversamete espost alla possble causa, sa retrospettvamete, rcavado ua dversa esposzoe e soggett colpt dall effetto gradmeto/dao rspetto a cotroll utà statstche eset da quell effetto; testà: al varare, aumeto o dmuzoe dell esposzoe al fattore agete, deve varare adeguatamete l lvello dell effetto. Tale relazoe vee descrtta, laddove s rlev l testà e o solo la preseza del cambameto, dalla cosddetta curva d dose-effetto; 8

9 Il esso d causaltà, cotua specfctà: l rscho è specfco quado la relazoe tra l fattore e l effetto è orgale e pù forte d quelle tra l fattore cosderato e altr possbl effett e tra l effetto cosderato e altr potezal aget scateat; sequezaltà temporale degl evet: l esposzoe deve precedere l effetto. Ache l perodo d cubazoe, o lateza, che precede la mafestazoe dell effetto, va coteggato ello stablre la sequezaltà; logctà: l esso relazoale deve essere accettable dal puto d vsta sostatvo socale, ecoomco, sataro, ecc.. 9

10 Il esso d causaltà, cotua L essteza de presuppost a, b, c, è valutata base a metod e tecche statstche; crter d, e afferscoo alla coosceza della socologa, ecooma, ammstrazoe, satà, ecc..

11 Dpedeza casuale Queste codzo soo ecessare ma o suffcet: c possoo far potzzare ua relazoe causale, ma o soo suffcet a dmostrarla Cosa vuol dre dmostrato, provato scetfcamete? Per poter sosteere valdamete ua potes d causaeffetto, è dealmete ecessaro garatre: cotrollo dretto del presuto fattore causale asseza d fattor d cofusoe: che possoo compromettere la correttezza dell fereza >metodo spermetale dseg spermetal o quas

12 Relazoe d causa - effetto Se ua rcerca che ha msurato ua assocazoe tra due varabl o è stata codotta co metodo spermetale, coè o s è realzzata: cotrollado l assegazoe del presuto fattore causale prma: radomzzazoe -> gruppo/codzoe d cotrollo msurado po le evetual varazo della varable dpedete l assocazoe, per quato forte, o cosete ua terpretazoe seso causale

13 Aals della Dpedeza Sbaglare ell detfcazoe della causa, o addrttura cofodere la causa co l effetto, o è così raro. La stora della sceza è rcca d esemp d teore che hao domato la scea per molto tempo, e che ogg c sembrao credbl o addrttura rdcole L potes d causaltà deve essere sottoposta a verfca emprca deftamete: se le prevso della teora vegoo cotraddette dall osservazoe, l potes rsulta falsfcata e dovrebbe essere abbadoata No sempre ua potes falsfcata vee subto abbadoata dalla comutà scetfca: occorre avere ua potes alteratva, possblmete mglore l coseso, ache all tero della comutà scetfca, è ua damca socale soo talvolta goco ache teress ecoomc, poltc,... Solo molto tempo dopo che l potes è stata falsfcata, e solo dopo che la comutà scetfca l ha deftvamete abbadoata, essa dveta a ostr occh così assurda o rdcola... 3

14 Aals della Dpedeza Se potzzamo ua relazoe d causa-effetto, l valore assuto dalla varable X v. dpedete, v. esplcatva, fattore, trattameto può essere utlzzato per prevedere quello della Y v. dpedete, rsposta, esto, effetto Può ache dars l caso che ua varable possa essere utlzzata per prevedere l lvello assuto da u altra, pur o essedoe la causa, ma solo u dcatore, come el caso: X I effett, è sempre così: o o sappamo ma co certezza se la ostra potes 4 d causaltà è vera... Z Y

15 cotua Comuque sulla base della ostra potes costruamo u modello: fché l modello fuzoa, coè dà buo rsultat per l campo d applcazoe cu vee mpegato es. prevso corrette, terape effcac,..., o cofdamo ell potes, coè la rteamo valda e cofermata, e la utlzzamo c comportamo come se fosse vera. La prevsoe d ua varable dpedete Y fuzoe d u seme d predttor X vee codotta costruedo u modello es. matematco, coè ua rappresetazoe grado d descrvere l feomeo, ovvero la relazoe osservata: modell d regressoe leare/o leare, geeralzzato,... alber d classfcazoe/regressoe segmetazoe ret eural artfcal 5

16 Aals della Dpedeza Covarazoe o Correlazoe Nel caso d varabl quattatve, s defsce u partcolare tpo d assocazoe detta covarazoe o correlazoe: quado corrspodeza d valor alt d ua varable quattatva s osservao prevaletemete valor alt o bass dell altra quattatva e vceversa, s dce che esste ua correlazoe postva o egatva tra le varabl. Quado s vuole aalzzare la relazoe tra due varabl quattatve, è sempre opportuo partre dalla rappresetazoe grafca della stuazoe: a partre dalla sere doppa de dat osservat, s costrusce u grafco rappresetado dat come put sul pao cartesao, avet come coordate la coppa d valor, Dalla rappresetazoe grafca s può comcare a capre l tpo d relazoe 6

17 Aals della Dpedeza L seme de dat osservat è rappresetato sul pao cartesao come ua uvola d put Nell esempo a faco, l grafco mostra ua correlazoe postva o dretta tra le due varabl: a valor elevat della X s assocao prevaletemete valor alt della Y... per brevtà, s dce che al crescere d X cresce Y La relazoe sembra puttosto forte : la uvola d put è abbastaza stretta, coè put soo puttosto cocetrat lugo ua lea deale, e o molto dspers sul pao Quato è forte la relazoe? Voglamo quatfcare la forza della relazoe ovvero arrvare ad ua msura della dpedeza tra le due varabl 7

18 Aals della Dpedeza, Operamo la doppa trasformazoe d varabl: E equvalete a traslare gl ass cartesa el barcetro della uvola d put Nel uovo sstema d coordate traslato, cascu puto che prma aveva coordate,, ora avrà coordate:, 8

19 Aals della Dpedeza, Operamo la doppa trasformazoe d varabl: E equvalete a traslare gl ass cartesa el barcetro della uvola d put Nel uovo sstema d coordate traslato, cascu puto che prma aveva coordate,, ora avrà coordate:, 9

20 Aals della Dpedeza II quadrate I quadrate,, III quadrate IV quadrate Osservamo che quado put s trovao el: I quadrate: etrambe le coordate soo postve III quadrate: etrambe le coordate soo egatve II quadrate: ascssa egatva e ordata postva IV quadrate: ascssa postva e ordata egatva l prodotto è postvo l prodotto è egatvo Sommado prodott delle coordate trasformate per tutt put, abbamo u dcatore d come put s dstrbuscoo el pao u dce d covarazoe

21 Aals della Dpedeza II quadrate I quadrate, III quadrate IV quadrate Osservamo che quado put s trovao el: I quadrate: etrambe le coordate soo postve III quadrate: etrambe le coordate soo egatve II quadrate: ascssa egatva e ordata postva IV quadrate: ascssa postva e ordata egatva l prodotto è postvo l prodotto è egatvo Sommado prodott delle coordate trasformate per tutt put, abbamo u dcatore d come put s dstrbuscoo el pao u dce d covarazoe

22 Aals della Dpedeza La Covaraza E la meda de prodott degl scart d cascua varable dalla propra meda Cov, E u dce d covarazoe: l suo sego descrve l adameto della relazoe: è > quado la relazoe è postva è < quado è egatva è quado o c è correlazoe La covaraza cresce valore assoluto quato pù put tedoo ad allears lugo ua retta, e dmusce vece fo al suo mmo quato pù se e allotaao No è ua msura stadardzzata: dpede dalle utà d msura delle varabl, e dalle varabltà delle due sere d dat e

23 Aals della Dpedeza Propretà della Covaraza E ua quattà smmetrca, el seso che: Cov, Cov, La covarazoe è ua propretà recproca delle due varabl: è ua propretà della loro relazoe Se ua delle due varabl è costate, la covaraza è ulla, fatt se k : k k Cov, Se e soo statstcamete dpedet dstrbuzoe, la loro covaraza è ulla. La covaraza può però essere ulla ache seza che e sao dpedet La covaraza è effett ua msura della leartà della relazoe tra due varabl: altre forme d relazoe o lear o vegoo rlevate da questo dce La covaraza o è ua msura stadardzzata, dpede dalle utà d msura delle varabl, e dalle varabltà delle due sere d dat e : per superare questo dfetto, vee trodotto u altro dce d correlazoe, rcorredo acora ua volta alla stadardzzazoe E sempre ferore o uguale, valore assoluto, al prodotto degl scart quadratc med delle due varabl : Cov, 3

24 Aals della Dpedeza Il coeffcete d correlazoe leare Il coeffcete d correlazoe leare r, d Pearso è dato dal rapporto tra la covaraza e l prodotto degl scart quadratc med delle due varabl: E ua msura dell testà della dpedeza relazoe leare tra le due varabl E u dce relatvzzato o ormalzzato: è costruto come rapporto tra la covaraza e l valore massmo che essa può assumere è u umero puro admesoale coè seza utà d msura è compreso tra - e + ρ Iterpretazoe del valore d r,: è > quado la correlazoe è postva, < quado è egatva vale + o - quado la forza della correlazoe leare postva o egatva è massma, coè quado tutt put soo perfettamete alleat lugo ua retta 4 vale quado la correlazoe è ulla: le due varabl s dcoo correlate

25 Aals della Dpedeza Propretà del coeffcete d correlazoe leare E ua quattà smmetrca, el seso che: r, r, La co-relazoe è recproca Se e soo dpedet, allora r è uguale a zero. Tuttava r può essere uguale a zero ache seza che e sao dpedet Il coeffcete d correlazoe è ua msura della relazoe leare tra due varabl: o mette evdeza altre forme d relazoe parabolca, curvlee,... Pertato quado r è prossmo a zero può sgfcare che o c è relazoe tra le due varabl, ma s potrebbe ache essere vece preseza d ua relazoe d tpo o leare Il coeffcete d correlazoe leare è ua covaraza stadardzzata, coè è otteble come covaraza tra le due varabl e stadardzzate: Cov ρ, 5

26 Aals della Dpedeza 6

27 Aals della Dpedeza Eserczo. Studamo la dpedeza tra le varabl quattatve Yaltezza e Xpeso: Totale 6 44 Meda 75, 78, , Dal grafco s può otare ua relazoe postva abbastaza forte: solo ua osservazoe è puttosto dstate dalla lea deale toro alla quale s cocetrao dat 7

28 Aals della Dpedeza Prospetto d calcolo del coeffcete d correlazoe: -M -M [-M]² [-M]² -M-M , -4, 69, 96, 8, ,,,,, , -, 49, 4, 4, ,,,,, , 4, 9, 6,, ,, 5, 4,, , 4, 8, 6, 36, , 6, 96, 36, 84, Totale , 7, 338, Meda 75, 78, 8,5 34, 4,5 ρ 8,5 34 4,5 4,5,839 8,5 34 r è postvo e puttosto elevato, cosderato che l suo massmo è : qud msuramo ua forte dpedeza leare tra le due varabl 8

29 Aals della Dpedeza Eserczo. Studamo la dpedeza tra due varabl X e Y, legate dalla relazoe d dpedeza esatta : Y +, ² 3,8 5, 3 3 6, 4 4 6, , , 8 8 5, 9 9 3,8 Totale 45 5 Meda 5, 5, , Dal grafco s evdeza charamete la relazoe quadratca tra le due varabl, che dsega ua parabola co la cocavtà rvolta verso l basso 9 Vedamo cosa c dce l coeffcete d correlazoe...

30 Aals della Dpedeza Prospetto d calcolo: questa volta provamo l metodo dretto, molto pù veloce : M []² []² 3,8, 4,44 3,8 3,67 5 6,67 5, 4, 7,4,4 33,48 5,67 M 8,33 5 5,67, , 9, 38,44 8, ,8 6, 46,4 7, , 49, 35, 6 6 6,8 36, 46,4 4, , 49, 38,44 43, , 64, 7,4 4, ,8 8, 4,44 34, Totale ,3 55 Meda 5, 5,67 3,67 33,48 8,33 A meo d error d arrotodameto, r rsulta pratcamete par a zero, segalado asseza d relazoe leare Le due varabl soo vece strettssma relazoe, essedo, per costruzoe, fuzoe quadratca esatta d, ma: l coeffcete d correlazoe o è grado d rlevare relazo o lear 3

31 La regressoe Leare

32 Aals della Dpedeza La Regressoe Leare Quado tra due varabl c è ua relazoe d dpedeza, s può cercare d prevedere l valore d ua varable fuzoe del valore assuto dall altra. Questo ha sgfcato seso stretto quado s potzza ua relazoe d causaltà tra la varable dpedete, su cu s agsce, e quella dpedete, su cu s vuole produrre u effetto. Voledo costrure u modello statstco per prevedere Y fuzoe d X, s poe la questoe d quale relazoe fuzoale potzzare tra la varable dpedete X e la varable dpedete Y. Il modello pù semplce d relazoe tra due varabl è quello leare d prmo grado, rappresetato da ua retta, la cu equazoe è : a + b Ua volta determata la retta, l modello permetterà d stmare l valore della varable Y sulla base del valore assuto dalla X Per otteere u buo modello, e qud delle buoe prevso, occorre determare la retta che meglo descrve put osservat: pratca, s tratta d determare due coeffcet a e b che compaoo ell equazoe della retta: a + b 3

33 Aals della Dpedeza Rpassamo u po d geometra e d trgoometra... : l parametro a è l tercetta della retta co l asse delle ordate l parametro b è l coeffcete agolare: msura l clazoe della retta è la tagete dell agolo α formato dalla retta co l asse delle ascsse I pratca: a c dce quato vale Y quado X vale b c dce d quato aumeta Y all aumetare d ua utà d X a + b b a a α 33

34 Aals della Dpedeza Se put fossero solo due, o fossero tutt alleat, determare la retta terpolate sarebbe facle per due put passa ua sola retta, ma sfortuatamete ella realtà dat osservatv o soo ma esattamete alleat Per determare la retta d regressoe che meglo descrve dat osservat è allora ecessaro stablre u crtero statstco d valutazoe della botà del modello: a + b + ε L errore che s commette prevededo cascu Y osservato co l modello, può essere msurato come dffereza tra l dato reale e quello prevsto: ε a + b + ε coè, per cascua osservazoe, s commette u errore ε 34

35 Aals della Dpedeza Il Metodo de Mm Quadrat Il crtero detto de mm quadrat prevede d valutare la botà del modello sulla base della somma de quadrat d tutt error d stma commess: ε a b m La retta mglore, secodo questo crtero, è quella che mmzza la somma de quadrat degl scart de valor stmat da quell osservat, dett ache resdu della regressoe. Perché propro l quadrato de resdu? per evtare che resdu postv e egatv s compeso l valore assoluto è matematcamete pù scomodo da gestre e o sempre porta ad ua soluzoe uvoca l quadrato dà peso maggore agl scart pù grad, che soo ache quell che c dsturbao d pù: è meglo fare tat pccol error che o u errore molto grosso 35

36 Aals della Dpedeza Stma de parametr a mm quadrat Nel ostro caso voglamo mmzzare ua fuzoe fa,b rspetto ad a e b: dovremo mporre che sao ulle le dervate prme parzal della fuzoe rspetto ad a e b: Dervado la fuzoe prma rspetto ad a e po rspetto a b, e poedo a zero tal dervate, s ottee u sstema d due equazo d prmo grado due cogte a e b: Rsolvedo l sstema rspetto ad a e b, s determao le stme a mm quadrat de parametr della retta d regressoe m b a Sstema d equazo ormal d regressoe b a b a b a b a b b a a b a 36

37 Aals della Dpedeza Soluzoe del sstema d equazo ormal, Cov b b b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a + +,, M V M Cov 37

38 Aals della Dpedeza I coeffcet d regressoe I parametr del modello vegoo chamat ache coeffcet d regressoe: Equazoe della retta d regressoe: Bsoga calcolare prma l valore d b e po quello d a. Il cappello sopra a e b sottolea che s tratta delle stme, a mm quadrat, de parametr del modello. Il metodo d calcolo pù veloce per b è utlzzare l espressoe che compare ell ultmo passaggo della soluzoe del sstema d equazo ormal: che ha l vataggo d o rchedere l calcolo d scart pratca utlzza le formule drette per la varaza e la covaraza b a b,, M M Cov b b a + 38

39 Aals della Dpedeza Iterpretazoe de coeffcet d regressoe Il sego del coeffcete d regressoe dpede da quello della covaraza: e dca qud se la relazoe è dretta o versa Rcordamo che, ell equazoe della retta b rappreseta l coeffcete agolare, coè l clazoe della retta a + b b b > b b < relazoe dretta, coè cresce al crescere d asseza d relazoe leare, o vara al varare d relazoe versa, coè dmusce all aumetare d la retta è crescete, clazoe postva la retta è orzzotale, clazoe ulla la retta è decrescete, clazoe egatva Il valore assoluto d b dca d quato vara la Y al varare d ua utà della X Il coeffcete a rappreseta l tercetta della retta co l asse Y: dca quato vale Y quado X vale ; quado a, la retta passa per l orge degl ass cartesa, coè per l puto d coordate, 39

40 Aals della Dpedeza Propretà della regressoe a mm quadrat Stmat parametr, possamo produrre valor prevst dal modello corrspodeza degl osservat: a + b + ε La retta d regressoe passa per l barcetro del sstema, fatt quado assume l valore medo: a + b b + b a + b Per cascu possamo ora calcolare ache l errore commesso prevededo Y co l modello, come scarto tra l valore osservato e quello stmato: quest error soo dett resdu d regressoe ε I resdu soo mportat per la valutazoe della botà del modello, coè la sua capactà d adattars a dat osservat 4

41 Aals della Dpedeza Eserczo. Determamo la retta d regressoe a mm quadrat per la relazoe tra le varabl Yaltezza e Xpeso: b a b Osservamo che tutto quello che c serve per determare coeffcet d regressoe della retta, lo abbamo realtà gà calcolato per l coeffcete d correlazoe 4

42 Aals della Dpedeza Rpredamo l prospetto d calcolo del coeffcete d regressoe: -M -M [-M]² [-M]² -M-M , -4, 69, 96, 8, ,,,,, , -, 49, 4, 4, ,,,,, , 4, 9, 6,, ,, 5, 4,, , 4, 8, 6, 36, , 6, 96, 36, 84, Totale , 7, 338, Meda 75, 78, 8,5 34, 4,5 b 8,5 4,5 8,5 34,5 a 4,5 b 78, Il valore d b c dce che, al varare d ua utà d, l valore d vara d,5 Ora possamo dsegare la retta d regressoe, determadoe due put a scelta 4

43 Aals della Dpedeza Falmete scrvamo l equazoe della retta d regressoe: b a,5 b , , Per dsegare la retta d regressoe, è suffcete determare due put a scelta: uo realtà lo cooscamo gà: è l puto medo barcetro del sstema per l altro sceglamo ad es. 5, da cu 39 +,5 * 5 65 A vederla così o sembra che l tercetta sa 39: questo dpede dal fatto che put soo molto lota dall orge e o abbamo taglato la fgura 43

44 Aals della Dpedeza Se dsegamo l grafco e la retta d regressoe a partre dall orge degl ass, vedamo che tutto tora: La retta terseca l asse delle ordate propro el puto 39 L clazoe apparete della retta el dsego dpede dalla scala degl ass: abbamo usato due scale dverse per l asse X e per l asse Y Avevamo gà calcolato l coeffcete d correlazoe ρ 39 +, 5, , U coeffcete d correlazoe par a,8 c dce che put soo abbastaza be alleat lugo la retta, ma ora vedamo meglo come valutare la capacta del modello d descrvere dat osservat 44

45 Aals della Dpedeza Valutazoe del modello La botà dell terpolazoe forta dal modello s gudca sulla base della dspersoe de put osservat toro alla retta d regressoe: l terpolazoe è esatta quado la retta passa per tutt put osservat, che devoo essere qud perfettamete alleat pù put osservat s dscostao dalla retta -> more è la valdtà del modello, che dveta sempre meo effcace, fo a perdere pratcamete d sgfcato Il modello stmato può essere valutato, coeretemete co l crtero che è stato utlzzato per costrurlo, sulla base della somma de quadrat degl scart tra valor osservat e valor stmat, coè la somma de quadrat de resdu d regressoe: ε I resdu della regressoe leare a mm quadrat godoo d 4 mportat propretà: tutte queste propretà dervao dalle equazo ormal, ovvero dalle codzo che soo state mposte per determare parametr della retta d regressoe, modo da mmzzare la somma de quadrat de resdu stess 45

46 Aals della Dpedeza Le 4 Propretà de Resdu d Regressoe Le prme due propretà dervao drettamete, az o soo altro che le codzo mposte dalle equazo ormal d regressoe: ε ovvero b a b a b a + + ε ε 46

47 Aals della Dpedeza Dmostramo le altre due: soo propro le prme due propretà questa è la terza propretà Teamole preset: fra u attmo c torerao utl + + b a b a 47

48 Aals della Dpedeza Eserczo. Verfca emprca delle 4 propretà de resdu d regressoe a mm quadrat per l modello appea stmato: 39 +, 5 ^ ^-M -^ -^ -^ ^ -^^-M ,4-6,76-7,4-448,88-39, , ,8-5,7 5,7 366,8 985,446-3, ,36-3,64,64,5 85,954-5, ,,,,,, ,56,56,44 9,3 438,64 3, ,6,6 -,6-48, -8,36 -, ,68 4,68 -,68-57, -4,4-3, ,8 7,8 -,8-3,9-37,584-9,384 Totale ,,,,, Meda 75, 78, 78, 48

49 Aals della Dpedeza Devaza e Varaza Resdua Il modello vee valutato sulla base della somma de quadrat degl scart tra valor osservat e valor stmat: ε Questa quattà è detta devaza resdua, quato è la devaza de resdu d regressoe che rcordamo hao meda ulla Il terme devaza dca semplcemete la varaza o dvsa per, qud tutto quello che dcamo per la devaza vale ache per la varaza La quattà: M M a + b M + b M M b + b prede vece l ome d devaza spegata dal modello o devaza d regressoe, quato devaza de valor stmat dal modello: rappreseta la parte d varabltà della Y descrtta dal modello d regressoe Devaza spegata e devaza resdua soo legate tra loro e co la devaza totale della varable dpedete 49

50 Aals della Dpedeza Scomposzoe della Devaza e della Varaza d Y La devaza della varable Y può essere scomposta due compoet: coè come somma della devaza resdua e della devaza spegata dal modello Devaza spegata e resdua soo qud due quattà complemetar e la loro somma è par alla devaza totale della Y. Lo stesso vale ache per la varaza, basta dvdere tutto per : + + modello Capamo l sgfcato della scomposzoe: resdua ε a + b 5

51 Aals della Dpedeza Dmostrazoe: Lo stesso vale ovvamete ache per la varaza, basta dvdere tutto per, qud possamo scrvere ache la scomposzoe della varaza totale d Y: I vrtù d questa scomposzoe, s può costrure u dce stadardzzato compreso tra e per valutare la botà del modello d regressoe ] [ a b b a b a per la quarta propretà de resdu d regressoe devaza resdua + devaza spegata dal modello resdua modello + 5

52 Aals della Dpedeza Il Coeffcete d Determazoe R² Per valutare la botà del modello s troduce l coeffcete d determazoe R² rapporto tra la devaza del modello e la devaza totale della : R² msura la frazoe d varaza o d devaza della Y spegata dal modello R² s può scrvere ache come: Assume valor compres tra e : R vale quado l modello spega completamete la varaza della Y: resdu soo tutt ull, coè put soo perfettamete alleat vale quado la varaza descrtta dal modello è ulla: questo accade quado la retta d regressoe rsulta parallela all asse X, coè 5 R modello modello resdua resdua

53 Aals della Dpedeza Osservamo che per calcolare R² è ecessaro calcolare tutt gl stmat per og osservato, e tutt gl scart tra valor stmat e M Oppure, co la secoda formulazoe, dobbamo calcolare tutt gl scart tra gl stmat e quell osservat coè resdu Possamo però svluppare R² ache u altro modo: Il coeffcete d determazoe R² solo per l modello leare d prmo grado coè per la retta d regressoe è uguale al quadrato del coeffcete d correlazoe ρ² Qud l quadrato del coeffcete d correlazoe c forsce la frazoe d varaza spegata dal modello, seza calcolare resdu e emmeo gl stmat resdua modello R 4 ρ + modello b V V b V b a V V V R 53 53

54 Aals della Dpedeza Eserczo. Toramo al ostro esempo, per valutare la botà del modello stmato: determamo put stmat e calcolamo la varaza spegata e la varaza resdua Totale 6 44 Meda 75, 78, , R, Il modello spega crca l 65% della varaza complessva della Y: possamo rteerc soddsfatt? Nelle sceze socal e comportametal dffclmete s trovao modell che spegao molta varaza, perché feome soo compless e dpedoo da molt fattor dvers, oltre le relazo possoo essere o lear 54

55 Aals della Dpedeza Prospetto d calcolo del coeffcete d determazoe R²: ^ ^-M -^ -M [^-M]² [-^]² [-M]² ,4-6,76-7,4-4, 45,7 5,4 96, ,8-5,7 5,7, 3,7 3,7, ,36-3,64,64 -, 3,5,69 4, ,,,,,,, ,56,56,44 4,,43 5,95 6, ,6,6 -,6, 6,76,36 4, ,68 4,68 -,68 4,,9,46 6, ,8 7,8 -,8 6, 53,,64 36, Totale ,,, 75,76 96,4 7, Meda 75, 78, 78,,97,3 34, R modello,97 modello,97 34 resdua,3,646 oppure 34 R modello + resdua resdua,3 34,646 Cooscedo gà l valore del coeffcete d correlazoe, potevamo rsparmarc tutt quest calcol: R ρ,839,646 55

56 Aals della Dpedeza Esempo. U caso partcolare d retta d regressoe s verfca quado la stma d b rsulta uguale a : b a b La retta terseca l asse delle ordate el puto M La stma è sempre par a M, per qualuque valore d La varaza spegata dal modello è ulla ,5 R La varaza resdua è massma, coè uguale alla varaza totale d Y Il coeffcete d determazoe R²: R regress resd ρ

57 Aals della Dpedeza Eserczo. Rtoramo all esempo d due varabl legate da ua relazoe quadratca esatta: Y +, ² 3,8 5, 3 3 6, 4 4 6, , , 8 8 5, 9 9 3,8 Totale 45 5 Meda 5, 5, , Dal grafco s evdeza charamete la relazoe quadratca tra le due varabl, che dsega ua parabola co la cocavtà rvolta verso l basso Come rsulta la retta d regressoe? 57

58 Aals della Dpedeza Cosderazo sull applcabltà d u modello leare Quado R² è basso sgfca che l modello leare o resce a descrvere adeguatamete l feomeo, o s adatta bee a dat, e qud ache le ostre prevso sarao poco affdabl. Quado R² è elevato, dcamo prossmo a, l modello descrve bee dat emprc, spegado gra parte della varabltà osservata della varable dpedete. La capactà descrttva del modello è duque buoa, almeo relatvamete a dat osservat. S può allora rteere utlzzable l modello a scop prevsv? Il passaggo dalla descrzoe de dat osservat alla prevsoe d uov dat e comportamet è u problema d geeralzzabltà de rsultat d u modello valdtà estera La possbltà d operare geeralzzazo s basa su assuzo ragoevol come: orde della atura: se le cose soo adate u certo modo fora o c è ragoe che o fuzoo così ache futuro e passato: attualsmo determsmo degl evet: essu eveto avvee per caso, ma è determato da precedet evet; ovvero, se le cose fuzoao u certo modo, la ragoe c è sempre, e qud cotuerao Quest prcp soo plausbl, ma o asscurat: essuo può garatre che ache le prossme osservazo s comporterao allo stesso modo. 58

59 Aals della Dpedeza Cosderazo sull applcabltà d u modello leare Assa pù azzardato è utlzzare u modello per fare prevso per valor ester al campo d varazoe de dat osservat, su qual l modello è stato stmato: questo tpo d prevso, dette estrapolazo, portao spesso a cocluso errate es. sopravvalutare u tred d crescta postvo Raramete feome soo lear, oppure lo soo solo su ua parte lmtata del loro campo d essteza: utlzzare u modello leare è quas sempre ua semplfcazoe del feomeo reale, che può rsultare accettable per determate applcazo I rsultat del modello o devoo essere accettat cecamete: occorre sempre cosderare crtcamete le possbl lmtazo

60 Aals della Dpedeza La Colleartà U problema, detto colleartà, s verfca quado valor d X soo molto vc tra loro: questo caso la determazoe della retta d regressoe rsulta certa Vedamo cosa succede ella stuazoe lmte cu tutt gl vegao a cocdere esattamete: b Cov, Cov k, k La stma d b assume ua forma determata Cò equvale a dre che qualuque retta passate per l puto medo del sstema è la retta terpolate a mm quadrat No dmetchamo fatt che resdu vegoo calcolat parallelamete all asse Y I pratca o s verfcherà ma l caso lmte della cocdeza d tutt valor d X, ma basta che sao molto vc perché l calcolo d b rsult molto stable, e qud l modello sa prvo d sgfcato Sgfcato: se la X osservata o vara, o può eache spegare la varabltà d Y 6

61 Aals della Dpedeza L altra Retta d regressoe Cambamo le carte tavola, e questa volta stmamo, sempre sugl stess dat usat fora, l modello per prevedere X fuzoe d Y: c + d Totale 6 44 Meda 75, 78, ,9 +, Y Il grafco rsulta rovescato rspetto a prma, fatt questa volta trovamo la varable Y sull asse delle ascsse e la X sull asse delle ordate 6

62 Aals della Dpedeza Rportado valor stmat da due modell su uo stesso grafco, c accorgamo che la uova retta d regressoe o cocde co quella stmata precedeza Come s spega? Il metodo de mm quadrat valuta resdu lugo l asse della varable dpedete I resdu calcolat lugo l asse Y rsultao geerale dvers da quell calcolat lugo l asse X Qud s hao sempre due rette d regressoe, che geerale o cocdoo ,9 +, 46 La retta d regressoe per 6 stmare Y fuzoe d X è stata otteuta mmzzado la somma de quadrat de resdu d Y, calcolat parallelamete all asse Y 39 +, La retta d regressoe per stmare X fuzoe d Y s ottee mmzzado la somma de quadrat de resdu d X, calcolat parallelamete all asse X 6

63 Aals della Dpedeza Cosderamo le due rette d regressoe e vedamo cosa hao comue: Le rette regressoe a mm quadrat rsultao dverse, ma l coeffcete d determazoe R² o camba, essedo l quadrato del coeffcete d correlazoe, che è ua quattà smmetrca La frazoe d varabltà d Y spegata dalla regressoe d Y fuzoe d X è par alla frazoe d varabltà d X spegata dalla regressoe d X fuzoe d Y C è ua relazoe tra due coeffcet d regressoe b e d: Le due rette d regressoe cocdoo solo quado put soo perfettamete alleat, coè quado r. I questa stuazoe partcolare s ha: d d c b b a + + bd qud d b ρ ρ d b d b / ρ R ρ ρ 63

64 Aals della Dpedeza Il Modello seza tercetta Toramo alla stma d Y fuzoe d X, e cosderamo l modello rdotto elmado l parametro a, ovvero ua retta seza tercetta: b La stma d questo modello è molto semplce: dobbamo mmzzare la somma de quadrat de resdu, che questo caso soo ua fuzoe d ua sola varable b Totale 6 44 Meda 75, 78, La stma d b rsulta dversa da quella del modello completo : ε Per determare l puto d mmo, dervamo la fuzoe rspetto a b, otteedo ua sola equazoe: da cu: b b b b b 64 m

65 Aals della Dpedeza Prospetto d calcolo del coeffcete d regressoe: ² Totale Meda 75, 78, b M M, ,3469 E facle verfcare che questa retta d regressoe NON passa per l puto medo del sstema :, , 78 Adesso voglamo d valutare la botà del modello: calcolamo duque la varaza resdua e quella d regressoe spegata dal modello, e vedamo cosa succede... 65

66 Aals della Dpedeza Prospetto d calcolo del coeffcete d determazoe R²: ^ ^-M -^ -M [^-M]² [^-]² [-M]² ,5-3,49 8,49-4, 55,57 34,86 96, , -7,8 7,8, 77,59 77,59, ,59-8,4 6,4 -, 338,85 69, 4, , -,98,98, 3,9 3,9, ,6 5,6 -,6 4, 5,6,3 6, ,76 9,76-7,76, 95,7 6,5 4, ,4 9,4-5,4 4, 366,47 9,3 6, ,88 3,88-4,88 6, 953,45 68,9 36, Totale ,7-5,83 5,83, 36,63 97, 7, Meda 75, 78, 76, 45,45 87,4 34, modello 45,45 resdua 87,4 34 modello + resdua!! R modello resdua ρ La varaza resdua è maggore della varaza totale d Y... R² perde og sgfcato, perché o vale pù la scomposzoe della varaza 66

67 Aals della Dpedeza Rspetto al sstema d equazo ormal dervate per la stma de parametr del modello completo, pratca o è stata mposta la prma codzoe : Come cosegueza mmedata, o vale pù la prma propretà de resdu: la somma de resdu d regressoe del modello rdotto o rsulta uguale a o è ulla emmeo la somma degl scart de valor stmat dalla M la meda de valor stmat o cocde co la meda d Y la retta o passa per l barcetro del sstema La secoda propretà cotua a valere perché è la codzoe mposta dall uca equazoe ormale, dervata per la stma a mm quadrat del modello rdotto b a b a b a b a b a b a b a b a 67

68 Aals della Dpedeza Esempo. Verfca emprca delle 4 propretà de resdu d regressoe a mm quadrat: ^ ^-M -^ -^ -^ ^ -^^-M ,5-3,49 8,49 46, ,47-6, , -7,8 7,8 778, ,84-77, ,59-8,4 6,4 5,733 68,5567-3, , -,98,98 48, ,3785-3, ,6 5,6 -,6-8,88-94,346-5, ,76 9,76-7,76-6, ,439-75, ,4 9,4-5,4-7, ,48-89, ,88 3,88-4,88-4, , ,845 Totale ,7-5,83 5,83,, -88,3658 Meda 75, 78, 76, -35,957 Verfchamo che la varaza totale d Y è otteble come: modello + resdua , , ,83/ 8 45, ,4 + 35,

69 Aals della Dpedeza Il modello rdotto, per la macaza dell tercetta, obblga la retta a passare per l orge degl ass:, 3469 L troduzoe d questo vcolo peggora la capactà del modello d adattars a dat osservat, rspetto al modello completo I geerale, l troduzoe d u vcolo u modello e peggora sempre la capactà d adattameto 39 +, Possamo dre che, a partà d predttor, l aumeto d u parametro mglora sempre o almeo o peggora la capactà descrttva d u modello, metre l elmazoe d u parametro la rduce Per mglorare l adattameto e descrvere ache relazo o lear, potremmo ad esempo passare ad u modello d secodo grado, co tre parametr: 69 a + b + c

70 Aals della Dpedeza Stmamo a mm quadrat u modello d regressoe quadratco su dat gà aalzzat precedeza co l modello d prmo grado retta a + b + c 3,8 5, 3 3 6, 4 4 6, , , 8 8 5, 9 9 3,8 Totale 45 5 Meda 5, 5, , -, + + R I questo caso dovremo mmzzare la somma de quadrat de resdu del modello rspetto a tre parametr a, b, c otteedo u sstema d 3 equazo ormal Rsolvedo l sstema, trovamo u modello che s adatta perfettamete a dat osservat: R² 7

Caso studio 12. Regressione. Esempio

Caso studio 12. Regressione. Esempio 6/4/7 Caso studo Per studare la curva d domada d u bee che sta per essere trodotto sul mercato, s rlevao dat rguardat l prezzo mposto e l umero d pezz vedut 7 put vedta plota, ell arco d ua settmaa. I

Dettagli

MEDIA DI Y (ALTEZZA):

MEDIA DI Y (ALTEZZA): Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 4 Marzo 0 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Su u collettvo d dvdu soo stat rlevat caratter X Peso( kg) e Altezza ( cm) otteamo la seguete dstrbuzoe d frequeza coguta:

Dettagli

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE LA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE L ANALISI DI REGRESSIONE La regressoe è volta alla rcerca d u modello atto a descrvere la relazoe esstete tra ua varable Dpedete e ua varable dpedete (regressoe semplce)

Dettagli

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica).

Il termine regressione fu introdotto da Francis Galton ( ), antropologo (promotore dell eugenetica). Regressoe leare Il terme regressoe fu trodotto da Fracs Galto (8-9), atropologo (promotore dell eugeetca). I u suo famoso studo (877-885), Galto scoprì che, sebbee c fosse ua tedeza de getor alt ad avere

Dettagli

Dott.ssa Marta Di Nicola

Dott.ssa Marta Di Nicola RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quado s cosderao due o pù caratter (varabl) s possoo esamare ache l tpo e l'testà delle relazo che sussstoo tra loro. http://www.bostatstca.uch.tt Nel caso cu per

Dettagli

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione

Analisi dei Dati. La statistica è facile!!! Correlazione Aals de Dat La statstca è facle!!! Correlazoe A che serve la correlazoe? Mettere evdeza la relazoe esstete tra due varabl stablre l tpo d relazoe stablre l grado d tale relazoe stablre la drezoe d tale

Dettagli

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino. Esercitazioni di Statistica 1 del 26 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 26 Febbrao 200 Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO Cosderado le class d altezza 60 6; 6 70; 70 78; 78 86 per u collettvo d 20 persoe, s può affermare che l ALTEZZA dpede

Dettagli

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV

Università degli Studi di Napoli Parthenope. Facoltà di Scienze Motorie a.a. 2011/2012. Statistica. Lezione IV Uverstà degl Stud d Napol Partheope Facoltà d Sceze Motore a.a. 011/01 Statstca Lezoe IV E-mal: paolo.mazzocch@upartheope.t Webste: www.statmat.upartheope.t Fuzoe d regressoe Attraverso la fuzoe d regressoe

Dettagli

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione?

Due distribuzioni, stessa media ma in quale delle due la media rappresenta, sintetizza meglio la situazione? Prma dstrb. Secoda dstrb. Totale Meda 0 5 8 35 85 63 63/5 =3,6 5 5 38 40 45 63 63/5 =3,6 Due dstrbuzo, stessa meda ma quale delle due la meda rappreseta, stetzza meglo la stuazoe? Le mede stetzzao la dstrbuzoe,

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Gli indici sintetici. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Facoltà d Sceze Poltche - Ao accademco 01-013013 Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe dpede dal

Dettagli

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1

Lezione 4. La Variabilità. Lezione 4 1 Lezoe 4 La Varabltà Lezoe 4 1 Defzoe U valore medo, comuque calcolato, o è suffcete a rappresetare l seme delle osservazo effettuate (o l seme de valor assut dalla varable statstca); è ecessaro qud affacare

Dettagli

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua

Università di Cassino Esercitazioni di Statistica 1 del 5 Febbraio Dott. Mirko Bevilacqua Uverstà d Casso Eserctazo d Statstca del 5 Febbrao 00. Dott. Mrko Bevlacqua ESERCIZIO N A partre dalla dstrbuzoe semplce del carattere peso rlevata su 0 studet del corso d Mcroecooma peso: { 4, 59, 65,

Dettagli

Associazione tra due variabili quantitative

Associazione tra due variabili quantitative Esempo (1) Assocazoe tra due varabl quattatve Suppoamo che u professore vogla dmostrare che eserctars a casa aut gl studet el superameto dell esame. esame. A tal fe regstra la votazoe de compt a casa e

Dettagli

Variabilità = Informazione

Variabilità = Informazione Varabltà e formazoe Lo studo d u feomeo ha seso solo se esso s preseta co modaltà/testà varabl da u soggetto all altro. Ad esempo, se dobbamo studare l reddto ua certa regoe è ecessaro osservare utà statstche

Dettagli

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri

Matematica elementare art.1 di Raimondo Valeri Matematca elemetare art. d Ramodo Valer I questo artcolo voglamo provare che esste ua formula per calcolare l umero de dvsor d u dato umero aturale seza cooscere la scomposzoe fattor prm del umero stesso.

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 9: Covarianza e correlazione Corso d laurea Sceze Motore Corso d Statstca Docete: Dott.ssa Immacolata Scacarello Lezoe 9: Covaraza e correlazoe Altr tp d dpedeza L dce Ch-quadro presetato ella lezoe precedete stablsce l grado d dpedeza

Dettagli

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma

Gli indici sintetici Forma. Un caso studio. Gli indici sintetici. Qualche considerazione. Qualche considerazione. Tendenza centrale Forma Uverstà d Macerata Dpartmeto d Sceze Poltche, della Comucazoe e delle Relaz. Iterazoal Gl dc d varabltà Crsta Davo Gl dc stetc Qualche cosderazoe Tedeza cetrale Varabltà La scelta dell dce d tedeza cetrale/poszoe

Dettagli

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100

Classi di reddito % famiglie Fino a 15 5.3 15-25 16.2 25-35 21.1 35-45 18.6 45-55 13.6 Oltre 55 25.2 Totale 100 ESERCIZIO Data la seguete dstrbuzoe percetuale delle famgle talae per class d reddto, espresso mlo d lre, (ao 995, fote Istat): Class d reddto % famgle Fo a 5 5.3 5-5 6. 5-35. 35-45 8.6 45-55 3.6 Oltre

Dettagli

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio

Caso studio 10. Dipendenza in media. Esempio 09/03/06 Caso studo 0 S cosder la seguete dstrbuzoe degl occupat Itala secodo l umero d ore settmaal effettvamete lavorate e l settore d attvtà (cfr. Itala cfre, Ao 008, pag. 7 ): Ore lavorate Settore

Dettagli

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0)

Funzioni di più variabili Massimi e Minimi una funzione definita in un insieme E. Un punto ( x0, y0) Massm e Mm Fuzo d pù varabl Massm e Mm Dezoe: Sa z = (, ) ua uzoe deta u seme E U puto (, E s dce puto d massmo (rsp mmo) relatvo per (, ) se esste δ > tale che ((, ) B((, ), δ ) E (, ) (, ) (rsp (, )

Dettagli

Regressione e Correlazione

Regressione e Correlazione Regressoe e Correlazoe Probabltà e Statstca - Aals della Regressoe - a.a. 4/5 L aals della regressoe è ua tecca statstca per modellare e vestgare le relazo tra due (o pù) varabl. Nella tavola è rportata

Dettagli

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)

Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3) Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a

Dettagli

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek

MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Psicometria 1 - Lezione 2 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek MISURE DI TENDENZA CENTRALE Pscometra 1 - Lezoe Lucd presetat a lezoe AA 000/001 dott. Corrado Caudek 1 Suppoamo d dsporre d u seme d msure e d cercare u solo valore che, meglo d cascu altro, sa grado

Dettagli

Variabili casuali ( ) 1 2 n

Variabili casuali ( ) 1 2 n Varabl casual &. Valore edo. Data ua varable casuale = ( x,x 2, K,x ) (.) cu valor assuoo le rspettve probabltà P = p,p, K,p (.2) s defsce valore edo la quattà ( ) 2 = [ ] T M = M = P = xp (.3) Sgfcato:

Dettagli

6. LA CONCENTRAZIONE

6. LA CONCENTRAZIONE UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso d Laurea Sceze per l'ivestgazoe e la Scurezza 6. LA CONCENTRAZIONE Prof. Maurzo Pertchett Statstca

Dettagli

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti.

Interpolazione. Definizione: per interpolazione si intende la ricerca di una funzione matematica che approssima l andamento di un insieme di punti. Iterpolazoe Defzoe: per terpolazoe s tede la rcerca d ua fuzoe matematca che approssma l adameto d u seme d put. Iterpolazoe MATEMATICA Calcola ua fuzoe che passa PER tutt put Tp d terpolazoe Iterpolazoe

Dettagli

Indipendenza in distribuzione

Indipendenza in distribuzione Marlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Lo studo delle relazo tra due caratter" Aals delle relazo tra due caratter Dpedeza dstrbuzoe s basa sul cofroto delle dstrbuzo codzoate Dpedeza meda s basa sul cofroto

Dettagli

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione

LE MEDIE. Le Medie. Medie razionali. Medie di posizione LE MEDIE RAZIONALI LE MEDIE Msure stetche trodotte per valutare aspett compless e global d ua dstrbuzoe d u feomeo X medate u solo umero reale costruto modo da dsperdere al mmo le formazo su dat orgar.

Dettagli

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso

Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Facoltà d Farmaca Corso d Matematca co elemet d Statstca Docete: Rccardo Rosso Statstca descrttva: l coeffcete d cocetrazoe d G Quado s vuole rpartre ua certa somma d dearo, v soo due suddvso che soo,

Dettagli

INDICI DI VARIABILITA

INDICI DI VARIABILITA INDICI DI VARIABILITA Defzoe d VARIABILITA': la varabltà s può defre come l'atttude d u carattere ad assumere dverse modaltà quattatve. La varabltà è la quattà d dspersoe presete e dat. Idc d varabltà

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte III

Elementi di Statistica descrittiva Parte III Elemet d Statstca descrttva Parte III Paaa Idce d asmmetra (/) Idce d forma che esprme l grado d asmmetra (skewess) d ua dstrbuzoe. Sao u, u,,u osservazo umerche. Chamamo dce d asmmetra l espressoe: c

Dettagli

Il modello di regressione lineare semplice (1) Studio della dipendenza riepilogo

Il modello di regressione lineare semplice (1) Studio della dipendenza riepilogo Studo della dpedeza replogo Abbamo vsto due msure d assocazoe tra caratter: ) msure d assocazoe basate sull dpedeza dstrbuzoe ( χ, V d Cramer) possoo essere applcate a coppe d caratter qualuque (ache etrambe

Dettagli

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x

frazione 1 n dell ammontare complessivo del carattere A x La Cocetrazoe Il cocetto d cocetrazoe rguarda l modo cu l ammotare totale d u carattere quattatvo trasferble s rpartsce tra utà statstche. Tato pù tale ammotare è addesato u sottoseme d utà, tato pù s

Dettagli

Capitolo 6 Gli indici di variabilità

Capitolo 6 Gli indici di variabilità Captolo 6 Gl dc d varabltà ommaro. Itroduzoe. -. Il campo d varazoe. - 3. La dffereza terquartle. - 4. Gl scostamet med. -. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza. - 6. Le dffereze mede. - 7.

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi)

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terz) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI Eserctazoe 2 2.1 Da u dage svolta su u campoe d lavorator dpedet co doppo lavoro è stata rlevata la dstrbuzoe coguta del reddto

Dettagli

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione

Aritmetica 2016/2017 Esercizi svolti in classe Quarta lezione Artmetca 06/07 Esercz svolt classe Quarta lezoe Rcorreze o lear Sa a c a cq ua rcorreza dove {c }, c C e c 0. Sa P C[λ] l polomo caratterstco della rcorreza. Allora ua soluzoe partcolare della rcorreza

Dettagli

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1)

Esercitazione 5 del corso di Statistica (parte 1) Eserctazoe 5 del corso d Statstca (parte 1) Dott.ssa Paola Costat 8 Novembre 011 I alcue crcostaze s poe u maggor teresse sullo studo della varabltà tra le sgole utà statstche, puttosto che lo studo della

Dettagli

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio

Caso studio 2. Le medie. Esercizio. La media aritmetica. Esempio 8/02/20 Caso studo 2 U vesttore sta valutado redmet d due ttol del settore Petrolo e Gas aturale. Sulla base de redmet goraler della settmaa passata vuole cercare d prevedere l redmeto per la prossma settmaa

Dettagli

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso

b) Relativamente alla variabile PREZZO, fornire una misura della variabilità della distribuzione attraverso ESERCIZIO Co rfermeto a dvers modell d auto del medesmo segmeto d mercato e cldrata s soo rlevat dat sul prezzo d lsto mglaa d euro (X), la veloctà massma dcharata km/h (Y) ed l peso kg (Z). I dat soo

Dettagli

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI

TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI TRATTAMENTO STATISTICO DEI DATI ANALITICI Nell aals chmca u aalsta effettua u umero lmtato d prove e cosdera la meda de rsultat otteut per poter arrvare a determare o l valore VERO d ua determata gradezza

Dettagli

Lezione 13. Anelli ed ideali.

Lezione 13. Anelli ed ideali. Lezoe 3 Prerequst: Aell e sottoaell. Sottogrupp. Rfermet a test: [FdG] Sezoe 5.2; [H] Sezoe 3.4; [PC] Sezoe 4.2 Aell ed deal. Rcordamo la seguete defzoe, data el corso d Algebra : Defzoe 3. S dce aello

Dettagli

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento

Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento Captolo Error d msura: )Geeraltà defzo e trattameto I cocett d meda, varaza e devazoe stadard s utlzzao ormalmete per otteere formazo sulla botà d ua msura. I geerale, s assume come msura m della gradezza

Dettagli

Propagazione di errori

Propagazione di errori Propagazoe d error Gl error e dat possoo essere amplfcat durate calcol. Rspetto alla propagazoe degl error s può dstguere: comportameto del problema - codzoameto del problema: vedere come le perturbazo

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI QUANTITATIVE Indici di centralità, dispersione e forma Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.uge/pls_statstca Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 3 VARIABILI

Dettagli

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100)

La classe che mostra la distribuzione più elevata è quella 60-90, che corrisponde a un uso elevato dell automobile. f i fr (= f i/n) fr% (=fr*100) ESERCIZIO Il Moblty Maager d u azeda ha rlevato l umero d chlometr percors settmaalmete da 60 mpegat. I dat soo rportat ello schema successvo. 67 4 93 58 66 87 5 53 86 8 7 47 56 70 54 86 48 43 60 58 5

Dettagli

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3

CORSO DI STATISTICA I (Prof.ssa S. Terzi) 1 STUDIO DELLE DISTRIBUZIONI SEMPLICI. Esercitazione n 3 ORSO I STTISTI I (Prof.ssa S. Terz) STUIO ELLE ISTRIUZIONI SEMPLII Eserctazoe 3 3. ata la seguete dstrbuzoe de reddt: lass d reddto Reddter Reddto medo 6.500-7.500 4 6.750 7.500-8.500 7.980 8.500-9.500

Dettagli

Lezione 3. Gruppi risolubili.

Lezione 3. Gruppi risolubili. Lezoe 3 Prerequst: Lezo 1 2 Class d cougo e cetralzzat rupp rsolubl I questo captolo troducamo ua ozoe che come vedremo seguto fuge da raccordo tra la teora de grupp e la teora de camp Defzoe 31 Dato u

Dettagli

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica

Esercizi su Rappresentazioni di Dati e Statistica Esercz su Rappresetazo d Dat e Statstca Eserczo Esprmete forma percetuale e traducete u aerogramma dat della seguete tabella: Nord Cetro Sud Isole Totale 5 58 866 0 95 36 4 35 30 6 79 56 57 399 08 Soluzoe

Dettagli

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che:

dei quali si conoscono solo la media x e la deviazione standard σ e dato un valore reale positivo K, possiamo affermare che: Eserctazoe VI: Il teorema d Chebyshev Eserczo La statura meda d u gruppo d dvdu è par a 73,78cm e la devazoe stadard a 3,6. Qual è la frequeza relatva delle persoe che hao ua statura superore o ferore

Dettagli

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario

Modulo di Fisica Tecnica. Differenze finite per problemi di conduzione in regime instazionario Dpartmeto d Meccaca, Strutture, Ambete e Terrtoro UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO Laurea Specalstca Igegera Meccaca: Modulo d Fsca Tecca Lezoe d: Dffereze fte per problem d coduzoe regme stazoaro /20

Dettagli

Università della Calabria

Università della Calabria Uverstà della Calabra FACOLTA DI INGEGNERIA Corso d Laurea Igegera per l Ambete e l Terrtoro CORSO DI IDROLOGIA Ig. Daela Bod SCHEDA DIDATTICA N 5 ISOIETE E TOPOIETI A.A. 20-2 Calcolo della precptazoe

Dettagli

Regressione. Modelli statistici. Esempio: le automobili si vendono a peso? Esempio: le automobili si vendono a peso? prezzo=a+b*(peso-500)+errore

Regressione. Modelli statistici. Esempio: le automobili si vendono a peso? Esempio: le automobili si vendono a peso? prezzo=a+b*(peso-500)+errore Modell statstc Regressoe Ccchtell Cap. 0 La relazoe tra varabl può essere studata per mezzo d modell statstc varable (es. peso) Quato c s dscosta da u valore tpco modello varabl (peso-altezza) Quato c

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione

STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI QUANTITATIVE Trasformazioni lineari Indici di covarianza e correlazione Matematca e statstca: da dat a modell alle scelte www.dma.uge/pls_statstca Resposabl scetfc M.P. Rogat e E. Sasso (Dpartmeto d Matematca Uverstà d Geova) STATISTICA DESCRITTIVA - SCHEDA N. 4 VARIABILI

Dettagli

Capitolo 13 Il modello di regressione lineare

Capitolo 13 Il modello di regressione lineare Captolo 3 Il modello d regressoe leare La fase pù operatva della statstca è dretta alla costruzoe d modell e coè d rappresetazo semplfcate, aalogche e ecessare della realtà attraverso le qual provare a

Dettagli

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II

DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II FACOLTA DI INGEGNERIA Laurea Specalstca Igegera Cvle NO Guseppe T Aroca CORSO DI IDROLOGIA TECNICA PARTE II Aals e prevsoe statstca delle varabl drologche Lezoe X: Scelta d u modello probablstco Aals e

Dettagli

LE MEDIE. Quadratica. Italo Nofroni. Statistica medica. Medie. Le medie vengono classificate in

LE MEDIE. Quadratica. Italo Nofroni. Statistica medica. Medie. Le medie vengono classificate in Le mede Italo Nofro LE MEDIE Le mede (o valor med) soo dc d tedeza cetrale e costtuscoo u modo semplce ed mmedato per stetzzare u solo valore dat eterogee raccolt u collettvo Statstca medca Le mede Le

Dettagli

valido se i dati E dato da max(x i )-min(x i )

valido se i dati E dato da max(x i )-min(x i ) Idc d Dspersoe o d Varabltà: Rage e DIQ No basta la coosceza d quale è la poszoe meda de dat statstc, serve ache cooscere quale è la varabltà de dat raccolt attoro al valore medo. Allo scopo d troducoo

Dettagli

Lezione 4. Metodi statistici per il miglioramento della Qualità

Lezione 4. Metodi statistici per il miglioramento della Qualità Tecologe Iormatche per la Qualtà Lezoe 4 Metod statstc per l mglorameto della Qualtà Msure d Tedeza Cetrale Ultmo aggorameto: 30 Settembre 2003 Il materale ddattco potrebbe coteere error: la segalazoe

Dettagli

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità

SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI 1 parte. Variabili casuali e Distribuzioni di variabili casuali. Calcolo delle probabilità SIMULAZIONE DI SISTEMI CASUALI parte Varabl casual e Dstrbuzo d varabl casual Calcolo delle probabltà Defzo Il calcolo delle probabltà tede a redere razoale l comportameto dell uomo d frote all certezza;

Dettagli

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti

Dimostrazione della Formula per la determinazione del numero di divisori-test di primalità, di Giorgio Lamberti Gorgo Lambert Pag. Dmostrazoe della Formula per la determazoe del umero d dvsor-test d prmaltà, d Gorgo Lambert Eugeo Amtrao aveva proposto l'dea d ua formula per calcolare l umero d dvsor d u umero, da

Dettagli

Voti Diploma Classico Scientifico Tecn. E Comm Altro

Voti Diploma Classico Scientifico Tecn. E Comm Altro 4 Data la seguete dstrbuzoe doppa de vot rportat ad u esame secodo l Dploma posseduto: Vot 8-3-5 6-8 9-30 Dploma Classco 8 4 5 Scetfco 5 7 7 5 Tec E Comm 8 0 0 Altro 3 a) s calcol la meda artmetca de vot

Dettagli

Sommario. Facoltà di Economia. Obiettivo. Quando studiarla? Lezione n 7. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla?

Sommario. Facoltà di Economia. Obiettivo. Quando studiarla? Lezione n 7. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla? Corso d Statstca acoltà d Ecooma a.a. - La cocetrazoe Quado studarla? Obettvo Dagramma d Lorez apporto d cocetrazoe rea d cocetrazoe Esemp Sommaro Lezoe 7 Lez7-a.a. - statstca-fracesco mola Quado studarla?

Dettagli

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998

Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo

Dettagli

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS

FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS FUNZIONI LOGICHE FORME CANONICHE SP E PS Ua fuzoe logca può essere espressa quattro forme: 1. attraverso ua proposzoe logca; 2. attraverso ua tabella della vertà; 3. attraverso u espressoe algebrca; 4.

Dettagli

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica

Design of experiments (DOE) e Analisi statistica Desg of epermets (DOE) e Aals statstca L utlzzo fodametale della metodologa Desg of Epermets è approfodre la coosceza del sstema esame Determare le varabl pù sgfcatve; Determare l campo d varazoe delle

Dettagli

Capitolo 17. Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti. Esercizio 17.1: Suggerimento

Capitolo 17. Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti. Esercizio 17.1: Suggerimento Captolo 17 Suggermet agl eercz a cura d Elea Slett Eerczo 17.1: Suggermeto S rcord che X 1, X 2, X 3 oo v.c. dpedet quado le etrazo oo co rpozoe. Uo tmatore T dce o dtorto e l uo valore atteo cocde co

Dettagli

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza Uverstà degl Stud d Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 11 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, ammortamet

Dettagli

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO.

ARGOMENTO: MISURA DELLA RESISTENZA ELETTRICA CON IL METODO VOLT-AMPEROMETRICO. elazoe d laboratoro d Fsca corso M-Z Laboratoro d Fsca del Dpartmeto d Fsca e Astrooma dell Uverstà degl Stud d Cataa. Scala Stefaa. AGOMENTO: MSUA DELLA ESSTENZA ELETTCA CON L METODO OLT-AMPEOMETCO. NTODUZONE:

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA modulo 1 Corso di Laurea SMID Elda Guala e Ivano Repetto Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Genova

STATISTICA DESCRITTIVA modulo 1 Corso di Laurea SMID Elda Guala e Ivano Repetto Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Genova - -. Varabl statstche STATISTICA DESCRITTIVA modulo Corso d Laurea SMID Elda Guala e Ivao Repetto Dpartmeto d Matematca - Uverstà degl Stud d Geova I dat rportat sotto s rferscoo a studet uverstar che

Dettagli

Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche.

Un esempio. le diverse situazioni possibili riferibili alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche. I molte crcostaze l rcercatore s trova a dover decdere quale, tra le dverse stuazo possbl rferbl alla popolazoe, è quella meglo sosteuta dalle evdeze emprche. Ipotes statstca: supposzoe rguardate: u parametro

Dettagli

Capitolo 2 APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD

Capitolo 2 APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD Captolo APPROSSIMAZIONI DI DATI E FUNZIONI CON MATHCAD A. M. Ferrar - Apput d LPCAC SOMMARIO. APPROSSIMAZIONE DI DATI E FUNZIONI... 3. Itroduzoe... 3. I crter d scelta... 4.. Osservazo... 5. LE CURVE DI

Dettagli

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza

2014-2015 Corso TFA - A048 Matematica applicata. Didattica della matematica applicata all economia e alla finanza Uverstà degl Stud d Ferrara 2014-2015 Corso TFA - A048 Matematca applcata Ddattca della matematca applcata all ecooma e alla faza 18 marzo 2015 Apput d ddattca della Matematca fazara Redte, costtuzoe d

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte II

Elementi di Statistica descrittiva Parte II Elemet d Statstca descrttva Parte II Nella prma parte d queste ote s soo llustrate le tecche utlzzate per rappresetare dat, maera stetca, medate tabelle e grafc Tal tecche soo applcabl sa a caratter quattatv

Dettagli

Analisi statistiche bivariate

Analisi statistiche bivariate Aals statstche bvarate Aals coguta d due caratter (varabl) osservat per ua utà statstca (ad es. peso ed altezza d studet) Rappresetazoe de dat tabelle elecazoe completa delle modaltà a doppa etrata grafc

Dettagli

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI

Università degli Studi di Milano Bicocca CdS ECOAMM Corso di Metodi Statistici per l Amministrazione delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI Uverstà degl Stud d Mlao Bcocca CdS ECOAMM Corso d Metod Statstc per l Ammstrazoe delle Imprese CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI 1. Carta d cotrollo per frazoe d o coform (carta U resposable d produzoe,

Dettagli

3 Variabilità. variabilità. Senza deviazione dalla norma il progresso non è possibile. (Frank Zappa) Statistica - 9CFU

3 Variabilità. variabilità. Senza deviazione dalla norma il progresso non è possibile. (Frank Zappa) Statistica - 9CFU 3 Varabltà 3 varabltà Seza devazoe dalla orma l progresso o è possble (Frak Zappa) 68 Statstca - 9CFU 3 Varabltà 3. varabltà Defzo Varabltà E l atttude d u feomeo ad assumere dverse modaltà. Essa è msurata

Dettagli

corrispondenza della generica i-esima modalità. Indicando con #(.) la cardinalità di un insieme, per esse si ha, rispettivamente:

corrispondenza della generica i-esima modalità. Indicando con #(.) la cardinalità di un insieme, per esse si ha, rispettivamente: Corso d Statstca docete: Domeco Vstocco Le requeze cumulate S cosder ua varable qualtatva ordale X Per essa, oltre alle requeze assolute, relatve e ercetual, è ossble calcolare ache le requeze cumulate

Dettagli

Le misure di variabilità

Le misure di variabilità arlea Pllat - Semar d Statstca (SVIC) "Le msure d varabltà e cocetrazoe" La varabltà L atttude d u carattere quattatvo X ad assumere valor dfferet tra le utà compoet u seme statstco è chamata varabltà

Dettagli

III Esercitazione: Sintesi delle distribuzioni semplici secondo un carattere qualitativo ordinale.

III Esercitazione: Sintesi delle distribuzioni semplici secondo un carattere qualitativo ordinale. III Eserctazoe: Stes delle dstrbuzo semplc secodo u carattere qualtatvo ordale. Eserczo 3 dvdu ao seguet ttol d studo: Lceza elemetare, Lceza elemetare, ploma, Lceza meda, Lceza elemetare, Lceza meda,

Dettagli

Prof.ssa Paola Vicard

Prof.ssa Paola Vicard Excel o ha ua fuzoe per calcolare automatcamete gl dc d cocetrazoe e per costrure la curva d Lorez. Tuttava è possble calcolare tal dc e costrure tale grafco co alcue procedure. La cocetrazoe può essere

Dettagli

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X

Def. Si dice variabile aleatoria discreta X una variabile che può assumere valori X1, X Prof.ssa Emauela Baudo Fabrza De Berard VARIABILI ALEATORIE DISCRETE E DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Def. S dce varable aleatora dscreta X ua varable che può assumere valor X, X,... X corrspodet ad evet

Dettagli

Il modello di regressione multipla

Il modello di regressione multipla S. Borra A. D Cacco Statstca metodologe per le sceze ecoomche e socal McGraw Hll 4 ISBN 88-386-66-6 9 Il modello d regressoe multpla Relazoe statstca modello d regressoe leare multpla omoschedastctà superfce

Dettagli

2 si da eguale peso alle misure senza tener conto dell incertezza, che in generale possono essere diverse.

2 si da eguale peso alle misure senza tener conto dell incertezza, che in generale possono essere diverse. 5 MEDIE PESTE Come combare msure separate? Esempo, msure Msura d : ± Msura d B: B ± B Se s effettua la meda artmetca: B s da eguale peso alle msure seza teer coto dell certezza, che geerale possoo essere

Dettagli

Dimostrazione. Sia V la matrice di Vandermonde: V = Risolvere il sistema lineare: Va = y risolvere: p(x i ) = y i dove:

Dimostrazione. Sia V la matrice di Vandermonde: V = Risolvere il sistema lineare: Va = y risolvere: p(x i ) = y i dove: INTERPOLAZIONE È u problema d approssmazoe d ua fuzoe o d u seme d dat co ua fuzoe ce sa pù semplce e ce abba buoe propretà d regolartà. Tale tpo d approssmazoe s usa quado dat soo ot co precsoe. La codzoe

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA 1 PROVA SCRITTA DEL 15 SETTEMBRE 2009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE

MATEMATICA FINANZIARIA 1 PROVA SCRITTA DEL 15 SETTEMBRE 2009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE MATEMATICA FINANZIARIA PROVA SCRITTA DEL 5 SETTEMBRE 009 C.d.L. ECONOMIA AZIENDALE ESERCIZIO a) Il Sg. Ross ogg (t0) uole acqustare u furgoe del alore d 7000 per la sua atttà commercale. A tal fe egl ersa

Dettagli

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA

IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA Captolo 9 - Il modello d regressoe leare multpla 9 - IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA 9 9. Itroduzoe 9. Il modello d regressoe leare multpla 9.3 Il modello d regressoe leare multpla forma matrcale

Dettagli

x... Gli indici sintetici La media aritmetica Gli indici sintetici Indici assoluti Indici relativi Indici normalizzati Forma

x... Gli indici sintetici La media aritmetica Gli indici sintetici Indici assoluti Indici relativi Indici normalizzati Forma Gl dc stetc Tedeza cetrale Forma Varabltà Cosetoo l passaggo da ua pluraltà d formazo ad u uca msura umerca; Stetzzao l tera dstrbuzoe u sgolo valore, cosetedo così cofrot el tempo, ello spazo o tra crcostaze

Dettagli

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato,

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statstca descrttva Grafc e tabelle permettoo d fare valutazo qualtatve, o quattatve. C è la ecesstà d stetzzare le caratterstche salet d ua varable: dc d locazoe o d poszoe dc d varabltà o dspersoe Questo

Dettagli

Modello dinamico nello spazio dei giunti: relazione tra le coppie di attuazione ai giunti ed il moto della struttura

Modello dinamico nello spazio dei giunti: relazione tra le coppie di attuazione ai giunti ed il moto della struttura Damca Modello damco ello spazo de gut: relazoe tra le coppe d attuazoe a gut ed l moto della struttura smulazoe del moto aals e progettazoe delle traettore progettazoe del sstema d cotrollo progetto de

Dettagli

Analisi di dati vettoriali. Direzioni e orientazioni

Analisi di dati vettoriali. Direzioni e orientazioni Aals d dat vettoral Drezo e oretazo I tal caso, dat soo msurat term d agol e spesso soo rfert al ord geografco (statstca crcolare) Soo rappresetat su ua crcofereza Dat d drezoe: flusso ua specfca drezoe,

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA COSIDERAZIOI PRELIMIARI SULLA STATISTICA La Statstca trae suo rsultat dall osservazoe de feome che c crcodao. Gl stess feome per essere oggetto d statstca devoo essere adeguatamete umeros modo tale che

Dettagli

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione.

), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione. Dvsbltà e umer prm Sao a,b elemet dell seme Z degl ter relatv Dcamo che a dvde b, smbol a b, se b è multplo d a, ossa se esste u tero h Z tale che b ha Og tero a dvde 0 ( 0 0a ), metre l uco tero che dvde

Dettagli

Lezione 1. I numeri complessi

Lezione 1. I numeri complessi Lezoe Prerequst: Numer real: assom ed operazo. Pao cartesao. Fuzo trgoometrche. I umer compless Nell'attuale teora de umer compless cofluscoo due fodametal dee, ua artmetca, l'altra geometrca. La prma,

Dettagli

Lezione 24. Campi finiti.

Lezione 24. Campi finiti. Lezoe 4 Prerequst: Lezo 0,,, 3 Rfermet a test: [FdG] Sezoe 86; [H] Sezoe 79; [PC] Sezoe 63; Cam ft Nelle lezo recedet abbamo vsto dvers esem d cam ft: ess erao tutt del to oure [ x ]/( f ( x )), dove f

Dettagli

Appunti di. Elaborazione dei dati sperimentali

Appunti di. Elaborazione dei dati sperimentali Apput d Elaboraoe de dat spermetal Corso d sca er cors d Laurea Igegera Uverstà d adova sura d ua gradea fsca Ua gradea fsca s rappreseta co uo (o pù) umer segut da ua utà d msura. Il umero che quatfca

Dettagli

Statistica. Maura Mezzetti Sono indipendenti i caratteri X e Y? Y Totale. Totale

Statistica. Maura Mezzetti Sono indipendenti i caratteri X e Y? Y Totale. Totale .09.06 Statstca Maura Mezzett maura.mezzett@uroma.t Soo dpedet caratter X e? A B Totale X 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 Totale 40 0 50 .09.06 Soo dpedet caratter X e? A B C Totale X 40 0 0 40 0 40 0 60 Totale 40

Dettagli

Francesco Ciatara ELEMENTI STATISTICA

Francesco Ciatara ELEMENTI STATISTICA Fracesco Catara ELEMENTI d STATISTICA 0 La dstrbuzoe statstca Per llustrare e defre gl uvers, per assemblare le utà grupp, sosttuedo a soggett class equvalet, o meglo, costrure collettv mor costtut da

Dettagli

UNI CEI ENV 13005 (GUIDA ALL ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA DI MISURA)

UNI CEI ENV 13005 (GUIDA ALL ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA DI MISURA) UI CEI EV 3005 (GUIDA ALL ESPRESSIOE DELL ICERTEZZA DI MISURA Uverstà degl Stud d Bresca Corso d Fodamet della Msurazoe A.A. 00-03 Apput a cura d Gorgo Cor 3835 UI CEI EV 3005 0. ITRODUZIOE 0. COCETTO

Dettagli

Come cambia la distribuzione se consideriamo 5 classi equiampie (k=5)? Freq. relativa. Freq. Ass. n i

Come cambia la distribuzione se consideriamo 5 classi equiampie (k=5)? Freq. relativa. Freq. Ass. n i Come camba la dstrbuzoe se cosderamo 5 class equampe (k5)? xmax xm 2.02 03 d 38,80 k 5 Class x xl x + Ass. relatva N Frequeza relatva cumulata F l 03,0 -- 484,8 4 0,82 0,82 484,8 -- 866,6 5 0,0 0,92 866,6

Dettagli