UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Corso di Risk Management

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Corso di Prof. Filippo Stefanini A.A. Corso 6001 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile

2 Background La volatilità di uno strumento finanziario misura l incertezza sul valore futuro di quello strumento finanziario La volatilità di uno strumento finanziario non è costante nel tempo pag

3 Background La volatilità di uno strumento finanziario è definita come la deviazione standard dei rendimenti prodotti nell unità di tempo quando il rendimento è espresso usando la composizione continua. Quando la volatilità viene utilizzata per valutare le opzioni, l unità di tempo è un anno La varianza è il quadrato della volatilità Normalmente non si considerano i giorni di borsa chiusa nei calcoli per la volatilità (l assunzione comune è che vi sono 5 giorni all anno). Per T piccolo, T è pari alla deviazione standard del tasso di variazione proporzionale nel periodo T. Quando l orizzonte temporale è breve, la nostra incertezza sul prezzo futuro, aumenta secondo la radice quadrata di quanto lontano guardiamo avanti nel tempo pag 3

4 Esempi L indice VIX è un indicatore della volatilità implicita di breve termine sul mercato azionario S&P 500. VIX cattura la volatilità del mercato azionario statunitense delle società a maggiore capitalizzazione. Generalmente le società a minore capitalizzazione sono potenzialmente più volatili. L indice VIX è calcolato come la media ponderata delle volatilità implicite per un ampio intervallo di strike prices. Fino a 8 giorni dalla scadenza sono usate le scadenze a 1 e mesi, successivamente le scadenze a e 3 mesi. MOVE (Merrill Lynch Option Volatility Estimate) è una media ponderata delle volatilità implicite delle opzioni con scadenza 1 mese sulla curva dei rendimenti dei titoli di stato statunitensi. VDAX (Germany DAX) VXN (Chicago Board Option volatility-nasdaq 100) VX (Eurostoxx 50 volatility) CVIX (Deutsche Bank Currency Volatility) pag 4

5 Indice VIX dal 1998 al marzo 009 Bank crisis Terrorist attack as of September 11 th LTCM crisis Corporate scandals in US and likely Iraq war pag 5

6 Indice MOVE dal maggio 008 ad aprile 009

7 implicita del FTSE 100

8 implicita del Dow Jones EURO STOXX 50

9 implicita del DAX

10 Che cosa è all origine della volatilità? La volatilità dei prezzi di uno strumento finanziario è causata da nuove informazioni che raggiungono il mercato ed a seguito delle quali gli operatori rivedono le loro opinioni sul valore di quello strumento finanziario La volatilità è causata anche dai flussi in acquisto ed in vendita, cioè dal trading pag 10

11 storica e implicita La volatilità di uno strumento finanziario può essere: Storica se stimata dai prezzi storici di quello strumento finanziario Implicita se stimata a partire dai prezzi delle opzioni scritte su quello strumento finanziario La volatilità implicita e la volatilità storica sono espresse come valori percentuali annualizzati pag 11

12 storica La volatilità storica o volatilità realizzata è la deviazione standard dei rendimenti storici di uno strumento finanziario. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. n ( Rt R) t1 con n > 1 n 1 La deviazione standard è una misura della volatilità storica di uno strumento finanziario. La deviazione standard così calcolata è adimensionale. pag 1

13 Downside deviation Nel tentativo di distinguere tra volatilità buona e volatilità cattiva si introduce la downside deviation, ossia la volatilità solo di quei rendimenti al di sotto di un rendimento minimo accettabile (Minimum Acceptable Return, MAR) : 1 Downside deviation n 1 dove d t t1 MAR rt se rt MAR 0 altrimenti n d t Di solito poniamo MAR = 0% pag 13

14 implicita La volatilità implicita si ricava dalle opzioni di uno strumento finanziario e non dal prezzo di quello strumento finanziario. Quindi differenti opzioni sullo stesso strumento finanziario sottostante hanno volatilità implicite differenti. La volatilità implicita è funzione di: titolo sottostante tipo dell opzione (put o call) scadenza dell opzione prezzo di esercizio dell opzione pag 14

15 implicita Tra le variabili necessarie per prezzare un opzione, l unica che non può essere osservata direttamente è la volatilità Quindi possiamo ricavare la volatilità dai prezzi di mercato delle opzioni e viceversa, in base alla volatilità, ceteris paribus, possiamo ricavare i prezzi di mercato delle opzioni La volatilità implicita è il valore della volatilità che, quando sostituito nella formula di Black-Scholes per il prezzo delle opzioni, dà il prezzo dell opzione. Non è possibile invertire la formula di Black-Scholes in modo da esprimere la volatilità come una funzione del prezzo dell opzione e di altre variabili. Per le opzioni di tipo europeo, la volatilità implicita si trova attraverso una ricerca iterativa. Per le opzioni di tipo americano, la volatilità implicita si trova attraverso gli alberi binomiali. pag 15

16 Premio Nobel per l Economia nel 1997 The Royal Swedish Academy of Sciences has decided to award the Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel, 1997, to Robert C. Merton Harvard University, Cambridge, USA and Myron S. Scholes Stanford University, Stanford, USA for a new method to determine the value of derivatives Fonte: Press Release 14 October 1997 pag 16

17 Premio Nobel per l Economia nel 1997 Robert C. Merton and Myron S. Scholes have, in collaboration with the late Fischer Black, developed a pioneering formula for the valuation of stock options. Their methodology has paved the way for economic valuations in many areas. It has also generated new types of financial instruments and facilitated more efficient risk management in society. *** In a modern market economy it is essential that firms and households are able to select an appropriate level of risk in their transactions. This takes place on financial markets which redistribute risks towards those agents who are willing and able to assume them. Markets for options and other so-called derivatives are important in the sense that agents who anticipate future revenues or payments can ensure a profit above a certain level or insure themselves against a loss above a certain level. (Due to their design, options allow for hedging against one-sided risk - options give the right, but not the obligation, to buy or sell a certain security in the future at a prespecified price.) A prerequisite for efficient management of risk, however, is that such instruments are correctly valued, or priced. A new method to determine the value of derivatives stands out among the foremost contributions to economic sciences over the last 5 years. Fonte: pag 17

18 La formula di Black-Scholes La formula di Black-Scholes per valutare le opzioni call e put europee di uno strumento finanziario che produce un rendimento q sono: c S qt rt 0e d N( d1) Ke N( ) (prezzo di un opzione call europea) p Ke rt qt N( d ) S0e N( d1) (prezzo di un opzione put europea) dove: N(x) è la funzione di ripartizione per una variabile casuale normale standardizzata S 0 è il prezzo dello strumento finanziario al tempo zero K è lo strike price R è il tasso risk free s è la volatilità del prezzo dello strumento finanziario implicita nel prezzo dell opzione T è la scadenza dell opzione d 1 ln( S 0 / K) ( r q / ) T T ; d d 1 T pag 18

19 Il modello di Black-Scholes La formula di Black-Scholes fa l ipotesi che i prezzi cambino in modo continuo e che la volatilità sia costante. Questo non si verifica durante crisi di liquidità del sistema finanziario come ad esempio ad Agosto 1998 con la crisi del fondo Long Term Capital Management. In pratica la volatilità di uno strumento finanziario, come il suo prezzo, è una variabile casuale. Inoltre gli strumenti finanziari tendono ad avere delle distribuzioni di rendimento con delle code più grasse della distribuzione normale. pag 19

20 Long-Term Capital Management Valore lordo di $1 investito nel marzo 1994 Fonte: Roger Lowenstein, When Genius Failed, 000 pag 0

21 La volatilità è una cosa reale? Comprare la volatilità di un indice azionario, significa comprare protezione dai momenti di crisi dei mercati Vendere volatilità di un indice azionario, significa vendere un assicurazione ai mercati contro gli eventi estremi. E come assicurare qualcuno contro un terremoto. pag 1

22 Posso comprare o vendere la volatilità? Posso comprare e vendere volatilità di uno strumento finanziario attraverso: una combinazione opportuna di opzioni : 1. short butterfly,. long straddle, 3. long strangle le obbligazioni convertibili possiamo implementare il gamma trading ed essere lunghi di volatilità l acquisto di un future sulla VIX o sul VDAX l acquisto di un variance swap pag

23 Approccio Standard alla stima della Storica Sia s n la volatilità giornaliera tra il giorno n-1 ed il giorno n Sia m il numero di giorni di osservazione Sia S i il prezzo dello strumento finanziario alla fine del giorno i Si definisca u i S ln Si i 1 n 1 m m1 i1 ( u ni u) dove u 1 m m i1 u n i pag 3

24 Semplificazioni pratiche Si definisce i1 i1 Si assume che il valor medio di u i sia zero Si sostituisce m-1 con m u i S i S S Da questo consegue che: 1 m n u i 1 n i m 1 m n u n i m i 1 ( Storica) pag 4

25 Osservazione importante La formula seguente 1 m m n u i 1 n i dà un peso uguale a tutte le osservazioni u i, siano esse più o meno recenti. Il nostro obiettivo è quello di stimare il livello di volatilità o di varianza più recenti. Se parto dal presupposto che il futuro sia più legato al passato recente che non al passato remoto, ha senso dare un peso maggiore ai dati più recenti pag 5

26 Schemi di ponderazione Invece di assegnare pesi uguali alle osservazioni, possiamo stabilire che: n m i1 i u ni dove m i1 i 1 i 0 i 1,..., m i j i j Si dà peso maggiore alle osservazioni più recenti pag 6

27 Modelli di stima della volatilità storica Ci sono tre modelli per stimare la volatilità dando un peso maggiore ai dati più recenti: 1. EWMA: Exponentially Weighted Moving Average. ARCH: AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity 3. GARCH: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity Sono tutti e tre casi particolari dell equazione alla pagina precedente. pag 7

28 Modelli di stima della volatilità storica In questi 3 modelli: 1. EWMA: Exponentially Weighted Moving Average. ARCH: AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity 3. GARCH: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity La volatilità non è costante ma cambia nel tempo. pag 8

29 Modello ARCH(m) Se ipotizziamo l esistenza di una varianza di lungo termine V L a cui assegniamo un peso g: n V L m i 1 u i n i dove m i1 i 1 Modello ARCH(m) Ideato da Robert F.Engle nel 198. pag 9

30 Modello EWMA In un modello a media mobile pesata esponenzialmente, i pesi assegnati ad u decrescono esponenzialmente come ci spostiamo indietro nel tempo. Questo porta alla seguente formula: n n 1 ( 1 ) u n 1 Se sostituiamo a questa formula, la stessa formula per otteniamo n1 m ( 1) i1 u m n ni nm i1 pag 30

31 Modello EWMA Per m molto grande, il termine diventa uguale a m nm diventa trascurabile e l equazione n V L m iun i 1 i Dove i (1 ) i1 pag 31

32 GARCH (1,1) Se ipotizziamo l esistenza di una varianza di lungo termine V L a cui assegniamo un peso g: n V L u n 1 n 1 dove g + a + b =1 Modello GARCH(1,1) Ideato da T.Bollerslev nel pag 3

33 GARCH (1,1) Il modello EWMA è un caso particolare di GARCH(1,1) dove dove g =0 a=1-l b =l Si dice (1,1) perché è calcolata dalla più recente osservazione di u n e dalla più recente stima della varianza. pag 33

34 GARCH (1,1) Ponendo w = gv possiamo riscrivere il modello GARCH (1,1) come u n n 1 n 1 dove V L 1 pag 34

35 n GARCH (p,q) Il modello GARCH(p,q) calcola dalle più recenti p osservazioni di u e le più recenti q stime della varianza: p u n i n i j i 1 j 1 q n j pag 35

36 Metodi di massima verosimiglianza I parametri dei modelli che abbiamo finora discusso vengono stimati a partire dai dati storici con i metodi di massima verosimiglianza: scegliamo quei parametri che massimizzano la verosimiglianza (likelihood) delle osservazioni pag 36

37 Esempio Esempio: stima della varianza della variabile casuale X a partire da m osservazioni di X, dove X è distribuito normalmente con media 0. Massimizzare: Che è equivalente a massimizzare: Il risultato è: m i1 m i1 v 1 v ln( v) m 1 ui m i1 exp u v u v i i (Verosimiglianza) (Stimatore di Massima Verosimiglianza) pag 37

38 Esempio: applicazione del metodo di massima verosimiglianza al GARCH (1,1) v Definiamo la stima della varianza per il giorno i. Assumiamo che la i i distribuzione degli u i sia normale. Scegliamo i parametri che massimizzano: m i1 1 v i u exp v i i che è equivalente a massimizzare ln( vi ) i1 u n i Siamo interessati a trovare quei parametri a,b e gche massimizzano l espressione appena sopra. Abbiamo bisogno di una ricerca per iterazione. Possiamo usare la routine Solver di Microsoft Excel. v i pag 38

39 Quanto è buono il modello GARCH? Confrontiamo l autocorrelazione degli u i con l autocorrelazione degli u i /s i se il modello GARCH è appropriato, rimuove l autocorrelazione dai dati. Se assumiamo che gli u i siano autocorrelati, se anche gli u i /s i hanno una bassa autocorrelazione, allora significa che il modello GARCH per i s i ha spiegato con successo l autocorrelazione degli u i pag 39

40 Quanto è buono il modello GARCH? Test di Ljung-Box per l autocorrelazione m( m ) L k 1 m k k (Statistica di Ljung-Box) dove m è il numero di osservazioni k è il ritardo temporale L è il numero di ritardi temporali considerati h k è l autocorrelazione a ritardo k La statistica di Ljung-Box si distribuisce come una c con L gradi di libertà. Con Microsoft Excel se il valore osservato dalla statistica di Ljung-Box è maggiore di INV.CHI(probabilità ;gradi_libertà ), allora l ipotesi di autocorrelazione nulla può essere rifiutata con probabilità (1-probabilità) pag 40

41 Esempio per le azioni IBM % $ pag 41

42 Premio Nobel per l Economia nel October 003 The Royal Swedish Academy of Sciences has decided that the Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel, 003, is to be shared between Robert F. Engle New York University, USA for methods of analyzing economic time series with time-varying volatility (ARCH) and Clive W. J. Granger University of California at San Diego, USA for methods of analyzing economic time series with common trends (cointegration). Fonte: Press Release 8 October 003 pag 4

43 Premio Nobel per l Economia nel 003 On financial markets, random fluctuations over time volatility are particularly significant because the value of shares, options and other financial instruments depends on their risk. Fluctuations can vary considerably over time; turbulent periods with large fluctuations are followed by calmer periods with small fluctuations. Despite such time-varying volatility, in want of a better alternative, researchers used to work with statistical methods that presuppose constant volatility. Robert Engle s discovery was therefore a major breakthrough. He found that the concept of autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) accurately captures the properties of many time series and developed methods for statistical modeling of time-varying volatility. His ARCH models have become indispensable tools not only for researchers, but also for analysts on financial markets, who use them in asset pricing and in evaluating portfolio risk. Fonte: Press Release 8 October 003 pag 43

44 La struttura a termine della volatilità implicita La struttura a termine della volatilità è la relazione tra la volatilità implicita e la scadenza delle opzioni avente uno stesso strumento finanziario sottostante. pag 44

45 La struttura a termine della volatilità implicita: un esempio Sull azione IBM sono quotate numerose opzioni call ed opzioni put, ciascuna con diverse scadenze. Sulla base dei prezzi di mercato delle opzioni call e put sull azione IBM possiamo ricavare le volatilità implicite. La volatilità implicita delle opzioni call e put sull azione IBM è funzione della scadenza delle opzioni. Possiamo disegnare il grafico della volatilità implicita in funzione delle scadenze delle opzioni call e put, ricavando così la struttura a termine della volatilità implicita. pag 45

46 5 La struttura a termine della volatilità implicita: un esempio La struttura a termine della volatilità per le azioni IBM Implicita 0 15 Implied Volatility in Call Options Implied Volatility in Put Options /18/007 04/8/007 08/06/007 11/14/007 0//008 06/01/008 09/09/008 1/18/008 03/8/009 Scadenza Fonte: Bloomberg pag 46

47 La struttura a termine della volatilità Vediamo alcuni esempi di eventi che possono impattare sulla volatilità Spesso, la volatilità implicita per i prezzi di un azione quotata cresce significativamente nel giorno in cui quella società comunica al mercato gli utili trimestrali. Spesso le opzioni sulle materie prime agricole mostrano un incremento nella volatilità implicita appena prima delle previsioni dei raccolti. Spesso le opzioni sui titoli di stato statunitensi mostrano un incremento nella volatilità implicita appena prima dei meeting della Federal Reserve. pag 47

48 Volatility smile Il volatility smile è la relazione tra volatilità implicita di un opzione e lo strike price di quella stessa opzione. Spesso, ma non sempre, le opzioni at-the-money tendono ad avere una volatilità implicita più bassa delle altre opzioni out-of-the-money. Nel modello di Black-Scholes, il valore teorico di un opzione plain vanilla è una funzione monotona crescente della volatilità implicita. Calcolando la volatilità implicita nel prezzo di un opzione e, ripetendo questo calcolo per tutte le opzioni call e put aventi lo stesso titolo sottostante e la stessa scadenza, è possibile disegnare due curve della volatilità implicita (una per le opzioni call ed una per le opzioni put). pag 48

49 Volatility smile Se disegniamo la volatilità implicita in funzione del prezzo di esercizio, otteniamo una curva tipicamente decrescente con un rialzo alla fine. Se otteniamo una curva con pendenza decrescente, si usa il termine di volatility skew. Se otteniamo una curva che si rialza alla fine, si parla di volatility smile. pag 49

50 Volatility smile Forma che risulta dal grafico della volatilità implicita in funzione dello strike price di un gruppo di opzioni put e call con la stessa scadenza Implicita Fissata la scadenza delle opzioni Put out-of-the-money Call in-the-money Call out-of-the-money Put in-the-money S P P Opzioni at-the-money S P P S P P Strike Price pag 50

51 Esempio di volatility smile Volatility smile per le opzioni su Microsoft al 3 aprile 008 per opzioni call e put con scadenza aprile 008. Opzioni call Opzioni put Fonte: Bloomberg pag 51

52 Esempio di volatility skew Volatility skew per le opzioni su Citigroup al 3 aprile 008 per opzioni put con scadenza maggio 008. Opzioni put Fonte: Bloomberg pag 5

53 La superficie di volatilità L insieme delle volatilità implicite nel prezzo delle opzioni in funzione del prezzo d esercizio e della scadenza ci permette di disegnare la superficie di volatilità. La forma di questa superficie e la sua struttura irregolare cambia nel tempo pag 53

54 Vega Il vega indica la sensibilità del prezzo di un opzione al variare della volatilità del sottostante. L acquisto o la vendita di un opzione comporta una posizione direzionale su vari fattori di rischio, tra i quali la volatilità. Il vega dipende dallo strike price dell opzione: tanto più il valore del sottostante si avvicina allo strike price e tanto maggiore è il vega Vega Strike price Prezzo del sottostante Fonte: Variance Swaps e strumenti alternativi per il trading di volatilità, Rivista AIAF n.63, luglio 007 pag 54

55 Variance swap Il variance swap è un contratto forward over-the-counter sulla varianza realizzata da un certo strumento finanziario che permette di comprare e vendere la volatilità di quello strumento finanziario. Il profilo di payoff per un variance swap è: N var realized strike dove: N var realized strike è il valore nozionale è la varianza realizzata è varianza di esercizio del variance swap pag 55

56 Variance swap Con l acquisto di un variance swap su un certo strumento finanziario, il money manager guadagna se la volatilità realizzata a scadenza da quello strumento finanziario è più alta dello strike price della volatilità. Per convenzione, i variance swap sui singoli titoli hanno un cap sul massimo payout per evitare che il valore del variance swap vada all infinito nel caso in cui l azione vada a zero. Invece i variance swap sugli indici non hanno un cap. pag 56

57 Replica di un variance swap con opzioni Si può dimostrare che un variance swap può essere replicato da un portafoglio composto da un numero infinito di opzioni call e put outof-the-money con prezzo di esercizio da 0 a in cui ogni opzione ha il peso: 1 Strike Price Infatti un portafoglio che abbia un esposizione costante alla volatilità al variare del prezzo del sottostante deve essere composto da opzioni il cui peso si riduce al crescere dello strike price al fine di compensare la minore quantità di vega posseduta dalle stesse. In realtà in pratica un variance swap è costruito mediante l utilizzo di un numero finito opzioni call e put out-the-money con un numero finito di strike prices in modo tale da poter interpolare i profili di vega di ciascuna di esse e mantenere quanto più possibile costante l esposizione alla varianza. pag 57

58 Replica di un variance swap con opzioni Vega Fonte: Variance Swaps e strumenti alternativi per il trading di volatilità, Rivista AIAF n.63, luglio 007 Prezzo del sottostante pag 58

59 Utilizzo dei variance swap per copertura del portafoglio Storicamente si osserva una correlazione negativa tra volatilità implicite degli indici azionari e rendimenti degli indici azionari. L aggiunta di un variance swap ad un portafoglio azionario consente una copertura del portafoglio azionario in caso di forte caduta dei mercati azionari. Il dimensionamento della posizione nel variance swap deve tenere conto di molteplici fattori, il principale dei quali è il valore nozionale del variance swap. pag 59

60 Dispersion trade Il dispersion trade è una posizione lunga sulla volatilità di un singolo titolo azionario accoppiata con una posizione corta sulla volatilità di un indice azionario che contiene quel titolo azionario Se si verifica una progressiva diminuzione della correlazione tra quel titolo azionario e l indice scelto, il gestore ottiene un guadagno, altrimenti consegue una perdita pag 60