Modelli e strumenti di calcolo attuariale per la previdenza

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1 Modelli e strumeti di calcolo attuariale per la prevideza Fabio Grasso Dipartimeto di Scieze Statistiche Uiversità degli Studi di Roma La Sapieza Abstract Lo sviluppo dei fodi pesioe, i cosegueza dei provvedimeti di riforma della prevideza emaati i Italia dal legislatore egli ultimi due decei, rappreseta ua delle più sigificative espressioi del processo di radicale iovazioe che caratterizza oggi la realtà assicurativoprevideziale. I rilevati mutameti iterveuti ello sceario di riferimeto, coessi ad aspetti di differete atura (demografica, fiaziaria, ecoomica e sociale oltrechè ormativa), hao cotribuito a disegare u uovo assetto per la prevideza e hao determiato importati cosegueze per il ruolo che i essa è assuto dall Attuario. I particolare, soo emerse uove esigeze di calcolo e di valutazioi attuariali, ache coesse a profili o apparteeti alla tradizioe della modellistica attuariale i campo prevideziale (ad esempio, la valutazioe della solvibilità di u fodo pesioe). La matematica e la tecica attuariale, fermi restado alcui fodametali e cosolidati pricipi di calcolo, o possoo igorare la ecessità di iovazioe modellistica. I questo lavoro si evidezia come, el mutato cotesto operativo della prevideza, pubblica e complemetare, l Attuario sia stato i grado di sviluppare uove metodologie e procedure di calcolo. Keywords Pesio fuds; Auities; Logevity risk; Stochastic mortality models; Stochastic simulatios; Risk maagemet; Actuarial calculatios. 1. I MODELLI DI CALCOLO ATTUARIALE PER LA PREVIDENZA 1.1 LE ORIGINI I relazioe ai modelli di calcolo attuariale per la prevideza può essere delieato u percorso uificato per i due pilastri della prevideza: la prevideza pubblica ( primo pilastro ); la prevideza complemetare ( secodo pilastro ). I primi modelli di calcolo attuariale, i ambito prevideziale, si collocao tra la fie del XIX secolo e l iizio del XX secolo e soo cotemporaei alla ascita dei primi sistemi di

2 prevideza pubblica (i Italia, el 1898, l assicurazioe obbligatoria cotro gli ifortui sul lavoro). Essi hao potuto beeficiare del be collaudato impiato tecico-attuariale delle assicurazioi sulla vita (ifatti, i primi modelli i tale ambito si collocao ella secoda metà del XVII secolo). Redita vitalizia e formula di Halley Si ipotizzi che lo schema prevideziale eroghi soltato prestazioi i caso di vita del tipo redita vitalizia (vale a dire, ua pesioe di vecchiaia). Il valore attuale atteso di ua redita immediata posticipata e co rata aua uitaria, a x, può essere espresso mediate la ota formula di Halley (1693): k (1) a p (1 + i), x = ω x k= 1 k x dove: (1+i) -1 è il fattore auo di attualizzazioe fiaziaria; w deota l età estrema; kp x è la probabilità che l assicurato, di età x all iizio del periodo di pagameto della redita, sia i vita all età x+k. Il modello di calcolo attuariale sottostate la formula di Halley preseta elemeti di iteresse e, ache, di criticità. I particolare, esso cosidera u uica causa di uscita ed è discreto rispetto al tempo; ioltre, è: 1) statico; 2) determiistico. Il modello è statico i quato si basa sull impiego di probabilità (di sopravviveza, k p x ) tratte da osservazioi di periodo e la costruzioe di ua tavola di mortalità di periodo poggia su u ipotesi di mortalità statica, i cotrasto co l esisteza di u tred (migliorativo) di mortalità. Il modello è determiistico poichè le probabilità (di sopravviveza) soo impiegate soltato per calcolare valori attesi. Il rischio di mortalità (vale a dire, la possibilità di migliorameti imprevisti ella mortalità) è riassuto i termii di u caricameto implicito di sicurezza, attuato mediate il calcolo del valore attuale atteso (1) co ua base demografica prudeziale (favorevole all assicuratore). Nel calcolo attuariale è quidi assete ua qualsiasi misura di quatificazioe del rischio di mortalità (ad esempio, la variaza del valore attuale aleatorio della prestazioe assicurata). 2

3 I sitesi, si evidezia l icompatibilità: di u modello statico co la diamica della mortalità; di u modello determiistico co l icertezza relativa alla diamica della mortalità. 1.2 SCENARI DEMOGRAFICI ED EVOLUZIONE DEI MODELLI Le variazioi egli sceari demografici e la atura, stocastica, di questi hao determiato, el tempo, ua progressiva trasizioe: 1) da modelli statici a modelli diamici; 2) da modelli determiistici a modelli stocastici. Modelli diamici La cosapevolezza dell esisteza di u tred di mortalità i grado di determiare, co l uso di ua tavola di mortalità di periodo, ua sottovalutazioe del costo della prestazioe relativa a ua copertura di redita vitalizia risale alla secoda metà del XIX secolo. I particolare, si segala il cotributo di Gylde, risalete al 1876, che propose u estrapolazioe lieare del tasso cetrale di mortalità della popolazioe svedese. Tuttavia, soltato egli ultimi decei del XX secolo soo stati defiiti metodi estrapolativi soddisfaceti per le applicazioi alle assicurazioi sulla vita (quidi, idoei ache per la prevideza). Essi si basao sulla costruzioe di tavole (di mortalità) proiettate, elle quali le probabilità di sopravviveza soo determiate proiettado, mediate u opportuo modello, il tred di mortalità osservato i u precedete periodo di tempo. Modelli stocastici La trasizioe da u modello attuariale determiistico a u modello i grado di quatificare opportuamete il rischio di mortalità i u portafoglio di redite vitalizie è stata graduale ed estesa su u ampio itervallo di tempo. La fodametale distizioe che deve essere fatta, i proposito, riguarda l evidete ecessità di cosiderare (e, quidi, valutare) la rischiosità origiata: dagli scarti accidetali della mortalità; dagli scarti sistematici della mortalità. Numerosi soo i cotributi scietifici che, a partire dalla fie del XVIII secolo, hao poteziato il modello attuariale cosiderado la prima delle suddette compoeti di rischio. 3

4 I particolare, si segala il cotributo di Tetes (1786) che costituisce ua pietra agolare della teoria idividuale del rischio. Questi cotributi o hao però avuto rilevati applicazioi, soprattutto per il fatto che la rischiosità derivate dagli scarti accidetali della mortalità dimiuisce, i termii relativi, al crescere della dimesioe del portafoglio assicurativo (si tratta di u poolig risk ) e può quidi essere adeguatamete froteggiata dall assicuratore co u aumeto della dimesioe del portafoglio (grazie, ache, al ricorso alla riassicurazioe). Per quel che cocere la rischiosità derivate dagli scarti sistematici della mortalità (rispetto ai valori attesi dei umeri dei decessi) si osserva che soltato egli ultimi due-tre decei, i cosegueza di ua marcata (e più irregolare) evoluzioe della mortalità, si è diffusa la cosapevolezza del rischio di logevità ( logevity risk ), il quale provoca, el caso di redite vitalizie, scarti sistematici della mortalità sfavorevoli per l assicuratore. Il rischio di scarti sistematici, i termii relativi, è idipedete dalla dimesioe del portafoglio e il suo impatto fiaziario totale è crescete co (si tratta di u o-poolig risk ). Le cosegueze egative di questa compoete di rischiosità o soo pertato diversificabili co u aumeto della dimesioe del portafoglio. Nell ambito dei modelli stocastici per la proiezioe della mortalità, si segalao i receti fodametali cotributi di Carter e Lee (1992) e di Reshaw e Haberma (2003). Ai fii della gestioe del rischio di logevità meritao ioltre di essere ricordati i moderi approcci della copertura mediate l impiego di strumeti fiaziari alterativi ( logevity bods, survivor swaps, ecc.). Teoria delle collettività Rispetto alle altre caratteristiche di iteresse della formula di Halley, si osserva che a partire dalla secoda metà del XVIII secolo u importate cotributo ai futuri modelli attuariali per la prevideza è stato forito dalla teoria delle collettività (o, ache, teoria dei decremeti multipli), i grado di trattare collettività suddivise i gruppi e soggette a ua pluralità di cause di elimiazioe. Ifatti, u sistema prevideziale pubblico (i particolare, l assicurazioe obbligatoria per l ivalidità, la vecchiaia e i superstiti) può essere trattato come u particolare esempio di collettività di questo tipo, dove le cause di elimiazioe soo idividuate dagli eveti di morte, ivalidità permaete, vecchiaia, ecc. 4

5 Sotto il profilo dell impostazioe matematica, la teoria delle collettività si è sviluppata dapprima ell ambito di modelli a tempo cotiuo e solamete i seguito, verso la fie del XVIII secolo, ha trovato impulso la modellizzazioe a tempo discreto. Si segalao, i particolare, alcui cotributi di Courot e D Alembert (el caso cotiuo) e di Trembley (el caso discreto). I modelli discreti soo stati quelli prevaletemete presi i cosiderazioe, a partire dalla fie del XIX secolo, elle cocrete applicazioi del calcolo attuariale ai sistemi prevideziali pubblici. Questa scelta trova la sua pricipale spiegazioe ell evoluzioe tecologica el settore dell elettroica, che ha reso dispoibili strumeti di calcolo automatico i grado di operare, i forma immediatamete programmabile e co crescete precisioe el tempo, ei riguardi di modelli discreti caratterizzati da otevole e crescete complessità. La trattazioe dei problemi di calcolo attuariale ha pertato privilegiato la via umerica rispetto alla via aalitica. Solamete egli ultimi decei del XX secolo, cotemporaeamete alla ascita dei primi sistemi di prevideza complemetare, si è registrato u riovato iteresse per i modelli cotiui. 1.3 NUOVI STRUMENTI DI CALCOLO E APPROCCI METODOLOGICI Il calcolo attuariale per la prevideza, i u cotesto di modelli stocastici e diamici, si è ulteriormete poteziato, egli ultimi decei del XX secolo, ache grazie alla diffusioe (peraltro iferiore alle aspettative, i Italia) dei sistemi di prevideza complemetare. I segi più tagibili di questo importate processo di iovazioe possoo essere sitetizzati: 1) ell impiego di uovi strumeti di calcolo; 2) ell adozioe di uovi approcci metodologici. I relazioe ai primi, oltre a ricordare l estesioe alla prevideza di oti modelli utilizzati per la copertura dei rischi elle assicurazioi equity-liked e idex-liked (modello di Brea e Schwartz, ecc.), si segala la simulazioe stocastica. Per i secodi meritao di essere evideziati i modelli multistato e, egli ultimi ai, il crescete iteresse per il Risk maagemet. La simulazioe stocastica I relazioe ai problemi di calcolo dei mometi (successivi al primo) delle distribuzioi di probabilità delle variabili aleatorie di iteresse per la prevideza (le retribuzioi, gli oeri per 5

6 pesioi, ecc.), ha registrato otevole iteresse, sia teorico sia applicativo, l approccio della simulazioe stocastica (o, ache, metodo Motecarlo). I sitesi, si tratta di u procedimeto fializzato alla costruzioe umerica di campioi di u processo stocastico che permette di otteere approssimazioi ottime delle gradezze oggetto di valutazioe. Esso si cotrappoe al procedimeto di calcolo diretto dei mometi delle variabili aleatorie di iteresse, tradizioalmete utilizzato ella modellistica attuariale applicata al settore della prevideza. L impiego della simulazioe stocastica i ambito prevideziale si è sviluppato egli ultimi decei del XX secolo, co il fodametale apporto degli attuari italiai. I particolare, si segala il Metodo degli Ai di Gestioe su base Idividuale e per Sorteggio (è oto l acroimo M.A.G.I.S.), proposto da Coppii (1979) e Tomassetti (1973, 1979). Nell ambito di u assicurazioe obbligatoria per l ivalidità, la vecchiaia e i superstiti, il M.A.G.I.S. poe l attezioe su u determiato periodo, tipicamete l ao, e procede alla simulazioe delle variabili aleatorie di iteresse relative a questo periodo per ciascuo dei compoeti della collettività i esame (suddivisa i attivi e pesioati, questi ultimi suddivisi i pesioati diretti, idiretti e di reversibilità); la simulazioe assume il tempo come parametro operativo e viee replicata, di periodo i periodo, fio a quado la collettività presa i esame è completamete estita. Il M.A.G.I.S. e altri modelli di simulazioe stocastica (i particolare, si segala u metodo, proposto da Crisma (1982) e Baciello (1988), che assume l idividuo, attivo o pesioato, come parametro operativo e procede alla simulazioe delle variabili aleatorie di iteresse relative all idividuo e al suo evetuale ucleo superstite) soo oggi frequetemete i uso, i Italia e all estero, elle valutazioi attuariali relative alle gestioi prevideziali. I modelli multistato U importate sostego all evoluzioe dei modelli di calcolo attuariale per la prevideza è ioltre veuto, a partire dagli ultimi decei del XX secolo, dalla modellistica multistato, sviluppata ell ambito di modelli sia cotiui sia discreti. I sitesi, si tratta di u impostazioe estremamete rigorosa sotto il profilo matematicoprobabilistico e i grado di ricodurre diverse valutazioi attuariali delle assicurazioi di persoe, riguardati i rischi tipici delle assicurazioi sulla vita e della prevideza (morte, ivalidità permaete, ifortui, malattia, ecc.) ell ambito della teoria dei processi stocastici markoviai. 6

7 Ache i questo caso è da evideziare il rilevate apporto degli attuari italiai. I particolare, si segala il cotributo di Taucer (1936) che ha aticipato di circa mezzo secolo la modera modellistica multistato. Ifatti, ell ambito di u modello cotiuo, Taucer ha itrodotto u elegate trattazioe formale delle collettività suddivise i gruppo, fodata sull impiego delle equazioi itegrali di Volterra di secoda specie, utile per ua chiara formalizzazioe dell assicurazioe obbligatoria per l ivalidità, la vecchiaia e i superstiti. Il Risk maagemet Negli ultimi ai la ecessità di u adeguata valutazioe della solvibilità (di u portafoglio assicurativo o di uo schema di prevideza complemetare) ha ulteriormete stimolato lo sviluppo di uovi modelli per la quatificazioe del rischio sulla base di u rigoroso impiato probabilistico e di ua dettagliata idetificazioe delle diverse cause di rischio. Nell ambito di uo schema di prevideza complemetare, aalogamete a quato avviee i u assicurazioe sulla vita, occorre quidi cosiderare l evoluzioe aleatoria coessa sia alla compoete demografica sia alla compoete fiaziaria (i relazioe a quest ultima, i particolare, è iteressate osservare che il rischio fiaziario è u o-poolig risk ). Oltre a queste compoeti va cosiderata l evoluzioe aleatoria coessa alla compoete ecoomica; ella gestioe prevideziale, il rischio ecoomico deriva: dall adameto delle retribuzioi; dall adameto dell iflazioe; dall adameto della prevideza pubblica di base. Negli ultimi ai, grazie ache alla forte sollecitazioe derivate dal progetto Solvecy II, si è maifestato u crescete iteresse per il Risk maagemet. I campo assicurativo, come osserva Pitacco (2010), il Risk maagemet o deve essere iteso come u uovo modello attuariale; ifatti, esso costituisce u isieme di liee guida per ua reiterpretazioe, formale e operativa, del processo assicurativo (e riassicurativo) articolata attraverso le segueti fasi: idetificazioe dei rischi; quatificazioe dei rischi; aalisi delle azioi dispoibili; scelta delle azioi; moitoraggio. 7

8 Il Risk maagemet è u approccio tipicamete iterdiscipliare che defiisce, per la gestioe assicurativa, u processo ciclico: ifatti, la coclusiva fase di moitoraggio costituisce la premessa per l avvio di ua uova fase di idetificazioe dei rischi, alla quale fa seguito ua uova fase di quatificazioe dei rischi, ecc. Le liee guida del Risk maagemet itedoo: da u lato, stimolare ua maggiore cosapevolezza sull utilizzo di strumeti attuariali tradizioali (i prevaleza, determiistici); dall altro lato, evideziare la ecessità di implemetare modelli di calcolo attuariale stocastici. L adozioe del Risk maagemet privilegia u approccio itegrato ( corporate approach ) al problema della valutazioe dei rischi dell attività di uo schema prevideziale e stimola l Attuario ad aprirsi a cotributi scietifici proveieti da disciplie (i particolare, di tipo ecoomico-aziedale) estraee alla tradizioe scietifica attuariale. Dall icotro di queste disciplie derivao, acora oggi, problemi di liguaggio, di coereza tra vari cocetti, talvolta di icompatibilità tra approcci be cosolidati ei rispettivi ambiti discipliari. Se il processo di itegrazioe tra i diversi cotributi scietifici saprà realizzare iazitutto u uificazioe cocettuale e liguistica, rilevati potrao essere i futuri beefici, per u assicuratore vita e per u gestore di uo schema di prevideza complemetare, i termii di u appropriata gestioe dei relativi rischi. 2. L ATTUARIO E LA PREVIDENZA COMPLEMENTARE 2.1 VISIBILITÀ DELL ATTUARIO I modelli attuariali per la prevideza, sulla base dei fodametali pricipi di calcolo attuariale (applicati ai sistemi pesioistici pubblici fi dalla loro ascita), hao mostrato, el tempo (soprattutto i epoca recete), discreta capacità di sviluppare e adottare sia uovi approcci metodologici sia uovi strumeti di calcolo. I sitesi, si può quidi affermare che tradizioe e iovazioe coesistoo bee e che, forse, la prima resta la migliore base di parteza per la secoda. E tuttavia evidete u importate elemeto di criticità: la modesta visibilità dell Attuario. 8

9 Alcui giori fa, il 28 ovembre 2012, è stato festeggiato a Roma il 70 compleao dell Ordie degli Attuari, co u Covego dal titolo : passato, presete e futuro ella professioe di Attuario i Italia. Nei lavori del Covego soo stati presetati alcui dati molto sigificativi: attualmete gli Attuari soo oltre el modo, circa i Europa, soltato circa 900 i Italia. Il tasso di disoccupazioe degli Attuari, i Italia, è pressoché eguale a zero e la domada di Attuari è be superiore all offerta, come testimoia ache il umero di proposte di lavoro che raggiugoo i destiatari prima acora che questi abbiao completato il percorso di studi uiversitari (i particolare, il Corso di laurea magistrale). I pricipali sbocchi professioali, ioltre, soo molto iteressati e spesso ache co la cocreta possibilità di assumere, el tempo, posizioi di alta resposabilità. Le Uiversità che offroo Corsi di laurea e di laurea magistrale i campo attuariale, da u lato, l Ordie e il Cosiglio Nazioale degli Attuari, dall altro lato, hao recetemete poteziato l attività di comuicazioe per far meglio cooscere sia il percorso di studi uiversitari sia l ampia e altamete qualificata attività professioale dell Attuario ei settori assicurativi, prevideziali, fiaziari e, più i geerale, i tutti quei settori ecoomici che richiedoo competeze specifiche i materia di aalisi, valutazioe e gestioe dei rischi. Malgrado tutto ciò, gli Attuari i Italia cotiuao a essere poco visibili. 2.2 SCELTE DEL LEGISLATORE E RUOLO DELL ATTUARIO La visibilità, modesta, dell Attuario operate el settore della prevideza ha recetemete rischiato di subire effetti egativi ache da u iformazioe che, pur priva di fodameto sotto il profilo tecico, ha avuto ampia diffusioe. Ifatti, a seguito dell emaazioe del decreto legislativo 5 dicembre 2005,. 252, che costituisce l attuale base ormativa di riferimeto del sistema di prevideza complemetare i Italia, da più parti si è (erroeamete) osservato che le scelte del legislatore hao quasi del tutto svuotato il campo di attività professioale dell Attuario ella prevideza complemetare i quato il pricipio adottato per stabilire l equilibrio tra le etrate (per cotributi) e le uscite (per prestazioi) elle uove forme pesioistiche complemetari (o, ache, fodi pesioe) è di tipo fiaziario e o prevede, quidi, l accatoameto di ua riserva di tipo attuariale. 9

10 Forme pesioistiche complemetari Il decreto legislativo 5 dicembre 2005,. 252, ha idividuato le segueti forme pesioistiche complemetari: a) fodi pesioe egoziali (o, ache, fodi chiusi); b) fodi pesioe aperti; c) fodi pesioe preesisteti; d) cotratti di assicurazioe sulla vita co fialità prevideziali (o, ache, piai idividuali pesioistici). Le suddette forme pesioistiche complemetari, co la sola (parziale) eccezioe dei fodi pesioe preesisteti, soo fodi assicurati i quato prevedoo la partecipazioe di almeo u itermediario fiaziario ella gestioe prevideziale. Esse si distiguoo ioltre i: a) forme collettive; b) forme idividuali. I particolare, soo forme collettive i fodi pesioe egoziali, i fodi pesioe aperti che ricevoo adesioi collettive e i fodi pesioe preesisteti. Soo ivece forme idividuali i fodi pesioe aperti che ricevoo adesioi idividuali e i cotratti di assicurazioe sulla vita co fialità prevideziali. L adesioe alle forme pesioistiche complemetari è libera e volotaria. Pricipi di equilibrio tra cotributi e prestazioi I uo schema di prevideza complemetare l equilibrio tra le etrate (per cotributi) e le uscite (per prestazioi) può essere variamete defiito. Ifatti, si può cosiderare: u equilibrio collettivo (tipicamete adottato el primo pilastro della prevideza); u equilibrio idividuale (tipicamete adottato el terzo pilastro della prevideza). L equilibrio collettivo è di tipo attuariale i quato cosidera sia la compoete demografica sia la compoete fiaziaria, metre l equilibrio idividuale può essere: di tipo attuariale; di tipo fiaziario. Il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario, privilegiato dalle scelte che il legislatore ha operato co il decreto legislativo. 252/2005, ha tuttavia sigificato soltato el periodo di attività dell assicurato (durate il quale soo versati i cotributi). Nel successivo (evetuale) periodo di quiesceza dell assicurato l equilibrio tra i cotributi e le prestazioi è, ifatti, di tipo idividuale attuariale: esso è defiito i relazioe a ua collettività costituita da ua 10

11 pluralità di assicurati omogeei rispetto alle pricipali caratteristiche rilevati per la quatificazioe del rischio assicurato ed è garatito dalla riserva matematica geerata dal capitale di copertura della redita. Se si cosidera l itera durata di vita dell assicurato (iizialmete i attività, i seguito evetualmete i quiesceza) l equilibrio idividuale tra i cotributi e le prestazioi, i tal caso, è pertato di tipo misto (i parte fiaziario, i parte attuariale) e opera el seguete modo: ell iiziale periodo di attività dell assicurato (quidi, el periodo di corresposioe dei cotributi), l equilibrio è di tipo fiaziario; el successivo periodo di quiesceza dell assicurato (quidi, el periodo di erogazioe della redita), l equilibrio è di tipo attuariale. E così evidete che, qualuque sia la scelta del legislatore i materia di soluzioi teciche per la prevideza complemetare, la gestioe tecica di u fodo pesioi o potrà i alcu modo o cosiderare l accatoameto di ua riserva di atura attuariale, derivate dallo sfasameto temporale tra la corresposioe dei cotributi e l erogazioe della corrispodete prestazioe pesioistica; di cosegueza, la gestioe tecica di u fodo pesioi o potrà comuque fare a meo della specifica competeza professioale dell Attuario. I Appedice soo descritti i diversi possibili pricipi di equilibrio (collettivo; idividuale attuariale; idividuale fiaziario, quidi misto) tra cotributi e prestazioi i uo schema di prevideza complemetare. Attività dell Attuario ella prevideza complemetare Più i geerale, malgrado la preseza di vari elemeti di criticità e di rigidità dell attuale sistema di prevideza complemetare i Italia (tra gli altri, si evideziao l idirizzameto della prevideza complemetare verso i fodi pesioe a cotributo defiito e, ioltre, i vicoli posti al lavoratore per il coferimeto del Trattameto di Fie Rapporto al fodo pesioi), il ruolo dell Attuario appare comuque fodametale e cruciale ai fii di u cosistete sviluppo futuro, sia qualitativo sia quatitativo, dei fodi pesioe. Numerose soo ifatti le attività professioali, i u fodo pesioi, che richiedoo la specifica competeza dell Attuario. Tra le altre, si segalao le segueti: costruzioe e moitoraggio di basi teciche (demografiche, ecoomiche, fiaziarie) specifiche per la prevideza complemetare; itroduzioe di prestazioi accessorie (ache obbligatorie) per i rischi di premorieza e ivalidità; 11

12 predisposizioe di coefficieti di trasformazioe del capitale i redita specifici per la prevideza complemetare; valutazioe dei costi della gestioe prevideziale; previsioe dei flussi periodici di etrate (per cotributi) e uscite (per prestazioi), i particolare mediate teciche di Asset Liability Maagemet. Ache per queste (e molte altre) importati attività professioali dell Attuario operate ella prevideza complemetare appare ecessario saper coiugare tradizioe e iovazioe per l idividuazioe delle più idoee metodologie e procedure di calcolo. APPENDICE PRINCIPI DI EQUILIBRIO TRA CONTRIBUTI E PRESTAZIONI Di seguito soo defiiti e cofrotati i diversi possibili pricipi di equilibrio tra i cotributi e le prestazioi i uo schema di prevideza complemetare che eroghi prestazioi i caso di vita del tipo redita vitalizia (pesioe di vecchiaia). Ai fii della defiizioe dei pricipi di equilibrio o soo prese i cosiderazioe le spese, di atura ammiistrativa e fiaziaria, che gravao sulla gestioe prevideziale. A.1 PRINCIPIO DI EQUILIBRIO COLLETTIVO Defiizioi L adozioe del pricipio di equilibrio collettivo tra cotributi e prestazioi i uo schema di prevideza complemetare richiede iazitutto: a) la scelta di ua collettività di riferimeto; b) la scelta di u periodo di gestioe. Tipici esempi di collettività di riferimeto soo i segueti: gli attivi e i pesioati preseti all epoca iiziale di valutazioe (i tal caso si ha ua collettività chiusa); gli attivi e i pesioati preseti all epoca iiziale di valutazioe, ai quali si aggiugoo i uovi igressi (attivi) el periodo di gestioe (i tal caso si ha ua collettività aperta). 12

13 Il periodo di gestioe è idividuato da u umero, N, di ai a partire dall epoca iiziale di valutazioe (sia essa l epoca 0) che, per semplicità, si assume coicidete co l epoca di avvio della gestioe prevideziale. I particolare: per ua collettività chiusa, esso può essere idividuato dall età estrema dell attivo, di sesso femmiile, più giovae della collettività (è questo il caso di ua durata fiita della gestioe); per ua collettività aperta, esso può essere più ampio ed è possibile porre, i particolare, N=+ (è questo il caso di ua durata illimitata della gestioe). Si osserva che la collettività di riferimeto è costituita da assicurati eterogeei rispetto alle pricipali caratteristiche rilevati per la quatificazioe del rischio assicurato (vale a dire, la durata di vita): ifatti, si hao idividui i attività lavorativa e i quiesceza, di sesso maschile e femmiile, aveti diverse età all igresso i attività lavorativa, ecc. Il pricipio di equilibrio collettivo, fodato sul criterio della speraza matematica, stabilisce che, i relazioe alla data collettività i u qualuque istate k del prefissato periodo di gestioe (quidi, 0 k N ), la somma del valore attuale atteso dei cotributi futuri, el residuo periodo di gestioe [k,n], e dell evetuale riserva ivi accatoata, deomiata riserva collettiva, eguagli il valore attuale atteso delle corrispodeti prestazioi future. Per l applicazioe del pricipio di equilibrio collettivo è ecessaria la fissazioe di alcue basi teciche. I particolare: 1) le basi demografiche: iazitutto, le probabilità di elimiazioe (defiitiva) degli attivi dalla collettività per le cause di morte, ivalidità, ecc.; 2) la base fiaziaria: i accordo co u impostazioe determiistica della struttura fiaziaria, essa è costituita dal tasso auo di iteresse (certo), i, i base al quale attualizzare le prestazioi; 3) le basi ecoomiche: iazitutto, l adameto delle retribuzioi rispetto all aziaità lavorativa e le variazioi delle retribuzioi (e delle pesioi) i termii reali. Se ache per le basi ecoomiche viee adottata u impostazioe determiistica, l aleatorietà presa i esame ai fii dei calcoli attuariali è solamete quella coessa alla durata residua di permaeza di u assicurato ello stato di attivo. Nel caso di ua collettività aperta occorre ioltre formulare opportue ipotesi sui uovi igressi (attivi) ella collettività. Adottato il metodo degli ai di gestioe (o, ache, metodo delle stime auali) ai fii della valutazioe dei cotributi e delle prestazioi, siao: 13

14 C t (t=1,2,,n) il valore atteso dei cotributi relativi alla data collettività ell ao di gestioe t; O t (t=1,2,,n) il valore atteso degli oeri per prestazioi pesioistiche relativi alla data collettività ell ao di gestioe t, ad esempio: - le rate di pesioe erogate ai pesioati preseti ell ao; - i capitali di copertura delle redite spettati ai uovi pesioati dell ao. Formulata, per semplicità, l ipotesi che i cotributi e gli oeri per pesioi siao corrisposti all iizio di ciascu ao (quidi, alle epoche 0,1,,N-1), idicato co v = (1+i) -1 il fattore auo di attualizzazioe fiaziaria, all epoca 0 l equilibrio collettivo è così espresso: (2) N N t 1 t 1 C t v = Ot v. t= 1 t= 1 Co riferimeto a uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita, fissati i valori attesi degli oeri per pesioe (i breve, prestazioi) O 1, O 2,, O N, vi soo ifiite possibilità di scelta dei valori attesi dei cotributi (i breve, cotributi) C 1, C 2,, C N i modo da verificare la (2). Aalogamete avviee, a ruoli ivertiti tra cotributi e prestazioi, i uo schema di prevideza complemetare a cotributo defiito. Capitalizzazioe collettiva Co riferimeto a uo schema prevideziale a prestazioe defiita, u qualsiasi criterio di calcolo dei cotributi C 1, C 2,, C N tale che, fissate le prestazioi O 1, O 2,, O N, sia soddisfatto l equilibrio collettivo (2) è defiito sistema fiaziario di gestioe. Nella letteratura attuariale la locuzioe sistema fiaziario di gestioe viee utilizzata idipedetemete dal pricipio adottato per la realizzazioe dell equilibrio tra cotributi e prestazioi. Nel caso di equilibrio di tipo attuariale (collettivo o idividuale) sarebbe tuttavia più opportua la locuzioe sistema attuariale (o tecico-fiaziario) di gestioe. Nell ipotesi che, per ciascu attivo, il cotributo, c t, ell ao t sia dato da u aliquota, α t, della relativa retribuzioe, z t, si ha ct = αt zt e l aliquota α t è deomiata aliquota di cotribuzioe (o, ache, premio medio). Idicato co Z t l ammotare complessivo delle retribuzioi percepite, ell ao t, dagli attivi che appartegoo alla data collettività, si ha 14

15 (3) Ct = αt Zt. La codizioe di equilibrio collettivo (2) può pertato essere così riscritta: (4) N N t 1 t 1 α t Zt v = Ot v. t = 1 t = 1 La (4) evidezia come, fissate le retribuzioi Z 1, Z 2,, Z N e le prestazioi O 1, O 2,, O N, u sistema fiaziario di gestioe risulti idividuato da ua particolare sequeza di aliquote di cotribuzioe α, α, 1 2 K, α N. Il problema ammette ifiite soluzioi e ciascua di esse determia, el periodo di gestioe, ua differete distribuzioe del carico relativo al fiaziameto dello schema di prevideza complemetare. I particolare, si distiguoo: a) sistemi a capitalizzazioe collettiva; b) sistemi a ripartizioe. I geerale, u sistema fiaziario di gestioe è deomiato sistema a capitalizzazioe se la cotribuzioe relativa a u assicurato (attivo) cocorre al fiaziameto della prestazioe (pesioistica) che potrà essere percepita i futuro dal medesimo assicurato. Lo sfasameto temporale esistete tra la corresposioe dei cotributi e l erogazioe della prestazioe determia quidi la formazioe di ua riserva. Nel caso i esame, poiché tra i cotributi e le prestazioi vige u equilibrio collettivo (vale a dire, riferito a ua pluralità di assicurati eterogeei rispetto alle pricipali caratteristiche rilevati per la quatificazioe del rischio assicurato), si ha ua capitalizzazioe collettiva (di tipo attuariale) e la riserva collettiva così costituita è ulteriormete scompoibile i: riserva degli attivi (o, ache, riserva degli oeri lateti); riserva dei pesioati (o, ache, riserva degli oeri maturati). I u sistema a ripartizioe la cotribuzioe relativa a u assicurato (attivo) o fiazia la prestazioe pesioistica che potrà essere percepita i futuro dal medesimo assicurato, poiché tale fiaziameto è iteramete affidato ad altri soggetti (ad esempio, alle future geerazioi di attivi). E pertato possibile che o si determii la formazioe di ua riserva (collettiva). I sistemi fiaziari di gestioe adottati ella prevideza complemetare i base al pricipio di equilibrio collettivo soo tipicamete sistemi a capitalizzazioe collettiva. 15

16 Esempio 1 Si cosideri uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita e ua collettività aperta, costituita dagli attivi e dai pesioati preseti all epoca 0 e, ioltre, dai uovi igressi (attivi) el periodo di gestioe (N ai, evetualmete N=+ ). Si ipotizzi ioltre che gli oeri per prestazioi pesioistiche cosistao el pagameto delle rate di pesioe ai pesioati preseti all iizio di ciascu ao di gestioe. (R) Idicato co O t l oere i questioe per l ao t, la codizioe di equilibrio collettivo (4) assume la seguete espressioe: (5) N t = 1 N ( R) t 1 ( R) t 1 Zt v O t t v t = 1 α =. Nell ipotesi che l equilibrio tra i cotributi e le prestazioi vega realizzato, i particolare, mediate u aliquota di cotribuzioe costate el periodo di gestioe, vale a dire (6) α = α, t = 1,2,,N, ( R) ( R) t si ottiee il sistema fiaziario di gestioe deomiato sistema del premio medio geerale, diffusamete adottato ella prevideza pubblica di base. Esso è idividuato dall aliquota di cotribuzioe (7) N ( R) t 1 Ot v ( R) t = 1 α =. N t 1 Z v t = 1 t ( R) I particolare, sia α ( N ) (rispettivamete, α ( ) durata fiita (rispettivamete, durata illimitata) della gestioe. ( R) ) il premio medio geerale el caso di Il sistema del premio medio geerale è u sistema a capitalizzazioe collettiva e determia, i u qualuque istate k 0 del periodo di gestioe, la formazioe di ua riserva collettiva. 16

17 A.2 PRINCIPIO DI EQUILIBRIO INDIVIDUALE ATTUARIALE Defiizioi L adozioe del pricipio di equilibrio idividuale attuariale tra i cotributi e le prestazioi i uo schema di prevideza complemetare richiede iazitutto la scelta di ua collettività di riferimeto costituita da u gruppo di assicurati per i quali è ragioevole assumere, all epoca iiziale di valutazioe (sia essa l epoca 0), codizioi di idiffereza rispetto al rischio. Si cosideri pertato uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita e ua collettività costituita da assicurati di sesso maschile e aveti età x all epoca 0 di igresso i attività che, per semplicità, si assume coicidete co l epoca di avvio della gestioe prevideziale. I relazioe a ciascu assicurato, sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissata rata aua della redita vitalizia (pesioe di vecchiaia). I tali ipotesi il pricipio di equilibrio idividuale attuariale, fodato sul criterio della speraza matematica, stabilisce che, i relazioe a ciascu assicurato della data collettività i u qualuque istate k del periodo di attività (quidi, 0 k ), la somma del valore [ ] attuale atteso dei cotributi futuri, idicato co C m [ k, ], e della riserva ivi accatoata, deomiata riserva matematica e idicata co V k, eguagli il valore attuale atteso delle [ ] corrispodeti prestazioi, idicato co O m [ k, ]. I simboli, si ha (8) C [ k, ] + V = O [ k, ], co V 0, V > 0 per k 0 ed essedo 0 = k k (9) O [ k, ] R kex+ k ä x + =, dove k E x + k è il fattore di scoto attuariale (all età x+k, per ua durata di -k ai) e è il capitale di copertura della redita. & R a x+ I u qualsiasi istate k del periodo di quiesceza di ciascu assicurato (quidi, k > ), l equilibrio idividuale attuariale viee ivece garatito dall accatoameto di ua riserva matematica di importo eguale a &. R a x+ k 17

18 Ache ai fii dell applicazioe del pricipio di equilibrio idividuale attuariale è ecessaria la fissazioe di opportue basi teciche (di atura demografica, fiaziaria ed ecoomica). Poiché l equilibrio è riferito a ua collettività chiusa, è ivece irrilevate la formulazioe di ipotesi su evetuali futuri igressi (attivi) ella collettività. I caso di morte di u assicurato all istate k, sia ello stato di attivo ( 0 k ) sia ello stato di pesioato ( k > ), la riserva matematica accatoata è attribuita agli assicurati (della collettività di riferimeto) superstiti, cotribuedo così a fiaziare le prestazioi che potrao essere erogate i futuro a loro favore. Capitalizzazioe idividuale Il valore attuale atteso, all istate k ( 0 k ), dei cotributi futuri può essere specificato mediate la defiizioe di u sistema fiaziario di gestioe. Nel caso i esame u sistema fiaziario di gestioe è u qualsiasi criterio di calcolo dei cotributi (aui) c, c, 1 2 K, cs (co 1 s ) tale che, prefissata la rata aua, R, della redita vitalizia, all epoca 0 sia soddisfatta la codizioe di equilibrio idividuale attuariale (8). A questo fie si possoo impiegare alcue leggi di tariffazioe delle redite vitalizie adottate abitualmete ell assicurazioe privata idividuale. Tra le altre, si segalao: a) la legge di tariffazioe a premi aui costati; b) la legge di tariffazioe a premi uici ricorreti. U qualsiasi sistema fiaziario di gestioe defiito i base alla (8) è u sistema a capitalizzazioe: ifatti, la cotribuzioe relativa a u assicurato cocorre al fiaziameto della prestazioe che potrà essere percepita i futuro dal medesimo assicurato. Nel caso i esame, poiché tra i cotributi e le prestazioi vige u equilibrio idividuale attuariale (vale a dire, riferito a ua pluralità di assicurati omogeei rispetto alle pricipali caratteristiche rilevati per la quatificazioe del rischio assicurato), si ha ua capitalizzazioe idividuale (di tipo attuariale). Esempio 2 Si cosideri uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita e ua collettività costituita da assicurati di sesso maschile ed etrati i attività, i età x, all epoca 0. Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissata rata aua della redita vitalizia. Si ipotizzi ioltre che la redita vitalizia vega fiaziata mediate il pagameto di premi aui (equi) costati, idicati co P, per l itera durata del differimeto della redita. 18

19 A partire dalla codizioe di equilibrio (8), per k = 0, si ottiee il premio R / ä x (10) P =, ä dove ä / x (rispettivamete, / x / ä x ) è il valore attuale atteso, all epoca 0, di ua redita vitalizia differita (rispettivamete, temporaea) ai e aticipata, di rata uitaria, per u idividuo di sesso maschile ed età iiziale x. Il premio P dipede ovviamete ache dall età iiziale (x) degli assicurati e dalla durata ( ai) del differimeto della redita; per semplicità di otazioe, ciò è omesso ella (10). I tali ipotesi la riserva matematica pura, V k, valutata prospettivamete all epoca k (per semplicità, itera: k = 0,1,2, ), assume la seguete espressioe (co V 0 ): 0 = (11) V k = R -k/ ä x+ k P R ä x+ k /-k ä x+ k se se k < k A.3 PRINCIPIO DI EQUILIBRIO INDIVIDUALE FINANZIARIO Defiizioi A differeza di u pricipio di equilibrio attuariale (di tipo idividuale o collettivo), il quale richiede iizialmete la scelta di ua collettività di riferimeto, il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario fa riferimeto al sigolo assicurato. Si cosideri pertato uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita e u assicurato (ad esempio, u lavoratore dipedete di u azieda) di sesso maschile e avete età x all epoca 0 di igresso i attività che, per semplicità, si assume coicidete co l epoca di avvio della gestioe prevideziale. Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissata rata aua della redita vitalizia. I tali ipotesi il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario stabilisce che, all epoca, il motate fiaziario dei cotributi versati el periodo di attività [0,] (o, ache, motate accumulato) eguagli il capitale di copertura della redita. Idicado co motate accumulato, all epoca, vale quidi la M il suddetto 19

20 (12) M = R ä x +. Capitalizzazioe fiaziaria Ua qualsiasi sequeza di cotributi che ottega, all epoca, u motate accumulato eguale a R a& x+ è, elle fissate ipotesi, ua modalità di fiaziameto della redita vitalizia coerete co il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario: essa, pertato, idividua u sistema fiaziario di gestioe per il dato schema di prevideza complemetare. Nel caso i esame si ha quidi la costituzioe fiaziaria (e o attuariale) del capitale di copertura della redita. I simboli, siao c,, c, 1 2 K c i cotributi versati dall assicurato all iizio degli ai di attività e i, i,, i 1 2 K i corrispodeti tassi aui di redimeto relativi all ivestimeto dei cotributi. Si ha M t t x+ t= 1 (13) = c (1 + i ) K (1 + i ) = R a&. U sistema fiaziario di gestioe defiito i base alla (13) è u sistema a capitalizzazioe: i particolare, la cotribuzioe relativa all assicurato fiazia i misura totale la prestazioe che potrà essere percepita i futuro dal medesimo assicurato. Nel caso i esame, poiché tra i cotributi e le prestazioi vige u equilibrio idividuale fiaziario (vale a dire, riferito al sigolo assicurato), si ha ua capitalizzazioe fiaziaria (e o attuariale). La (13) poe ioltre i evideza come il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario abbia sigificato soltato el periodo di attività dell assicurato, durate il quale vegoo versati i cotributi. Nel successivo (evetuale) periodo di quiesceza dell assicurato, l equilibrio tra i cotributi e le prestazioi è ivece di tipo idividuale attuariale: esso è defiito i relazioe a ua collettività di riferimeto costituita da ua pluralità di assicurati (ell esempio i esame, i lavoratori dipedeti dell azieda) omogeei rispetto alle pricipali caratteristiche rilevati per la quatificazioe del rischio assicurato ed è ioltre garatito dalla riserva matematica geerata dal capitale di copertura della redita. Se si cosidera, pertato, l itera durata di vita dell assicurato (iizialmete i attività, i seguito evetualmete i quiesceza) l equilibrio tra i cotributi e le prestazioi è di tipo misto (i parte fiaziario, i parte attuariale). 20

21 I caso di morte dell assicurato all istate k compreso el periodo di quiesceza ( k > ) la riserva matematica accatoata è attribuita agli assicurati (della collettività di riferimeto) superstiti, cotribuedo così a fiaziare le prestazioi che potrao essere erogate i futuro a loro favore. I caso di morte dell assicurato all istate k compreso el periodo di attività ( 0 k ) il motate fiaziario dei cotributi versati, ivi accumulato, è ivece accreditato, i forma di capitale e/o redita vitalizia, agli evetuali superstiti dell attivo che e abbiao diritto. La prestazioe aggiutiva (rispetto alla prestazioe base i caso di vita), erogata i caso di morte dell assicurato el periodo di attività, fa sì che il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario sia per l assicurato, a parità di prestazioe base, più oeroso rispetto al pricipio di equilibrio idividuale attuariale. Esempio 3 Si cosideri uo schema di prevideza complemetare a prestazioe defiita e u assicurato (ad esempio, u lavoratore dipedete di u azieda) di sesso maschile ed etrato i attività, i età x, all epoca 0. Sia l epoca di igresso i quiesceza e R la prefissata rata aua della redita vitalizia. Si ipotizzi ioltre che: a) la redita vitalizia vega fiaziata mediate il pagameto di cotributi aui aticipati costati, idicati co W, per l itera durata del differimeto della redita; b) sia i = i = K = i = i 1 2. Nelle date ipotesi la codizioe di equilibrio idividuale fiaziario (13) assume la seguete espressioe: (14) t+ 1 W (1 + i) = R ä x+. t= 1 Si ottiee quidi il cotributo auo (15) W R ä = x +, && s dove & s& è il motate fiaziario, all epoca, di ua redita certa temporaea ( ai) e aticipata, di rata uitaria. 21

22 E iteressate cofrotare il pricipio di equilibrio idividuale fiaziario così defiito co il pricipio di equilibrio idividuale attuariale realizzato, ad esempio, mediate la legge di tariffazioe a premi aui costati. A parità di ogi altro elemeto (età iiziale x, durata ai, rata aua R della redita, ecc.) sussiste, all epoca, la relazioe (16) & = &, [ ] [ ] W s P m / ä m sx = R x+ dove & / s& x è il motate attuariale, all epoca, di ua redita vitalizia temporaea ai e aticipata, di rata uitaria, per u idividuo di sesso maschile ed età iiziale x. Poiché vale la (17) & s < & s, / x si ha (18) W > P. Il risultato così otteuto esprime la maggiore oerosità, i termii di cotributi a parità di prestazioe, del pricipio di equilibrio idividuale fiaziario defiito dalla (15) rispetto al pricipio di equilibrio idividuale attuariale defiito dalla (10). BIBLIOGRAFIA [1] Blake D., Cairs A., Dawso P. (2006), Livig with mortality: logevity bods ad other mortality-liked securities, British Actuarial Joural, 12, pp [2] Booth P., Chadbur R., Cooper D., Haberma S., James D. (1999), Moder actuarial theory ad practice, Chapma & Hall / CRC, Lodo. [3] Bowers N., Gerber H., Hickma J., Joes D., Nesbitt C. (1997), Actuarial mathematics, The Society of Actuaries, Schaumburg, Illiois. [4] Dowd S., Blake D., Cairs A., Dawso P. (2006), Survivor swaps, The Joural of Risk ad Isurace, 73, pp [5] Grasso F. (2008), Profili attuariali della prevideza complemetare, Atti del Semiario Il Trattameto di Fie Rapporto e i Fodi Pesioe, EUM (Edizioi Uiversità di Macerata), pp , Macerata. 22

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