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1 !! Algoritmi e Strutture Dati! Capitolo 5 - Alberi!!! Alberto Montresor Università di Trento!! This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. Alberto Montresor 1

2 Alberi radicati Albero: definizione informale E' un insieme dinamico i cui elementi hanno relazioni di tipo gerarchico Albero: definizione ricorsiva Insieme vuoto di nodi, oppure Una radice T e 0 o più sottoalberi, con la radice di ogni sottoalbero collegata a T da un arco (orientato) T es.: radice T con n sottoalberi T 1 T 2 T n Alberto Montresor 2

3 Alberi ordinati Figlio (child) di T T Radice (root) Figlio di T Radice del proprio sottoalbero Nodi interni = Nodi - Foglie Padre (parent) dei nodi j e k Sottoalbero a j k... Nodi fratelli Foglie (leaf) (figli di a) Alberto Montresor 3

4 Alberi: definizioni In un albero Profondità di un nodo: la lunghezza del percorso dalla radice al nodo (i.e., numero archi attraversati) Livello: l'insieme dei nodi alla stessa profondità Altezza dell'albero: massimo livello delle sue foglie p=0 p=1 p=2 p=3 Livello 3 Altezza albero: 3 Alberto Montresor 4

5 Alberi? DAG Radice Foresta Alberto Montresor 5

6 Alberi: una possibile specifica TREE % Costruisce un nuovo albero, costituito da un solo nodo e contenente v Tree(ITEM v) % Legge il valore ITEM read() % Scrive v nel nodo write(item v) % Restituisce il padre; nil se questo nodo è radice TREE parent() % Restituisce il primo figlio; nil se questo nodo è foglia TREE leftmostchild() % Restituisce il prossimo fratello del nodo a cui è applicato; nil se assente TREE rightsibling() % Inserisce il sottoalbero t come primo figlio di questo nodo insertchild(tree t) precondition: t.parent() = nil % Inserisce il sottoalbero t come successivo fratello di questo nodo insertsibling(tree t) precondition: t.parent() = nil % Distrugge il sottoalbero radicato nel primo figlio di questo nodo deletechild() % Distrugge il sottoalbero radicato nel prossimo fratello di questo nodo deletesibling() Alberto Montresor 6

7 Algoritmi di visita degli alberi Visita (o attraversamento) di un albero: Algoritmo per visitare tutti i nodi di un albero In profondità (depth-first search, a scandaglio): DFS Vengono visitati i rami, uno dopo l altro Tre varianti In ampiezza (breadth-first search, a ventaglio): BFS A livelli, partendo dalla radice Alberto Montresor 7

8 Visita alberi: in profondità in ordine anticipato (previsita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: a b c d e f g Alberto Montresor 8

9 Visita alberi: in profondità in ordine posticipato (postvisita) visitaprofondità(tree t) precondition: t = nil (1) esame anticipato del nodo radice di t TREE u t.leftmostchild() while u = nil do visitaprofondità(u) u u.rightsibling() (2) esame posticipato del nodo radice di t T a b e c d f g Sequenza: c d b f g e a Alberto Montresor 9

10 Visita alberi: in profondità in ordine simmetrico (invisita) invisita(tree t) precondition: t = nil TREE u t.leftmostchild() integer k 0 while u = nil and k<ido k k +1 invisita(u) u.rightsibling() u esame simmetrico del nodo t while u = nil do invisita(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza (i=1): c b d a f e g Alberto Montresor 10

11 Visita alberi: in ampiezza visitaampiezza(tree t) precondition: t = nil Queue() Q.enqueue(t) QUEUE Q while not Q.isEmpty() do TREE u Q.dequeue() esame per livelli del nodo u u u.leftmostchild() while u = nil do Q.enqueue(u) u u.rightsibling() T a b e c d f g Sequenza: a b e c d f g Alberto Montresor 11

12 Realizzazione con vettore dei figli / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Rischio di sprecare memoria se molti nodi hanno grado minore del grado massimo k. Nodo Array di Figli Alberto Montresor 12

13 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello / / / / / / / / / / / / / / / / Padre Soluzione: usare una lista di figli (fratelli). Nodo Primo Figlio Fratello Alberto Montresor 13

14 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello TREE NODE parent NODE child NODE sibling ITEM value Tree(ITEM v) TREE t new TREE t.value v t.parent t.child t.sibling nil return t % Puntatore al padre % Puntatore al primo figlio % Puntatore al successivo fratello % Valore del nodo % Crea un nuovo nodo insertchild(tree t) t.parent this t.sibling child % Inserisce t prima dell attuale primo figlio child t insertsibling(tree t) t.parent this t.sibling sibling % Inserisce t prima dell attuale fratello sibling t Alberto Montresor 14

15 Realizzazione con puntatori padre/primo-figlio/fratello deletechild() NODE newchild delete(child) child newchild child.rightsibling() deletesibling() NODE newbrother sibling.rightsibling() delete(sibling) sibling newbrother delete(tree t) NODE u t.leftmostchild() while u = nil do TREE next u.rightsibling() delete(u) u next delete t Alberto Montresor 15

16 Realizzazione con vettore dei padri L'albero è rappresentato da un vettore i cui elementi contengono l'indice del padre Esempio: 0 a 1 b 1 e 2 c 2 d 3 f 3 g T a b e c d f g Alberto Montresor 16

17 Realizzazione con vettore dei padri TREE integer[]p % Vettore dei padri % Costruisce una foresta con n nodi isolati Tree(integer n) p new integer[1...n] for i 1 to n do p[i] 0 % Restituisce il padre del nodo i; restituisce 0 se i è radice integer parent(integer i) return p[i] % Rende il nodo i un figlio del nodo j setparent(integer i, integer j) p[i] j Alberto Montresor 17

18 Alberi binari Definizione Un albero binario è un albero ordinato in cui ogni nodo ha al più due figli e si fa distinzione tra il figlio sinistro ed il figlio destro di un nodo. Nota: due alberi T e U aventi gli stessi nodi, gli stessi figli per ogni nodo e la stessa radice, sono distinti qualora un nodo u sia designato come figlio sinistro di un nodo v in T e come figlio destro del medesimo nodo in U livello T 1 T 2 T 3 Alberto Montresor 18

19 Alberi binari Figlio sinistro Radice del sottoalbero sinistro Sottoalbero sinistro Radice j.parent() Padre del nodo j (e k) a Figlio destro Radice del sottoalbero destro Sottoalbero destro j k a.left() a.right() Alberto Montresor 19

20 Alberi binari: specifica TREE % Restituisce il figlio sinistro (destro) di questo nodo; restituisce nil se assente TREE left() TREE right() % Inserisce il sottoalbero t come figlio sinistro (destro) di questo nodo insertleft(tree t) precondition: t.parent = nil insertright(tree t) precondition: t.parent = nil % Distrugge il sottoalbero sinistro (destro) di questo nodo deleteleft() deleteright() Alberto Montresor 20

21 Alberi binari: realizzazione / / / / / / Padre / / / / Figlio Sinistro Figlio Destro Nodo Alberto Montresor 21

22 Alberi binari: realizzazione TREE Tree(ITEM v) TREE t = new TREE t.parent nil t.left t.right nil t.value v return t insertleft(tree T ) T.parent this left T insertright(tree T ) T.parent this right T TREE deleteleft() if left = nil then left.deleteleft() left.deleteright() delete left left nil deleteright() if right = nil then right.deleteleft() right.deleteright() delete right right nil Per motivi di spazio, le operazioni parent(), left(), right(), read() e write() non sono mostrate; semplicemente, restituiscono il valore della variabile corrispondente. Alberto Montresor 22

23 Alberi binari: visite in profondità visitaprofondità(tree t) if t = nil then (1) esame anticipato del nodo radice di t visitaprofondità(t.left()) (2) esame simmetrico del nodo radice di t visitaprofondità(t.right()) (3) esame posticipato del nodo radice di t Alberto Montresor 23

24 Semplici esercizi basati su visite Es Dato un albero radicato T, calcolare la sua altezza Dato un albero radicato T, calcolare il numero totale di nodi Dato un albero radicato T, stampare tutti i nodi a profondità h Alberto Montresor 24

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