ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME

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1 ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di f in 0 il valore finito o infinito) del ite f) f 0 ), 0 0 o, equivalentemente, effettuando il cambiamento di variabile 0 = h, h 0 f 0 + h) f 0 ) h Il valore del precedente ite viene denotato con uno dei simboli f 0 ), y 0 ), Df 0 ) La funzione f si dice derivabile in 0 se il precedente ite esiste finito Ciò significa che devono esistere finiti e coincidere i iti o, equivalentemente, f 0 + h) f 0 ) f 0 + h) f 0 ), h 0 h h 0 + h 0 f) f 0 ) 0, + 0 f) f 0 ) 0 Ricordiamo che i precedenti iti vengono detti rispettivamente derivata sinistra e derivata destra di f in 0 e indicati con i simboli f 0 ), f + 0 ) Quindi, riepilogando, diciamo che f è derivabile in 0 se e solo se ) f 0 ), f + 0 ) e f 0 ) = f + 0 ) Una funzione f : domf R per cui in 0 domf non valga la condizione ) si dice non

2 2 derivabile in 0 e il punto 0 si dice punto di non derivabilità per f A seconda del tipo di negazione della ) si hanno tre tipi di punti di non derivabilità PUNTO ANGOLOSO Diciamo che 0 è un punto angoloso per f se esitono e sono diverse derivata destra e derivata sinistra di f in 0 e almeno una delle due è finita PUNTO DI CUSPIDE Diciamo che 0 è un punto di cuspide per f se derivata destra e derivata sinistra di f in 0 valgono e sono di segno discorde Cioè f 0 ) = + e f + 0 ) =, oppure f 0 ) = e f + 0 ) = + PUNTO A TANGENTE VERTICALE Diciamo che 0 è un punto a tangente verticale per f se la derivata destra e la derivata sinistra di f in 0 valgono entrambe e sono di segno concorde Cioè f 0 ) = + e f + 0 ) = +, oppure f 0 ) = e f + 0 ) = Ricordiamo anche l importante teorema che collega continuità e derivabilità di una funzione f in un punto 0 TEOREMA Se f è derivabile in 0, allora f è continua in 0 In formule: f derivabile in 0 = f continua in 0 Non vale il viceversa Cioè, una funzione continua in un punto 0 non è detto che sia derivabile in 0 In formule f continua in 0 f derivabile in 0 Si pensi ad esempio ai punti di non derivabilità appena classificati Un punto angoloso per f è

3 un punto in cui la funzione è continua ma non è derivabile essendo diverse derivata destra e sinistra) 3 In base alla definizione data, per verificare se una funzione è derivabile in un punto 0, è necessario calcolarsi f 0 ) e f + 0 ), vale a dire calcolarsi due iti In realtà, in molti contesti, si può evitare di procedere con il calcolo dei due iti del rapporto incrementale Vale infatti il seguente teorema: TEOREMA del ite della derivata) Sia f : domf R una funzione definita e continua in I 0 ) e derivabile in I 0 ) tranne eventualmente in 0 Se esiste finito o infinito) il ite 0 f ) allora esiste anche la derivata sinistra f 0 ) di f in 0 e si ha f 0 ) = 0 Analogamente, se esiste finito o infinito) il ite f ) + 0 f ) allora esiste anche la derivata destra f + 0 ) di f in 0 e si ha f + 0 ) = f ) + 0 Questo teorema di consente di ricondurre il calcolo della derivata sinistra e destra al calcolo del ite della derivata prima di f calcolata con le usuali regole di derivazione) per 0 o + 0, a patto che tali iti esistano Nel caso in cui, ad esempio, non esista f ), + 0 non si può concudere nulla circa il valore della derivata destra di f in 0 : per il suo calcolo bisogna procedere utilizzando la definizione vale a dire, facendo il ite destro del rapporto incrementale) Stesso discorso per la derivata sinistra

4 4 ESERCIZI SVOLTI ) [TE 03/04/2007] Sia f : R R la seguente funzione: sinα) se < 0, f) = 8 β ) + cos se 0 Dire per quali valori di α e β la funzione f è continua e derivabile in = 0 Negli altri casi classificare il tipo di discontinuità e di non derivabilità in = 0 Svolgimento Cominciamo a studiare la continuità di f in = 0 condizione necessaria per poter sperare nella derivabilità) La funzione f è continua in = 0 se e solo se f) = f0) = f) Consideriamo il ite destro che, vista la definizione di f, coincide con f0)) Dalla continuità delle funzioni e cos si ha [ ] f0) = f) = 0 + β ) + cos = β ) 0 + cos 0 = 0 + Per quanto riguarda il ite sinistro di f in 0, conviene anzitutto studiare il caso in cui α = 0 Per α = 0, si ha, per ogni < 0, f) = sin0) 8 = 0, da cui, banalmente, f) = 0 = Ne segue che per α = 0 la funzione f è discontinua in = 0 in quanto 0 e presenta un punto di salto con 0 f) = 0 e f0) = f) = + S = 0 = Non essendo continua, f non può essere derivabile in = 0 quando α = 0

5 5 Se, invece, α 0, ricordando il ite notevole dal quale sin t t 0 t =, sin t t per t 0, risulta, per il teorema di sostituzione con t = α 0, sinα ) α per 0 Si ha quindi sinα) 0 8 = 0 α 8 = α 8 Se α 0, la funzione f risulta continua in = 0 se e solo se da cui α 8 =, α = 8 Pertanto, per α = 8 la funzione f è continua in = 0 per ogni β R infatti, il parametro β non è mai intervenuto nello studio della continuità di f) Tale funzione potrebbe essere derivabile in = 0, come potrebbe non esserlo Sappiamo infatti che la continuità in un punto non è sufficiente a garantire la derivabilità in quel punto Calcoliamo quindi la derivata prima della funzione continua sin8) se < 0, f) = 8 β ), + cos se 0 utilizzando le usuali regole di derivazione Calcoliamo separatamente i vari contributi Partiamo dalla derivata di sin8) 8 = 8 sin8) Risulta 8 sin8) ) = cos8) 8 sin8) 8 2 = 8 cos8) sin 8 8 2

6 6 Per quanto riguarda β ) + cos, si ha ) β ) + cos = β ) 2 sin Pertanto risulta 8 cos8) sin8) se < 0 f ) = 8 2 β ) 2 sin se > 0 Come già richiamato precedentemente, possiamo dire grazie al teorema del ite della derivata) che f è derivabile in = 0 se e solo se f ) = f ) a patto che tali iti esistano Nel caso in cui non esistessero, bisognerebbe procedere, come da definizione, con il calcolo dei iti sinistro e destro del rapporto incrementale) Dobbiamo quindi fare in modo che 8 cos8) sin8) e che il valore comune dei precedenti iti sia finito Studiamo { } = β ) sin 8 cos8) sin8) Tale ite si presenta nella forma indeterminata De L Hopital Si ha 8 cos8) sin8) [ ] 0 Cerchiamo di risolverlo con la regola di 0 H = 0 8 cos8) 8 sin8) 8 cos8) 8 6 = sin t si è usato il ite notevole t 0 t 64 sin8) = 0 32 = 0 =, combinato col teorema di sostituzione)

7 7 Esistendo il ite sinistro della derivata prima, esiste anche la derivata sinistra, in particolare si ha f 0) = 0 Calcoliamo ora il ite destro, vale a dire 0 + { β ) } 2 sin Cominciamo con l osservare che = = + e sin = Pertanto, se β = 0, ossia se β =, scompare l addendo che tende all infinito, da cui f ) = f +0) = 0, 0 + e di conseguenza la funzione f è derivabile in = 0 in quanto derivata sinistra e destra di f in 0 coincidono e sono entrambe finite) Se invece β, f ) = ± 0 = ±, 0 + dove il segno dell infinito è + se β > e se β < In ogni caso, se β, nel punto = 0 si ha un punto angoloso, in quanto f 0) = 0 e f +0) = Riepilogando se α 8, f non è continua in = 0 per ogni β R; quindi non può essere derivabile in = 0; se α = 8 e β =, f è continua e derivabile in = 0;

8 se α = 8 e β, f è continua in = 0 ma non è derivabile in = 0 e presenta un punto angoloso 8

9 9 2) [TE 0/09/2007] Sia f : R R la funzione definita da f) = { 3 log ) 2 se 0, α se = 0 Dire per quali valori di α R la funzione f sia continua e derivabile in = 0 Negli altri casi classificare il tipo di discontinuità e di non derivabilità in = 0 Svolgimento Cominciamo a studiare la continuità di f in = 0 f è continua in = 0 se e solo se f) = f0) 0 ± Si ha f) = 3 log ) 2 = log )2/3 = 0, 0 ± 0 ± 0 ± trattandosi di un caso particolare del ite notevole α log ) β = 0, per ogni α, β > Inoltre f0) = α Quindi, f è continua in = 0 se e solo se α = 0, ossia se e solo se α = Se α, la funzione f presenta in = 0 una discontinuità einabile in quanto ite sinistro e destro valgono entrambi 0, a differenza della f0), che vale invece α ) 0) Perché abbia senso studiare la derivabilità in = 0, è anzitutto necessario riscrivere la funzione f con α =, ossia riscrivere continua la funzione f: { 3 log ) 2 se 0, f) = 0 se = 0 Diamo due possibili modi di svolgimento dell esercizio il primo metodo ricorre al teorema del

10 ite della derivata; il secondo, invece, utilizza la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale) Primo modo Controlliamo se f è derivabile o meno in = 0 utilizzando il teorema del ite della derivata Dovendo calcolare la derivata possiamo liberarci del valore assoluto, studiandone il segno dell argomento Poiché { se > 0 = se < 0, possiamo riscrivere la funzione f come log )) 3 2 se < 0, f) = 0 se = 0 log)) 3 2 se > 0 Calcoliamone la derivata prima utilizzando le usuali regole Consideriamo ad esempio 3 log )) 2 = log )) 2/3 0 Risulta log )) 2/3) = log )) 2/ log )) /3 ) = = log )) 2/ log )) = 2 /3 log ))2/3 + 3 log )) = /3 = 3 log )) 2 + In maniera analoga, si trova log)) 2/3) 3 = Pertanto si ha log ) log)) log)

11 3 log )) log ) f ) = 3 log)) log) se < 0 se > 0 Calcoliamo, se esistono, ite sinistro e destro della derivata prima Operiamo, in sequenza, le seguenti sostituzioni: da cui y =, t = log y, y 0 +, t per 0 Risulta, dai teoremi sui iti, = y 0 + f ) = 0 0 { 3 log y) 2 + { } 3 log )) = log ) } = log y t { 3 t) t } = = + Pertanto, esistendo il ite sinistro della derivata, esiste anche la derivata sinistra e si ha f 0) = + Calcoliamo ora il ite destro Risulta, come nel caso precedente, f ) = { } 3 log)) = + log) Pertanto f +0) = + Poiché f 0) = + = f +0), ne segue che in = 0 la funzione f non è derivabile e presenta un punto a tangente verticale In definitiva: se α, f non è continua né derivabile in = 0; in particolare in = 0 vi è una discontinuità einabile

12 se α =, f è continua in = 0 ma non è derivabile e presenta un punto a tangente verticale 2 Secondo modo Considerata per α = la funzione continua f) = { 3 log ) 2 se 0, 0 se = 0, studiamone la derivabilità in = 0 applicando la definizione vale a dire, calcolando il ite del rapporto incrementale per 0 e per 0 + ) Cominciamo a calcolare la derivata sinistra Si ha f 0) f) f0) = 0 0 Risulta ricordando che 0) f) = 3 log ) 2 e, in base alla definizione di f, f0) = 0 Quindi la derivata sinistra è data dal valore del ite 3 log ) log ) 2 f 0) = = = 0 3 log ) 2 Poiché 0, si ha y = 0 + ; essendo poi log y = e y 0 + t 3 t2 = + e posto t = log y = log, si ha, per il teorema di sostituzione, f 0) 3 3 = log ) 2 = t2 = + 0 t Cioè f 0) = + Analogamente, f +0) = 0 + f) f0) 0 = 0 + f) = 3 log ) 2 = + 0 +

13 3 Poiché f 0) = + = f +0), si ha che, per α =, la funzione f non è derivabile in = 0 e presenta un punto a tangente verticale Abbiamo ottenuto, con molti meno calcoli, lo stesso risultato a cui siamo giunti utilizzando il teorema del ite della derivata Questo esercizio vuole sottolineare come sia importante valutare se il calcolo delle derivate destra e sinistra non risulti più comodo attraverso la definizione di derivata come ite del rapporto incrementale piuttosto che attraverso il teorema del ite della derivata 3) [TE 06/09/200] Sia f : R R la funzione definita da log + 7) + 4/5 se 0, f) = α se = 0 Dire per quali valori di α R la funzione f è continua in = 0 Negli altri casi classificare il tipo di discontinuità Nel caso in cui f sia continua, dire se è derivabile o meno in = 0 e, in caso negativo, classificare il tipo di non derivabilità Svolgimento Cominciamo con lo studio della continuità Studiamo il Ricordando il ite notevole da cui f) 0 log + t) t 0 t =, log + t) t per t 0, si ha, posto t = 7 0, { log + 7) f) = 0 0 Quindi, essendo } { } 7 + 4/5 = 0 + 4/5 = = 7

14 4 f0) = α, si ha che f è continua in = 0 se e solo se α = 7 Se α 7, la funzione f presenta, in = 0, una discontinuità einabile Poniamo ora α = 7, dando luogo alla funzione continua log + 7) + 4/5 se 0, f) = 7 se = 0 Studiamone la derivabilità Calcoliamo la derivata prima Si ha ) log + 7) + 4/5 = 7 log + 7) /5 = = 7 log + 7) Calcoliamo f ) = log + 7) Sappiamo, dalla teoria, che il ite della somma di due funzioni è pari alla somma dei iti delle due funzioni, a patto che non si generino forme indeterminate Cominciamo quindi col calcolare il ite, per 0, del primo addendo: 0 7 log + 7) + 7, 2 che si presenta nella forma indeterminata 0 0 Applichiamo il teorema di De L Hopital Si ha 0 7 log + 7) H = ) ) 2 + 7) 2 =

15 5 = ) ) 2 = ) 2 2 = 49 = ) = Per quanto riguarda il secondo addendo, invece, si ha direttamente [ ] = = 0 Pertanto f ) = log + 7) = 49 2 = In maniera analoga si trova f ) = log + 7) = = + Quindi f 0) =, f +0) = + Ne segue che la funzione f non è derivabile in = 0 e presenta un punto di cuspide Riepilogando: se α 7 la funzione f non è continua, quindi neanche derivabile in = 0 In particolare in = 0 presenta una discontinuità einabile se α = 7, la funzione f è continua in = 7 ma non è derivabile e presenta un punto di cuspide

16 6 4) [TE 8/03/2008] Sia α R e g : R R la seguente funzione: { log se 0, g) = α se = 0 Dire per quali valori di α R la funzione g è continua in = 0 ed altrimenti classificarne il tipo di discontinuità Determinare per quali valori di α la funzione g è derivabile o meno in = 0 ed altrimenti classificarne il tipo di non derivabilità Svolgimento Per studiare la continuità di f in = 0, dobbiamo considerare il ite Ricordando il ite notevole si ha facilmente Quindi, f è continua in = 0 se e solo se f) = {3 + + log } 0 0 α log ) β = 0, per ogni α, β > 0, 0 + {3 + + log } = 0 α = Se α, la funzione f presenta in = 0 una discontinuità einabile Posto α =, studiamo la derivabilità della funzione continua { log se 0, g) = se = 0 Per il calcolo della derivata, in questo caso, procediamo tenendo il valore assoluto potremmo, indifferentemente, procedere come nell esercizio 2 liberandoci del valore assoluto Decidiamo invece di tenere il valore assoluto per mostrare un altro modo di soluzione) Ricordando che si ha, nel nostro caso, ) =, g ) = log ) + = log ) + = 2

17 7 = log ) + = 3 + log ) + se 0 2 Pertanto cioè g ) = g ) = { 3 + log ) + se < log) + se > 0, { 2 + log ) se < log) se > 0 Studiamo a questo punto il ite sinistro e destro di f ) in = 0 Si ha, posto y = 0 +, Quindi g ) = { 2 + log )} = { 2 + log y} = [ 2 ] = 0 0 y 0 + g 0) = Analogamente g ) = {4 + log)} =, da cui g +0) = Pertanto, poiché g 0) = = g +0), ne segue che in = 0 la funzione g non è derivabile e presenta un punto a tangente verticale Riepilogando se α, g non è continua, quindi neanche derivabile, in = 0 In particolare, g presenta in = 0 una discontinuità einabile; se α =, g è continua in = 0 ma non è derivabile e presenta un punto a tangente verticale

18 8 5) Siano α, β R e sia f : R R la funzione definita da ep ) se > 0, f) = α + β se 0 Si discutano, al variare di α e β, la continuità e la derivabilità di f Svolgimento Cominciamo con l osservare che, fuori da = 0, la funzione è continua e derivabile Si tratta ora di studiare la continuità e la derivabilità in = 0 Per quanto riguarda la continuità, sappiamo che f risulta continua in = 0 se e solo se si ha f) = f0) = f) Anzitutto e 0 f0) = α 0 + β = β f) = α + β) = β 0 Calcoliamo ora il ite destro di f in 0, vale a dire f) = ep ), cioè il ite del prodotto di due funzioni Calcoliamo il ite di ciascun fattore per poi applicare, se possibile, l algebra dei iti Risulta banalmente 0 + = 0+ Consideriamo il ite del secondo fattore, ep ) 0 + Se poniamo y =, abbiamo che e 0 + = y per 0 + Pertanto, dal teorema di sostituzione, si trova e 0 + = y ey = 0 +

19 9 Tornando al ite originario, troviamo, applicando il teorema del ite del prodotto di due funzioni, f) = ep ) = e = = Pertanto f risulta continua in = 0 se e solo se β = 0 Nel caso in cui β 0, f presenta in = 0 un punto di salto con salto S = β 0 = β In tal caso f non può essere ovviamente derivabile in = 0 in quanto non continua) Per studiare l eventuale derivabilità in = 0, riscriviamo f continua, il che significa riscrivere f sostituendo a β il valore 0: ep ) se > 0, f) = α se 0 Per studiare la derivabilità di f in = 0 calcoliamo, con le solite regole di derivazione, la derivata della funzione f con l intento di voler poi applicare il teorema del ite della derivata) Cominciamo da α Ovviamente si ha α) = α Consideriamo ora ep ) = e Osservato che la derivata di = è ) = ) 2 = 2, risulta ) e = e + e = 2 = e + ) = e 2 + )

20 20 Pertanto la derivata di f è f e + ) se > 0 ) = α se < 0 Ricordiamo che f è derivabile in = 0 se e solo se f 0) = f +0) Calcoliamo ite sinistro e destro della derivata Risulta f ) = α = α 0 0 Quanto al ite destro della derivata, si deve calcolare il f ) = 0 + e 0 + vale a dire il ite di un prodotto di funzioni Consideriamo il ite di ciascun fattore Si ha facilmente e ), = y ey = 0 + Per il secondo fattore si ha + ) = + = Poiché il primo fattore tende a 0 e il secondo a + non possiamo applicare direttamente l algebra dei iti si è infatti creata la forma indeterminata [0 ]) Per stabilire il valore del ite possiamo applicare il teorema di de l Hopital, dopo aver riscritto il prodotto in forma adegauata al teorema ricordiamo che le forme indeterminate adatte all applicazione del teorema di De L Hopital sono Possiamo scrivere Poiché f ) = 0 + e 0 + [ 0 0 ] e [ ] ) + ) + ) = 0 + e 0 + e = y + ey = +,

21 2 il ite precedente si presenta nella forma indeterminata [ ], come richiesto dalle ipotesi del teorema di de l Hopital Osserviamo che sono verificate anche le altre ipotesi per poter applicare il teorema Possiamo quindi applicare il teorema di De L Hopital per risolvere il ite + ) f ) = e Si ha ) e H = e ) = e = = y+ e = y 0+, in quanto y + ey = + Pertanto si ha f 0) = α, f +0) = 0 Ne segue che f è derivabile in = 0 se e solo se α = 0 Se invece α 0, il punto = 0 è un punto angoloso per f 6) Si studi la derivabilità in = 0 della funzione definita per R da ) sin ) 2 sin se 0, f) = 0 se = 0 Svolgimento Studiamo la derivabilità di f in 0 utilizzando la definizione cioè il ite del rapporto incrementale): pertanto, non è necessario controllare se la funzione è continua o meno in = 0 tale verifica è necessaria quando si vuole applicare il teorema del ite della derivata) Ricordiamo che f è derivabile in = 0 se e solo se f 0) := 0 f) f0) = 0 + f) f0) =: f +0)

22 22 e il valore comune di tali iti è finito Cominciamo a calcolare la derivata sinistra Osserviamo che f) = sin ) 2 sin ), f0) = 0 Si ha quindi ) sin ) 2 sin 0 f 0) = 0 0 ) sin ) 2 sin = 0 Calcoliamo quindi il ite ) sin ) 2 sin 0 Poiché 0, risulta sin, da cui sin ) 2 ) 2 Si ottiene quindi, ) 2 sin 0 = 0 sin ), ovvero il ite del prodotto di due fattori Il primo fattore è infinitesimo, infatti 0 Quanto al secondo fattore, posto y = per 0, osserviamo che non esiste il ) sin = sin y 0 y ) Tuttavia la funzione sin è itata tra e Dal corollario al secondo teorema del confronto segue che ) sin = 0, 0 trattandosi del ite del prodotto di una funzione infinitesima e di una itata per 0

23 23 Quindi f 0) = 0 In maniera analoga si trova immediatamente che f +0) = 0 Pertanto la funzione f è derivabile in = 0 quindi è anche continua in tale punto) e f 0) = 0 6) [TE 0/0/203] Studiare la derivabilità della funzione 2 sin 3 + cos se > 0, g) = 0 se = 0 7 log + e /) se < 0 Svolgimento Per studiare la derivabilità di g in = 0 dobbiamo controllare se derivata sinistra e destra esistono finite e coincidono Procediamo direttamente col loro calcolo per mezzo del rapporto incrementale: f +0) := 0 + f) f0) 0 2 sin 3 + cos 0 = 0 + = 2 sin 3 cos = Utilizzando gli infinitesimi equivalenti dedotti dai iti notevoli si ha e 2 sin /3 = 0 + = = + 2/3 cos = = 2 Pertanto f +0) 2 sin 3 cos = = = + Ciò è sufficiente per poter dire che la funzione non è derivabile in = 0 Tuttavia, poiché

24 dobbiamo classificare il tipo di non derivabilità, dobbiamo calcolare anche la derivata sinistra in = 0, vale a dire f 0) f) f0) := Dobbiamo studiare il ite 7 log ) + e / 0 Poiché, posto y = per 0, risulta si ha che e/ = 0 ) + e quando 0, da cui y ey = 0, log + e /) = log) = 0 0 Il fattore log + e /) è quindi infinitesimo per 0 Per prima cosa osserviamo che tale fattore è della forma log + t) con t 0 : infatti, come osservato poco fa, 0 e/ = 0 Pertanto si ha log + e /) e / per 0, come caso particolare di log + t) t per t 0 Ne segue che f 0) 7 log ) + e / = 0 7 e / = 0 = 7 0 e/ Per calcolare il precedente ite ricorreremo alla formula di de l Hopital, dopo aver posto y = per 0 Si trova 7 0 e/ = 7 y y ey = 7 y y e y,

25 25 [ che si presenta proprio nella forma indeterminata in quanto y + quando y ] Risulta quindi, per il Teorema di de L Hopital, 7 y H 7 = = 0, y e y y e y dato che y e y = t + et = + Abbiamo quindi provato che f 0) = 0 In definita, essendo f 0) = 0, f +0) = +, segue che = 0 è un punto angoloso per f

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