Funzioni derivabili (V. Casarino)

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1 Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione in = 1. f() = 3) Applicando le regole di derivazione calcolare la derivata delle seguenti funzioni: a() = cos b() = sin + cos c() = d() = 1 tan 1 + tan e() = log + 3 f() = log 1 log + 1 g() = ( + 1) 5 h() = log cos + tan i() = 4 3 l() = sin log m() = 5 sin 3 n() = arctan(1 ) o() = arcsin + 1 p() = ( log 3). 4) Discutere la derivabilità in = 0 delle funzioni: a) f() = sin b) g() = cos. 1

2 Funzioni derivabili (V. Casarino) 5) Sia { ( β) f() = 0 α sin < 0. Determinare α, β R tali che f sia continua e derivabile su R. 6) Discutere la derivabilità di f() = 1. 7) Siano f() = e g() = e 1/. Verificare che f e g sono prolungabili con continuità su R. Le funzioni f e g così prolungate risultano derivabili in = 0? 8) Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa = al grafico di f() = + log( 3). 1 9) Determinare per quali valori della la funzione f() = 3 + sin è crescente oppure decrescente. 10) Determinare massimi e minimi relativi della funzione f() = e + 3e sul suo dominio. 11) Studiare il segno della derivata delle seguenti funzioni in un intorno del punto 0 = 0: a)3 sin 3 b)4 + 4 cos. 1) Sia f() = 7 +. Verificare che f è invertibile su R. Verificare che f 1 è derivabile su R, determinare (f 1 ) tramite la formula della derivata della funzione inversa e calcolare (f 1 ) (0) e (f 1 ) (). 13) Determinare gli eventuali asintoti della funzione ) Trovare i punti del grafico di f() = 5 3 nei quali la tangente a) è parallela alla retta y = ; b) è perpendicolare alla retta y = + 5.

3 Funzioni derivabili (V. Casarino) 3 15) Dimostrare che le rette tangenti ai grafici delle due funzioni f() = 3 e g() = 1 3 loro perpendicolari nei punti di ascissa diversa da zero. sono tra 16) Verificare che se un polinomio p() è divisibile per ( a), p () è divisibile per ( a). Più in generale, verificare che se p() è divisibile per ( a) e p () è divisibile per ( a) n 1, allora p è divisibile per ( a) n. 17) Verificare che non ha altri zeri oltre a 0 = 1. f() = log( + ) ) Verificare che la funzione f() = 3 soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange nell intervallo [0, 1] e determinare un punto θ (0, 1) tale che f (θ) = f(1) f(0). 19) Si consideri la funzione f, definita da { + sin 1 se 0 f() = 0 se = 0. Si dimostri che f è derivabile in [0, + ) e che f non è continua in 0. 0) Determinare i valori di α R tali che la funzione f() = 4 +3 soddisfi le ipotesi del Teorema α di Lagrange sull intervallo [0, 1]. 1) Stabilire per quali a R la funzione f() = + a cos è convessa in R. ) Dimostrare che se α 1, allora (1 + ) α 1 + α per ogni > 1. (Tale disuguaglianza prende il nome di disuguaglianza di Bernoulli. )

4 4 Funzioni derivabili (V. Casarino) 3) Dimostrare che per ogni 0. sin 3 6 4) Determinare il numero di soluzioni reali delle equazioni: a) = 0 ; b) = 0 ; c) = 0. 5) Dimostrare o smentire la seguente affermazione: Per ogni λ R l equazione 5 + = λ ha esattamente una soluzione. 6) Determinare il numero di soluzioni dell equazione ln = λ, λ R. 7) Determinare il numero di soluzioni dell equazione e = λ, λ R. 8) Dimostrare che per ogni a R l equazione ha esattamente una soluzione. arctan = a

5 Funzioni derivabili (V. Casarino) 5 SOLUZIONI 5 ( 5) 1) a) Si ha: lim c) Si ha: lim 0 = b) 1 16 = lim ( ) = 1 ) a) Ricordiamo che l equazione della retta tangente alla curva in = 1 è y = f(1)+f (1)( 1). Occorre quindi calcolare la derivata della funzione f in 0 = 1. Si ha f () = ( ) particolare, f (1) =. L equazione richiesta è allora y() = 1 ( 1). d)0. e, in 3) a) sin b) cos c) ( + 4) d) (sin + cos ) e) log f) (log + 1) g)10( + 1) 4 4 h) cos i) 4 3 l) 1 cos log 3 cos 3 m) n) sin o) arcsin p) log(log 3)( log 3). 4) a) = 0 è un punto angoloso per f. Calcoliamo, infatti, le derivate laterali di f in = 0. Si ha lim + sin 0 = 1 e lim sin( ) 0 = 1. b) La derivata destra di g in 0 vale 1, quella sinistra 1, quindi g non è derivabile in = 0. 5) Imponiamo innanzitutto che la funzione f sia continua sul suo dominio. che f sia continua nel punto di raccordo = 0, ottenendo β = ±. È sufficiente imporre La funzione è poi derivabile ovunque tranne, al più, in = 0. Per discutere la derivabilità in = 0, calcoliamo la derivata f. Si ottiene f () = ( β) se > 0 e f () = α cos se < 0. Sia β = ±, in modo che f sia continua in = 0. Calcoliamo ora il limite di f () per 0. Per un noto teorema, se tale limite esiste e vale l R, allora f è derivabile in = 0 e vale f (0) = l. Risulta lim f () = β e lim f () = α, quindi f è derivabile se α = e β = oppure se α = e β =.

6 6 Funzioni derivabili (V. Casarino) 6) f è derivabile in R \ { 1, 1}. In = 1 f non è derivabile ( la derivata destra vale, quella sinistra ); in = 1 f non è derivabile (la derivata destra vale, quella sinistra ). Per ±1, f è uguale al polinomio 1 oppure al polinomio 1, ed è pertanto derivabile, con derivata data, rispettivamente, da e da. 7) f è prolungabile per continuità in = 0. Più precisamente, dal fatto che := e ln segue che Poniamo ora e calcoliamo lim 0 f() f(0) 0 lim 0 = lim e ln = 1. 0 f() := { se 0 1 se = 0 ( 1 e ln 1 = lim = lim 0 0 ln Il prolungamento di f non è quindi derivabile in 0. La funzione g è prolungabile per continuità in = 0. Vale infatti Poniamo allora e calcoliamo g() := lim 1 0 e = 0. { e 1 se 0 0 se = 0 ) ln =. g() g(0) e 1 lim = lim 0 ( = lim t e t) = t Il prolungamento di g è quindi derivabile in 0, con g (0) = 0. 8) Osserviamo innanzitutto che f è derivabile in = e che f () = 1 ( + ) 1 ( 1) 3 per > 3. In particolare, f () = Poich è f() = 4 3, la retta tangente ha equazione y =

7 Funzioni derivabili (V. Casarino) 7 9) Calcoliamo la derivata di f e imponiamo che sia maggiore o uguale a zero. Si ottiene f () = 3 + cos. Poichè f è maggiore di zero su R, f risulta crescente per ogni valore della. 10) Osserviamo innanzitutto che f è definita su tutto R ed è ivi derivabile. Calcoliamo poi la derivata di f. Risulta f () = e 3e. Quindi f () > 0 se e > 3, cioè se > 1 ln 3 e f () < 0 se < 1 ln 3. Allora f ha minimo in = 1 ln 3. 11) a) Vale f () = 3 cos 3, quindi f (0) = 0 e f () < 0 per ogni appartenente a un intorno bucato dell origine. Allora il punto 0 = 0 è un punto di flesso discendente. b) Il punto 0 = 0 è un punto di flesso ascendente. 1) La funzione f è continua e strettamente crescente su R, quindi invertibile su R. La sua derivata, inoltre, non si annulla mai in R, così che la funzione inversa f 1 è derivabile su R e per ogni dom( ( f 1) ) = R si ha che (f 1 ) () = 1 f (f 1 ()) = 1 7(f 1 ()) Poichè f(0) = 0, si ha che f 1 (0) = 0, quindi (f 1 ) (0) = 1. Poichè f(1) =, si ha che f 1 () = 1, quindi (f 1 ) () = ) Osserviamo innanzitutto che ha senso cercare un asintoto obliquo sia a + sia a. Calcoliamo ora Calcoliamo poi e f() lim ± = lim ± lim (f() 1 ) = lim + lim (f() + 1 ) = lim = ± = = 3. Allora f ha un asintoto obliquo destro dato da y() = 3 e un asintoto obliquo sinistro dato da y() = + 3.

8 8 Funzioni derivabili (V. Casarino) 14) a) Imponendo la condizione = 15, si determina = ± 15. b) La condizione da imporre è in questo caso 15 = 1, così che non esistono punti soddisfacenti la condizione richiesta. 15) Le rette tangenti a f e g hanno coefficiente angolare rispettivamente uguale a m() = 3 su R e n() = 1 su R \ {0}. Poichè per ogni 0 risulta m() n() = 1, le rette tangenti 3 a f e g sono ortogonali. 16) Sia p() = ( a) q(), per qualche polinomio q. Allora p () = ( a) q() + ( a) q () = ( a) [q() + ( a) q ()]. La dimostrazione nel caso generale si fa per induzione su n. 17) Si ha che dom((f)) = (, + ) e lim f() = ±. Inoltre f è strettamente crescente su ± dom((f)). Quindi f non ha altri zeri oltre 0 = 1. 18) La funzione f è continua in [0, 1] e derivabile in (0, 1), soddisfa quindi le ipotesi del Teorema di Lagrange. Risulta inoltre θ = ) Per 0 la funzione è derivabile come somma e composizione di funzioni derivabili. In = 0 calcoliamo il limite del rapporto incrementale: quindi f è derivabile in tutto R. + sin 1 lim 0 = lim 0 ( + sin 1 ) = 0, Risulta inoltre f () = 4 + sin 1 cos 1 per 0 e f (0) = 0. Poichè lim 0 f () non esiste, la funzione derivata f non è continua in R 0) Bisogna imporre che f sia continua in [0, 1] e derivabile in (0, 1). La funzione f soddisfa queste due ipotesi se α per ogni [0, 1]. Se α < 0, questa condizione è sempre verificata. Se α = 0, non è verificata perchè in = 0 il denominatore si annulla. Se α > 0, bisogna imporre ± α per ogni [0, 1], cioè α per ogni [0, 1]. Questo equivale a richiedere che α non assuma valori compresi fra 0 e 1, cioè α non deve appartenere a [0, 1].

9 Funzioni derivabili (V. Casarino) 9 In conclusione, le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte per α < 0 e α > 1, non sono soddisfatte per α [0, 1]. 1) f è convessa se a. Infatti, se a = 0 f è ovviamente convessa. Più in generale, la derivata seconda di f, f () = a cos, è positiva se a cos. Se a > 0, questa disequazione è banalmente verificata da tutte le tali che cos < 0. Se invece cos 0, allora si ha 0 a cos a, quindi la condizione è 0 a. Se a < 0, la disequazione a cos è verificata per ogni a se cos > 0. Se cos 0, allora essa si può scrivere come a cos, che, come nel caso precedente, conduce a a. Si conclude che f è convessa su tutto R se a. ) Sia f() := (1 + ) α, > 1. Derivando otteniamo f () = α(1 + ) α 1 e f () = α(α 1)(1 + ) α. Poich è f è positiva, f è convessa, quindi vale f() f(0) + f (0)( 0) = 1 + α. 3) Sia f() := sin + 3 6, 0. Si ha f () = cos 1 + e f () = sin +. È noto che sin per ogni 0, per cui f () 0 per ogni 0 e f è convessa. Vale quindi la stima f() f(0) + f (0)( 0) = 0 su tutto il semiasse positivo. 4) a) La funzione f() = tende a + per +, a per + ed è strettamente crescente: l equazione ammette quindi una sola soluzione reale. b) La funzione f() = tende a + per ± ; f ha minimo in = 1, ove assume il valore 9. L equazione f() = 0 non ha quindi soluzioni reali. c) La funzione f() = tende a + per + e a per. Consideriamo ora la derivata di f, f () = 15 ( 1). f è strettamente crescente per < 1 e > 1, decrescente in ( 1, 1); = 0 rappresenta un punto di flesso discendente. Dal momento che f( 1) = 3 e f(1) = 1, l equazione f() = 0 ha tre soluzioni reali ( una minore di 1, una compresa fra 1 e 1, una maggiore di 1).

10 10 Funzioni derivabili (V. Casarino) 5) L affermazione è vera. Infatti, posto f() = 5 + si ha lim + = + e lim =. Quindi l equazione ha almeno una soluzione. Il fatto che tale soluzione sia unica segue dal fatto che f è strettamente crescente. 6) Studiamo la funzione f() = ln, definita per > 0. Risulta lim o + = 0 e lim + = +. Inoltre, f () = ln +1, quindi f è crescente per > 1 e. f ha quindi minimo in 1 e, ove assume il valore 1 e. Si ossono allora concludere i seguenti fatti. Se λ < 1 e Se λ = 1 e non vi sono soluzioni. esiste una soluzione. Se 1 e < λ < 0 vi sono due soluzioni. Se λ 0 esiste una soluzione. 7) Studiamo la funzione f() = e, definita per R. Risulta lim = 0 e lim + = +. Inoltre, f () = e ( + 1), quindi f è crescente per > 1. f ha quindi minimo in = 1, ove assume il valore 1 e. Si ossono allora concludere i seguenti fatti. Se λ < 1 e Se λ = 1 e non vi sono soluzioni. esiste una soluzione. Se 1 e < λ < 0 vi sono due soluzioni. Se λ 0 esiste una soluzione. 8) Studiamo la funzione f() = arctan, definita per R. Risulta lim = e lim = + +. Inoltre, f(0) = 0 e f () = arctan Osservando che arctan è sempre 1+ 1 maggiore o uguale a zero ( e si annulla solo in zero) e che è sempre minore o uguale +1 a uno ( e vale uno solo in zero), si conclude che f () > 0 per ogni R, 0. quindi f è strettamente crescente. In particolare, l equazione proposta ammette sempre un unica soluzione.

11 Funzioni derivabili (V. Casarino) 11 Esercizi proposti 1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a() = b() = c() = d() = sin cos e() = sin f() = log g() = tan h() = 3 6e 5 4 i() = 1 + tan 3 j() = e k() = arctan l() = log (log ) m() = sin n() = o() = sin log (sin ) p() = q() = arctan (1 + e ) r() = log (1 + arctan ) s() = log ( ) t() = arctan + arctan 1 u() = arctan 1 log (1 + ) v() = log + 1 w() = arcsin y() = log 1 e + z() = log 3 log 1 e + 1 α() = log log 1 β() = log e + 3e 4 γ() = 1 + log ( ) 1 δ() = log 1 + cos cos ε() = e η() = arctan log (arccos ) ϑ() = [1 + log ( sin )] e sin λ() = sin cos ϕ() = ( 9)e ψ() = e. ) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di ciascuna delle seguenti funzioni nel punto

12 1 Funzioni derivabili (V. Casarino) 0 indicato a fianco: a)f() = 4 3 ( 0 = 1) b)f() = + 1 ( 0 = 1) c)f() = ( 0 = 1) d)f() = e ( 0 = 0). 3) Discutere la derivabilità di f() = 3. 4) Determinare per quali valori della le seguenti funzioni sono crescenti oppure decrescenti: a)3 5 7 b)( 1) c)e 1 d) e)e.. 5) Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni sul loro dominio: a)f() = b)f() = c)f() = 3 d)f() = + 1 e)f() = 1 log. 6) Determinare massimi e minimi relativi di f() = sin sull intervallo [0, π]. 7) Determinare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della funzione f() = su [, 3]. 8) Determinare il numero di radici reali della equazione = 0. 9) Sia f() = ( 1)e + arctan(log ) +. Dimostrare che f è invertibile sul suo dominio e determinare Im(f). 10) Calcolare f e f per le seguenti funzioni: (a) f() = (b) f() = 1 arctan (c) f() = cos(sin ) (d) f() = ( ) (e) f() = 1 + sin 1 (f) f() = arcsin 1.

13 Funzioni derivabili (V. Casarino) 13 11) Determinare gli eventuali asintoti delle funzioni: a) e d) e 1 1) Determinare l asintoto destro della funzione b) 3 1 c) e) f() = 3 + sin ) Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l Hopital: a) lim 0 ( + 1) 4 1 tan d) lim 0 1 cos g) lim 0 e e sin b) lim sin e) lim 0 (1 cos ) cos 1 sin + cos h) lim π sin cos l) lim 0 e tan e. c) lim 0 sin 3 + sin 3 sin (1 sin ) f) lim π cos sin i) lim 0 + sin 14) Determinare i valori del parametro α R per cui la funzione ( ) + α f() = arcsin + è definita su tutto R. 15) Data la funzione { se < 0 f() = ln ( + + 1) + k se 0, a) determinare i valori di k tali che f sia continua su R; b) determinare fino a quale ordine f è derivabile su R. 16) Stabilire quali fra le sequenti funzioni soddisfano le ipotesi del Teorema di Rolle nell intervallo [ 1, ]: a)f() = b)f() = 1 se [ 1, 0] c)f() = 0 se (0, 1] ( 1) se (1, ] se [ 1, 0] d)f() = 0 se (0, 1] 1 se (1, ]

14 14 Funzioni derivabili (V. Casarino) 1 se [ 1, 1 ] e) f() = 0 se = 1 1 se ( 1, ]. 17) Determinare l immagine della funzione f() = arctan + arctan 1, 0. 18) Utilizzando il Teorema di Rolle si dimostri che la derivata della funzione f definita da { sin π se > 0 f() = 0 se = 0 si annulla in infiniti punti dell intervallo (0, 1). 19) Determinare il numero di soluzioni dell equazione al variare di a > 0. arctan(a) = 0) Data la funzione f() = + cos a) verificare che f è invertibile; b) detta g l inversa di f, calcolare g (1). 1) Dimostrare la disuguaglianza per ogni R. 1 cos

15 Funzioni derivabili (V. Casarino) 15 Soluzioni degli esercizi proposti 1) a) Si ha: 4) a () = b () = + 4 ( + 1) c 1 () = 3 3 (1 + ) d () = cos + sin e () = sin + cos f () = ( ) g () = 1 + tan = h () = e 54 i () = 1 + cos q () = r () = s () = t () = 0 e 1 + (1 + e ) arctan (1 + )(1 + arctan ) u () = arctan v () = 1 1 ( + 1) w 1 () = (1 + ) 3 4 y () = e e + 1 e (e + 1) j () = 3 e tan 3 ( 1 + tan 3) k () = arctan + l () = 1 log 1 + m () = sin cos log n () = (log + 1) ( o () = sin cos log + sin ) p () = log sin ( cos sin ) log sin log + [ log (arccos ) η () = arctan 1 + arctan z () = log 7 log + 5 (log ) α () = 6 log β () = e + 3e e + 3e γ () = ( ) 1 + log ( ) δ () = arccos 1 sin cos (1 + cos ) ε () = 1 3 e e ]

16 16 Funzioni derivabili (V. Casarino) ϑ () = e sin [ 1 cos sin + cos (1 + log ( sin )) ] λ () = 1 ϕ () = sin cos ( + 1) cos + ( 1) sin { e ( + + 9) se > 0 e ( + 9) se < 0 ( e ) 1 ψ se 0, () =. ( ) + 1 e se < 0, + ) a) Occorre innanzitutto calcolare la derivata della funzione f in 0 = 1: si ha f ( 1) = 1. y = b)y = + 1 c)y = 1 ( si osservi che nel punto 0 = 1 la retta tangente è orizzontale) d)y = 1 ( si osservi che nel punto 0 = 0 la retta tangente è inclinata verso il basso). 3) Dal momento che risulta f() = 1, f è derivabile in R \ {1}. 4) a) Crescente per > 5 6, decrescente per < 5 6. b) Crescente per < 1 3 e > 1, decrescente per 1 3 < < 1. c) Crescente per ogni valore della. d) Crescente per 0 < < 1, decrescente per > 1. e) Crescente per > 0, decrescente per < 0. 5) a) f ha massimo in = e minimo in =. b) f ha massimo in = 1. c) f non ha nè massimi nè minimi. d) f ha minimo in = 3. e) f ha massimo in = 1. 6) f ha massimo in = π e ha minimo in = 0, π.

17 Funzioni derivabili (V. Casarino) 17 ) 7) f ha un punto di minimo assoluto in = 3 (, con f 3 = f ha un punto di massimo assoluto in = 3, con f(3) = 5. = 1 e = sono punti di massimo relativo (si ha, rispettivamente, f(1) = 3 e f( ) = 3 ). ( ) Infine, f ha un punto di minimo relativo in = 3, con f 3 = ) L equazione ammette un unica soluzione reale. 9) La funzione f è strettamente crescente su (0, + ) (infatti f () > 0), quindi invertibile su R. Inoltre Im(f) = (1 π, + ). 10) (a) f () = ( ) 3, f () = 6 ( ) 5 ; (b) f 1 () = (1 + ) arctan, f () = arctan + (1 + ) arctan 3 ; (c) f () = sin (sin ) cos, f () = cos (sin ) cos + sin (sin ) sin ; (d) f () = ( ) [ ( log ) 1 ], 1 + f () = ( 1 + ) 1 { [ ( log ) 1 ] } (1 + ) ; (e) f () = 1 ( 1 + cos 1 ), f () = ( cos 1 ) 1 4 sin 1 ; (f) f () = 1 1 se > se < 0, f () = (1 ) 3 (1 ) 3 se > 0 se < 0.

18 18 Funzioni derivabili (V. Casarino) 11) a) = 1 è asintoto verticale, y = 3 orizzontale. b) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine inferiore a 1. c) = 1 è asintoto verticale, y = asintoto obliquo. d) = 0 è asintoto verticale, y = 0 è asintoto orizzontale sinistro, y = 1 è asintoto destro. e) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine superiore a 1. 1) y =. 13) a)4 b)0 c)3 d) e)f)0 g) h)1 i) l)0 14) La funzione è definita su tutto R per α = 0. 15) 1) f è continua se k = 0. ) f esiste su tutto R e vale f() = se < 0 e f() = ln (+1) se 0. Calcolando i limiti del rapporto incrementale di f per 0 + e 0, si ottiene (D f) + (0) = e (D f) (0) = 6, quindi f è derivabile fino al primo ordine su R. 16) a) No (f( 1) f()) b) No (f non è derivabile) c) Sì d) No (f non è derivabile) e) No (f non è continua). 17) Risulta Im f = { π, π }. 19) Se 0 < a < 1 vi è una sola soluzione. Se a 1 ci sono tre soluzioni. 0) a) Poichè f () = sin per ogni R, f è strettamente crescente e quindi invertibile. b) Cerchiamo 0 tale che f( 0 = 1. Si trova 0 = 0, da cui g (1) = 1.

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