REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

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1 REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO 1 La edita fiaziaia U ispamiatoe, alla fie di ogi ao, vesa ua ata R di 6000 a ua baca che la capitalizza a u tasso d iteesse auo i del 3,5% Il motate M matuato alla fie dell ao, cioè l ammotae che il ispamiatoe potebbe pelevae alla fie dell ao, è dato da: -1 M = R i (l ao 1 è l ao i cui si effettua il pimo vesameto) Detemia l espessioe icosiva del motate M Alla fie del 5 ao quato hao futtato i tutto le ate vesate dal commeciate? A quato tede il motate se il umeo di ai dei vesameti aumeta sempe di più? Alla fie del pimo ao il motate coicide co il valoe dell uica ata appea vesata: M 1 = R Alla fie dell ao, il motate è dato dal motate dell ao pecedete M -1 più l iteesse matuato i u ao su M -1 più il valoe della ata vesata ell ao : M = M + i$ M + R " M = (1 + i) $ M + R Applichiamo la fomula del motate e sottaiamo il valoe delle 5 ate vesate: 5 ( 1+ 0, 035) -1 M5-5R = $ , 80 0, Cosideiamo la successioe M = R ; bisoga calcolae il limite pe tedete all ifiito i Si può otae che, dato che i 2 0, è 1 + i 2 1 e lim (1 + i) =+ 3 Quidi - 1 lim R =+3 " + 3 i " + 3 Copyight 2012 Zaichelli editoe SpA, Bologa Questo file è ua estesioe olie dei cosi di matematica di Massimo Begamii, Aa Tifoe e Gaziella Baozzi 1

2 2 Il sistema di iigazioe Qualche ao fa è stato bevettato u uovo sistema di iigazioe pogammabile che «icoosce» la quatità di acqua da eogae i elazioe alle codizioi atmosfeiche Appea è stato messo i commecio, costava cica 400 Dopo il pimo ao, il suo valoe commeciale si è abbassato di 40 e così è stato pe gli ai successivi fio all estate 2011, quado è stato veduto al pezzo di 280 I quale ao è stato posto i commecio? Nell ipotesi che il pezzo sceda i modo costate, a quato saà possibile acquistalo l estate successiva? E dopo due ai? I dati a disposizioe ivelao che la successioe è ua pogessioe aitmetica di agioe d = 40 e di valoe iiziale a 0 = 400 Il temie geeale della successioe è: a = Detemiiamo il valoe di coispodete all estate 2011: a = = 280 " 40 = 120 " = 3 L impiato è stato messo i commecio 3 ai pima dell estate 2011, cioè ell ao 2008 Il costo dell impiato egli ai 2012 e 2013 è: a 4 = ( $ 4) = 240 (costo ell estate 2012); a 5 = ( $ 5) = 200 (costo ell estate 2013) Potevamo otteee gli stessi valoi co il seguete calcolo: a 4 = (a 3-40) = (280-40) = 240 ; a 5 = (a 4-40) = (240-40) = 200 Copyight 2012 Zaichelli editoe SpA, Bologa Questo file è ua estesioe olie dei cosi di matematica di Massimo Begamii, Aa Tifoe e Gaziella Baozzi 2

3 3 La pevisioe demogafica Secodo i dati Istat, la popolazioe i Italia al 1 geaio 2011 ea costituita da (cica) cittadii italiai e staiei egolamete esideti Negli ultimi ai il umeo di cittadii italiai è dimiuito i media dello 0,07% ogi ao, mete gli immigati soo aumetati i media di cica uità all ao Co i dati a disposizioe costuisci il modello che cosete di pevedee la popolazioe esidete al 1 geaio dal 2012 al 2015 Idichiamo co i la successioe che foisce il umeo di cittadii italiai el coso degli ai (l idice = 1 coispode all ao 2011): i 1 = ; i 2 = i 1 $ (1-0,0007) (stima cittadii italiai al 1 geaio 2012); i 3 = i 2 $ (1-0,0007) (stima cittadii italiai al 1 geaio 2013); i 4 = i 3 $ (1-0,0007) (stima cittadii italiai al 1 geaio 2014); i 5 = i 4 $ (1-0,0007) (stima cittadii italiai al 1 geaio 2015) I geeale è: i i (1 0,0007) i1 ( 1 0, 0007) - 1 = - 1 $ - = $ - Idichiamo oa co s la successioe che foisce il umeo di staiei esideti el coso degli ai: s 1 = ; s 2 = s = (stima staiei esideti al 1 geaio 2012); s 3 = s = (stima staiei esideti al 1 geaio 2013); s 4 = s = (stima staiei esideti al 1 geaio 2014); s 5 = s = (stima staiei esideti al 1 geaio 2015) I geeale è: s= s = s $ ( - 1) Il valoe p della popolazioe esidete è dato dalla somma delle due successioi: p 1 = i 1 + s 1 = = (popolazioe al 1 geaio 2011); p 2 = i 2 + s 2 = = (stima popolazioe al 1 geaio 2012); p 3 = i 3 + s 3 = = (stima popolazioe al 1 geaio 2013); p 4 = i 4 + s 4 = = (stima popolazioe al 1 geaio 2014); p 5 = i 5 + s 5 = = (stima popolazioe al 1 geaio 2015) Voledo fae ua pevisioe pe gli ai successivi, si può applicae la fomula geeale: - 1 p= i+ s= i1 $ (1-0, 0007) + s $ ( -1) Copyight 2012 Zaichelli editoe SpA, Bologa Questo file è ua estesioe olie dei cosi di matematica di Massimo Begamii, Aa Tifoe e Gaziella Baozzi 3

4 4 Poligoi iscitti e cicoscitti Data ua cicofeeza C di aggio, pe ogi umeo atuale si possoo costuie i poligoi egolai P e Q di lati, ispettivamete iscitto e cicoscitto alla cicofeeza La lughezza della cicofeeza è ovviamete compesa ta i peimeti dei due poligoi Espimi i fuzioe di e il peimeto dei poligoi, e calcola il limite delle successioi otteute, co che tede all ifiito Cosideiamo il poligoo P iscitto: l agolo al ceto che isiste su ogi lato l è di ampiezza 2, peciò l agolo alla cicofeeza è Pe il teoema della coda: l = 2$ se, peimetop = 2 $ se 2π π Figua 1 Cosideiamo oa poligoo Q cicoscitto: l agolo al ceto che isiste su ogi lato l è sempe di ampiezza 2 i il i ; i questo caso il aggio della cicofeeza è ache altezza del tiagolo isoscele e, pe il teoema dei tiagoli ettagoli: l = 2$ tg, peimetoq = 2 $ tg 2π π Figua 2 Copyight 2012 Zaichelli editoe SpA, Bologa Questo file è ua estesioe olie dei cosi di matematica di Massimo Begamii, Aa Tifoe e Gaziella Baozzi 4

5 Calcoliamo i limiti delle successioi icodado il limite otevole: lim se x = 1 x " 0 x se se lim 2 $ se = lim 2 = lim 2 = 2, " + 3 " " + 3 lim se se lim 2 2 $ tg = 2 = lim $ = 2 1 cos $ cos " + 3 " + 3 " + 3 Ovviamete etambi i limiti tedoo alla lughezza della cicofeeza Copyight 2012 Zaichelli editoe SpA, Bologa Questo file è ua estesioe olie dei cosi di matematica di Massimo Begamii, Aa Tifoe e Gaziella Baozzi 5