Il sistema di numerazione posizionale decimale

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1 Prof. Emanuele Papotto Il sistema di numerazione posizionale decimale Il sistema di numerazione che utilizziamo abitualmente è il sistema di numerazione decimale. Questo sistema utilizza la numerazione posizionale ii dove ogni cifra del numero assume un valore in funzione della posizione : La posizione di ogni singola cifra che compone un numero si calcola partendo SEMPRE DALL ULTIMA CIFRA A DESTRA (posizione 0), E PROSEGUENDO VERSO SINISTRA Ad esempio nel numero 734 le posizioni di ogni singola cifra sono: numero Nel numero quali sono le posizioni? Posizione di ogni singola cifra 2

2 Nel numero quali sono le posizioni? numero posizione 3 Sistema di numerazione posizionale Definizione: Ogni numero si esprime come la somma dei prodotti di ciascuna cifra per la base elevata all esponente che rappresenta la posizione della cifra: 22 0 = 2 x x 0 + x Ma cos è la base??? 4 2

3 Sistema di numerazione posizionale La base è quel numerino che si pone al pedice di un numero, ad esempio: 22 0 (si legge 22 in base 0) La base specifica il sistema numerico a cui si riferisce il numero. Nell esempio (22 0 ) siamo nel sistema numerico decimale, ovvero o quello che utilizziamo sempre e in qualsiasi as circostanza costa a che implica l utilizzo di un numero. Normalmente non scriviamo mai la base 0 nei numeri che utilizziamo nel sistema di numerazione decimale, ma adesso vedremo che sarà importante specificarla perché utilizzeremo sistemi di numerazione differenti. 5 Sistema di numerazione posizionale Il sistema di notazione posizionale può essere usato con qualunque base creando così differenti sistemi di numerazione. In informatica si utilizza prevalentemente la numerazione: binaria, ottale, Esadecimale Ma partiamo dal sistema di numerazione decimale per capire meglio i sistemi di numerazione 6 3

4 Sistema di numerazione decimale Definizione: Il sistema di numerazione decimale utilizza una notazione posizionale basata su 0 cifre (ogni singola cifra di ogni posizione deve essere esclusivamente un numero tra 0,,2,3,4,5,6,7,8,9) e sulle potenze di 0. Il numero 234 in base 0 si rappresenta esplicitamente come? Come la somma delle sue cifre moltiplicate per la potenza della base che caratterizza la sua posizione : = 4 x x x Sistema di numerazione binario Definizione: Il sistema di numerazione binario utilizza una notazione posizionale basata su 2 cifre (ogni singola cifra di ogni posizione deve essere esclusivamente il numero 0 oppure ) e sulle potenze di 2. Per comporre un numero in base 2 è quindi necessaria la combinazione SOLO ED ESCLUSIVAMENTE delle cifre 0 e Ad es. il numero 00 in base 2 si rappresenta esplicitamente come la somma delle sue cifre moltiplicate per la potenza della base che caratterizza la sua posizione, tale rappresentazione ci permette di convertire un numero dll dalla base 2 alla base 0 : 00 2 = x x x x =

5 Sistema di numerazione ottale Definizione :Il sistema di numerazione ottale utilizza una notazione posizionale basata su 8 cifre (ogni singola cifra di ogni posizione deve essere esclusivamente un numero tra 0,,2,3,4,5,6,7) e sulle potenze di 8. Per comporre un numero in base 8 è quindi necessaria la combinazione SOLO delle cifre 0,,2,3,4,5,6,7 Ad es. il numero 534 in base 8 si rappresenta esplicitamente come la somma delle sue cifre moltiplicate per la potenza della base che caratterizza la sua posizione, tale rappresentazione ci permette di convertire un numero dalla base 8 alla base 0 : = 4 x x x = Sistema di numerazione esadecimale La numerazione esadecimale utilizza una notazione posizionale basata su 6 cifre (ogni singola cifra di ogni posizione ii deve essere esclusivamente un numero tra 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(0), B(), C(2), D(3), E(4), F (5)) e sulle potenze di 6 Per comporre un numero in base 6 è quindi necessaria la combinazione SOLO dicifreda0a9edeicaratteria,b,c,d,e,f Ad es. il numero B7FC 6 (in base 6) si rappresenta esplicitamente come la somma delle sue cifre moltiplicate per la potenza della base che caratterizza la sua posizione, tale rappresentazione ci permette di convertire un numero dalla base 6 alla base 0 C(2) x F(5) x x B() x =

6 Conversione da base n a base 0 Definizione: Per convertire un numero da una qualunque base alla base 0 è sufficiente rappresentarlo esplicitamente in forma polinomiale, come la somma delle sue cifre moltiplicate per la potenza della base che caratterizza la sua posizione : 0 2 = x x 2 + x x 2 3 = = 0 x x x 8 2 = A5 6 = x x 6 + (0) x 6 2 = Conversione da base 0 a base n Per convertire un numero ad una base n qualsiasi occorre trovare tutti i resti delle successive divisioni del numero per la base n. Come esempio si vuole trovare il valore binario del numero 20 Basterà dividere 20 per la base 2 vediamo come 2 6

7 Conversione da base 0 a base = = = = = = = 2 = 0 Leggendo la sequenza dei resti dal basso verso l'alto, si ottiene il numero: 20 0 = Verifica di correttezza Per una verifica di correttezza basta riconvertire il risultato alla base 0 rappresentandolo esplicitamente in forma polinomiale : = 0 x x x x x x x x 2 7 =

8 ESERCIZI Convertire: in base in base 0 A2F4 6 in base in base in base in base 2 5 8